Układy współrzędnych

Z Skrypty dla studentów Ekonofizyki UPGOW

(Różnice między wersjami)
(Utworzył nową stronę „Category:KURS MATEMATYKI ==Układ współrzędnych == Funkcja przypisująca każdemu punktowi danej przestrzeni skończony ciąg liczb rzeczywistych zwanych wspó...”)
 
(Nie pokazano 4 wersji pomiędzy niniejszymi.)
Linia 1: Linia 1:
[[Category:KURS MATEMATYKI]]
[[Category:KURS MATEMATYKI]]
-
==Układ współrzędnych ==
+
Wprowadzimy teraz układy wspórzędnych biegunowych, sferycznych i walcowych, a także podamy wzory na transformacje współrzędnych pomiędzy tymi układami współrzędnych. Przy zamianie współrzędnych w całkowaniu funkcji wielu zmiennych trzeba pamiętać o tzw. jakobianie przejścia. Podamy wartości jakobianów przejścia pomiędzy współrzędnymi kartezjańskimi, a sferycznymi i walcowymi. Ta część kursu nie zawiera rozwiązań przykładowych zadań - zostawiamy to na zajęcia z fizyki, na których zamiana współrzędnych zostanie zastosowania do rozwiązywania wielu zagadnień z wykorzystaniem ich symetrii.   
-
Funkcja przypisująca każdemu punktowi danej przestrzeni skończony ciąg liczb rzeczywistych zwanych współrzędnymi punktu.
+
== Układ współrzędnych ==
 +
Położenie punktu w przestrzeni można w jednoznaczny sposób określić przez podanie jego współrzędnych. W dobrze nam znanej przestrzeni trójwymiarowej można wprowadzić kartezjański (czyli prostokątny) układ wspólrzędnych, a położenie punktu będzie jednoznacznie określone przez trzy współrzędne <math> x, y </math> i <math> z </math>.  Nasze rozważania ograniczymy do przestrzeni trójwymiarowej, która ze zrozumiałych względów ma największe zastosowanie w praktyce.
== Układ współrzędnych kartezjańskich (prostokątny) ==
== Układ współrzędnych kartezjańskich (prostokątny) ==
-
Prostoliniowy układ współrzędnych o parach prostopadłych osi. Nazwa pojęcia pochodzi od łacińskiego nazwiska francuskiego matematyka i filozofa Kartezjusza.
+
Prostoliniowy układ współrzędnych to układ o parach prostopadłych osi. Nazwa pochodzi od nazwiska francuskiego matematyka i filozofa Kartezjusza.
Układem współrzędnych kartezjańskich nazywa się układ współrzędnych, w którym zadane są:
Układem współrzędnych kartezjańskich nazywa się układ współrzędnych, w którym zadane są:
-
*punkt zwany początkiem układu współrzędnych, którego wszystkie współrzędne są równe zeru,
+
*punkt zwany początkiem układu współrzędnych, w którym wartości wszystkich współrzędnych są równe zeru,
*zestaw n parami prostopadłych osi liczbowych zwanych osiami układu współrzędnych. Dwie pierwsze osie często oznaczane są jako:
*zestaw n parami prostopadłych osi liczbowych zwanych osiami układu współrzędnych. Dwie pierwsze osie często oznaczane są jako:
**'''X''' (zwana osią odciętych),
**'''X''' (zwana osią odciętych),
Linia 12: Linia 13:
Liczba osi układu współrzędnych wyznacza tzw. wymiar przestrzeni.
Liczba osi układu współrzędnych wyznacza tzw. wymiar przestrzeni.
-
Najczęściej układ reprezentuje przestrzeń trójwymiarową. Wówczas trzy współrzędne oznaczane są:
+
