Z Skrypty dla studentów Ekonofizyki UPGOW

Aktualna wersja na dzień 09:28, 31 mar 2015

Liczba zespolona jest liczbą, która może być wyrażona w postaci

\[z = \alpha + \beta i\]

gdzie \(\alpha\) i \(\beta\) są liczbami rzeczywistymi, zaś \(i\) jest jednostką urojoną, która spełnia równanie \(i^2 = -1\). Liczbę \(\alpha\) nazywamy częścią rzeczywistą, a liczbę \(\beta\) częścią urojoną z liczby zespolonej i oznaczamy

\[\alpha = \operatorname{Re}z\] \[\beta = \operatorname{Im}z\]

Gdy \(\beta=0\), wtedy \(z=\alpha\) - liczba zespolona jest liczbą rzeczywistą. Możemy zatem powiedzieć, że zbiór liczb rzeczywistych zawiera się w zbiorze liczb zespolonych. Innym szczególnym przypadkiem liczby zespolonej jest liczba czysto urojona postaci \(z= \beta i\)

Interpretacja geometryczna

Liczby zespolone przedstawia się w postaci punktów na płaszczyźnie zespolonej. Liczbę \(z = \alpha + \beta i\) przedstawia punkt o odciętej \(\alpha\) i rzędnej \(\beta\) (Rys 1).

Rys. 1 Interpretacja geometryczna liczby \(z = \alpha + \beta i\)

Postać trygonometryczna liczby zespolonej

Wyrażenie \[z=\alpha +\beta i\] nazywamy postacią algebraiczną liczby zespolonej. Jeżeli zamiast współrzędnych kartezjańskich punktu reprezentującego liczbę zespoloną wprowadzimy współrzędne biegunowe to otrzymamy postać trygonometryczną liczby zespolonej: \[z=\rho\, (\cos{\varphi} + i \sin{\varphi})\,,\] gdzie długość promienia wodzącego \(\rho\) nazywa się modułem lub bezwzględną wartością liczby zespolonej i oznacza się symbolem \(|z|\), natomiast \(0 \le \varphi \lt 2\pi\) to kąt między osią biegunową, a promieniem wodzącym i oznacza się symbolem \(\varphi=\arg{z}\). Kąt \(\varphi\) jest nazywany argumentem liczby zespolonej. Mamy następujące związki między postaciami algebraiczną i trygonometryczną liczby zespolonej: \[\alpha = \rho \cos{\varphi}\,,\quad\beta = \rho \sin{\varphi}\,;\] \[\rho = \sqrt{\alpha^2+\beta^2}\,;\qquad \cos{\varphi}=\frac{\alpha}{\sqrt{\alpha^2+\beta^2}}\,,\quad\sin{\varphi}=\frac{\beta}{\sqrt{\alpha^2+\beta^2}}\,.\]

Postać wykładnicza liczby zespolonej

Korzystając z formuły Eulera \[e^{i\varphi} = \cos\varphi + i\sin\varphi \ \] możemy liczbę zespoloną przedstawić w tzw. postać wykładniczej: \[z=\rho\,e^{i\varphi}\]

Liczby zespolone sprzężone

Dwie liczby zespolone nazywamy sprzężonymi jeżeli mają części rzeczywiste równe, a części urojone różnią się tylko znakiem. Liczby takie oznaczamy \( z \text{ i } \bar{z} \) (Rys. 2)

Rys. 2 Liczby zespolone sprzężone

\[ z= \alpha + \beta i = \rho(\cos\varphi+i\sin\varphi) = \rho e^{i\varphi}\] \[ \bar{z}= \alpha - \beta i = \rho(\cos\varphi-i\sin\varphi) = \rho e^{-i\varphi}\]

Równość liczb zespolonych

Dwie liczby zespolone są równe wtedy i tylko wtedy, gdy zarówno ich części rzeczywiste jak i części urojone są równe: \[z_{1} = z_{2} \, \, \Leftrightarrow \, \, ( \operatorname{Re} z_{1} = \operatorname{Re} z_{2} \, \land \, \operatorname{Im} z_{1} = \operatorname{Im} z_{2})\]

