Z Skrypty dla studentów Ekonofizyki UPGOW
| (Nie pokazano 2 wersji pomiędzy niniejszymi.) | |||
| Linia 1: | Linia 1: | ||
[[Category:KURS MATEMATYKI]] | [[Category:KURS MATEMATYKI]] | ||
| + | Wprowadzimy teraz układy wspórzędnych biegunowych, sferycznych i walcowych, a także podamy wzory na transformacje współrzędnych pomiędzy tymi układami współrzędnych. Przy zamianie współrzędnych w całkowaniu funkcji wielu zmiennych trzeba pamiętać o tzw. jakobianie przejścia. Podamy wartości jakobianów przejścia pomiędzy współrzędnymi kartezjańskimi, a sferycznymi i walcowymi. Ta część kursu nie zawiera rozwiązań przykładowych zadań - zostawiamy to na zajęcia z fizyki, na których zamiana współrzędnych zostanie zastosowania do rozwiązywania wielu zagadnień z wykorzystaniem ich symetrii. | ||
== Układ współrzędnych == | == Układ współrzędnych == | ||
| - | + | Położenie punktu w przestrzeni można w jednoznaczny sposób określić przez podanie jego współrzędnych. W dobrze nam znanej przestrzeni trójwymiarowej można wprowadzić kartezjański (czyli prostokątny) układ wspólrzędnych, a położenie punktu będzie jednoznacznie określone przez trzy współrzędne <math> x, y </math> i <math> z </math>. Nasze rozważania ograniczymy do przestrzeni trójwymiarowej, która ze zrozumiałych względów ma największe zastosowanie w praktyce. | |
== Układ współrzędnych kartezjańskich (prostokątny) == | == Układ współrzędnych kartezjańskich (prostokątny) == | ||
| - | Prostoliniowy układ współrzędnych o parach prostopadłych osi. Nazwa | + | Prostoliniowy układ współrzędnych to układ o parach prostopadłych osi. Nazwa pochodzi od nazwiska francuskiego matematyka i filozofa Kartezjusza. |
Układem współrzędnych kartezjańskich nazywa się układ współrzędnych, w którym zadane są: | Układem współrzędnych kartezjańskich nazywa się układ współrzędnych, w którym zadane są: | ||
| - | *punkt zwany początkiem układu współrzędnych, | + | *punkt zwany początkiem układu współrzędnych, w którym wartości wszystkich współrzędnych są równe zeru, |
*zestaw n parami prostopadłych osi liczbowych zwanych osiami układu współrzędnych. Dwie pierwsze osie często oznaczane są jako: | *zestaw n parami prostopadłych osi liczbowych zwanych osiami układu współrzędnych. Dwie pierwsze osie często oznaczane są jako: | ||
**'''X''' (zwana osią odciętych), | **'''X''' (zwana osią odciętych), | ||
| Linia 12: | Linia 13: | ||
Liczba osi układu współrzędnych wyznacza tzw. wymiar przestrzeni. | Liczba osi układu współrzędnych wyznacza tzw. wymiar przestrzeni. | ||
| - | + | W układzie współrzędnych kartezjańskich w przestrzeni trójwymiarowej, w której żyjemy, trzy współrzędne oznaczane są następująco: | |
| - | + | ||
*'''X''' – odcięta, łac. abscissa, | *'''X''' – odcięta, łac. abscissa, | ||
*'''Y''' – rzędna, łac. ordinata, | *'''Y''' – rzędna, łac. ordinata, | ||
*'''Z''' – kota, łac. applicata. | *'''Z''' – kota, łac. applicata. | ||
| - | [[File:ukl1.png|thumb| | + | [[File:ukl1.png|thumb|300px|Rys. 1 Układ współrzędnych kartezjańskich (prostokątny)]] |
== Układ współrzędnych biegunowych == | == Układ współrzędnych biegunowych == | ||
| - | Jest to układ wyznaczony przez punkt <math>0</math> (zwany biegunem) oraz | + | Jest to układ wyznaczony przez punkt <math>0</math> (zwany biegunem) oraz półprostą <math>OR</math> (zwaną osią biegunową), której początek znajduje się w punkcie <math>0</math>. Widzimy, że także w tym układzie współrzędnych można przedstawić punkty na płaszczyźnie. |