W układzie współrzędnych kartezjańskich w przestrzeni trójwymiarowej, w której żyjemy, trzy współrzędne oznaczane są następująco:
-
Trzy pierwsze współrzędne są często oznaczane jako:
+
*'''X''' – odcięta, łac. abscissa,
*'''X''' – odcięta, łac. abscissa,
*'''Y''' – rzędna, łac. ordinata,
*'''Y''' – rzędna, łac. ordinata,
*'''Z''' – kota, łac. applicata.
*'''Z''' – kota, łac. applicata.
 +
 +
[[File:ukl1.png|thumb|300px|Rys. 1 Układ współrzędnych kartezjańskich (prostokątny)]]
 +
 +
== Układ współrzędnych biegunowych ==
 +
Jest to układ wyznaczony przez punkt <math>0</math> (zwany biegunem) oraz półprostą <math>OR</math> (zwaną osią biegunową), której początek znajduje się w punkcie <math>0</math>. Widzimy, że także w tym układzie współrzędnych można przedstawić punkty na płaszczyźnie.
 +
Dowolnemu punktowi <math>P</math> przypisujemy jego współrzędne biegunowe:
 +
*<math>r</math> promień wodzący punktu <math>P</math> (odległość <math>|OP|</math> od bieguna),
 +
*<math>\varphi</math> wartość kąta skierowanego pomiędzy półprostą <math>OR</math> a wektorem <math>\overrightarrow{OP}</math>, przy czym zakłada się, że <math>0\leqslant \varphi<2\pi</math>
 +
[[File:ukl2.png|thumb|300px|Rys. 2 Układ współrzędnych biegunowych]]
 +
 +
=== Przejście do układu kartezjańskiego ===
 +
Zauważmy, że pomiędzy współrzędnymi kartezjańskimi <math>x, y </math>, a współrzędnymi biegunowymi <math>r, \varphi</math> zachodzą następujące związki
 +
 +
<math>x=r\cdot\cos\varphi</math>
 +
 +
<math>y=r\cdot\sin\varphi</math>
 +
 +
Policzmy teraz nieskończenie małe przyrosty współrzędnych <math>x, y</math> będące wynikiem nieskończenie małych przyrostów współrzędnych <math>r, \varphi</math>. Wyrażają się one przez odpowiednie różniczki
 +
 +
<math>dx = \frac{\partial x}{\partial r}dr + \frac{\partial x}{\partial \varphi}d \varphi, dy = \frac{\partial y}{\partial r}dr + \frac{\partial y}{\partial \varphi}d \varphi. </math>
 +
 +
Po obliczeniu pochodnych cząstkowych wynik możemy zapisać w postaci równania macierzowego
 +
 +
<math>\left[\begin{array}{cc}
 +
dx \\
 +
dy \\
 +
\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}
 +
\cos\varphi & -r\sin\varphi\\
 +
\sin\varphi & r\cos\varphi\\
 +
\end{array}\right] \left[\begin{array}{cc}
 +
dr \\
 +
d \varphi \\
 +
\end{array}\right]
 +
</math>
 +
 +
Transformacja współrzędnych jest jednoznaczna wtedy gdy wyznacznik macierzy transforamcji (zwany jakobianem <math>J</math>), która ''przeprowadza'' jedne współrzędne w drugie jest różny od zera. Otrzymujemy 
 +
 +
<math>J =\left|\begin{array}{ccc}
 +
\frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial x}{\partial \varphi} \\
 +
\frac{\partial y}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial \varphi} \\
 +
\end{array}\right| = \left|\begin{array}{ccc}
 +
\cos\varphi & -r\sin\varphi\\
 +
\sin\varphi & r\cos\varphi\\
 +
\end{array}\right|  = r(\cos^2\varphi + \sin^2 \varphi) = r
 +
</math>
 +
 +
co oznacza, że transformacja jest jednoznaczna wszędzie za wyjątkiem początku układu współrzędnych.
 +
 +
===Przejście z układu kartezjańskiego===
