Z Skrypty dla studentów Ekonofizyki UPGOW
| (Nie pokazano 2 wersji pomiędzy niniejszymi.) | |||
| Linia 3: | Linia 3: | ||
Rozważaliśmy już całkowanie funkcji jednej zmiennej rzeczywistej, a także funkcję dwóch zmiennych jako przykład funkcji wielu zmiennych. Oczywiście można także całkować funkcje wielu zmiennych. Treścią tego wykładu będzie całka podwójna, czyli całka funkcji dwóch zmiennych <math>f(x,y)</math>, przy czym ograniczymy się do całki iterowanej. Z wielu zastosowań całki podwójnej można wymienić obliczanie objętości, obliczanie pola powierzchni w przestrzeni trójwymiarowej czy znajdowanie wartości momentu bezwładności.<br /> | Rozważaliśmy już całkowanie funkcji jednej zmiennej rzeczywistej, a także funkcję dwóch zmiennych jako przykład funkcji wielu zmiennych. Oczywiście można także całkować funkcje wielu zmiennych. Treścią tego wykładu będzie całka podwójna, czyli całka funkcji dwóch zmiennych <math>f(x,y)</math>, przy czym ograniczymy się do całki iterowanej. Z wielu zastosowań całki podwójnej można wymienić obliczanie objętości, obliczanie pola powierzchni w przestrzeni trójwymiarowej czy znajdowanie wartości momentu bezwładności.<br /> | ||
| - | + | Nasze rozważania o całce podwójnej funkcji dwóch zmiennych <math>f(x,y)</math> będą bardzo skrótowe i uproszczone. Zrezygnujemy bowiem z definiowania obszaru regularnego oraz definiowania całki podwójnej jako granicy pewnego ciągu. Dla naszych zastosowań w zupełności wystarczy stwierdzenie, że funkcja dwóch zmiennych <math>f(x,y)</math> ciągła i ograniczona w zbiorze <math>A</math> (zbiór <math>A</math> znajduje się na płaszczyźnie <math>XY</math> i będziemy go nazywać obszarem) należącym do dziedziny funkcji jest w tym zbiorze całkowalna, a jej całkę podwójną zapisujemy jako | |
:<math>\begin{aligned} | :<math>\begin{aligned} | ||
\int\!\!\!\int_{A} f(x,y) dx dy \nonumber\end{aligned}</math> | \int\!\!\!\int_{A} f(x,y) dx dy \nonumber\end{aligned}</math> | ||
| - | Dla funkcji <math>f(x,y) \geq 0</math> w obszarze <math>A</math> całka podwójna ma następującą interpretację geometryczną: jest to objętość obszaru ograniczonego | + | Dla funkcji <math>f(x,y) \geq 0</math> w obszarze <math>A</math> całka podwójna ma następującą interpretację geometryczną: jest to objętość obszaru ograniczonego powierzchnią <math>f(x,y)</math> (przypominamy, że wykresem funkcji dwóch zmiennych jest powierzchnia <math>z = f(x,y)</math>), obszarem <math>A</math> oraz powierzchnią łącząca te dwa obszary, która powstaje w następujący sposób: z każdego punktu brzegu obszaru <math>A</math> prowadzimy prostą prostopadłą do płaszczyzny <math>XY</math> aż do przecięcia z wykresem funkcji, czyli powierzchnią <math>z=f(x,y)</math>. Na [[Media:cp1.png|Rys. 1]] zaznaczono objętość <math>V</math> |
:<math>\begin{aligned} | :<math>\begin{aligned} | ||
| Linia 15: | Linia 15: | ||
dla obszaru <math>A</math>, który jest prostokątem.<br /> | dla obszaru <math>A</math>, który jest prostokątem.<br /> | ||
| - | [[File:cp1.png|thumb| | + | [[File:cp1.png|thumb|300px|Rys. 1 Całka podwójna]] |