Podstawowe działania na liczbach zespolonych

Dodawanie i odejmowanie

Liczby zespolone są dodawane/odejmowane przez dodanie/odjęcie rzeczywistych i urojonych części. \[(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i.\ \] \[(a+bi) - (c+di) = (a-c) + (b-d)i.\ \] Zobacz graficzną prezentację dodawania liczb zespolonych tutaj

Mnożenie

Mnożenie dwóch liczb jest zdefiniowane za pomocą następującego wzoru: \[(a+bi) (c+di) = (ac-bd) + (bc+ad)i.\ \] Pamiętając, że \[i^2 = -1,\ \] wzór na mnożenie dwóch liczb zespolonych da się przedstawić w następujący sposób: \[(a+bi) (c+di) = ac + bci + adi + bidi \ \]

\[ = ac + bidi + bci + adi \ \]

\[ = ac + bdi^2 + (bc+ad)i \ \]

\[ = (ac-bd) + (bc + ad)i \ \]

Mnożenie w postaci trygonometrycznej

Opierając się na poniższych wzorach: \[ \cos a\cos b - \sin a\sin b = \cos(a + b)\] \[ \cos a\sin b + \cos b\sin a = \sin(a + b)\] mnożenie dwóch liczb zespolonych \(z_1 = \rho_1(\cos \varphi_1 +i \sin\varphi_1)\) i \(z_2 = \rho_2(\cos \varphi_2 +i \sin \varphi_2)\) możemy zapisać w następujący sposób: \[z_1 z_2\ =\ \rho_1 \rho_2\ [\,\cos(\varphi_1 + \varphi_2) + i \sin(\varphi_1 + \varphi_2)\,]\,.\] Zobacz graficzną prezentację mnożenia liczb zespolonych tutaj

Dzielenie

Dzielenie liczb zespolonych wykonujemy mnożąc licznik i mianownik przez liczbę zespoloną sprzężoną do liczby zespolonej w mianowniku. Otrzymamy wtedy w mianowniku liczbę rzeczywistą. Należy jednak pamiętać o tym, że liczba zespolona w mianowniku musi być różna od zera. \[\frac{a + bi}{c + di} = \left({ac + bd \over c^2 + d^2}\right) + \left( {bc - ad \over c^2 + d^2} \right)i. \]

Dzielenie w postaci trygonometrycznej

Dzielenie dwóch liczb zespolonych przedstawionych w postaci trygonometrycznej \(z_1 = \rho_1(\cos \varphi_1 + i  \sin{\varphi_1})\) i \(z_2 = \rho_2(\cos \varphi_2 + i \sin{ \varphi_2})\) wykonujemy w następujący sposób: \[\frac{z_1}{ z_2}\ =\ \frac{\rho_1}{\rho_2} \left[\,\cos(\varphi_1 - \varphi_2) + i \sin(\varphi_1 - \varphi_2)\,\right].\]

Potęgowanie

Podnoszenie liczby zespolonej do potęgi wykonuje się według wzoru de Moivre'a \[ z^n\: =\ [\,\rho\,(\cos\varphi+i\sin\varphi)\,]^n\: =\ \rho^n\,(\cos n\varphi+i\sin n\varphi)\] Zobacz graficzną prezentację potęgowania liczb zespolonych tutaj

Pierwiastkowanie

Wyciągnięcie pierwiastka z liczby zespolonej wykonuje się za pomocą następującego wzoru: \[\sqrt[n]{z}\ =\ \sqrt[n]\rho \left( \cos \frac{\varphi+2k\pi}{n} + i \sin \frac{\varphi+2k\pi}{n} \right), \qquad k=0,1,...,n-1\] przy czym należy zwrócić uwagę na wieloznaczne użycie oznaczenia pierwiastka \(n-tego\) stopnia. Dotyczy zarówno pierwiastka zespolonych (\(\sqrt[n]{z}\)) jak i dobrze nam znanego pierwiastka arytmetycznego liczby rzeczywistej nieujemnej (\(\sqrt[n]{\rho}\), gdzie \(\rho\) jest modułem liczby zespolonej). Jak widzimy stosując powyższy wzór otrzymany \(n\) pierwiastków \(n-tego\) stopnia liczby zespolonej \(z\). Zobacz graficzną prezentację pierwiastkowania liczb zespolonych tutaj