 +
Transformacja odwrotna z układu kartezjańskiego do biegunowego jest zadana przez
 +
 +
<math>r = \sqrt{x^2 + y^2}</math>.
 +
 +
Jeśli <math>r\neq 0</math>, to współrzędna <math>\varphi</math> punktu jest dana przez
 +
 +
<math> \cos\varphi=\tfrac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}, \text{  } \sin\varphi=\tfrac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}, \text{  }0\leqslant \varphi<2\pi</math>
 +
<!--
 +
<math>
 +
\varphi =
 +
\begin{cases}
 +
\operatorname{\operatorname{arctg}}\;(\tfrac{y}{x}),        & \mbox{gdy } x > 0 \mbox{ oraz } y \geqslant 0\\
 +
\operatorname{\operatorname{arctg}}\;(\tfrac{y}{x}) + 2\pi, & \mbox{gdy } x > 0 \mbox{ oraz } y < 0\\
 +
\operatorname{\operatorname{arctg}}\;(\tfrac{y}{x}) + \pi,  & \mbox{gdy } x < 0\\
 +
\tfrac{\pi}{2},              & \mbox{gdy } x = 0 \mbox{ oraz } y > 0\\
 +
\tfrac{3\pi}{2},              & \mbox{gdy } x = 0 \mbox{ oraz } y < 0
 +
\end{cases}
 +
</math>
 +
-->
== Układ współrzędnych sferycznych ==
== Układ współrzędnych sferycznych ==
-
Dowolnemu punktowi P przypisujemy jego współrzędne sferyczne:
+
Dowolnemu punktowi <math>P</math> w przestrzeni trójwymiarowej możemy przypisać współrzędne sferyczne:
-
*promień wodzący <math>r\geqslant 0</math> czyli odległość punktu P od początku układu O,
+
*promień wodzący <math>r\geqslant 0</math> czyli odległość punktu <math>P</math> od początku układu <math>O</math>,
-
*długość azymutalna <math>0\leqslant\phi<2\pi</math> czyli miarę kąta między rzutem prostokątnym wektora <math>\overrightarrow{OP}</math> na płaszczyznę OXY, a dodatnią półosią OX.
+
*długość azymutalna <math>0\leqslant\phi<2\pi</math> czyli miarę kąta między rzutem prostokątnym wektora <math>\overrightarrow{OP}</math> na płaszczyznę <math>OXY</math>, a dodatnią półosią <math>OX</math>.
-
*odległość zenitalna <math>0\leqslant\theta\leqslant\pi</math> czyli miarę kąta między wektorem <math>\overrightarrow{OP}</math> a dodatnią półosią OZ.
+
*odległość zenitalna <math>0\leqslant\theta\leqslant\pi</math> czyli miarę kąta między wektorem <math>\overrightarrow{OP}</math> a dodatnią półosią <math>OZ</math>.
-
Wszystkie współrzędne sferyczne punktu O są równe 0.
+
Wszystkie współrzędne sferyczne punktu <math>O</math> są równe <math>0</math>.
 +
[[File:ukl3.png|thumb|300px|Rys. 3 Układ współrzędnych sferycznych]]
===Przejście do układu kartezjańskiego===
===Przejście do układu kartezjańskiego===
-
Konwersję z układu sferycznego na współrzędne kartezjańskie x, y, z punktu P określają wzory
+
Transformację współrzędnych z układu sferycznego na współrzędne kartezjańskie <math>x \text{, } y\text{, } z</math> określają wzory
<math>x=x(r,\theta,\phi)=r\, \sin\theta \, \cos\phi,</math>
<math>x=x(r,\theta,\phi)=r\, \sin\theta \, \cos\phi,</math>
Linia 31: Linia 100:
<math>y=y(r,\theta,\phi)=r\, \sin\theta \, \sin\phi,</math>
<math>y=y(r,\theta,\phi)=r\, \sin\theta \, \sin\phi,</math>
-
<math>z=z(r,\theta,\phi)=r\, \cos\theta.</math>
+
<math>z=z(r,\theta,\phi)=r\, \cos\theta,</math>
 +
 