== Niektóre własności całek podwójnych == | == Niektóre własności całek podwójnych == | ||
| Linia 22: | Linia 22: | ||
<ul> | <ul> | ||
| - | <li><p>stałą <math>c</math> | + | <li><p>stałą <math>c</math> można wyłączyć przed całkę podwójną</p> |
<p>:<math>\begin{aligned} | <p>:<math>\begin{aligned} | ||
\int\!\!\!\int_{A} cf(x,y) dx dy = c\int\!\!\!\int_{A} f(x,y) dx dy \nonumber\end{aligned}</math></p></li> | \int\!\!\!\int_{A} cf(x,y) dx dy = c\int\!\!\!\int_{A} f(x,y) dx dy \nonumber\end{aligned}</math></p></li> | ||
| Linia 31: | Linia 31: | ||
== Zamiana całki podwójnej na całkę iterowaną == | == Zamiana całki podwójnej na całkę iterowaną == | ||
| - | Wygodnym sposobem obliczenia całki podwójnej jest jej zamiana na całkę iterowaną. Aby taką zamianę przeprowadzić musimy zdefiniować pojęcie obszaru normalnego względem osi układu współrzędnych <math>OX</math> i <math>OY</math>. | + | Wygodnym sposobem obliczenia całki podwójnej jest jej zamiana na całkę iterowaną. Aby taką zamianę przeprowadzić musimy zdefiniować pojęcie obszaru normalnego względem osi układu współrzędnych <math>OX</math> i <math>OY</math>. Obszar normalny względem osi <math>OX</math> to zbiór punktów <math>(x,y)</math> spełniających warunek |
:<math>\left\{ \begin{array}{c} | :<math>\left\{ \begin{array}{c} | ||
| Linia 45: | Linia 45: | ||
\end{array} \right.</math> | \end{array} \right.</math> | ||
| - | Oba zdefiniowane obszary normalne są przedstawione na | + | Oba zdefiniowane obszary normalne są przedstawione na [[Media:cp3.png|Rys 2A]] i [[Media:cp4.png|Rys 2B]]. Jak widać są to obszary ograniczone prostymi prostopadłymi do jednej osi układu współrzędnych, oraz dwoma funkcjami zmiennej <math>x</math> bądź <math>y</math>. Dla obszaru normalnego można zamienić całkę podwójną na całkę iterowaną. Jeżeli obszar <math>A</math>, po którym całkujemy funkcję dwóch zmiennych <math>f(x,y)</math> jest normalny względem osi <math>OX</math> to wtedy: |
| + | [[File:cp3.png|thumb|300px|Rys. 2A Obszar normalny względem osi <math>OX</math>]] | ||
| + | [[File:cp4.png|thumb|300px|Rys. 2B Obszar normalny względem osi <math>OY</math>]] | ||
:<math>\begin{aligned} | :<math>\begin{aligned} | ||
| - | \int\!\!\!\int_{A} f(x,y) dx dy = \int_{a}^{b} (\int_{g(x)}^{h(x)}f(x,y)dy)dx, \nonumber\end{aligned}</math> | + | \int\!\!\!\int_{A} f(x,y) dx dy = \int_{a}^{b} \left(\int_{y = g(x)}^{y = h(x)}f(x,y)dy\right)dx, \nonumber\end{aligned}</math> |
| - | a całka po prawej stronie | + | a całka po prawej stronie znaku równości nazywana jest całką iterowaną. Widzimy, że po wykonaniu całkowania po zmiennej <math>y</math> w granicach od <math>g(x)</math> do <math>h(x)</math> pozostanie do obliczenia całka pojedyncza po zmiennej <math>x</math> w granicach od <math>a</math> do <math>b</math>. Zatem zamiana całki podwójnej na całkę iterowaną prowadzi do obliczenia kolejno dwóch całek pojedynczych. Podobnie możemy postąpić w przypadku gdy obszar całkowania jest normalny względem osi <math>OY</math>: |
:<math>\begin{aligned} | :<math>\begin{aligned} | ||
