Analiza Szeregów Czasowych/Stacjonarność
Z Skrypty dla studentów Ekonofizyki UPGOW
(Różnice między wersjami)
(→Stacjonarność procesów stochastycznych) |
|||
| (Nie pokazano 8 wersji pomiędzy niniejszymi.) | |||
| Linia 1: | Linia 1: | ||
[[Analiza Szeregów Czasowych]] | [[Analiza Szeregów Czasowych]] | ||
| - | ==Stacjonarność== | + | ==Stacjonarność procesów stochastycznych== |
| - | ;Definicja 3.1: Szereg czasowy <math> \{X_t, t \in \Z\}\ </math>, gdzie zbiór indeksów zdefiniowany jest jako <math> \Z = \{0, \pm 1, \pm 2,\cdots \}</math> nazywamy stacjonarnym jeżeli spełnione są poniższe punkty | + | Do wyznaczania zależności pomiędzy zmiennymi losowymi użyteczna bywa funkcja kowariancji. |
| + | |||
| + | ;Definicja 3.1: Dla dwóch zmiennych losowych <math> \{X_t, t \in T\}\ </math> oraz <math> \{Y_s, s \in T\}\ </math> funkcja | ||
| + | |||
| + | : <math> | ||
| + | \begin{align} | ||
| + | ~cov(X(r),Y(s)) = | ||
| + | &E[(X_r - EX_r)(Y_s - EY_s)] = E(X_tY_s) - EX_t EY_s ~~~\text{dla} ~~~ r,s \in T | ||
| + | \end{align} | ||
| + | </math> | ||
| + | |||
| + | określa liniową zależność pomiędzy powyższymi zmiennymi losowymi. Stopień współzależności owych zmiennych losowych można podać za pomocą tzw. współczynnika korelacji Pearsona <math> r_{XY}\ </math> | ||
| + | |||
| + | : <math> | ||
| + | cov (X, Y) = r_{XY} \sigma_{X} \sigma_{Y}. | ||
| + | </math> | ||
| + | |||
| + | Wartość współczynnika korelacji Pearsona mieści się w przedziale domkniętym [-1, 1]. Im większa jego wartość bezwzględna, tym silniejsza jest zależność zmiennych losowych między zmiennymi. | ||
| + | <math>r_{XY} = 0</math> oznacza brak liniowej zależności między cechami, <math>r_{XY} = 1</math> oznacza dokładną dodatnią liniową zależność między cechami, natomiast <math>r_{XY} = -1</math> oznacza dokładną ujemną liniową zależność między cechami, tzn. jeżeli zmienna <math>X</math> rośnie, to <math>Y</math> maleje i na odwrót. | ||
| + | Współczynnik korelacji liniowej można traktować jako znormalizowaną [[kowariancja|kowariancję]]. Korelacja przyjmuje zawsze wartości w zakresie [-1, 1], co pozwala uniezależnić analizę od dziedziny badanych zmiennych. | ||
| + | |||
| + | W przypadku gdy analizujemy szereg czasowy opisywany poprzez ewolucję jednej zmiennej losowej możemy mówić najwyżej o funkcji autokowariancji. | ||
| + | Dla szeregu czasowego <math> \{X_t, t \in T\}\ </math> możemy taką funkcję zdefiniować następująco. | ||
| + | |||
| + | ;Definicja 3.2: Jeżeli <math> \{X_t, t \in T\}\ </math> jest procesem dla którego wariancja zmiennej losowej dla każdej chwili czasu <math> \sigma_{X_t} </math> jest skończona, wtedy funkcja autokowariancji procesu <math> \{X_t\}\ </math> zdefiniowana jest jako | ||
| + | |||
| + | : <math> | ||
| + | \begin{align} | ||
| + | ~\gamma_X(r,s) = &K_{XX}(r,s) = cov(X(r),X(s)) = cov(X_r,X_s) = \\ | ||
| + | &E[(X_r - EX_r)(X_s - EX_s)] = E(X_tX_s) - EX_t EX_s ~~~\text{dla} ~~~ r,s \in T. | ||
| + | \end{align} | ||
| + | </math> | ||
| + | |||
| + | Analogicznie do funkcji kowariancji, autokowariancja określa liniową zależność pomiędzy tą samą zmienną losową w dwóch chwilach czasu t i s. | ||
| + | |||
| + | ;Definicja 3.3: Szereg czasowy <math> \{X_t, t \in \Z\}\ </math>, gdzie zbiór indeksów zdefiniowany jest jako <math> \Z = \{0, \pm 1, \pm 2,\cdots \}</math> nazywamy stacjonarnym (w sensie słabym) jeżeli spełnione są poniższe punkty | ||
: <math> | : <math> | ||
| Linia 13: | Linia 48: | ||
====Uwagi==== | ====Uwagi==== | ||
| - | # Powyższa definicja odnosi się do tak zwanej słabej stacjonarności, stacjonarności w szerszym sensie lub stacjonarności rzędu dwa. Ma ona zastsowanie najczęściej podczas analizy szeregów czasowych. | + | # Powyższa definicja odnosi się do tak zwanej słabej stacjonarności, stacjonarności w szerszym sensie lub stacjonarności rzędu dwa. Ma ona zastsowanie najczęściej podczas analizy szeregów czasowych. Na tym kursie analizy szeregów czasowych będzie to podstawowa definicja jaką będziemy rozpatrywali. |
# Punkt <math>(iii)\ </math> często zapisuje się w postaci | # Punkt <math>(iii)\ </math> często zapisuje się w postaci | ||
: <math> \gamma_X(r+t,s+t) = \gamma_X(r-s,0) \!</math> | : <math> \gamma_X(r+t,s+t) = \gamma_X(r-s,0) \!</math> | ||
: lub krótko | : lub krótko | ||
: <math> \gamma_X(r-s,0) = \gamma(\tau) \, \mbox{ gdzie } \, \tau = t_1 - t_2 </math> | : <math> \gamma_X(r-s,0) = \gamma(\tau) \, \mbox{ gdzie } \, \tau = t_1 - t_2 </math> | ||
Aktualna wersja na dzień 13:10, 23 wrz 2010
Stacjonarność procesów stochastycznych
Do wyznaczania zależności pomiędzy zmiennymi losowymi użyteczna bywa funkcja kowariancji.