 +
a jakobian przejścia wynosi
-
Jakobian przejścia wynosi
 
<math>
<math>
-
\frac{D(x,y,z)}{D(r,\theta,\phi)}=\left|\begin{array}{ccc}
+
J =\left|\begin{array}{ccc}
\frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial x}{\partial \theta}  & \frac{\partial x}{\partial \phi} \\
\frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial x}{\partial \theta}  & \frac{\partial x}{\partial \phi} \\
\frac{\partial y}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial \theta}  & \frac{\partial y}{\partial \phi} \\
\frac{\partial y}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial \theta}  & \frac{\partial y}{\partial \phi} \\
Linia 46: Linia 116:
</math>
</math>
-
Konwersja z układu kartezjańskiego na sferyczny jest zadana przez
+
===Przejście z układu kartezjańskiego===
 +
Transformacja odwrotna, czyli transformacja współrzędnych z układu kartezjańskiego do układu sferycznego jest dana przez następujące wzory
<math>r=\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}</math>,
<math>r=\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}</math>,
-
<math>\theta=\mathrm{arctg} \frac{\sqrt{x^2 + y^2}}{z}=\arccos {\frac{z}{r}}</math>,
+
<math>\theta=\mathrm{\operatorname{arcctg}} \frac{z}{\sqrt{x^2 + y^2}}=\arccos {\frac{z}{r}}</math>,
-
<math>\phi=\mathrm{arctg} {\frac{y}{x}}</math>.
+
Jeśli <math>r\neq 0</math>, to współrzędna <math>\varphi</math> punktu jest dana przez
-
== Układ współrzędnych walcowych ==
+
<math> \cos\varphi=\tfrac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}, \text{  } \sin\varphi=\tfrac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}, \text{  }0\leqslant \varphi<2\pi</math>
-
Każdy punkt P przestrzeni zapisuje się w postaci trójki współrzędnych <math>(\rho,\phi,z)</math>, gdzie poszczególne składowe wyrażają się następująco:
+
<!--
-
*<math>\rho\,</math> — odległość od osi OZ rzutu punktu P na płaszczyznę OXY,
+
<math>\phi=\mathrm{\operatorname{arctg}} {\frac{y}{x}}</math>.
-
*<math>\phi\,</math> — kąt pomiędzy osią dodatnią OX a odcinkiem łączącym rzut punktu P na płaszczyznę OXY z początkiem układu współrzędnych,
+
-->
-
*<math>z\,</math> — odległość rzutu punktu P na oś OZ od początku układu współrzędnych.
+
 +
== Układ współrzędnych walcowych ==
 +
Każdemu punktowi <math>P</math> w przestrzeni trójwymiarowej można przyporządkować trzy współrzędne walcowe <math>(\rho,\phi,z)</math>, gdzie poszczególne składowe są definiowane następująco:
 +
*<math>\rho\,</math> — odległość od osi <math>OZ</math> rzutu punktu <math>P</math> na płaszczyznę <math>OXY</math>,
 +
*<math>\phi\,</math> — kąt pomiędzy osią dodatnią <math>OX</math>, a odcinkiem łączącym rzut punktu <math>P</math> na płaszczyznę <math>OXY</math> z początkiem układu współrzędnych, przy czym zakłada się, że <math>0\leqslant \varphi<2\pi</math>,
 +
*<math>z\,</math> — pokrywa się ze współrzędną kartezjańską <math>z</math>
 +
[[File:ukl4.png|thumb|300px|Rys. 4 Układ współrzędnych walcowych]]
===Przejście do układu kartezjańskiego===
===Przejście do układu kartezjańskiego===
 +
Transformację współrzędnych z układu walcowego na współrzędne kartezjańskie <math>x \text{, } y\text{, } z</math> określają wzory
<math>x=\rho\cos\phi\,</math>
<math>x=\rho\cos\phi\,</math>
Linia 67: Linia 144:
<math>z=z\,</math>
<math>z=z\,</math>
 +
 +
a jakobian przejścia wynosi
 +
 +
<math>J=
 +
\begin{vmatrix}
 +
{{\partial x}\over{\partial \rho}}&{{\partial x}\over{\partial \phi}}&{{\partial x}\over{\partial z}}\\
 +
{{\partial y}\over{\partial \rho}}&{{\partial y}\over{\partial \phi}}&{{\partial y}\over{\partial z}}\\
 +
{{\partial z}\over{\partial \rho}}&{{\partial z}\over{\partial \phi}}&{{\partial z}\over{\partial z}}
 +
\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}
 +
\cos\phi&-\rho\sin\phi&0\\
 +