| - | \int\!\!\!\int_{A} f(x,y) dx dy = \int_{c}^{d} (\int_{p(y)}^{r(y)}f(x,y)dx)dy. \nonumber\end{aligned}</math> | + | \int\!\!\!\int_{A} f(x,y) dx dy = \int_{c}^{d} \left(\int_{x = p(y)}^{x = r(y)}f(x,y)dx\right)dy. \nonumber\end{aligned}</math> |
| - | + | Natomiast jeżeli obszar całkowania <math>A</math> jest dany nierównościami <math>a \leq x \leq b</math>, <math>c \leq y \leq d</math>, czyli jest prostokątem to: | |
:<math>\begin{aligned} | :<math>\begin{aligned} | ||
| - | \int\!\!\!\int_{A} f(x,y) dx dy = \int_{c}^{d} (\int_{a}^{b}f(x,y)dx)dy = \int_{a}^{b} (\int_{c}^{d}f(x,y)dy)dx. \nonumber\end{aligned}</math> | + | \int\!\!\!\int_{A} f(x,y) dx dy = \int_{c}^{d} \left(\int_{a}^{b}f(x,y)dx\right)dy = \int_{a}^{b} \left(\int_{c}^{d}f(x,y)dy\right)dx. \nonumber\end{aligned}</math> |
| - | + | Jako przykład obliczymy całkę z funkcji <math>f(x,y) = x + y</math> po obszarze <math>A</math> trójkąta o wierzchołkach w punktach <math>(0,0), (2,2), (0,4)</math> ([[Media:cp2.png|Rys. 3]]).<br /> | |
| + | [[File:cp2.png|thumb|300px|Rys. 3 Obszar '''''A''''']] | ||
| - | + | Korzystając z tego, że jest to obszar normalny zarówno względem względem osi <math>OX</math> jak i <math>OY</math> obliczymy tę całkę dwukrotnie. Najpierw dla obszaru normalnego względem osi <math>OX</math> ograniczonego prostymi <math>x=0</math>, <math>x=2</math>, <math>y = x</math> oraz <math>y = 4 - x</math>. | |
| - | + | :<math>\left\{ \begin{array}{c} | |
| + | 0 \leq x \leq 2\\ | ||
| + | x \leq y \leq 4-x, | ||
| + | \end{array} \right.</math> | ||
| + | |||
| + | Otrzymujemy do obliczenia następującą całkę iterowaną: | ||
:<math>\begin{aligned} | :<math>\begin{aligned} | ||
| - | \int\!\!\!\int_{A} (x+y) dx dy = \int_{0}^{2} (\int_{ | + | \int\!\!\!\int_{A} (x+y) dx dy = \int_{0}^{2} \left(\int_{y=x}^{y=-x+4}(x+y)dy\right)dx. \nonumber\end{aligned}</math> |
| - | + | Po wykonaniu całkowania po zmiennej <math>y</math> w granicach od <math>y=x</math> do <math>y=-x+4</math>, które są dane przez równania prostych zawierających dwa boki trójkąta, pozostaje do wyliczenia całka po zmiennej <math>x</math> | |
:<math>\begin{aligned} | :<math>\begin{aligned} | ||
| - | \int\!\!\!\int_{A} (x+y) dx dy = \int_{0}^{2}(8- | + | \int\!\!\!\int_{A} (x+y) dx dy = \int_{0}^{2}(8-2x^2)dx = 10\frac{2}{3}. \nonumber\end{aligned}</math> |
| - | + | Teraz wykonamy całkowanie po obszarze normalnym względem osi <math>OY</math> | |
| + | |||
| + | :<math>\left\{ \begin{array}{c} | ||
| + | 0 \leq x \leq r(y)\\ | ||
| + | 0 \leq y \leq 4 | ||
| + | \end{array} \right.</math> | ||
| + | |||
| + | gdzie | ||
| + | |||
| + | :<math>r(y) = | ||
| + | \begin{cases} | ||
| + | y & \quad dla \quad 0 \leq y \leq 2,\\ | ||
| + | 4-y & \quad dla \quad 2 \leq y \leq 4. | ||
| + | \end{cases}</math> | ||
| + | |||
| + | Z postaci obszaru normalnego względem osi <math>OY</math> wynika, że całka będzie sumą dwóch całek | ||
:<math>\begin{aligned} | :<math>\begin{aligned} | ||