Dowolnemu punktowi <math>P</math> przypisujemy jego współrzędne biegunowe: | Dowolnemu punktowi <math>P</math> przypisujemy jego współrzędne biegunowe: | ||
*<math>r</math> promień wodzący punktu <math>P</math> (odległość <math>|OP|</math> od bieguna), | *<math>r</math> promień wodzący punktu <math>P</math> (odległość <math>|OP|</math> od bieguna), | ||
| - | *<math>\varphi</math> | + | *<math>\varphi</math> wartość kąta skierowanego pomiędzy półprostą <math>OR</math> a wektorem <math>\overrightarrow{OP}</math>, przy czym zakłada się, że <math>0\leqslant \varphi<2\pi</math> |
| - | [[File:ukl2.png|thumb| | + | [[File:ukl2.png|thumb|300px|Rys. 2 Układ współrzędnych biegunowych]] |
=== Przejście do układu kartezjańskiego === | === Przejście do układu kartezjańskiego === | ||
| - | + | Zauważmy, że pomiędzy współrzędnymi kartezjańskimi <math>x, y </math>, a współrzędnymi biegunowymi <math>r, \varphi</math> zachodzą następujące związki | |
<math>x=r\cdot\cos\varphi</math> | <math>x=r\cdot\cos\varphi</math> | ||
| Linia 34: | Linia 34: | ||
<math>y=r\cdot\sin\varphi</math> | <math>y=r\cdot\sin\varphi</math> | ||
| - | + | Policzmy teraz nieskończenie małe przyrosty współrzędnych <math>x, y</math> będące wynikiem nieskończenie małych przyrostów współrzędnych <math>r, \varphi</math>. Wyrażają się one przez odpowiednie różniczki | |
| - | <math>\frac{ | + | <math>dx = \frac{\partial x}{\partial r}dr + \frac{\partial x}{\partial \varphi}d \varphi, dy = \frac{\partial y}{\partial r}dr + \frac{\partial y}{\partial \varphi}d \varphi. </math> |
| + | |||
| + | Po obliczeniu pochodnych cząstkowych wynik możemy zapisać w postaci równania macierzowego | ||
| + | |||
| + | <math>\left[\begin{array}{cc} | ||
| + | dx \\ | ||
| + | dy \\ | ||
| + | \end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc} | ||
| + | \cos\varphi & -r\sin\varphi\\ | ||
| + | \sin\varphi & r\cos\varphi\\ | ||
| + | \end{array}\right] \left[\begin{array}{cc} | ||
| + | dr \\ | ||
| + | d \varphi \\ | ||
| + | \end{array}\right] | ||
| + | </math> | ||
| + | |||
| + | Transformacja współrzędnych jest jednoznaczna wtedy gdy wyznacznik macierzy transforamcji (zwany jakobianem <math>J</math>), która ''przeprowadza'' jedne współrzędne w drugie jest różny od zera. Otrzymujemy | ||
| + | |||
| + | <math>J =\left|\begin{array}{ccc} | ||
\frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial x}{\partial \varphi} \\ | \frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial x}{\partial \varphi} \\ | ||
\frac{\partial y}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial \varphi} \\ | \frac{\partial y}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial \varphi} \\ | ||
| Linia 42: | Linia 60: | ||
\cos\varphi & -r\sin\varphi\\ | \cos\varphi & -r\sin\varphi\\ | ||
\sin\varphi & r\cos\varphi\\ | \sin\varphi & r\cos\varphi\\ | ||
| - | \end{array}\right| = r(\cos^2\varphi + sin^2 \varphi) = r | + | \end{array}\right| = r(\cos^2\varphi + \sin^2 \varphi) = r |
</math> | </math> | ||
| + | |||
| + | co oznacza, że transformacja jest jednoznaczna wszędzie za wyjątkiem początku układu współrzędnych. | ||
| + | |||
===Przejście z układu kartezjańskiego=== | ===Przejście z układu kartezjańskiego=== | ||
