Z Skrypty dla studentów Ekonofizyki UPGOW
(→Przykład) |
|||
| (Nie pokazano 6 wersji pomiędzy niniejszymi.) | |||
| Linia 1: | Linia 1: | ||
[[Category:KURS MATEMATYKI]] | [[Category:KURS MATEMATYKI]] | ||
| - | == | + | == Funkcja dwóch zmiennych i jej wykres == |
| - | + | Funkcją dwóch zmiennych <math>z=f(x,y)</math> będziemy nazywać przyporządkowanie parze liczb rzeczywistych <math>(x,y)</math> dokładnie jednej liczby rzeczywistej <math>z</math>. | |
| - | [[File:fun2_1.png|thumb|Rys. 1 Przykładowy wykres funkcji dwóch zmiennych]] | + | Zatem dziedziną funkcji <math>f(x,y)</math> będzie zbiór <math>D \subset \mathbb{R} \times \mathbb{R} </math> taki, że dla dowolnej pary <math>(x,y) \in D </math> istnieje <math>z=f(x,y)</math>. |
| + | Dziedzinę można przedstawiać jako pewien obszar na płaszczyźnie <math>XY</math>. | ||
| + | :<math>f:\ \ \mathbb{R}^2 \supset D \ni (x,y) \to f(x,y) \in \mathbb{R}</math> | ||
| + | Wykres funkcji dwóch zmiennych jest powierzchnią i może być przedstawiony w przestrzeni trójwymiarowej <math>XYZ</math> ([[Media:fun2_1.png|Rys. 1]]). | ||
| + | [[File:fun2_1.png|thumb|300px|Rys. 1 Przykładowy wykres funkcji dwóch zmiennych]] | ||
| + | |||
=== Przykład === | === Przykład === | ||
| - | * | + | * Dziedzina funkcji ([[Media:fun2_2a.png|Rys. 2a]]) i wykres funkcji ([[Media:fun2_2b.png|Rys. 2b]]) <math>z=\sqrt{9-x^2-y^2}</math> |
| - | [[File:fun2_2a.png|thumb| | + | [[File:fun2_2a.png|thumb|300px|Rys. 2a Dziedzina funkcji <math>z=\sqrt{9-x^2-y^2}</math>]] |
| - | [[File:fun2_2b.png|thumb| | + | [[File:fun2_2b.png|thumb|300px|Rys. 2b Wykres funkcji <math>z=\sqrt{9-x^2-y^2}</math>]] |
| + | * Inne przykłady wykresów funkcji dwóch zmiennych znajdują się na rysunkach [[Media:fun2_2b1.png|Rys. 2c]] (funkcja <math>z=-\sqrt{x^2+y^2}</math>) i [[Media:fun2_2b2.png|Rys. 2d]] (funkcja <math>z=xy</math>) | ||
| + | [[File:fun2_2b1.png|thumb|300px|Rys. 2c Wykres funkcji <math>z=-\sqrt{x^2+y^2}</math>]] | ||
| + | [[File:fun2_2b2.png|thumb|300px|Rys. 2d Wykres funkcji <math>z=xy</math>]] | ||
== Pochodna cząstkowa I-go rzędu funkcji dwóch zmiennych == | == Pochodna cząstkowa I-go rzędu funkcji dwóch zmiennych == | ||
| - | Pochodna cząstkowa | + | Pochodna cząstkowa funkcji dwóch zmiennych jest to pochodna względem jednej z jej zmiennych przy ustaleniu drugiej. Pochodną cząstkową możemy oznaczać w jeden z następujących sposobów |
| - | + | ||
| - | + | ||
: <math>f^\prime_x,\ f_x,\ \partial_x f, \frac{\partial}{\partial x}f, \text{ lub } \frac{\partial f}{\partial x}</math> | : <math>f^\prime_x,\ f_x,\ \partial_x f, \frac{\partial}{\partial x}f, \text{ lub } \frac{\partial f}{\partial x}</math> | ||
| Linia 28: | Linia 34: | ||
=== Przykład === | === Przykład === | ||
| - | + | Pochodne cząstkowe funkcji <math>z=f(x,y)=x^3y^3-2x^2</math>. | |
| - | *Pochodna względem zmiennej <math>x</math>, | + | *Pochodna cząstkowa względem zmiennej <math>x</math>, |
<math>\frac{ \partial }{\partial x }f(x,y) = 3x^2y^3-4x</math> | <math>\frac{ \partial }{\partial x }f(x,y) = 3x^2y^3-4x</math> | ||
| - | *Pochodna względem zmiennej <math>y</math>, | + | *Pochodna cząstkowa względem zmiennej <math>y</math>, |
<math>\frac{ \partial }{\partial y }f(x,y) = x^3 3y^2</math> | <math>\frac{ \partial }{\partial y }f(x,y) = x^3 3y^2</math> | ||
== Pochodne cząstkowe II-go rzędu funkcji dwóch zmiennych == | == Pochodne cząstkowe II-go rzędu funkcji dwóch zmiennych == | ||
| - | Niech funkcja <math>f(x,y)</math> ma pochodne cząstkowe <math>\frac{\partial f}{\partial x}</math> i | + | Niech funkcja <math>f(x,y)</math> ma pochodne cząstkowe <math>\frac{\partial f}{\partial x}</math> i <math>\frac{\partial f}{\partial y}</math> przynajmniej w otoczeniu punktu <math>(x_0, y_0)</math>, przy czym przez otoczenie punktu (na płaszczyźnie) rozumiemy każde koło o środku w punkcie <math>(x_0, y_0)</math>. Wtedy pochodne cząstkowe drugiego rzędu tej funkcji w punkcie <math>(x_0, y_0)</math> określamy wzorami: |
| - | :<math>\frac{\partial^2f(x_0,y_0)}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x} ( {\partial f( | + | :::<math>\frac{\partial^2f(x_0,y_0)}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x} ( {\partial f(x,y)\over{\partial x}})_{(x,y)=(x_0,y_0)} \ </math> |