| - | \int\!\!\!\int_{A} (x+y) dx dy = \int_{0}^{2} (\int_{ | + | \int\!\!\!\int_{A} (x+y) dx dy = \int_{0}^{2} \left(\int_{x=0}^{x=y}(x+y)dx\right)dy + \int_{2}^{4} \left(\int_{x=0}^{x=-y+4}(x+y)dx\right)dy, \nonumber\end{aligned}</math> |
| - | + | po wykonaniu całkowania po zmiennej <math>x</math> otrzymamy | |
:<math>\begin{aligned} | :<math>\begin{aligned} | ||
| - | \int\!\!\!\int_{A} (x+y) dx dy = \int_{0}^{2} \frac{3}{2} | + | \int\!\!\!\int_{A} (x+y) dx dy = \int_{0}^{2} \frac{3}{2} y^2dy + \int_{2}^{4} (- \frac{1}{2}y^2 + 8)dy= 10\frac{2}{3}. \nonumber\end{aligned}</math> |
| - | + | Widzimy, że wynik nie zależy od kolejności całkowania względem zmiennych <math>x</math> i <math>y</math>. Należy pamiętać o tym, że pierwsze całkowanie musi być wykonane w granicach zmiennych natomiast drugie w granicach stałych. | |
== Zadania == | == Zadania == | ||
Obliczyć całki podwójne: | Obliczyć całki podwójne: | ||
| - | |||
<ol> | <ol> | ||
<li><p><math>\int_{1}^{3} (\int_{0}^{5} xy dy) dx </math></p></li> | <li><p><math>\int_{1}^{3} (\int_{0}^{5} xy dy) dx </math></p></li> | ||
<li><p><math>\int_{3}^{7} (\int_{0}^{2} dy) dx </math></p></li> | <li><p><math>\int_{3}^{7} (\int_{0}^{2} dy) dx </math></p></li> | ||
| - | <li><p><math>\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} | + | <li><p><math>\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin x \cos y dy) dx </math></p> |
<p>Obliczyć całki podwójne zamieniając je na całki iterowane:</p></li> | <p>Obliczyć całki podwójne zamieniając je na całki iterowane:</p></li> | ||
<li><p><math>\int\!\!\!\int_{A} (x^2+y^2) dx dy</math>, obszar <math>A</math> jest trójkątem o wierzchołkach <math>(0,0), (2,1), (1,3)</math></p></li> | <li><p><math>\int\!\!\!\int_{A} (x^2+y^2) dx dy</math>, obszar <math>A</math> jest trójkątem o wierzchołkach <math>(0,0), (2,1), (1,3)</math></p></li> | ||
<li><p><math>\int\!\!\!\int_{A} (2x-y) dx dy</math>, obszar <math>A</math> jest równoległobokiem o wierzchołkach <math>(0,0), (3,1), (3,2), (0,1)</math></p></li> | <li><p><math>\int\!\!\!\int_{A} (2x-y) dx dy</math>, obszar <math>A</math> jest równoległobokiem o wierzchołkach <math>(0,0), (3,1), (3,2), (0,1)</math></p></li> | ||
<li><p><math>\int\!\!\!\int_{A} (xy-2x^2) dx dy</math>, obszar <math>A</math> jest ograniczony prostymi <math>y=0, x=2</math> oraz parabolą <math>y=x^2</math></p></li></ol> | <li><p><math>\int\!\!\!\int_{A} (xy-2x^2) dx dy</math>, obszar <math>A</math> jest ograniczony prostymi <math>y=0, x=2</math> oraz parabolą <math>y=x^2</math></p></li></ol> | ||
Aktualna wersja na dzień 09:18, 31 mar 2015
Spis treści |
Rozważaliśmy już całkowanie funkcji jednej zmiennej rzeczywistej, a także funkcję dwóch zmiennych jako przykład funkcji wielu zmiennych. Oczywiście można także całkować funkcje wielu zmiennych. Treścią tego wykładu będzie całka podwójna, czyli całka funkcji dwóch zmiennych \(f(x,y)\), przy czym ograniczymy się do całki iterowanej. Z wielu zastosowań całki podwójnej można wymienić obliczanie objętości, obliczanie pola powierzchni w przestrzeni trójwymiarowej czy znajdowanie wartości momentu bezwładności.