\sin\phi&\rho\cos\phi&0\\
 +
0&0&1
 +
\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}
 +
\cos\phi&-\rho\sin\phi\\
 +
\sin\phi&\rho\cos\phi
 +
\end{vmatrix}
 +
=\rho\cos^2\phi+\rho\sin^2\phi=\rho(\cos^2\phi+\sin^2\phi)=\rho\;</math>
 +
 +
===Przejście z układu kartezjańskiego===
 +
Transformacja odwrotna, czyli transformacja współrzędnych z układu kartezjańskiego do układu współrzędnych walcowych jest dana przez
 +
 +
<math>z=z</math>
<math>\rho=\sqrt{x^2+y^2}</math>
<math>\rho=\sqrt{x^2+y^2}</math>
 +
<math> \cos\varphi=\tfrac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}, \text{  } \sin\varphi=\tfrac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}, \text{  }0\leqslant \varphi<2\pi</math>
 +
 +
<!--
<math>\varphi =  
<math>\varphi =  
   \begin{cases}
   \begin{cases}
Linia 77: Linia 179:
   \end{cases}
   \end{cases}
</math>
</math>
 +
-->
 +
 +
== Przykład wykorzystania jakobianu ==
 +
Bardzo często jakobian przejścia między różnymi układami współrzędnych jest wykorzystywany do uproszczenia przeprowadzanych obliczeń. Jako przykład obliczymy objętość bryły ograniczonej powierzchnią wyciętą z płaszczyzny <math>XY</math> przez dwa okręgi <math>x^2+y^2=4</math>,  <math>x^2+y^2=9</math> oraz funkcję <math>f(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}</math>.
 +
 +
Rozwiązanie tego zadania w prostokątnym kartezjańskim układzie współrzędnych byłoby trudne ze względu na określenie granic całkowania. Dużo prościej jest wykonać wszystkie obliczenia w układzie współrzędnych biegunowych. W tym celu musimy wykorzystać jakobian przejścia między układami odniesienia (w tym przypadku pomiędzy kartezjańskim i biegunowym)
 +
:<math>\int\!\!\!\int_{\Omega} f(x,y)dxdy = \int\!\!\!\int_{\Omega} f(x(r,\varphi),y(r,\phi)) J dr d\varphi
 +
=\int\!\!\!\int_{\Omega} f(x(r,\varphi),y(r,\varphi)) r dr d\varphi</math>
 +
gdzie <math>\Omega</math> jest obszarem całkowania.
 +
 +
Zamiana funkcji <math>f(x,y)</math> na funkcję <math>f(r,\varphi)</math>:
 +
<math>f(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{r^2\cos^2\varphi+r^2\sin^2\varphi}=r</math>
 +
 +
Obliczamy całkę:
 +
:<math>\int_{0}^{2\pi}d\varphi\int_{2}^{3}r J dr = \int_{0}^{2\pi}d\varphi\int_{2}^{3}r^2 dr=\int_{0}^{2\pi}d\varphi \bigg[\frac{1}{3}r^3\bigg]_{2}^{3}=</math>
 +
:<math>=6\frac{1}{3}\int_{0}^{2\pi}d\varphi=6\frac{1}{3} \bigg[\varphi \bigg]_{0}^{2\pi}=\frac{19}{3} \bigg[\varphi \bigg]_{0}^{2\pi}=\frac{38\pi}{3}</math>
 +
<!--
 +
Załóżmy, że mamy do obliczenia pewna objętość daną całką potrójną
 +
:<math>\int\!\!\!\int\!\!\!\int_{E}\sqrt{x^2+y^2}dxdydz</math>
 +
gdzie <math>E</math> jest obszarem leżącym wewnątrz walca utorzonego przez koło o rówaniu <math>x^2+y^2=16</math> i ograniczonego przez dwie płaszczyzny <math>z=-5</math> i <math>z=4</math>
 +
Całka ta w kartezjańskim układzie współrzędnych ma skomplikowane granice całkowania i nie jest prosta w obliczeniu. Obliczenia te można jednak uprościć wykorzystując jakobian przejścia między układami odniesienia (w tym przypadku kartezjańskim i walcowym)
 +
:<math>\int\!\!\!\int\!\!\!\int_{E} f(x,y,z)dxdydz = \int\!\!\!\int\!\!\!\int_{E} f(x(\rho,\phi,z),y(\rho,\phi,z),z(\rho,\phi,z)) J d\rho d\phi dz=</math>
 +
:<math>=\int\!\!\!\int\!\!\!\int_{E} f(x(\rho,\phi,z),y(\rho,\phi,z),z(\rho,\phi,z)) \rho d\rho d\phi dz</math>
 +
Oczywiście podczas przejscia do innego układu odniesienia należy zmienić granice całkowania.
 +
:<math>0 \le \phi \le 2\pi</math>
 +
:<math>0 \le \rho \le 4</math>
 +
:<math>-5 \le z \le 4</math>
 +
Stąd
 +
:<math>\int\!\!\!\int\!\!\!\int_{E}\sqrt{x^2+y^2}dxdydz=\int\!\!\!\int\!\!\!\int_{E}\sqrt{\rho^{2}} \rho d\rho d\phi dz=</math>
 +
:<math>=\int_{0}^{4}\int_{0}^{2\pi}\int_{-5}^{4} \rho^2 d\rho d\phi dz=\frac{64}{3} 2\pi (4+5) = 384 \pi</math>
 +
-->