| - | :<math>\frac{\partial^2f(x_0,y_0)}{\partial y^2} = \frac{\partial}{\partial y} ( {\partial f( | + | :::<math>\frac{\partial^2f(x_0,y_0)}{\partial x \partial y} = \frac{\partial}{\partial x} ( {\partial f(x,y)\over{\partial y}})_{(x,y)=(x_0,y_0)} \ </math> |
| + | :::<math>\frac{\partial^2f(x_0,y_0)}{\partial y^2} = \frac{\partial}{\partial y} ( {\partial f(x,y)\over{\partial y}})_{(x,y)=(x_0,y_0)} \ </math> | ||
| + | :::<math>\frac{\partial^2f(x_0,y_0)}{\partial y \partial x} = \frac{\partial}{\partial y} ( {\partial f(x,y)\over{\partial x}})_{(x,y)=(x_0,y_0)} </math> | ||
| - | Można je oznaczyć | + | Można je także oznaczyć następującymi symbolami <math>f_{xx}^{\prime \prime}(x_0,y_0),f_{xy}^{\prime \prime}(x_0,y_0),f_{yy}^{\prime \prime}(x_0,y_0),f_{yx}^{\prime \prime}(x_0,y_0)</math>. |
| + | |||
| + | Jeżeli w pewnym otoczeniu punktu <math>(x_0, y_0)</math> istnieją pochodne <math>f_{xy}^{\prime \prime}(x_0,y_0), f_{yx}^{\prime \prime}(x_0,y_0)</math> i są w tym punkcie ciągłe to | ||
| + | |||
| + | :<math>f_{xy}^{\prime \prime}(x_0,y_0) = f_{yx}^{\prime \prime}(x_0,y_0),</math> | ||
| + | |||
| + | co oznacza, że w przypadku takich funkcji kolejność różniczkowania nie ma znaczenia. | ||
| + | |||
| + | === Przykład === | ||
| + | Obliczymy teraz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji <math>z=f(x,y)=x^3y^3-2x^2</math>. Skorzystamy z obliczonych powyżej pochodnych cząstkowych rzędu pierwszego. | ||
| + | |||
| + | :<math>f_{xx}^{\prime \prime}(x,y) = \frac{\partial^2f(x,y)}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x} ( {\partial f(x,y)\over{\partial x}}) = \frac{\partial}{\partial x}(3x^2y^3-4x) = 6xy^3 - 4,</math> | ||
| + | :<math>f_{yy}^{\prime \prime}(x,y) = \frac{\partial^2f(x,y)}{\partial y^2} = \frac{\partial}{\partial y} ( {\partial f(x,y)\over{\partial y}}) = \frac{\partial}{\partial y}(3x^3y^2) = 6x^3y,</math> | ||
| + | :<math>f_{yx}^{\prime \prime}(x,y) = \frac{\partial^2f(x,y)}{\partial y \partial x} = \frac{\partial}{\partial x} ( {\partial f(x,y)\over{\partial y}}) = \frac{\partial}{\partial x}(3x^3y^2) = 9x^2y^2,</math> | ||
| + | :<math>f_{xy}^{\prime \prime}(x,y) = \frac{\partial^2f(x,y)}{\partial x \partial y} = \frac{\partial}{\partial y} ( {\partial f(x,y)\over{\partial x}}) = \frac{\partial}{\partial y}(3x^2y^3-4x) = 9x^2y^2.</math> | ||
| + | |||
| + | Jak widzimy pochodne rzędu drugiego ''mieszane'' <math>f_{xy}^{\prime \prime}(x,y)</math> i <math>f_{yx}^{\prime \prime}(x,y)</math> są sobie równe. | ||
== Ekstremum lokalne funkcji dwóch zmiennych == | == Ekstremum lokalne funkcji dwóch zmiennych == | ||
| - | * Funkcja <math>f(x,y)</math> ma w punkcie <math>(x_0, y_0)</math> minimum lokalne, jeżeli istnieje otoczenie tego punktu takie, że dla dowolnego <math>(x, y)</math> | + | <!-- |
| + | * Funkcja <math>f(x,y)</math> ma w punkcie <math>(x_0, y_0)</math> minimum lokalne, jeżeli istnieje otoczenie tego punktu takie, że dla dowolnego <math>(x, y)</math> należącego do tego otoczenia zachodzi nierówność <math>f(x, y) \ge f(x_0, y_0)</math>. | ||
| - | * Funkcja <math>f(x,y)</math> ma w punkcie <math>(x_0, y_0)</math> maksimum lokalne, jeżeli istnieje otoczenie tego punktu takie, że dla dowolnego <math>(x, y)</math> | + | * Funkcja <math>f(x,y)</math> ma w punkcie <math>(x_0, y_0)</math> maksimum lokalne, jeżeli istnieje otoczenie tego punktu takie, że dla dowolnego <math>(x, y)</math> należącego do tego sąsiedztwa zachodzi nierówność <math>f(x, y) \le f(x_0, y_0)</math>. |
| + | --> | ||
| + | * Funkcja <math>f(x,y)</math> ma w punkcie <math>(x_0, y_0)</math> minimum lokalne, jeżeli istnieje sąsiedztwo tego punktu takie, że dla dowolnego <math>(x, y)</math> należącego do tego sąsiedztwa zachodzi nierówność <math>f(x, y) \gt f(x_0, y_0)</math>. | ||
| + | |||
| + | * Funkcja <math>f(x,y)</math> ma w punkcie <math>(x_0, y_0)</math> maksimum lokalne, jeżeli istnieje sąsiedztwo tego punktu takie, że dla dowolnego <math>(x, y)</math> należącego do tego sąsiedztwa zachodzi nierówność <math>f(x, y) \lt f(x_0, y_0)</math>. | ||