Nasze rozważania o całce podwójnej funkcji dwóch zmiennych \(f(x,y)\) będą bardzo skrótowe i uproszczone. Zrezygnujemy bowiem z definiowania obszaru regularnego oraz definiowania całki podwójnej jako granicy pewnego ciągu. Dla naszych zastosowań w zupełności wystarczy stwierdzenie, że funkcja dwóch zmiennych \(f(x,y)\) ciągła i ograniczona w zbiorze \(A\) (zbiór \(A\) znajduje się na płaszczyźnie \(XY\) i będziemy go nazywać obszarem) należącym do dziedziny funkcji jest w tym zbiorze całkowalna, a jej całkę podwójną zapisujemy jako
\[\begin{aligned} \int\!\!\!\int_{A} f(x,y) dx dy \nonumber\end{aligned}\]
Dla funkcji \(f(x,y) \geq 0\) w obszarze \(A\) całka podwójna ma następującą interpretację geometryczną: jest to objętość obszaru ograniczonego powierzchnią \(f(x,y)\) (przypominamy, że wykresem funkcji dwóch zmiennych jest powierzchnia \(z = f(x,y)\)), obszarem \(A\) oraz powierzchnią łącząca te dwa obszary, która powstaje w następujący sposób: z każdego punktu brzegu obszaru \(A\) prowadzimy prostą prostopadłą do płaszczyzny \(XY\) aż do przecięcia z wykresem funkcji, czyli powierzchnią \(z=f(x,y)\). Na Rys. 1 zaznaczono objętość \(V\)
\[\begin{aligned} V = \int\!\!\!\int_{A} f(x,y) dx dy \nonumber\end{aligned}\]
dla obszaru \(A\), który jest prostokątem.
Niektóre własności całek podwójnych
Przy obliczaniu całek podwójnych będziemy korzystać z następujących dwóch własności:
-
stałą \(c\) można wyłączyć przed całkę podwójną
\[\begin{aligned} \int\!\!\!\int_{A} cf(x,y) dx dy = c\int\!\!\!\int_{A} f(x,y) dx dy \nonumber\end{aligned}\]
-
jeżeli obszary \(A_1\) i \(A_2\) nie mają punktów wewnętrznych wspólnych (mogą mieć wspólny brzeg) to
\[\begin{aligned} \int\!\!\!\int_{A_1 + A_2} f(x,y) dx dy = \int\!\!\!\int_{A_1} f(x,y) dx dy + \int\!\!\!\int_{A_2} f(x,y) dx dy \nonumber\end{aligned}\]
Zamiana całki podwójnej na całkę iterowaną
Wygodnym sposobem obliczenia całki podwójnej jest jej zamiana na całkę iterowaną. Aby taką zamianę przeprowadzić musimy zdefiniować pojęcie obszaru normalnego względem osi układu współrzędnych \(OX\) i \(OY\). Obszar normalny względem osi \(OX\) to zbiór punktów \((x,y)\) spełniających warunek
\[\left\{ \begin{array}{c} a \leq x \leq b\\ g(x) \leq y \leq h(x), \end{array} \right.\]
a obszar normalny względem osi \(OY\) to następujący zbiór punktów
\[\left\{ \begin{array}{c} p(y) \leq x \leq r(y)\\ c \leq y \leq d. \end{array} \right.\]
Oba zdefiniowane obszary normalne są przedstawione na Rys 2A i Rys 2B. Jak widać są to obszary ograniczone prostymi prostopadłymi do jednej osi układu współrzędnych, oraz dwoma funkcjami zmiennej \(x\) bądź \(y\). Dla obszaru normalnego można zamienić całkę podwójną na całkę iterowaną. Jeżeli obszar \(A\), po którym całkujemy funkcję dwóch zmiennych \(f(x,y)\) jest normalny względem osi \(OX\) to wtedy:
\[\begin{aligned} \int\!\!\!\int_{A} f(x,y) dx dy = \int_{a}^{b} \left(\int_{y = g(x)}^{y = h(x)}f(x,y)dy\right)dx, \nonumber\end{aligned}\]
a całka po prawej stronie znaku równości nazywana jest całką iterowaną. Widzimy, że po wykonaniu całkowania po zmiennej \(y\) w granicach od \(g(x)\) do \(h(x)\) pozostanie do obliczenia całka pojedyncza po zmiennej \(x\) w granicach od \(a\) do \(b\). Zatem zamiana całki podwójnej na całkę iterowaną prowadzi do obliczenia kolejno dwóch całek pojedynczych. Podobnie możemy postąpić w przypadku gdy obszar całkowania jest normalny względem osi \(OY\):
\[\begin{aligned} \int\!\!\!\int_{A} f(x,y) dx dy = \int_{c}^{d} \left(\int_{x = p(y)}^{x = r(y)}f(x,y)dx\right)dy. \nonumber\end{aligned}\]
Natomiast jeżeli obszar całkowania \(A\) jest dany nierównościami \(a \leq x \leq b\), \(c \leq y \leq d\), czyli jest prostokątem to:
\[\begin{aligned} \int\!\!\!\int_{A} f(x,y) dx dy = \int_{c}^{d} \left(\int_{a}^{b}f(x,y)dx\right)dy = \int_{a}^{b} \left(\int_{c}^{d}f(x,y)dy\right)dx. \nonumber\end{aligned}\]
Jako przykład obliczymy całkę z funkcji \(f(x,y) = x + y\) po obszarze \(A\) trójkąta o wierzchołkach w punktach \((0,0), (2,2), (0,4)\) (Rys. 3).