Aktualna wersja na dzień 09:20, 31 mar 2015

Wprowadzimy teraz układy wspórzędnych biegunowych, sferycznych i walcowych, a także podamy wzory na transformacje współrzędnych pomiędzy tymi układami współrzędnych. Przy zamianie współrzędnych w całkowaniu funkcji wielu zmiennych trzeba pamiętać o tzw. jakobianie przejścia. Podamy wartości jakobianów przejścia pomiędzy współrzędnymi kartezjańskimi, a sferycznymi i walcowymi. Ta część kursu nie zawiera rozwiązań przykładowych zadań - zostawiamy to na zajęcia z fizyki, na których zamiana współrzędnych zostanie zastosowania do rozwiązywania wielu zagadnień z wykorzystaniem ich symetrii.

Spis treści

Układ współrzędnych

Położenie punktu w przestrzeni można w jednoznaczny sposób określić przez podanie jego współrzędnych. W dobrze nam znanej przestrzeni trójwymiarowej można wprowadzić kartezjański (czyli prostokątny) układ wspólrzędnych, a położenie punktu będzie jednoznacznie określone przez trzy współrzędne \( x, y \) i \( z \). Nasze rozważania ograniczymy do przestrzeni trójwymiarowej, która ze zrozumiałych względów ma największe zastosowanie w praktyce.

Układ współrzędnych kartezjańskich (prostokątny)

Prostoliniowy układ współrzędnych to układ o parach prostopadłych osi. Nazwa pochodzi od nazwiska francuskiego matematyka i filozofa Kartezjusza. Układem współrzędnych kartezjańskich nazywa się układ współrzędnych, w którym zadane są:

  • punkt zwany początkiem układu współrzędnych, w którym wartości wszystkich współrzędnych są równe zeru,
  • zestaw n parami prostopadłych osi liczbowych zwanych osiami układu współrzędnych. Dwie pierwsze osie często oznaczane są jako:
    • X (zwana osią odciętych),
    • Y (zwana osią rzędnych),

Liczba osi układu współrzędnych wyznacza tzw. wymiar przestrzeni.

W układzie współrzędnych kartezjańskich w przestrzeni trójwymiarowej, w której żyjemy, trzy współrzędne oznaczane są następująco:

  • X – odcięta, łac. abscissa,
  • Y – rzędna, łac. ordinata,
  • Z – kota, łac. applicata.
Rys. 1 Układ współrzędnych kartezjańskich (prostokątny)

Układ współrzędnych biegunowych

Jest to układ wyznaczony przez punkt \(0\) (zwany biegunem) oraz półprostą \(OR\) (zwaną osią biegunową), której początek znajduje się w punkcie \(0\). Widzimy, że także w tym układzie współrzędnych można przedstawić punkty na płaszczyźnie. Dowolnemu punktowi \(P\) przypisujemy jego współrzędne biegunowe:

  • \(r\) promień wodzący punktu \(P\) (odległość \(|OP|\) od bieguna),
  • \(\varphi\) wartość kąta skierowanego pomiędzy półprostą \(OR\) a wektorem \(\overrightarrow{OP}\), przy czym zakłada się, że \(0\leqslant \varphi<2\pi\)
Rys. 2 Układ współrzędnych biegunowych

Przejście do układu kartezjańskiego

Zauważmy, że pomiędzy współrzędnymi kartezjańskimi \(x, y \), a współrzędnymi biegunowymi \(r, \varphi\) zachodzą następujące związki

\(x=r\cdot\cos\varphi\)

\(y=r\cdot\sin\varphi\)

Policzmy teraz nieskończenie małe przyrosty współrzędnych \(x, y\) będące wynikiem nieskończenie małych przyrostów współrzędnych \(r, \varphi\). Wyrażają się one przez odpowiednie różniczki

\(dx = \frac{\partial x}{\partial r}dr + \frac{\partial x}{\partial \varphi}d \varphi, dy = \frac{\partial y}{\partial r}dr + \frac{\partial y}{\partial \varphi}d \varphi. \)

Po obliczeniu pochodnych cząstkowych wynik możemy zapisać w postaci równania macierzowego