| - | + | Transformacja odwrotna z układu kartezjańskiego do biegunowego jest zadana przez | |
<math>r = \sqrt{x^2 + y^2}</math>. | <math>r = \sqrt{x^2 + y^2}</math>. | ||
| - | Jeśli <math>r\neq 0</math>, to | + | Jeśli <math>r\neq 0</math>, to współrzędna <math>\varphi</math> punktu jest dana przez |
| + | <math> \cos\varphi=\tfrac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}, \text{ } \sin\varphi=\tfrac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}, \text{ }0\leqslant \varphi<2\pi</math> | ||
| + | <!-- | ||
<math> | <math> | ||
\varphi = | \varphi = | ||
\begin{cases} | \begin{cases} | ||
| - | \operatorname{arctg}\;(\tfrac{y}{x}), & \mbox{gdy } x > 0 \mbox{ oraz } y \geqslant 0\\ | + | \operatorname{\operatorname{arctg}}\;(\tfrac{y}{x}), & \mbox{gdy } x > 0 \mbox{ oraz } y \geqslant 0\\ |
| - | \operatorname{arctg}\;(\tfrac{y}{x}) + 2\pi, & \mbox{gdy } x > 0 \mbox{ oraz } y < 0\\ | + | \operatorname{\operatorname{arctg}}\;(\tfrac{y}{x}) + 2\pi, & \mbox{gdy } x > 0 \mbox{ oraz } y < 0\\ |
| - | \operatorname{arctg}\;(\tfrac{y}{x}) + \pi, & \mbox{gdy } x < 0\\ | + | \operatorname{\operatorname{arctg}}\;(\tfrac{y}{x}) + \pi, & \mbox{gdy } x < 0\\ |
\tfrac{\pi}{2}, & \mbox{gdy } x = 0 \mbox{ oraz } y > 0\\ | \tfrac{\pi}{2}, & \mbox{gdy } x = 0 \mbox{ oraz } y > 0\\ | ||
\tfrac{3\pi}{2}, & \mbox{gdy } x = 0 \mbox{ oraz } y < 0 | \tfrac{3\pi}{2}, & \mbox{gdy } x = 0 \mbox{ oraz } y < 0 | ||
\end{cases} | \end{cases} | ||
</math> | </math> | ||
| + | --> | ||
== Układ współrzędnych sferycznych == | == Układ współrzędnych sferycznych == | ||
| - | Dowolnemu punktowi P | + | Dowolnemu punktowi <math>P</math> w przestrzeni trójwymiarowej możemy przypisać współrzędne sferyczne: |
| - | *promień wodzący <math>r\geqslant 0</math> czyli odległość punktu P od początku układu O, | + | *promień wodzący <math>r\geqslant 0</math> czyli odległość punktu <math>P</math> od początku układu <math>O</math>, |
| - | *długość azymutalna <math>0\leqslant\phi<2\pi</math> czyli miarę kąta między rzutem prostokątnym wektora <math>\overrightarrow{OP}</math> na płaszczyznę OXY, a dodatnią półosią OX. | + | *długość azymutalna <math>0\leqslant\phi<2\pi</math> czyli miarę kąta między rzutem prostokątnym wektora <math>\overrightarrow{OP}</math> na płaszczyznę <math>OXY</math>, a dodatnią półosią <math>OX</math>. |
| - | *odległość zenitalna <math>0\leqslant\theta\leqslant\pi</math> czyli miarę kąta między wektorem <math>\overrightarrow{OP}</math> a dodatnią półosią OZ. | + | *odległość zenitalna <math>0\leqslant\theta\leqslant\pi</math> czyli miarę kąta między wektorem <math>\overrightarrow{OP}</math> a dodatnią półosią <math>OZ</math>. |
| - | Wszystkie współrzędne sferyczne punktu O są równe 0. | + | Wszystkie współrzędne sferyczne punktu <math>O</math> są równe <math>0</math>. |
| - | [[File:ukl3.png|thumb| | + | [[File:ukl3.png|thumb|300px|Rys. 3 Układ współrzędnych sferycznych]] |
===Przejście do układu kartezjańskiego=== | ===Przejście do układu kartezjańskiego=== | ||
| - | + | Transformację współrzędnych z układu sferycznego na współrzędne kartezjańskie <math>x \text{, } y\text{, } z</math> określają wzory | |
<math>x=x(r,\theta,\phi)=r\, \sin\theta \, \cos\phi,</math> | <math>x=x(r,\theta,\phi)=r\, \sin\theta \, \cos\phi,</math> | ||
| Linia 76: | Linia 100: | ||
<math>y=y(r,\theta,\phi)=r\, \sin\theta \, \sin\phi,</math> | <math>y=y(r,\theta,\phi)=r\, \sin\theta \, \sin\phi,</math> | ||