- Definicja 3.1
- Dla dwóch zmiennych losowych \( \{X_t, t \in T\}\ \) oraz \( \{Y_s, s \in T\}\ \) funkcja
- \( \begin{align} ~cov(X(r),Y(s)) = &E[(X_r - EX_r)(Y_s - EY_s)] = E(X_tY_s) - EX_t EY_s ~~~\text{dla} ~~~ r,s \in T \end{align} \)
określa liniową zależność pomiędzy powyższymi zmiennymi losowymi. Stopień współzależności owych zmiennych losowych można podać za pomocą tzw. współczynnika korelacji Pearsona \( r_{XY}\ \)
- \( cov (X, Y) = r_{XY} \sigma_{X} \sigma_{Y}. \)
Wartość współczynnika korelacji Pearsona mieści się w przedziale domkniętym [-1, 1]. Im większa jego wartość bezwzględna, tym silniejsza jest zależność zmiennych losowych między zmiennymi. \(r_{XY} = 0\) oznacza brak liniowej zależności między cechami, \(r_{XY} = 1\) oznacza dokładną dodatnią liniową zależność między cechami, natomiast \(r_{XY} = -1\) oznacza dokładną ujemną liniową zależność między cechami, tzn. jeżeli zmienna \(X\) rośnie, to \(Y\) maleje i na odwrót. Współczynnik korelacji liniowej można traktować jako znormalizowaną kowariancję. Korelacja przyjmuje zawsze wartości w zakresie [-1, 1], co pozwala uniezależnić analizę od dziedziny badanych zmiennych.
W przypadku gdy analizujemy szereg czasowy opisywany poprzez ewolucję jednej zmiennej losowej możemy mówić najwyżej o funkcji autokowariancji. Dla szeregu czasowego \( \{X_t, t \in T\}\ \) możemy taką funkcję zdefiniować następująco.
- Definicja 3.2
- Jeżeli \( \{X_t, t \in T\}\ \) jest procesem dla którego wariancja zmiennej losowej dla każdej chwili czasu \( \sigma_{X_t} \) jest skończona, wtedy funkcja autokowariancji procesu \( \{X_t\}\ \) zdefiniowana jest jako
- \( \begin{align} ~\gamma_X(r,s) = &K_{XX}(r,s) = cov(X(r),X(s)) = cov(X_r,X_s) = \\ &E[(X_r - EX_r)(X_s - EX_s)] = E(X_tX_s) - EX_t EX_s ~~~\text{dla} ~~~ r,s \in T. \end{align} \)
Analogicznie do funkcji kowariancji, autokowariancja określa liniową zależność pomiędzy tą samą zmienną losową w dwóch chwilach czasu t i s.
- Definicja 3.3
- Szereg czasowy \( \{X_t, t \in \Z\}\ \), gdzie zbiór indeksów zdefiniowany jest jako \( \Z = \{0, \pm 1, \pm 2,\cdots \}\) nazywamy stacjonarnym (w sensie słabym) jeżeli spełnione są poniższe punkty
- \( \begin{align} (i) &~E | X_t |^2 < \infty ~~~ \text{for all} ~~~ t \in \Z \\ (ii) &~E X_t = m ~~~ \text{for all} ~~~ t \in \Z \\ (iii)&~\gamma_X(r,s) = \gamma_X(r+t,s+t) ~~~ \text{for all} ~~~ t \in \Z \end{align} \)
Uwagi
- Powyższa definicja odnosi się do tak zwanej słabej stacjonarności, stacjonarności w szerszym sensie lub stacjonarności rzędu dwa. Ma ona zastsowanie najczęściej podczas analizy szeregów czasowych. Na tym kursie analizy szeregów czasowych będzie to podstawowa definicja jaką będziemy rozpatrywali.
- Punkt \((iii)\ \) często zapisuje się w postaci
- \( \gamma_X(r+t,s+t) = \gamma_X(r-s,0) \!\)
- lub krótko
- \( \gamma_X(r-s,0) = \gamma(\tau) \, \mbox{ gdzie } \, \tau = t_1 - t_2 \)