=== Warunek konieczny istnienia lokalnego ekstremum === | === Warunek konieczny istnienia lokalnego ekstremum === | ||
| Linia 51: | Linia 80: | ||
=== Warunek wystarczający istnienia lokalnego ekstremum === | === Warunek wystarczający istnienia lokalnego ekstremum === | ||
| - | Jeżeli spełniony jest warunek konieczny istnienia lokalnego ekstremum oraz | + | Jeżeli spełniony jest warunek konieczny istnienia lokalnego ekstremum oraz wartość w punkcie <math>(x_0, y_0)</math> podanego poniżej wyznacznika jest dodatnia |
:<math> W(x_0,y_0) = | :<math> W(x_0,y_0) = | ||
\begin{vmatrix} | \begin{vmatrix} | ||
| Linia 59: | Linia 88: | ||
>0 | >0 | ||
</math> | </math> | ||
| - | + | to wtedy funkcja <math>f(x,y)</math> ma w punkcie <math>(x_0, y_0)</math> ekstremum lokalne i jest to minimum, jeżeli <math>\frac{\partial^2f(x_0,y_0)}{\partial x^2}>0 \text{ lub } \frac{\partial^2f(x_0,y_0)}{\partial y^2}>0</math> | |
| - | albo maksimum, jeżeli <math>\frac{\partial^2f(x_0,y_0)}{\partial x^2}<0 \text{ lub } \frac{\partial^2f(x_0,y_0)}{\partial y^2}<0</math> | + | albo maksimum, jeżeli <math>\frac{\partial^2f(x_0,y_0)}{\partial x^2}<0 \text{ lub } \frac{\partial^2f(x_0,y_0)}{\partial y^2}<0.</math> |
Ponadto | Ponadto | ||
*Jeżeli <math> W(x_0,y_0) < 0 </math> to funkcja <math>f(x,y)</math> nie ma ekstremum w punkcie <math>(x_0, y_0)</math>, | *Jeżeli <math> W(x_0,y_0) < 0 </math> to funkcja <math>f(x,y)</math> nie ma ekstremum w punkcie <math>(x_0, y_0)</math>, | ||
| - | *Jeżeli <math> W(x_0,y_0) = 0 </math> to nie | + | *Jeżeli <math> W(x_0,y_0) = 0 </math> to w pewnych przypadkach (czyli w zależności od postaci funkcji <math>f(x,y)</math>) funkcja może mieć ekstremum lokalne w punkcie <math>(x_0, y_0)</math>, a w innych przypadkach może nie posiadać ekstremum lokalnego w tym punkcie. |
| + | |||
| + | Podobnie jak w przypadku znajdowania ekstremum lokalnego funkcji jednej zmiennej rozwiązaniem układu równań stanowiących warunek konieczny istnienia ekstremum funkcji jest zbiór punktów ''podejrzanych'' o to, że funkcja może mieć w nich ekstremum, ale nie musi. Dopiero większa od zera wartość wyznacznika <math>W</math> (warunek wystarczający istnienia ekstremum lokalnego) w punkcie ''podejrzanym'' przesądza o istnieniu ekstremum. | ||
| + | |||
| + | Zbadamy ekstrema funkcji <math>f(x,y) = x^3 + 2y^2 -3xy - 1</math>. Pochodne cząstkowe rzędu pierwszego są równe <math>f'_x(x,y) = 3x^2 - 3y</math>, <math>f'_y(x,y) = 4y - 3x</math>, a warunek konieczny istnienia ekstremum funkcji dwóch zmiennych sprowadza się do rozwiązania układu równań | ||
| + | |||
| + | :<math>\left\{ \begin{array}{ccc} | ||
| + | 3x^2 - 3y & = & 0 \\ | ||
| + | 4y - 3x & = & 0 \\ | ||
| + | \end{array} \right.</math> | ||
| + | |||
| + | którego rozwiązaniem są dwie pary <math>(x,y):</math> <math>(x_1,y_1) = (0,0)</math> i <math>(x_2,y_2) = (1,\frac{3}{4})</math>. Otrzymaliśmy dwa punkty <math>A(0,0)</math> oraz <math>B(1,\frac{3}{4})</math>, w których może być ekstremum. Zastosowanie warunku wystarczającego istnienia ekstremum funkcji dwóch zmiennych wymaga wyznaczenia wartości wyznacznika | ||
| + | |||
| + | :<math> W(x,y) = | ||
| + | \begin{vmatrix} | ||
| + | \frac{\partial^2f(x,y)}{\partial x^2} & \frac{\partial^2f(x,y)}{\partial x \partial y} \\ | ||
| + | \frac{\partial^2f(x,y)}{\partial y \partial x} & \frac{\partial^2f(x,y)}{\partial y^2} | ||
| + | \end{vmatrix} | ||
| + | = | ||
| + | \begin{vmatrix} | ||
| + | 6x & -3 \\ | ||
| + | -3 & 4 | ||
| + | \end{vmatrix} | ||
| + | = 24x -9 | ||
| + | </math> | ||
| + | |||
| + | w dwóch punktach ''podejrzanych'' <math>A(0,0)</math> oraz <math>B(1,\frac{3}{4})</math>. Otrzymujemy <math>W(0,0) = -9 \lt 0</math> co oznacza, że funkcja nie ma ekstremum w punkcie <math>A(0,0)</math>. Natomiast <math>W(1,\frac{3}{4}) = 15 \gt 0</math> i funkcja ma w punkcie <math>B(1,\frac{3}{4})</math> ekstremum i jest to minimum, ponieważ <math>\frac{\partial^2f(1,\frac{3}{4})}{\partial x^2} = 6 \gt 0</math>. | ||
| + | |||
| + | == Ekstremum warunkowe funkcji dwóch zmiennych == | ||
| + | |||