| - | <math>z=z(r,\theta,\phi)=r\, \cos\theta | + | <math>z=z(r,\theta,\phi)=r\, \cos\theta,</math> |
| - | + | a jakobian przejścia wynosi | |
<math> | <math> | ||
| - | + | J =\left|\begin{array}{ccc} | |
\frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial x}{\partial \theta} & \frac{\partial x}{\partial \phi} \\ | \frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial x}{\partial \theta} & \frac{\partial x}{\partial \phi} \\ | ||
\frac{\partial y}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial \theta} & \frac{\partial y}{\partial \phi} \\ | \frac{\partial y}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial \theta} & \frac{\partial y}{\partial \phi} \\ | ||
| Linia 91: | Linia 115: | ||
\end{array}\right|=r^2\sin\theta\ | \end{array}\right|=r^2\sin\theta\ | ||
</math> | </math> | ||
| + | |||
===Przejście z układu kartezjańskiego=== | ===Przejście z układu kartezjańskiego=== | ||
| - | + | Transformacja odwrotna, czyli transformacja współrzędnych z układu kartezjańskiego do układu sferycznego jest dana przez następujące wzory | |
<math>r=\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}</math>, | <math>r=\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}</math>, | ||
| - | <math>\theta=\mathrm{ | + | <math>\theta=\mathrm{\operatorname{arcctg}} \frac{z}{\sqrt{x^2 + y^2}}=\arccos {\frac{z}{r}}</math>, |
| - | <math>\phi=\mathrm{arctg} {\frac{y}{x}}</math>. | + | Jeśli <math>r\neq 0</math>, to współrzędna <math>\varphi</math> punktu jest dana przez |
| + | |||
| + | <math> \cos\varphi=\tfrac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}, \text{ } \sin\varphi=\tfrac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}, \text{ }0\leqslant \varphi<2\pi</math> | ||
| + | <!-- | ||
| + | <math>\phi=\mathrm{\operatorname{arctg}} {\frac{y}{x}}</math>. | ||
| + | --> | ||
== Układ współrzędnych walcowych == | == Układ współrzędnych walcowych == | ||
| - | + | Każdemu punktowi <math>P</math> w przestrzeni trójwymiarowej można przyporządkować trzy współrzędne walcowe <math>(\rho,\phi,z)</math>, gdzie poszczególne składowe są definiowane następująco: | |
| - | *<math>\rho\,</math> — odległość od osi OZ rzutu punktu P na płaszczyznę OXY, | + | *<math>\rho\,</math> — odległość od osi <math>OZ</math> rzutu punktu <math>P</math> na płaszczyznę <math>OXY</math>, |
| - | *<math>\phi\,</math> — kąt pomiędzy osią dodatnią OX a odcinkiem łączącym rzut punktu P na płaszczyznę OXY z początkiem układu współrzędnych, | + | *<math>\phi\,</math> — kąt pomiędzy osią dodatnią <math>OX</math>, a odcinkiem łączącym rzut punktu <math>P</math> na płaszczyznę <math>OXY</math> z początkiem układu współrzędnych, przy czym zakłada się, że <math>0\leqslant \varphi<2\pi</math>, |
| - | *<math>z\,</math> — | + | *<math>z\,</math> — pokrywa się ze współrzędną kartezjańską <math>z</math> |
| - | [[File:ukl4.png|thumb| | + | [[File:ukl4.png|thumb|300px|Rys. 4 Układ współrzędnych walcowych]] |
===Przejście do układu kartezjańskiego=== | ===Przejście do układu kartezjańskiego=== | ||
| + | Transformację współrzędnych z układu walcowego na współrzędne kartezjańskie <math>x \text{, } y\text{, } z</math> określają wzory | ||
<math>x=\rho\cos\phi\,</math> | <math>x=\rho\cos\phi\,</math> | ||
| Linia 113: | Linia 144: | ||
<math>z=z\,</math> | <math>z=z\,</math> | ||
