Z Skrypty dla studentów Ekonofizyki UPGOW
| (Nie pokazano 2 wersji pomiędzy niniejszymi.) | |||
| Linia 1: | Linia 1: | ||
[[Category:KURS MATEMATYKI]] | [[Category:KURS MATEMATYKI]] | ||
| + | Podamy poniżej intuicyjne określenia zbiorów liczbowych, które są w zupełności wystarczające dla celów niniejszego skryptu. Nie są to w żadnym przypadku ścisłe definicje, które są bardzo rozbudowane. | ||
| + | |||
== Liczby naturalne == | == Liczby naturalne == | ||
| - | Zbiór liczb naturalnych N tworzą liczby | + | Zbiór liczb naturalnych <math>\mathbb{N}</math> tworzą liczby <math>1,2,3,\ldots</math> |
| - | :<math>N = \{ | + | :<math>\mathbb{N} = \{1,2,3,\ldots \}</math> |
| - | Nie ma największej liczby naturalnej, czyli innymi słowy dla każdej liczby naturalnej można znaleźć liczbę większą. | + | Nie ma największej liczby naturalnej, czyli innymi słowy dla każdej liczby naturalnej można znaleźć liczbę większą. Matematycy czasami przyjmują, że najmniejszą liczbą naturalną jest 1, a czasami że 0. My przyjmiemy, że 1 jest najmniejszą liczbą naturalną. |
== Liczby całkowite == | == Liczby całkowite == | ||
| - | Zbiór liczb całkowitych C tworzą liczby | + | Zbiór liczb całkowitych <math>\mathbb{C}</math> tworzą liczby <math>\ldots,-3,-2,-1,0,1,2,3,\ldots</math> |
| - | :<math>C = \{\ldots,-3,-2,-1,0,1,2,3,\ldots \}</math> | + | :<math>\mathbb{C} = \{\ldots,-3,-2,-1,0,1,2,3,\ldots \}</math> |
| - | Nie ma najmniejszej ani największej liczby całkowitej, a zbiór liczb naturalnych zawiera się w zbiorze liczb całkowitych | + | Nie ma najmniejszej ani największej liczby całkowitej, a zbiór liczb naturalnych zawiera się w zbiorze liczb całkowitych: |
| - | :<math>N \subset C</math> | + | :<math>\mathbb{N} \subset \mathbb{C}</math> |
==Liczby wymierne== | ==Liczby wymierne== | ||
| - | Zbiór liczb wymiernych W tworzą liczby postaci <math>\frac{m}{n}</math>, gdzie <math>m,n \in C </math> oraz <math> n \neq 0</math> | + | Zbiór liczb wymiernych <math>\mathbb{W}</math> tworzą liczby postaci <math>\frac{m}{n}</math>, gdzie <math>m,n \in \mathbb{C} </math> oraz <math> n \neq 0</math> |
| - | :<math>W = \{\frac{m}{n} | + | :<math>\mathbb{W} = \{\frac{m}{n}: m,n \in \mathbb{C} \wedge n \neq 0\}</math> |
| - | Nie ma najmniejszej ani największej liczby wymiernej, a zbiór liczb całkowitych zawiera się w zbiorze liczb wymiernych | + | Nie ma najmniejszej ani największej liczby wymiernej, a zbiór liczb całkowitych zawiera się w zbiorze liczb wymiernych: |
| - | :<math>C \subset W</math> | + | :<math>\mathbb{C} \subset \mathbb{W}</math> |
== Liczby niewymierne == | == Liczby niewymierne == | ||
| - | Zbiór liczb niewymiernych IW tworzą liczby, których nie można przedstawić w postaci <math>\frac{m}{n}</math>, gdzie <math>m,n \in C</math>, oraz <math>n \neq 0</math>, czyli nie można przedstawić w postaci ułamka. Przykładami liczb niewymiernych są <math>\sqrt{2}</math>, <math>\pi</math>, <math>\sqrt{13}</math>, liczba <math>e</math> i nieskończenie wiele innych. Z | + | Zbiór liczb niewymiernych <math>\mathbb{IW}</math> tworzą liczby, których nie można przedstawić w postaci <math>\frac{m}{n}</math>, gdzie <math>m,n \in \mathbb{C}</math>, oraz <math>n \neq 0</math>, czyli nie można przedstawić w postaci ułamka. Przykładami liczb niewymiernych są <math>\sqrt{2}</math>, <math>\pi</math>, <math>\sqrt{13}</math>, liczba <math>e</math> i nieskończenie wiele innych. Z podanego określenia zbioru <math>\mathbb{IW}</math> wynika, że zbiory liczb wymiernych i niewymiernych są rozłączne, czyli nie posiadają elementów wspólnych: |