| + | Rozważaliśmy już znajdowanie ekstremów lokalnych funkcji dwóch zmiennych <math>f(x,y)</math>. Gdy na ekstremum funkcji <math>f(x,y)</math> w punkcie o współrzędnych <math>(x_0,y_0)</math> nałożymy dodatkowy warunek <math>w(x,y)=0</math>, to otrzymamy ekstremum warunkowe funkcji <math>f(x,y)</math> przy warunku <math>w(x,y)=0</math>. Oczywiście musi zachodzić <math>w(x_0,y_0)=0</math>.<br /> | ||
| + | |||
| + | Do znajdowania ekstremum warunkowego funkcji dwóch zmiennych <math>f(x,y)</math> przy warunku <math>w(x,y)=0</math> najczęściej stosuje się metodę czynnika nieoznaczonego Lagrange’a, w której tworzymy tzw. funkcję pomocniczą Lagrange’a | ||
| + | |||
| + | :<math>\begin{aligned} | ||
| + | P(x,y) = f(x,y) + \lambda w(x,y), \nonumber \end{aligned}</math> | ||
| + | |||
| + | gdzie <math>\lambda</math> jest czynnikiem nieoznaczonym. Zastosowanie warunku koniecznego dla ekstremum funkcji dwóch zmiennych do funkcji pomocniczej Lagrange'a | ||
| + | |||
| + | :<math>\left\{ \begin{array}{c} | ||
| + | \ \frac{\partial P}{\partial x}\; =\ \, 0 \\ | ||
| + | \ \frac{\partial P}{\partial y}\; =\ \, 0 | ||
| + | \end{array} \right.</math> | ||
| + | |||
| + | prowadzi do następującego układu równań | ||
| + | |||
| + | :<math>\left\{ \begin{array}{c} | ||
| + | \ \frac{\partial f}{\partial x}\ +\ \;\lambda\,\frac{\partial w}{\partial x}\ =\ \; 0 \\ | ||
| + | \ \frac{\partial f}{\partial y}\ +\ \;\lambda\,\frac{\partial w}{\partial y}\ =\ \; 0 | ||
| + | \end{array} \right.</math> | ||
| + | |||
| + | który można traktować jako jednorodny układ dwóch równań liniowych | ||
| + | |||
| + | :<math>\left\{ \begin{array}{c} | ||
| + | \ \frac{\partial f}{\partial x} \cdot 1\ \; +\ \; \frac{\partial w}{\partial x} \cdot \lambda\ \; =\ \; 0 \\ | ||
| + | \ \frac{\partial f}{\partial y} \cdot 1\ \; +\ \; \frac{\partial w}{\partial y} \cdot \lambda\ \; =\ \; 0 | ||
| + | \end{array} \right.</math> | ||
| + | |||
| + | |||
| + | Jak pewnie pamiętamy z algebry, jednorodny układ <math>n</math> równań liniowych o <math>n</math> niewiadomych posiada niezerowe rozwiązania, wtedy i tylko wtedy, gdy zeruje się wyznacznik współczynników tego układu. Gdy dodamy do tego <math>w(x,y) = 0</math> otrzymamy warunek konieczny dla ekstremum warunkowego funkcji dwóch zmiennych | ||
| + | |||
| + | :<math>\left| \begin{array}{cc} | ||
| + | \frac{\partial f}{\partial x} & \frac{\partial w}{\partial x} \\ | ||
| + | \frac{\partial f}{\partial y} & \frac{\partial w}{\partial y} \\ | ||
| + | \end{array} \right| = 0, \quad w(x,y) = 0.</math> | ||
| + | |||
| + | Na przykładzie pokażemy jak stosować metodę czynnika nieoznaczonego Lagrange’a do znajdowania ekstremum warunkowego funkcji dwóch zmiennych.<br /> | ||
| + | |||
| + | Znaleźć ekstremum funkcji <math>f(x,y)=x^2+y^2</math> przy warunku <math>w(x,y)=x+y-2=0</math>.<br /> | ||
| + | |||
| + | Stosując, otrzymamy powyżej przy pomocy metody czynnika nieoznaczonego Lagarnge'a, warunek konieczny dla ekstremum warunkowego otrzymujemy | ||
| + | |||
| + | :<math>\left| \begin{array}{cc} | ||
| + | \frac{\partial (x^2 + y^2)}{\partial x} & \frac{\partial (x+y-2)}{\partial x} \\ | ||
| + | \frac{\partial (x^2 + y^2)}{\partial y} & \frac{\partial (x+y-2)}{\partial y} \\ | ||
| + | \end{array} \right| = 0, \quad x + y -2 = 0,</math> | ||
| + | |||
| + | a po obliczeniu pochodnych cząstkowych | ||
| + | |||
| + | :<math>\left| \begin{array}{cc} | ||
| + | 2x & 1 \\ | ||
| + | 2y & 1 \\ | ||
| + | \end{array} \right| = 0, \quad x + y -2 = 0.</math> | ||
| + | |||
| + | Po obliczeniu wyznacznika dostajemy do rozwiązania układ dwóch równań liniowych | ||
| + | |||
| + | :<math>\left\{ \begin{array}{ccc} | ||
| + | x & = & y \\ | ||
| + | x + y - 2 & = & 0, \\ | ||
| + | \end{array} \right.</math> | ||
| + | |||
| + | którego rozwiązaniem jest <math>x = y = 1</math>, czyli punkt <math>A(1,1)</math>. Jest to punkt podejrzany o to, że może w nim być ekstremum warunkowe. Albo innymi słowy: jeżeli funkcja <math>f(x,y)=x^2+y^2</math> posiada ekstremum warunkowe to tylko w punkcie <math>A(1,1)</math>. Musimy sprawdzić warunek wystarczający istnienia ekstremum. Z warunku <math>w(x,y)=0</math> otrzymujemy <math>y=2-x</math>, a funkcja <math>f(x,y)=x^2+y^2=x^2+(2-x)^2=2x^2-4x+4=g(x)</math>, staje się funkcją jednej zmiennej (zazwyczaj otrzymujemy tutaj tzw. funkcję uwikłaną i taką funkcją w ogólności trzeba się zajmować - to jednak wykracza poza zakres naszego kursu). Badając znanymi sposobami ekstremum funkcji <math>g(x)</math> znajdujemy, że <math>g'(x)=4x-4</math>, <math>g'(x)=0</math> dla <math> x=1 </math>, a także <math>g''(1)=4>0</math>. Zatem ekstremum warunkowe funkcji <math>f(x,y)=x^2+y^2</math> przy warunku <math>w(x,y)=x+y-2=0</math> znajduje się w punkcie <math>A(1,1)</math>. | ||