| + | |||
| + | a jakobian przejścia wynosi | ||
| + | |||
| + | <math>J= | ||
| + | \begin{vmatrix} | ||
| + | {{\partial x}\over{\partial \rho}}&{{\partial x}\over{\partial \phi}}&{{\partial x}\over{\partial z}}\\ | ||
| + | {{\partial y}\over{\partial \rho}}&{{\partial y}\over{\partial \phi}}&{{\partial y}\over{\partial z}}\\ | ||
| + | {{\partial z}\over{\partial \rho}}&{{\partial z}\over{\partial \phi}}&{{\partial z}\over{\partial z}} | ||
| + | \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} | ||
| + | \cos\phi&-\rho\sin\phi&0\\ | ||
| + | \sin\phi&\rho\cos\phi&0\\ | ||
| + | 0&0&1 | ||
| + | \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} | ||
| + | \cos\phi&-\rho\sin\phi\\ | ||
| + | \sin\phi&\rho\cos\phi | ||
| + | \end{vmatrix} | ||
| + | =\rho\cos^2\phi+\rho\sin^2\phi=\rho(\cos^2\phi+\sin^2\phi)=\rho\;</math> | ||
===Przejście z układu kartezjańskiego=== | ===Przejście z układu kartezjańskiego=== | ||
| + | Transformacja odwrotna, czyli transformacja współrzędnych z układu kartezjańskiego do układu współrzędnych walcowych jest dana przez | ||
| + | |||
| + | <math>z=z</math> | ||
| + | |||
<math>\rho=\sqrt{x^2+y^2}</math> | <math>\rho=\sqrt{x^2+y^2}</math> | ||
| + | <math> \cos\varphi=\tfrac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}, \text{ } \sin\varphi=\tfrac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}, \text{ }0\leqslant \varphi<2\pi</math> | ||
| + | |||
| + | <!-- | ||
<math>\varphi = | <math>\varphi = | ||
\begin{cases} | \begin{cases} | ||
| Linia 124: | Linia 179: | ||
\end{cases} | \end{cases} | ||
</math> | </math> | ||
| + | --> | ||
| + | |||
| + | == Przykład wykorzystania jakobianu == | ||
| + | Bardzo często jakobian przejścia między różnymi układami współrzędnych jest wykorzystywany do uproszczenia przeprowadzanych obliczeń. Jako przykład obliczymy objętość bryły ograniczonej powierzchnią wyciętą z płaszczyzny <math>XY</math> przez dwa okręgi <math>x^2+y^2=4</math>, <math>x^2+y^2=9</math> oraz funkcję <math>f(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}</math>. | ||
| + | |||
| + | Rozwiązanie tego zadania w prostokątnym kartezjańskim układzie współrzędnych byłoby trudne ze względu na określenie granic całkowania. Dużo prościej jest wykonać wszystkie obliczenia w układzie współrzędnych biegunowych. W tym celu musimy wykorzystać jakobian przejścia między układami odniesienia (w tym przypadku pomiędzy kartezjańskim i biegunowym) | ||
| + | :<math>\int\!\!\!\int_{\Omega} f(x,y)dxdy = \int\!\!\!\int_{\Omega} f(x(r,\varphi),y(r,\phi)) J dr d\varphi | ||
| + | =\int\!\!\!\int_{\Omega} f(x(r,\varphi),y(r,\varphi)) r dr d\varphi</math> | ||
| + | gdzie <math>\Omega</math> jest obszarem całkowania. | ||
| + | |||
| + | Zamiana funkcji <math>f(x,y)</math> na funkcję <math>f(r,\varphi)</math>: | ||
| + | <math>f(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{r^2\cos^2\varphi+r^2\sin^2\varphi}=r</math> | ||
| + | |||
| + | Obliczamy całkę: | ||
| + | :<math>\int_{0}^{2\pi}d\varphi\int_{2}^{3}r J dr = \int_{0}^{2\pi}d\varphi\int_{2}^{3}r^2 dr=\int_{0}^{2\pi}d\varphi \bigg[\frac{1}{3}r^3\bigg]_{2}^{3}=</math> | ||
| + | :<math>=6\frac{1}{3}\int_{0}^{2\pi}d\varphi=6\frac{1}{3} \bigg[\varphi \bigg]_{0}^{2\pi}=\frac{19}{3} \bigg[\varphi \bigg]_{0}^{2\pi}=\frac{38\pi}{3}</math> | ||
| + | <!-- | ||