| - | :<math>W \cap IW = \emptyset</math> | + | :<math>\mathbb{W} \cap \mathbb{IW} = \emptyset</math> |
== Liczby rzeczywiste == | == Liczby rzeczywiste == | ||
| - | Zbiór liczb rzeczywistych R tworzy suma zbioru liczb wymiernych W i zbioru liczb niewymiernych IW (zbiory W i IW są rozłączne) | + | Zbiór liczb rzeczywistych <math>\mathbb{R}</math> tworzy suma zbioru liczb wymiernych <math>\mathbb{W}</math> i zbioru liczb niewymiernych <math>\mathbb{IW}</math> (zbiory <math>\mathbb{W}</math> i <math>\mathbb{IW}</math> są rozłączne): |
| - | :<math>R = W \cup IW</math> | + | :<math>\mathbb{R} = \mathbb{W} \cup \mathbb{IW}</math> |
| - | Oczywiście nie ma najmniejszej ani największej liczby rzeczywistej, a pomiędzy dwie dowolne liczby rzeczywiste można włożyć nieskończenie wiele liczb rzeczywistych | + | Oczywiście nie ma najmniejszej ani największej liczby rzeczywistej, a pomiędzy dwie dowolne liczby rzeczywiste można włożyć nieskończenie wiele liczb rzeczywistych. |
== Liczby zespolone == | == Liczby zespolone == | ||
| - | Zbiór liczb zespolonych Z tworzą liczby postaci <math> | + | Zbiór liczb zespolonych <math>\mathbb{Z}</math> tworzą liczby postaci <math> z = a + i\,b </math>, gdzie <math> a,b \in \mathbb{R} </math>, a <math> i </math> jest tzw. jednostką urojoną, czyli rozwiązaniem równania <math> i^{2} = -1 </math>. |
| - | :<math>Z = \{ | + | :<math>\mathbb{Z} = \{ z = a + i\,b:\ a,b \in \mathbb{R},\ i^{2} = -1\} </math> |
| - | Liczby zespolone przedstawia się zwykle na tzw. płaszczyźnie zespolonej, która jest podzielona na cztery części dwoma osiami: rzeczywistą | + | Liczby zespolone przedstawia się zwykle na tzw. płaszczyźnie zespolonej, która jest podzielona na cztery części dwoma osiami: rzeczywistą i urojoną. Własności i działania na liczbach zespolonych zostaną omówione w dalszej części kursu. |
| - | W świetle powyższych | + | W świetle powyższych określeń, oczywista jest następująca zależność zawierania się zbiorów liczbowych: |
<br> | <br> | ||
| - | :<math>N \subset C \subset W \subset R \subset Z</math> | + | :<math>\mathbb{N} \subset \mathbb{C} \subset \mathbb{W} \subset \mathbb{R} \subset \mathbb{Z}</math> |
| + | |||
| + | W literaturze można spotkać inne oznaczenia zbiorów liczbowych<math>: \mathbb{Z}</math> - zbiór liczb całkowitych, <math> \mathbb{Q}</math> - zbiór liczb wymiernych, <math>\mathbb{C}</math> - zbiór liczb zespolonych. | ||
Aktualna wersja na dzień 08:53, 31 mar 2015
Podamy poniżej intuicyjne określenia zbiorów liczbowych, które są w zupełności wystarczające dla celów niniejszego skryptu. Nie są to w żadnym przypadku ścisłe definicje, które są bardzo rozbudowane.