Korzystając z tego, że jest to obszar normalny zarówno względem względem osi \(OX\) jak i \(OY\) obliczymy tę całkę dwukrotnie. Najpierw dla obszaru normalnego względem osi \(OX\) ograniczonego prostymi \(x=0\), \(x=2\), \(y = x\) oraz \(y = 4 - x\).
\[\left\{ \begin{array}{c} 0 \leq x \leq 2\\ x \leq y \leq 4-x, \end{array} \right.\]
Otrzymujemy do obliczenia następującą całkę iterowaną:
\[\begin{aligned} \int\!\!\!\int_{A} (x+y) dx dy = \int_{0}^{2} \left(\int_{y=x}^{y=-x+4}(x+y)dy\right)dx. \nonumber\end{aligned}\]
Po wykonaniu całkowania po zmiennej \(y\) w granicach od \(y=x\) do \(y=-x+4\), które są dane przez równania prostych zawierających dwa boki trójkąta, pozostaje do wyliczenia całka po zmiennej \(x\)
\[\begin{aligned} \int\!\!\!\int_{A} (x+y) dx dy = \int_{0}^{2}(8-2x^2)dx = 10\frac{2}{3}. \nonumber\end{aligned}\]
Teraz wykonamy całkowanie po obszarze normalnym względem osi \(OY\)
\[\left\{ \begin{array}{c} 0 \leq x \leq r(y)\\ 0 \leq y \leq 4 \end{array} \right.\]
gdzie
\[r(y) = \begin{cases} y & \quad dla \quad 0 \leq y \leq 2,\\ 4-y & \quad dla \quad 2 \leq y \leq 4. \end{cases}\]
Z postaci obszaru normalnego względem osi \(OY\) wynika, że całka będzie sumą dwóch całek
\[\begin{aligned} \int\!\!\!\int_{A} (x+y) dx dy = \int_{0}^{2} \left(\int_{x=0}^{x=y}(x+y)dx\right)dy + \int_{2}^{4} \left(\int_{x=0}^{x=-y+4}(x+y)dx\right)dy, \nonumber\end{aligned}\]
po wykonaniu całkowania po zmiennej \(x\) otrzymamy
\[\begin{aligned} \int\!\!\!\int_{A} (x+y) dx dy = \int_{0}^{2} \frac{3}{2} y^2dy + \int_{2}^{4} (- \frac{1}{2}y^2 + 8)dy= 10\frac{2}{3}. \nonumber\end{aligned}\]
Widzimy, że wynik nie zależy od kolejności całkowania względem zmiennych \(x\) i \(y\). Należy pamiętać o tym, że pierwsze całkowanie musi być wykonane w granicach zmiennych natomiast drugie w granicach stałych.
Zadania
Obliczyć całki podwójne:
-
\(\int_{1}^{3} (\int_{0}^{5} xy dy) dx \)
-
\(\int_{3}^{7} (\int_{0}^{2} dy) dx \)
-
\(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin x \cos y dy) dx \)
Obliczyć całki podwójne zamieniając je na całki iterowane:
-
\(\int\!\!\!\int_{A} (x^2+y^2) dx dy\), obszar \(A\) jest trójkątem o wierzchołkach \((0,0), (2,1), (1,3)\)
-
\(\int\!\!\!\int_{A} (2x-y) dx dy\), obszar \(A\) jest równoległobokiem o wierzchołkach \((0,0), (3,1), (3,2), (0,1)\)
-
\(\int\!\!\!\int_{A} (xy-2x^2) dx dy\), obszar \(A\) jest ograniczony prostymi \(y=0, x=2\) oraz parabolą \(y=x^2\)