| + | Załóżmy, że mamy do obliczenia pewna objętość daną całką potrójną | ||
| + | :<math>\int\!\!\!\int\!\!\!\int_{E}\sqrt{x^2+y^2}dxdydz</math> | ||
| + | gdzie <math>E</math> jest obszarem leżącym wewnątrz walca utorzonego przez koło o rówaniu <math>x^2+y^2=16</math> i ograniczonego przez dwie płaszczyzny <math>z=-5</math> i <math>z=4</math> | ||
| + | Całka ta w kartezjańskim układzie współrzędnych ma skomplikowane granice całkowania i nie jest prosta w obliczeniu. Obliczenia te można jednak uprościć wykorzystując jakobian przejścia między układami odniesienia (w tym przypadku kartezjańskim i walcowym) | ||
| + | :<math>\int\!\!\!\int\!\!\!\int_{E} f(x,y,z)dxdydz = \int\!\!\!\int\!\!\!\int_{E} f(x(\rho,\phi,z),y(\rho,\phi,z),z(\rho,\phi,z)) J d\rho d\phi dz=</math> | ||
| + | :<math>=\int\!\!\!\int\!\!\!\int_{E} f(x(\rho,\phi,z),y(\rho,\phi,z),z(\rho,\phi,z)) \rho d\rho d\phi dz</math> | ||
| + | Oczywiście podczas przejscia do innego układu odniesienia należy zmienić granice całkowania. | ||
| + | :<math>0 \le \phi \le 2\pi</math> | ||
| + | :<math>0 \le \rho \le 4</math> | ||
| + | :<math>-5 \le z \le 4</math> | ||
| + | Stąd | ||
| + | :<math>\int\!\!\!\int\!\!\!\int_{E}\sqrt{x^2+y^2}dxdydz=\int\!\!\!\int\!\!\!\int_{E}\sqrt{\rho^{2}} \rho d\rho d\phi dz=</math> | ||
| + | :<math>=\int_{0}^{4}\int_{0}^{2\pi}\int_{-5}^{4} \rho^2 d\rho d\phi dz=\frac{64}{3} 2\pi (4+5) = 384 \pi</math> | ||
| + | --> | ||
Aktualna wersja na dzień 09:20, 31 mar 2015
Wprowadzimy teraz układy wspórzędnych biegunowych, sferycznych i walcowych, a także podamy wzory na transformacje współrzędnych pomiędzy tymi układami współrzędnych. Przy zamianie współrzędnych w całkowaniu funkcji wielu zmiennych trzeba pamiętać o tzw. jakobianie przejścia. Podamy wartości jakobianów przejścia pomiędzy współrzędnymi kartezjańskimi, a sferycznymi i walcowymi. Ta część kursu nie zawiera rozwiązań przykładowych zadań - zostawiamy to na zajęcia z fizyki, na których zamiana współrzędnych zostanie zastosowania do rozwiązywania wielu zagadnień z wykorzystaniem ich symetrii.
Spis treści |
Układ współrzędnych
Położenie punktu w przestrzeni można w jednoznaczny sposób określić przez podanie jego współrzędnych. W dobrze nam znanej przestrzeni trójwymiarowej można wprowadzić kartezjański (czyli prostokątny) układ wspólrzędnych, a położenie punktu będzie jednoznacznie określone przez trzy współrzędne \( x, y \) i \( z \). Nasze rozważania ograniczymy do przestrzeni trójwymiarowej, która ze zrozumiałych względów ma największe zastosowanie w praktyce.
Układ współrzędnych kartezjańskich (prostokątny)
Prostoliniowy układ współrzędnych to układ o parach prostopadłych osi. Nazwa pochodzi od nazwiska francuskiego matematyka i filozofa Kartezjusza. Układem współrzędnych kartezjańskich nazywa się układ współrzędnych, w którym zadane są:
- punkt zwany początkiem układu współrzędnych, w którym wartości wszystkich współrzędnych są równe zeru,
- zestaw n parami prostopadłych osi liczbowych zwanych osiami układu współrzędnych. Dwie pierwsze osie często oznaczane są jako:
- X (zwana osią odciętych),
- Y (zwana osią rzędnych),
Liczba osi układu współrzędnych wyznacza tzw. wymiar przestrzeni.
W układzie współrzędnych kartezjańskich w przestrzeni trójwymiarowej, w której żyjemy, trzy współrzędne oznaczane są następująco:
- X – odcięta, łac. abscissa,
- Y – rzędna, łac. ordinata,
- Z – kota, łac. applicata.