\(\left[\begin{array}{cc} dx \\ dy \\ \end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc} \cos\varphi & -r\sin\varphi\\ \sin\varphi & r\cos\varphi\\ \end{array}\right] \left[\begin{array}{cc} dr \\ d \varphi \\ \end{array}\right] \)

Transformacja współrzędnych jest jednoznaczna wtedy gdy wyznacznik macierzy transforamcji (zwany jakobianem \(J\)), która przeprowadza jedne współrzędne w drugie jest różny od zera. Otrzymujemy

\(J =\left|\begin{array}{ccc} \frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial x}{\partial \varphi} \\ \frac{\partial y}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial \varphi} \\ \end{array}\right| = \left|\begin{array}{ccc} \cos\varphi & -r\sin\varphi\\ \sin\varphi & r\cos\varphi\\ \end{array}\right| = r(\cos^2\varphi + \sin^2 \varphi) = r \)

co oznacza, że transformacja jest jednoznaczna wszędzie za wyjątkiem początku układu współrzędnych.

Przejście z układu kartezjańskiego

Transformacja odwrotna z układu kartezjańskiego do biegunowego jest zadana przez

\(r = \sqrt{x^2 + y^2}\).

Jeśli \(r\neq 0\), to współrzędna \(\varphi\) punktu jest dana przez

\( \cos\varphi=\tfrac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}, \text{ } \sin\varphi=\tfrac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}, \text{ }0\leqslant \varphi<2\pi\)

Układ współrzędnych sferycznych

Dowolnemu punktowi \(P\) w przestrzeni trójwymiarowej możemy przypisać współrzędne sferyczne:

  • promień wodzący \(r\geqslant 0\) czyli odległość punktu \(P\) od początku układu \(O\),
  • długość azymutalna \(0\leqslant\phi<2\pi\) czyli miarę kąta między rzutem prostokątnym wektora \(\overrightarrow{OP}\) na płaszczyznę \(OXY\), a dodatnią półosią \(OX\).
  • odległość zenitalna \(0\leqslant\theta\leqslant\pi\) czyli miarę kąta między wektorem \(\overrightarrow{OP}\) a dodatnią półosią \(OZ\).

Wszystkie współrzędne sferyczne punktu \(O\) są równe \(0\).

Rys. 3 Układ współrzędnych sferycznych

Przejście do układu kartezjańskiego

Transformację współrzędnych z układu sferycznego na współrzędne kartezjańskie \(x \text{, } y\text{, } z\) określają wzory

\(x=x(r,\theta,\phi)=r\, \sin\theta \, \cos\phi,\)

\(y=y(r,\theta,\phi)=r\, \sin\theta \, \sin\phi,\)

\(z=z(r,\theta,\phi)=r\, \cos\theta,\)

a jakobian przejścia wynosi

\( J =\left|\begin{array}{ccc} \frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial x}{\partial \theta} & \frac{\partial x}{\partial \phi} \\ \frac{\partial y}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial \theta} & \frac{\partial y}{\partial \phi} \\ \frac{\partial z}{\partial r} & \frac{\partial z}{\partial \theta} & \frac{\partial z}{\partial \phi} \end{array}\right|= \left|\begin{array}{ccc} \sin\theta\cos\phi & r\cos\theta\cos\phi & -r\sin\theta\sin\phi\\ \sin\theta\sin\phi & r\cos\theta\sin\phi & r\sin\theta\cos\phi\\ \cos\theta& -r\sin\theta & 0 \end{array}\right|=r^2\sin\theta\ \)

Przejście z układu kartezjańskiego

Transformacja odwrotna, czyli transformacja współrzędnych z układu kartezjańskiego do układu sferycznego jest dana przez następujące wzory

\(r=\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}\),

\(\theta=\mathrm{\operatorname{arcctg}} \frac{z}{\sqrt{x^2 + y^2}}=\arccos {\frac{z}{r}}\),

Jeśli \(r\neq 0\), to współrzędna \(\varphi\) punktu jest dana przez

\( \cos\varphi=\tfrac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}, \text{ } \sin\varphi=\tfrac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}, \text{ }0\leqslant \varphi<2\pi\)

Układ współrzędnych walcowych

Każdemu punktowi \(P\) w przestrzeni trójwymiarowej można przyporządkować trzy współrzędne walcowe \((\rho,\phi,z)\), gdzie poszczególne składowe są definiowane następująco:

  • \(\rho\,\) — odległość od osi \(OZ\) rzutu punktu \(P\) na płaszczyznę \(OXY\),
  • \(\phi\,\) — kąt pomiędzy osią dodatnią \(OX\), a odcinkiem łączącym rzut punktu \(P\) na płaszczyznę \(OXY\) z początkiem układu współrzędnych, przy czym zakłada się, że \(0\leqslant \varphi<2\pi\),
  • \(z\,\) — pokrywa się ze współrzędną kartezjańską \(z\)
Rys. 4 Układ współrzędnych walcowych

Przejście do układu kartezjańskiego

Transformację współrzędnych z układu walcowego na współrzędne kartezjańskie \(x \text{, } y\text{, } z\) określają wzory

\(x=\rho\cos\phi\,\)

\(y=\rho\sin\phi\,\)

\(z=z\,\)

a jakobian przejścia wynosi

\(J= \begin{vmatrix} {{\partial x}\over{\partial \rho}}&{{\partial x}\over{\partial \phi}}&{{\partial x}\over{\partial z}}\\ {{\partial y}\over{\partial \rho}}&{{\partial y}\over{\partial \phi}}&{{\partial y}\over{\partial z}}\\ {{\partial z}\over{\partial \rho}}&{{\partial z}\over{\partial \phi}}&{{\partial z}\over{\partial z}} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} \cos\phi&-\rho\sin\phi&0\\ \sin\phi&\rho\cos\phi&0\\ 0&0&1 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} \cos\phi&-\rho\sin\phi\\ \sin\phi&\rho\cos\phi \end{vmatrix} =\rho\cos^2\phi+\rho\sin^2\phi=\rho(\cos^2\phi+\sin^2\phi)=\rho\;\)

Przejście z układu kartezjańskiego

Transformacja odwrotna, czyli transformacja współrzędnych z układu kartezjańskiego do układu współrzędnych walcowych jest dana przez

\(z=z\)

\(\rho=\sqrt{x^2+y^2}\)

\( \cos\varphi=\tfrac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}, \text{ } \sin\varphi=\tfrac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}, \text{ }0\leqslant \varphi<2\pi\)


Przykład wykorzystania jakobianu

Bardzo często jakobian przejścia między różnymi układami współrzędnych jest wykorzystywany do uproszczenia przeprowadzanych obliczeń. Jako przykład obliczymy objętość bryły ograniczonej powierzchnią wyciętą z płaszczyzny \(XY\) przez dwa okręgi \(x^2+y^2=4\), \(x^2+y^2=9\) oraz funkcję \(f(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}\).

Rozwiązanie tego zadania w prostokątnym kartezjańskim układzie współrzędnych byłoby trudne ze względu na określenie granic całkowania. Dużo prościej jest wykonać wszystkie obliczenia w układzie współrzędnych biegunowych. W tym celu musimy wykorzystać jakobian przejścia między układami odniesienia (w tym przypadku pomiędzy kartezjańskim i biegunowym) \[\int\!\!\!\int_{\Omega} f(x,y)dxdy = \int\!\!\!\int_{\Omega} f(x(r,\varphi),y(r,\phi)) J dr d\varphi =\int\!\!\!\int_{\Omega} f(x(r,\varphi),y(r,\varphi)) r dr d\varphi\] gdzie \(\Omega\) jest obszarem całkowania.

Zamiana funkcji \(f(x,y)\) na funkcję \(f(r,\varphi)\): \(f(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{r^2\cos^2\varphi+r^2\sin^2\varphi}=r\)

Obliczamy całkę: \[\int_{0}^{2\pi}d\varphi\int_{2}^{3}r J dr = \int_{0}^{2\pi}d\varphi\int_{2}^{3}r^2 dr=\int_{0}^{2\pi}d\varphi \bigg[\frac{1}{3}r^3\bigg]_{2}^{3}=\] \[=6\frac{1}{3}\int_{0}^{2\pi}d\varphi=6\frac{1}{3} \bigg[\varphi \bigg]_{0}^{2\pi}=\frac{19}{3} \bigg[\varphi \bigg]_{0}^{2\pi}=\frac{38\pi}{3}\]

Źródło „http://172.16.3.1/ekonofizyka/index.php/Uk%C5%82ady_wsp%C3%B3%C5%82rz%C4%99dnych”