Obliczymy \(\sqrt[3]{1}\), przy czym \(1\) jest liczbą zespoloną. Aby skorzystać z powyższego wzoru trzeba przedstawić liczbę zespoloną \(z=1+0i\) w postaci trygonometrycznej. Mamy \(\alpha = 1\) (część rzeczywista liczby zespolonej) oraz \(\beta = 0\) (część urojona liczby zespolonej). I stąd

\[\rho = \sqrt{\alpha^2 + \beta^2} = \sqrt{1^2 + 0^2} = 1, \quad \cos\phi = \frac{1}{1} = 1, \quad \sin\phi = \frac{0}{1} = 0.\]

A zatem \(\phi = 0\), a \(z = 1 = 1(\cos0 + i\sin0)\). Otrzymany trzy pierwiastki (\(k = 0, 1, 2\)) liczby zespolonej \(z = 1\), które obliczamy ze wzoru \[z_k = \sqrt[3]{1}(\cos\frac{0+2k\pi}{3} + i\sin\frac{0+2k\pi}{3}), \quad k = 0, 1, 2.\]

Wstawiając kolejne wartości \(k\) dostajemy trzy pierwiastki \[z_0 = 1(\cos0 + i\sin0) = 1,\] \[z_1 = 1(\cos\frac{2\pi}{3} + i\sin\frac{2\pi}{3}) = -\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2},\] \[z_2 = 1(\cos\frac{4\pi}{3} + i\sin\frac{4\pi}{3}) = -\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}.\] Zachęcamy czytelnika do sprawdzenia poprawności obliczeń \(z_1\) i \(z_2\) - wystarczy podnieść je do potęgi trzeciej, korzystając ze wzoru de Moivre'a.

Zadania

1. Oblicz, a rozwiązanie napisz w postaci \(a + bi\)
   1. \((5 - 6i) + (3 + 2i)\)
   2. \((4 - 12 i) - (9 + 52i)\)
   3. \((2 + 5i)(4 - i)\)
   4. \((1 - 2i)(8 - 3i)\)
   5. \(i^3\)
   6. \(i^{100}\)
2. Oblicz:
   1. \((7 + 2i) + (11 - 6i)\)
   2. \((8 - 3i) - (6i)\)
   3. \((9 + 4i)(3 - 16i)\)
   4. \(3i \times 9i\)
   5. \(\frac{i}{2+i}\)
   6. \(\frac{11 + 3i}{\sqrt{3} - 4i}\)
   7. \({(x + yi)}^{-1}\)
   8. \(\overline{12+7i}\)
   9. \(\overline{2i(\frac{1}{2}i-i)}\)
   10. \(\frac{1+4i}{3+2i}\)
3. Dane są dwie liczby zespolone \( \begin{matrix} x &=& 3 - 2i \\ y &=& 3 + 2i \end{matrix} \)

   Oblicz

   1. \( x + y\)
   2. \( x - y\)
   3. \( x^2\)
   4. \(y^2\)
   5. \( xy\)
   6. \( (x + y)(x - y)\)
4. Oblicz
   1. \( (3 + 3i)^{\frac{1}{2}}\)
   2. \( (1 + 1i)^{\frac{1}{2}}\)
   3. \( i^{\frac{1}{3}}\)
5. Zapisz wynik działania \((\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i)( \frac{1}{2} +\frac{\sqrt{3}}{2}i)\) w postaci \(a + bi\)
6. Znajdź odwrotność każdej z następujących liczb:
   1. \(-1-i\)
   2. \(3-2i\)
   3. \(i\)
   4. \(-i\)
   5. \(-\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i\)
7. Opierając się na poniższym narysuj liczby

   

   1. \(z+\bar{z}\), \(w+\bar{w}\), \(v+\bar{v}\)
   2. \(2w + \bar{z} + v\)
   3. \(v - z - w\)