Układ współrzędnych biegunowych
Jest to układ wyznaczony przez punkt \(0\) (zwany biegunem) oraz półprostą \(OR\) (zwaną osią biegunową), której początek znajduje się w punkcie \(0\). Widzimy, że także w tym układzie współrzędnych można przedstawić punkty na płaszczyźnie. Dowolnemu punktowi \(P\) przypisujemy jego współrzędne biegunowe:
- \(r\) promień wodzący punktu \(P\) (odległość \(|OP|\) od bieguna),
- \(\varphi\) wartość kąta skierowanego pomiędzy półprostą \(OR\) a wektorem \(\overrightarrow{OP}\), przy czym zakłada się, że \(0\leqslant \varphi<2\pi\)
Przejście do układu kartezjańskiego
Zauważmy, że pomiędzy współrzędnymi kartezjańskimi \(x, y \), a współrzędnymi biegunowymi \(r, \varphi\) zachodzą następujące związki
\(x=r\cdot\cos\varphi\)
\(y=r\cdot\sin\varphi\)
Policzmy teraz nieskończenie małe przyrosty współrzędnych \(x, y\) będące wynikiem nieskończenie małych przyrostów współrzędnych \(r, \varphi\). Wyrażają się one przez odpowiednie różniczki
\(dx = \frac{\partial x}{\partial r}dr + \frac{\partial x}{\partial \varphi}d \varphi, dy = \frac{\partial y}{\partial r}dr + \frac{\partial y}{\partial \varphi}d \varphi. \)
Po obliczeniu pochodnych cząstkowych wynik możemy zapisać w postaci równania macierzowego
\(\left[\begin{array}{cc} dx \\ dy \\ \end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc} \cos\varphi & -r\sin\varphi\\ \sin\varphi & r\cos\varphi\\ \end{array}\right] \left[\begin{array}{cc} dr \\ d \varphi \\ \end{array}\right] \)
Transformacja współrzędnych jest jednoznaczna wtedy gdy wyznacznik macierzy transforamcji (zwany jakobianem \(J\)), która przeprowadza jedne współrzędne w drugie jest różny od zera. Otrzymujemy
\(J =\left|\begin{array}{ccc} \frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial x}{\partial \varphi} \\ \frac{\partial y}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial \varphi} \\ \end{array}\right| = \left|\begin{array}{ccc} \cos\varphi & -r\sin\varphi\\ \sin\varphi & r\cos\varphi\\ \end{array}\right| = r(\cos^2\varphi + \sin^2 \varphi) = r \)
co oznacza, że transformacja jest jednoznaczna wszędzie za wyjątkiem początku układu współrzędnych.
Przejście z układu kartezjańskiego
Transformacja odwrotna z układu kartezjańskiego do biegunowego jest zadana przez
\(r = \sqrt{x^2 + y^2}\).
Jeśli \(r\neq 0\), to współrzędna \(\varphi\) punktu jest dana przez
\( \cos\varphi=\tfrac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}, \text{ } \sin\varphi=\tfrac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}, \text{ }0\leqslant \varphi<2\pi\)
Układ współrzędnych sferycznych
Dowolnemu punktowi \(P\) w przestrzeni trójwymiarowej możemy przypisać współrzędne sferyczne:
- promień wodzący \(r\geqslant 0\) czyli odległość punktu \(P\) od początku układu \(O\),
- długość azymutalna \(0\leqslant\phi<2\pi\) czyli miarę kąta między rzutem prostokątnym wektora \(\overrightarrow{OP}\) na płaszczyznę \(OXY\), a dodatnią półosią \(OX\).
- odległość zenitalna \(0\leqslant\theta\leqslant\pi\) czyli miarę kąta między wektorem \(\overrightarrow{OP}\) a dodatnią półosią \(OZ\).
Wszystkie współrzędne sferyczne punktu \(O\) są równe \(0\).
Przejście do układu kartezjańskiego
Transformację współrzędnych z układu sferycznego na współrzędne kartezjańskie \(x \text{, } y\text{, } z\) określają wzory
\(x=x(r,\theta,\phi)=r\, \sin\theta \, \cos\phi,\)
\(y=y(r,\theta,\phi)=r\, \sin\theta \, \sin\phi,\)
\(z=z(r,\theta,\phi)=r\, \cos\theta,\)
a jakobian przejścia wynosi
\( J =\left|\begin{array}{ccc} \frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial x}{\partial \theta} & \frac{\partial x}{\partial \phi} \\ \frac{\partial y}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial \theta} & \frac{\partial y}{\partial \phi} \\ \frac{\partial z}{\partial r} & \frac{\partial z}{\partial \theta} & \frac{\partial z}{\partial \phi} \end{array}\right|= \left|\begin{array}{ccc} \sin\theta\cos\phi & r\cos\theta\cos\phi & -r\sin\theta\sin\phi\\ \sin\theta\sin\phi & r\cos\theta\sin\phi & r\sin\theta\cos\phi\\ \cos\theta& -r\sin\theta & 0 \end{array}\right|=r^2\sin\theta\ \)