Spis treści |
Liczby naturalne
Zbiór liczb naturalnych \(\mathbb{N}\) tworzą liczby \(1,2,3,\ldots\)
\[\mathbb{N} = \{1,2,3,\ldots \}\]
Nie ma największej liczby naturalnej, czyli innymi słowy dla każdej liczby naturalnej można znaleźć liczbę większą. Matematycy czasami przyjmują, że najmniejszą liczbą naturalną jest 1, a czasami że 0. My przyjmiemy, że 1 jest najmniejszą liczbą naturalną.
Liczby całkowite
Zbiór liczb całkowitych \(\mathbb{C}\) tworzą liczby \(\ldots,-3,-2,-1,0,1,2,3,\ldots\)
\[\mathbb{C} = \{\ldots,-3,-2,-1,0,1,2,3,\ldots \}\]
Nie ma najmniejszej ani największej liczby całkowitej, a zbiór liczb naturalnych zawiera się w zbiorze liczb całkowitych:
\[\mathbb{N} \subset \mathbb{C}\]
Liczby wymierne
Zbiór liczb wymiernych \(\mathbb{W}\) tworzą liczby postaci \(\frac{m}{n}\), gdzie \(m,n \in \mathbb{C} \) oraz \( n \neq 0\)
\[\mathbb{W} = \{\frac{m}{n}: m,n \in \mathbb{C} \wedge n \neq 0\}\]
Nie ma najmniejszej ani największej liczby wymiernej, a zbiór liczb całkowitych zawiera się w zbiorze liczb wymiernych:
\[\mathbb{C} \subset \mathbb{W}\]
Liczby niewymierne
Zbiór liczb niewymiernych \(\mathbb{IW}\) tworzą liczby, których nie można przedstawić w postaci \(\frac{m}{n}\), gdzie \(m,n \in \mathbb{C}\), oraz \(n \neq 0\), czyli nie można przedstawić w postaci ułamka. Przykładami liczb niewymiernych są \(\sqrt{2}\), \(\pi\), \(\sqrt{13}\), liczba \(e\) i nieskończenie wiele innych. Z podanego określenia zbioru \(\mathbb{IW}\) wynika, że zbiory liczb wymiernych i niewymiernych są rozłączne, czyli nie posiadają elementów wspólnych:
\[\mathbb{W} \cap \mathbb{IW} = \emptyset\]
Liczby rzeczywiste
Zbiór liczb rzeczywistych \(\mathbb{R}\) tworzy suma zbioru liczb wymiernych \(\mathbb{W}\) i zbioru liczb niewymiernych \(\mathbb{IW}\) (zbiory \(\mathbb{W}\) i \(\mathbb{IW}\) są rozłączne):
\[\mathbb{R} = \mathbb{W} \cup \mathbb{IW}\]
Oczywiście nie ma najmniejszej ani największej liczby rzeczywistej, a pomiędzy dwie dowolne liczby rzeczywiste można włożyć nieskończenie wiele liczb rzeczywistych.
Liczby zespolone
Zbiór liczb zespolonych \(\mathbb{Z}\) tworzą liczby postaci \( z = a + i\,b \), gdzie \( a,b \in \mathbb{R} \), a \( i \) jest tzw. jednostką urojoną, czyli rozwiązaniem równania \( i^{2} = -1 \).
\[\mathbb{Z} = \{ z = a + i\,b:\ a,b \in \mathbb{R},\ i^{2} = -1\} \]
Liczby zespolone przedstawia się zwykle na tzw. płaszczyźnie zespolonej, która jest podzielona na cztery części dwoma osiami: rzeczywistą i urojoną. Własności i działania na liczbach zespolonych zostaną omówione w dalszej części kursu.
W świetle powyższych określeń, oczywista jest następująca zależność zawierania się zbiorów liczbowych:
\[\mathbb{N} \subset \mathbb{C} \subset \mathbb{W} \subset \mathbb{R} \subset \mathbb{Z}\]
W literaturze można spotkać inne oznaczenia zbiorów liczbowych\(: \mathbb{Z}\) - zbiór liczb całkowitych, \( \mathbb{Q}\) - zbiór liczb wymiernych, \(\mathbb{C}\) - zbiór liczb zespolonych.