Bistable
Z Skrypty dla studentów Ekonofizyki UPGOW
(Różnice między wersjami)
(→Analiza) |
m |
||
| (Nie pokazano 9 wersji pomiędzy niniejszymi.) | |||
| Linia 1: | Linia 1: | ||
==Oscylator bistabliny== | ==Oscylator bistabliny== | ||
| + | |||
| + | |||
| + | |||
===Układ === | ===Układ === | ||
| - | Rozważmy oscylator nieliniowy: | + | Rozważmy oscylator nieliniowy (usaa): |
<math>m \ddot x = -\frac{dU(x)}{dx}-\gamma x ,</math> | <math>m \ddot x = -\frac{dU(x)}{dx}-\gamma x ,</math> | ||
| Linia 56: | Linia 59: | ||
lsode_options("relative tolerance",1e-6) | lsode_options("relative tolerance",1e-6) | ||
n=500; | n=500; | ||
| - | tmax= | + | tmax=10; |
t = linspace(0,tmax,n); | t = linspace(0,tmax,n); | ||
global gama; | global gama; | ||
gama=0.9 | gama=0.9 | ||
| - | ny= | + | ny=10; |
| - | y=linspace(0, | + | y=linspace(0,5,ny); |
| - | x0=-2; | + | x0=-sqrt(2); |
trajsxP=zeros(ny,n); | trajsxP=zeros(ny,n); | ||
trajsyP=zeros(ny,n); | trajsyP=zeros(ny,n); | ||
| Linia 80: | Linia 83: | ||
disp("Integration done"); | disp("Integration done"); | ||
hold on | hold on | ||
| - | every= | + | every=20 |
for i=(every+1):every:size(trajsxP)(2) | for i=(every+1):every:size(trajsxP)(2) | ||
| - | plot(trajsxP(:,(i-every):i)',trajsyP(:,(i-every):i)',"r-",trajsxN(:,(i-every):i)',trajsyN(:,(i-every):i)',"b-") | + | plot(trajsxP(:,(i-every):i)',trajsyP(:,(i-every):i)',"r-",\ |
| + | trajsxN(:,(i-every):i)',trajsyN(:,(i-every):i)',"b-") | ||
drawnow() | drawnow() | ||
disp(t(i)); | disp(t(i)); | ||
fflush(stdout); | fflush(stdout); | ||
| + | print ( sprintf("Traj_anim_%05d.png",i), "-S300,220"); | ||
endfor | endfor | ||
hold off | hold off | ||
| Linia 101: | Linia 106: | ||
end | end | ||
</source> | </source> | ||
| - | + | [[Plik:bistable_anim.gif|thumb|216px|Trajektorie w nieliniowym oscylatorze.]] | |
[[Plik:bistable_color.png|thumb|360px|Baseny przyciągania w nieliniowym oscylatorze.]] | [[Plik:bistable_color.png|thumb|360px|Baseny przyciągania w nieliniowym oscylatorze.]] | ||
Aktualna wersja na dzień 09:00, 8 lis 2010
Oscylator bistabliny
Układ
Rozważmy oscylator nieliniowy (usaa):
\(m \ddot x = -\frac{dU(x)}{dx}-\gamma x ,\)
równoważnie:
\(\dot x = v\)
\(m \dot v = -\frac{dU(x)}{dx}-\gamma x ,\)
jako potencjal weżmy funkcję z dwoma minimami np.:
\(U(x) = \displaystyle x^4-4 x^2,\)
Wykres U(x) można otrzymać poleceniem:
fplot(@(x) x.^4-4*x.^2,[-2.1,2.1],200)
\(f(x) =-\frac{dU(x)}{dx} = -4 x^3+8 x^2,\)
close all clear all f =@(x,E) sqrt(8*x.^2-2*x.^4-E); xa=linspace(-2,2,200); xb=linspace(2,-2,200); hold on for E=-8:2:8 Rts=roots([-2,0,8,0,-E]); AllRealRoots=sort(Rts(find (imag(Rts)==0))); if (length(AllRealRoots)==2) xminmax=sort([AllRealRoots',-0.00001,0.00001]); else xminmax=AllRealRoots'; endif xa=linspace(xminmax(1),xminmax(2),200); xb=linspace(xminmax(3),xminmax(4),200); if (E==0) plot([rotdim(xa,2),xa],[-f(rotdim(xa,2),E),f(xa,E)],"r-;E=0;"); plot([xb,rotdim(xb,2)],[f(xb,E),-f(rotdim(xb,2),E)],"r-"); else plot([rotdim(xa,2),xa],[-f(rotdim(xa,2),E),f(xa,E)],"g-"); plot([xb,rotdim(xb,2)],[f(xb,E),-f(rotdim(xb,2),E)],"g-"); endif endfor hold off
Analiza
lsode_options("absolute tolerance",1e-6) lsode_options("relative tolerance",1e-6) n=500; tmax=10; t = linspace(0,tmax,n); global gama; gama=0.9 ny=10; y=linspace(0,5,ny); x0=-sqrt(2); trajsxP=zeros(ny,n); trajsyP=zeros(ny,n); trajsxN=zeros(ny,n); trajsyN=zeros(ny,n); for iy=1:ny X0 = [x0,y(iy)]; [X,T,MSG]=lsode(@ODEbistable,X0,t); if(X(length(X),1)>0) trajsxP(iy,:)=X(:,1); trajsyP(iy,:)=X(:,2); else trajsxN(iy,:)=X(:,1); trajsyN(iy,:)=X(:,2); endif endfor disp("Integration done"); hold on every=20 for i=(every+1):every:size(trajsxP)(2) plot(trajsxP(:,(i-every):i)',trajsyP(:,(i-every):i)',"r-",\ trajsxN(:,(i-every):i)',trajsyN(:,(i-every):i)',"b-") drawnow() disp(t(i)); fflush(stdout); print ( sprintf("Traj_anim_%05d.png",i), "-S300,220"); endfor hold off
który możemy zaimplementować jako funkcję w matlabie:
function dx = ODEbistable(X,T) global gama; dx = zeros(2,1); dx(1) = X(2); dx(2) = -gama*X(2)-4*X(1).^3+8*X(1); return end