Przejście z układu kartezjańskiego
Transformacja odwrotna, czyli transformacja współrzędnych z układu kartezjańskiego do układu sferycznego jest dana przez następujące wzory
\(r=\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}\),
\(\theta=\mathrm{\operatorname{arcctg}} \frac{z}{\sqrt{x^2 + y^2}}=\arccos {\frac{z}{r}}\),
Jeśli \(r\neq 0\), to współrzędna \(\varphi\) punktu jest dana przez
\( \cos\varphi=\tfrac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}, \text{ } \sin\varphi=\tfrac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}, \text{ }0\leqslant \varphi<2\pi\)
Układ współrzędnych walcowych
Każdemu punktowi \(P\) w przestrzeni trójwymiarowej można przyporządkować trzy współrzędne walcowe \((\rho,\phi,z)\), gdzie poszczególne składowe są definiowane następująco:
- \(\rho\,\) — odległość od osi \(OZ\) rzutu punktu \(P\) na płaszczyznę \(OXY\),
- \(\phi\,\) — kąt pomiędzy osią dodatnią \(OX\), a odcinkiem łączącym rzut punktu \(P\) na płaszczyznę \(OXY\) z początkiem układu współrzędnych, przy czym zakłada się, że \(0\leqslant \varphi<2\pi\),
- \(z\,\) — pokrywa się ze współrzędną kartezjańską \(z\)
Przejście do układu kartezjańskiego
Transformację współrzędnych z układu walcowego na współrzędne kartezjańskie \(x \text{, } y\text{, } z\) określają wzory
\(x=\rho\cos\phi\,\)
\(y=\rho\sin\phi\,\)
\(z=z\,\)
a jakobian przejścia wynosi
\(J= \begin{vmatrix} {{\partial x}\over{\partial \rho}}&{{\partial x}\over{\partial \phi}}&{{\partial x}\over{\partial z}}\\ {{\partial y}\over{\partial \rho}}&{{\partial y}\over{\partial \phi}}&{{\partial y}\over{\partial z}}\\ {{\partial z}\over{\partial \rho}}&{{\partial z}\over{\partial \phi}}&{{\partial z}\over{\partial z}} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} \cos\phi&-\rho\sin\phi&0\\ \sin\phi&\rho\cos\phi&0\\ 0&0&1 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} \cos\phi&-\rho\sin\phi\\ \sin\phi&\rho\cos\phi \end{vmatrix} =\rho\cos^2\phi+\rho\sin^2\phi=\rho(\cos^2\phi+\sin^2\phi)=\rho\;\)
Przejście z układu kartezjańskiego
Transformacja odwrotna, czyli transformacja współrzędnych z układu kartezjańskiego do układu współrzędnych walcowych jest dana przez
\(z=z\)
\(\rho=\sqrt{x^2+y^2}\)
\( \cos\varphi=\tfrac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}, \text{ } \sin\varphi=\tfrac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}, \text{ }0\leqslant \varphi<2\pi\)
Przykład wykorzystania jakobianu
Bardzo często jakobian przejścia między różnymi układami współrzędnych jest wykorzystywany do uproszczenia przeprowadzanych obliczeń. Jako przykład obliczymy objętość bryły ograniczonej powierzchnią wyciętą z płaszczyzny \(XY\) przez dwa okręgi \(x^2+y^2=4\), \(x^2+y^2=9\) oraz funkcję \(f(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}\).
Rozwiązanie tego zadania w prostokątnym kartezjańskim układzie współrzędnych byłoby trudne ze względu na określenie granic całkowania. Dużo prościej jest wykonać wszystkie obliczenia w układzie współrzędnych biegunowych. W tym celu musimy wykorzystać jakobian przejścia między układami odniesienia (w tym przypadku pomiędzy kartezjańskim i biegunowym) \[\int\!\!\!\int_{\Omega} f(x,y)dxdy = \int\!\!\!\int_{\Omega} f(x(r,\varphi),y(r,\phi)) J dr d\varphi =\int\!\!\!\int_{\Omega} f(x(r,\varphi),y(r,\varphi)) r dr d\varphi\] gdzie \(\Omega\) jest obszarem całkowania.
Zamiana funkcji \(f(x,y)\) na funkcję \(f(r,\varphi)\): \(f(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{r^2\cos^2\varphi+r^2\sin^2\varphi}=r\)
Obliczamy całkę: \[\int_{0}^{2\pi}d\varphi\int_{2}^{3}r J dr = \int_{0}^{2\pi}d\varphi\int_{2}^{3}r^2 dr=\int_{0}^{2\pi}d\varphi \bigg[\frac{1}{3}r^3\bigg]_{2}^{3}=\] \[=6\frac{1}{3}\int_{0}^{2\pi}d\varphi=6\frac{1}{3} \bigg[\varphi \bigg]_{0}^{2\pi}=\frac{19}{3} \bigg[\varphi \bigg]_{0}^{2\pi}=\frac{38\pi}{3}\]