| + | |||
| + | == Definicja funkcji trzech zmiennych == | ||
| + | Funkcją trzech zmiennych <math>w=f(x,y,z)</math> będziemy nazywać przyporządkowanie trzem liczbom rzeczywistym <math>(x,y,z)</math> dokładnie jednej liczby rzeczywistej <math>w</math>. | ||
| + | Zatem dziedziną funkcji <math>f(x,y,z)</math> będzie zbiór <math>D \subset \mathbb{R}^3 </math> taki, że dla dowolnych trzech liczb <math>(x,y,z) \in D </math> istnieje <math>w=f(x,y,z)</math>. | ||
| + | Dziedzinę można przedstawić jako pewien obszar w przestrzeni trójwymiarowej <math>XYZ</math>. | ||
| + | :<math>f:\ \ R^3 \supset D \ni (x,y,z) \to f(x,y,z) \in \mathbb{R}</math> | ||
| + | Nie ma prostego przedstawienia wykresu funkcji trzech zmiennych (wykres leży w przestrzeni czterowymiarowej). | ||
== Zadania == | == Zadania == | ||
| Linia 71: | Linia 198: | ||
## <math>f(x,y)=\ln(x^2+y^2+6x+8y)-10x+\sqrt{3}</math> | ## <math>f(x,y)=\ln(x^2+y^2+6x+8y)-10x+\sqrt{3}</math> | ||
## <math>f(x,y)=\sqrt[4]{6-3x^2-3y^2}+{1 \over{2x+y}}</math> | ## <math>f(x,y)=\sqrt[4]{6-3x^2-3y^2}+{1 \over{2x+y}}</math> | ||
| - | # | + | #Obliczyć pochodne cząstkowe do rzędu drugiego włącznie następujących funkcji |
| - | + | ## <math>f(x,y)=3x^3-2y^2+x^3y^3-3xy</math> | |
| + | ## <math>f(x,y)=\cos{xy}-\sin{x}+\cos{3x}</math> | ||
| + | ## <math>f(x,y)=\sqrt{x^2+y^2-xy}</math> | ||
## <math>f(x,y)=x^{\frac{2}{y}}-\log_{10}(xy^2) \text{ dla } x>0 \text{ i } y \ne 0 </math> | ## <math>f(x,y)=x^{\frac{2}{y}}-\log_{10}(xy^2) \text{ dla } x>0 \text{ i } y \ne 0 </math> | ||
| - | |||
| - | |||
| - | |||
| - | |||
| - | |||
| - | |||
| - | |||
| - | |||
| - | |||
| - | |||
| - | |||
| - | |||
| - | |||
## <math>f(x,y)=\sqrt{5x^4+y^8}</math> | ## <math>f(x,y)=\sqrt{5x^4+y^8}</math> | ||
## <math>f(x,y)=\arctan{\frac{y^2}{x}} \text{ dla } x \ne 0</math> | ## <math>f(x,y)=\arctan{\frac{y^2}{x}} \text{ dla } x \ne 0</math> | ||
Aktualna wersja na dzień 09:14, 31 mar 2015
Spis treści |
Funkcja dwóch zmiennych i jej wykres
Funkcją dwóch zmiennych \(z=f(x,y)\) będziemy nazywać przyporządkowanie parze liczb rzeczywistych \((x,y)\) dokładnie jednej liczby rzeczywistej \(z\). Zatem dziedziną funkcji \(f(x,y)\) będzie zbiór \(D \subset \mathbb{R} \times \mathbb{R} \) taki, że dla dowolnej pary \((x,y) \in D \) istnieje \(z=f(x,y)\). Dziedzinę można przedstawiać jako pewien obszar na płaszczyźnie \(XY\). \[f:\ \ \mathbb{R}^2 \supset D \ni (x,y) \to f(x,y) \in \mathbb{R}\] Wykres funkcji dwóch zmiennych jest powierzchnią i może być przedstawiony w przestrzeni trójwymiarowej \(XYZ\) (Rys. 1).
Przykład
- Inne przykłady wykresów funkcji dwóch zmiennych znajdują się na rysunkach Rys. 2c (funkcja \(z=-\sqrt{x^2+y^2}\)) i Rys. 2d (funkcja \(z=xy\))
Pochodna cząstkowa I-go rzędu funkcji dwóch zmiennych
Pochodna cząstkowa funkcji dwóch zmiennych jest to pochodna względem jednej z jej zmiennych przy ustaleniu drugiej. Pochodną cząstkową możemy oznaczać w jeden z następujących sposobów
- \(f^\prime_x,\ f_x,\ \partial_x f, \frac{\partial}{\partial x}f, \text{ lub } \frac{\partial f}{\partial x}\)
Niech funkcja \(f\) będzie określona przynajmniej na otoczeniu punktu \((x_0, y_0)\).
Pochodną cząstkową pierwszego rzędu funkcji \(f\) względem zmiennej \(x\) w punkcie \((x_0, y_0)\) określamy wzorem
\[\frac{ \partial }{\partial x }f(x_0,y_0) = \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{ f(x_0 + \Delta x,y_0) - f(x_0,y_0) \over{\Delta x} }\]
Pochodną cząstkową pierwszego rzędu funkcji \(f\) względem zmiennej \(y\) w punkcie \((x_0, y_0)\) określamy wzorem
\[\frac{ \partial }{\partial y }f(x_0,y_0) = \lim_{\Delta y \rightarrow 0}{ f(x_0,y_0 + \Delta y) - f(x_0,y_0) \over{\Delta y} }\]
Przykład
Pochodne cząstkowe funkcji \(z=f(x,y)=x^3y^3-2x^2\).
- Pochodna cząstkowa względem zmiennej \(x\),
\(\frac{ \partial }{\partial x }f(x,y) = 3x^2y^3-4x\)
- Pochodna cząstkowa względem zmiennej \(y\),
\(\frac{ \partial }{\partial y }f(x,y) = x^3 3y^2\)
Pochodne cząstkowe II-go rzędu funkcji dwóch zmiennych
Niech funkcja \(f(x,y)\) ma pochodne cząstkowe \(\frac{\partial f}{\partial x}\) i \(\frac{\partial f}{\partial y}\) przynajmniej w otoczeniu punktu \((x_0, y_0)\), przy czym przez otoczenie punktu (na płaszczyźnie) rozumiemy każde koło o środku w punkcie \((x_0, y_0)\). Wtedy pochodne cząstkowe drugiego rzędu tej funkcji w punkcie \((x_0, y_0)\) określamy wzorami:
-
- \[\frac{\partial^2f(x_0,y_0)}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x} ( {\partial f(x,y)\over{\partial x}})_{(x,y)=(x_0,y_0)} \ \]
- \[\frac{\partial^2f(x_0,y_0)}{\partial x \partial y} = \frac{\partial}{\partial x} ( {\partial f(x,y)\over{\partial y}})_{(x,y)=(x_0,y_0)} \ \]
- \[\frac{\partial^2f(x_0,y_0)}{\partial y^2} = \frac{\partial}{\partial y} ( {\partial f(x,y)\over{\partial y}})_{(x,y)=(x_0,y_0)} \ \]
- \[\frac{\partial^2f(x_0,y_0)}{\partial y \partial x} = \frac{\partial}{\partial y} ( {\partial f(x,y)\over{\partial x}})_{(x,y)=(x_0,y_0)} \]
Można je także oznaczyć następującymi symbolami \(f_{xx}^{\prime \prime}(x_0,y_0),f_{xy}^{\prime \prime}(x_0,y_0),f_{yy}^{\prime \prime}(x_0,y_0),f_{yx}^{\prime \prime}(x_0,y_0)\).
Jeżeli w pewnym otoczeniu punktu \((x_0, y_0)\) istnieją pochodne \(f_{xy}^{\prime \prime}(x_0,y_0), f_{yx}^{\prime \prime}(x_0,y_0)\) i są w tym punkcie ciągłe to
\[f_{xy}^{\prime \prime}(x_0,y_0) = f_{yx}^{\prime \prime}(x_0,y_0),\]
co oznacza, że w przypadku takich funkcji kolejność różniczkowania nie ma znaczenia.
Przykład
Obliczymy teraz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji \(z=f(x,y)=x^3y^3-2x^2\). Skorzystamy z obliczonych powyżej pochodnych cząstkowych rzędu pierwszego.
\[f_{xx}^{\prime \prime}(x,y) = \frac{\partial^2f(x,y)}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x} ( {\partial f(x,y)\over{\partial x}}) = \frac{\partial}{\partial x}(3x^2y^3-4x) = 6xy^3 - 4,\] \[f_{yy}^{\prime \prime}(x,y) = \frac{\partial^2f(x,y)}{\partial y^2} = \frac{\partial}{\partial y} ( {\partial f(x,y)\over{\partial y}}) = \frac{\partial}{\partial y}(3x^3y^2) = 6x^3y,\] \[f_{yx}^{\prime \prime}(x,y) = \frac{\partial^2f(x,y)}{\partial y \partial x} = \frac{\partial}{\partial x} ( {\partial f(x,y)\over{\partial y}}) = \frac{\partial}{\partial x}(3x^3y^2) = 9x^2y^2,\] \[f_{xy}^{\prime \prime}(x,y) = \frac{\partial^2f(x,y)}{\partial x \partial y} = \frac{\partial}{\partial y} ( {\partial f(x,y)\over{\partial x}}) = \frac{\partial}{\partial y}(3x^2y^3-4x) = 9x^2y^2.\]
Jak widzimy pochodne rzędu drugiego mieszane \(f_{xy}^{\prime \prime}(x,y)\) i \(f_{yx}^{\prime \prime}(x,y)\) są sobie równe.
Ekstremum lokalne funkcji dwóch zmiennych
- Funkcja \(f(x,y)\) ma w punkcie \((x_0, y_0)\) minimum lokalne, jeżeli istnieje sąsiedztwo tego punktu takie, że dla dowolnego \((x, y)\) należącego do tego sąsiedztwa zachodzi nierówność \(f(x, y) \gt f(x_0, y_0)\).
- Funkcja \(f(x,y)\) ma w punkcie \((x_0, y_0)\) maksimum lokalne, jeżeli istnieje sąsiedztwo tego punktu takie, że dla dowolnego \((x, y)\) należącego do tego sąsiedztwa zachodzi nierówność \(f(x, y) \lt f(x_0, y_0)\).
Warunek konieczny istnienia lokalnego ekstremum
Jeżeli funkcja \(f(x,y)\) ma ekstremum lokalne w punkcie \((x_0, y_0)\) oraz istnieją pochodne cząstkowe \( \frac{\partial f(x_0,y_0)}{\partial x}\) i \(\frac{\partial f(x_0,y_0)}{\partial y}\) to \[\frac{\partial f(x_0,y_0)}{\partial x}=\frac{\partial f(x_0,y_0)}{\partial y}=0\]
Warunek wystarczający istnienia lokalnego ekstremum
Jeżeli spełniony jest warunek konieczny istnienia lokalnego ekstremum oraz wartość w punkcie \((x_0, y_0)\) podanego poniżej wyznacznika jest dodatnia \[ W(x_0,y_0) = \begin{vmatrix} \frac{\partial^2f(x_0,y_0)}{\partial x^2} & \frac{\partial^2f(x_0,y_0)}{\partial x \partial y} \\ \frac{\partial^2f(x_0,y_0)}{\partial y \partial x} & \frac{\partial^2f(x_0,y_0)}{\partial y^2} \end{vmatrix} >0 \] to wtedy funkcja \(f(x,y)\) ma w punkcie \((x_0, y_0)\) ekstremum lokalne i jest to minimum, jeżeli \(\frac{\partial^2f(x_0,y_0)}{\partial x^2}>0 \text{ lub } \frac{\partial^2f(x_0,y_0)}{\partial y^2}>0\) albo maksimum, jeżeli \(\frac{\partial^2f(x_0,y_0)}{\partial x^2}<0 \text{ lub } \frac{\partial^2f(x_0,y_0)}{\partial y^2}<0.\)
Ponadto
- Jeżeli \( W(x_0,y_0) < 0 \) to funkcja \(f(x,y)\) nie ma ekstremum w punkcie \((x_0, y_0)\),
- Jeżeli \( W(x_0,y_0) = 0 \) to w pewnych przypadkach (czyli w zależności od postaci funkcji \(f(x,y)\)) funkcja może mieć ekstremum lokalne w punkcie \((x_0, y_0)\), a w innych przypadkach może nie posiadać ekstremum lokalnego w tym punkcie.
Podobnie jak w przypadku znajdowania ekstremum lokalnego funkcji jednej zmiennej rozwiązaniem układu równań stanowiących warunek konieczny istnienia ekstremum funkcji jest zbiór punktów podejrzanych o to, że funkcja może mieć w nich ekstremum, ale nie musi. Dopiero większa od zera wartość wyznacznika \(W\) (warunek wystarczający istnienia ekstremum lokalnego) w punkcie podejrzanym przesądza o istnieniu ekstremum.
Zbadamy ekstrema funkcji \(f(x,y) = x^3 + 2y^2 -3xy - 1\). Pochodne cząstkowe rzędu pierwszego są równe \(f'_x(x,y) = 3x^2 - 3y\), \(f'_y(x,y) = 4y - 3x\), a warunek konieczny istnienia ekstremum funkcji dwóch zmiennych sprowadza się do rozwiązania układu równań
\[\left\{ \begin{array}{ccc} 3x^2 - 3y & = & 0 \\ 4y - 3x & = & 0 \\ \end{array} \right.\]
którego rozwiązaniem są dwie pary \((x,y):\) \((x_1,y_1) = (0,0)\) i \((x_2,y_2) = (1,\frac{3}{4})\). Otrzymaliśmy dwa punkty \(A(0,0)\) oraz \(B(1,\frac{3}{4})\), w których może być ekstremum. Zastosowanie warunku wystarczającego istnienia ekstremum funkcji dwóch zmiennych wymaga wyznaczenia wartości wyznacznika
\[ W(x,y) = \begin{vmatrix} \frac{\partial^2f(x,y)}{\partial x^2} & \frac{\partial^2f(x,y)}{\partial x \partial y} \\ \frac{\partial^2f(x,y)}{\partial y \partial x} & \frac{\partial^2f(x,y)}{\partial y^2} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 6x & -3 \\ -3 & 4 \end{vmatrix} = 24x -9 \]
w dwóch punktach podejrzanych \(A(0,0)\) oraz \(B(1,\frac{3}{4})\). Otrzymujemy \(W(0,0) = -9 \lt 0\) co oznacza, że funkcja nie ma ekstremum w punkcie \(A(0,0)\). Natomiast \(W(1,\frac{3}{4}) = 15 \gt 0\) i funkcja ma w punkcie \(B(1,\frac{3}{4})\) ekstremum i jest to minimum, ponieważ \(\frac{\partial^2f(1,\frac{3}{4})}{\partial x^2} = 6 \gt 0\).
Ekstremum warunkowe funkcji dwóch zmiennych
Rozważaliśmy już znajdowanie ekstremów lokalnych funkcji dwóch zmiennych \(f(x,y)\). Gdy na ekstremum funkcji \(f(x,y)\) w punkcie o współrzędnych \((x_0,y_0)\) nałożymy dodatkowy warunek \(w(x,y)=0\), to otrzymamy ekstremum warunkowe funkcji \(f(x,y)\) przy warunku \(w(x,y)=0\). Oczywiście musi zachodzić \(w(x_0,y_0)=0\).
Do znajdowania ekstremum warunkowego funkcji dwóch zmiennych \(f(x,y)\) przy warunku \(w(x,y)=0\) najczęściej stosuje się metodę czynnika nieoznaczonego Lagrange’a, w której tworzymy tzw. funkcję pomocniczą Lagrange’a
\[\begin{aligned} P(x,y) = f(x,y) + \lambda w(x,y), \nonumber \end{aligned}\]
gdzie \(\lambda\) jest czynnikiem nieoznaczonym. Zastosowanie warunku koniecznego dla ekstremum funkcji dwóch zmiennych do funkcji pomocniczej Lagrange'a
\[\left\{ \begin{array}{c} \ \frac{\partial P}{\partial x}\; =\ \, 0 \\ \ \frac{\partial P}{\partial y}\; =\ \, 0 \end{array} \right.\]
prowadzi do następującego układu równań
\[\left\{ \begin{array}{c} \ \frac{\partial f}{\partial x}\ +\ \;\lambda\,\frac{\partial w}{\partial x}\ =\ \; 0 \\ \ \frac{\partial f}{\partial y}\ +\ \;\lambda\,\frac{\partial w}{\partial y}\ =\ \; 0 \end{array} \right.\]
który można traktować jako jednorodny układ dwóch równań liniowych
\[\left\{ \begin{array}{c} \ \frac{\partial f}{\partial x} \cdot 1\ \; +\ \; \frac{\partial w}{\partial x} \cdot \lambda\ \; =\ \; 0 \\ \ \frac{\partial f}{\partial y} \cdot 1\ \; +\ \; \frac{\partial w}{\partial y} \cdot \lambda\ \; =\ \; 0 \end{array} \right.\]
Jak pewnie pamiętamy z algebry, jednorodny układ \(n\) równań liniowych o \(n\) niewiadomych posiada niezerowe rozwiązania, wtedy i tylko wtedy, gdy zeruje się wyznacznik współczynników tego układu. Gdy dodamy do tego \(w(x,y) = 0\) otrzymamy warunek konieczny dla ekstremum warunkowego funkcji dwóch zmiennych
\[\left| \begin{array}{cc} \frac{\partial f}{\partial x} & \frac{\partial w}{\partial x} \\ \frac{\partial f}{\partial y} & \frac{\partial w}{\partial y} \\ \end{array} \right| = 0, \quad w(x,y) = 0.\]
Na przykładzie pokażemy jak stosować metodę czynnika nieoznaczonego Lagrange’a do znajdowania ekstremum warunkowego funkcji dwóch zmiennych.
Znaleźć ekstremum funkcji \(f(x,y)=x^2+y^2\) przy warunku \(w(x,y)=x+y-2=0\).
Stosując, otrzymamy powyżej przy pomocy metody czynnika nieoznaczonego Lagarnge'a, warunek konieczny dla ekstremum warunkowego otrzymujemy
\[\left| \begin{array}{cc} \frac{\partial (x^2 + y^2)}{\partial x} & \frac{\partial (x+y-2)}{\partial x} \\ \frac{\partial (x^2 + y^2)}{\partial y} & \frac{\partial (x+y-2)}{\partial y} \\ \end{array} \right| = 0, \quad x + y -2 = 0,\]
a po obliczeniu pochodnych cząstkowych
\[\left| \begin{array}{cc} 2x & 1 \\ 2y & 1 \\ \end{array} \right| = 0, \quad x + y -2 = 0.\]
Po obliczeniu wyznacznika dostajemy do rozwiązania układ dwóch równań liniowych
\[\left\{ \begin{array}{ccc} x & = & y \\ x + y - 2 & = & 0, \\ \end{array} \right.\]
którego rozwiązaniem jest \(x = y = 1\), czyli punkt \(A(1,1)\). Jest to punkt podejrzany o to, że może w nim być ekstremum warunkowe. Albo innymi słowy: jeżeli funkcja \(f(x,y)=x^2+y^2\) posiada ekstremum warunkowe to tylko w punkcie \(A(1,1)\). Musimy sprawdzić warunek wystarczający istnienia ekstremum. Z warunku \(w(x,y)=0\) otrzymujemy \(y=2-x\), a funkcja \(f(x,y)=x^2+y^2=x^2+(2-x)^2=2x^2-4x+4=g(x)\), staje się funkcją jednej zmiennej (zazwyczaj otrzymujemy tutaj tzw. funkcję uwikłaną i taką funkcją w ogólności trzeba się zajmować - to jednak wykracza poza zakres naszego kursu). Badając znanymi sposobami ekstremum funkcji \(g(x)\) znajdujemy, że \(g'(x)=4x-4\), \(g'(x)=0\) dla \( x=1 \), a także \(g''(1)=4>0\). Zatem ekstremum warunkowe funkcji \(f(x,y)=x^2+y^2\) przy warunku \(w(x,y)=x+y-2=0\) znajduje się w punkcie \(A(1,1)\).
Definicja funkcji trzech zmiennych
Funkcją trzech zmiennych \(w=f(x,y,z)\) będziemy nazywać przyporządkowanie trzem liczbom rzeczywistym \((x,y,z)\) dokładnie jednej liczby rzeczywistej \(w\). Zatem dziedziną funkcji \(f(x,y,z)\) będzie zbiór \(D \subset \mathbb{R}^3 \) taki, że dla dowolnych trzech liczb \((x,y,z) \in D \) istnieje \(w=f(x,y,z)\). Dziedzinę można przedstawić jako pewien obszar w przestrzeni trójwymiarowej \(XYZ\). \[f:\ \ R^3 \supset D \ni (x,y,z) \to f(x,y,z) \in \mathbb{R}\] Nie ma prostego przedstawienia wykresu funkcji trzech zmiennych (wykres leży w przestrzeni czterowymiarowej).
Zadania
- Wyznacz dziedzinę następujących funkcji:
- \(f(x,y)={3x+5 \over{x^2+(y-1)^2}}\)
- \(f(x,y)=\ln(x^2+y^2+6x+8y)-10x+\sqrt{3}\)
- \(f(x,y)=\sqrt[4]{6-3x^2-3y^2}+{1 \over{2x+y}}\)
- Obliczyć pochodne cząstkowe do rzędu drugiego włącznie następujących funkcji
- \(f(x,y)=3x^3-2y^2+x^3y^3-3xy\)
- \(f(x,y)=\cos{xy}-\sin{x}+\cos{3x}\)
- \(f(x,y)=\sqrt{x^2+y^2-xy}\)
- \(f(x,y)=x^{\frac{2}{y}}-\log_{10}(xy^2) \text{ dla } x>0 \text{ i } y \ne 0 \)
- \(f(x,y)=\sqrt{5x^4+y^8}\)
- \(f(x,y)=\arctan{\frac{y^2}{x}} \text{ dla } x \ne 0\)
- Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji
- \(f(x,y)=e^{3x-2y}(3x^2-y^2)\)
- \(f(x,y)=-8x^3+y^3-24xy-4\)
- \(f(x,y)=3x^8+3y^8+8x^3y^3\)
- \(f(x,y)=y^2-3x^2y-x^3y\)
- \(f(x,y)=24xy-2x^3y-4xy^2\)