Z Skrypty dla studentów Ekonofizyki UPGOW

Aktualna wersja na dzień 09:14, 31 mar 2015

Funkcja dwóch zmiennych i jej wykres

Funkcją dwóch zmiennych \(z=f(x,y)\) będziemy nazywać przyporządkowanie parze liczb rzeczywistych \((x,y)\) dokładnie jednej liczby rzeczywistej \(z\). Zatem dziedziną funkcji \(f(x,y)\) będzie zbiór \(D \subset \mathbb{R} \times \mathbb{R} \) taki, że dla dowolnej pary \((x,y) \in D \) istnieje \(z=f(x,y)\). Dziedzinę można przedstawiać jako pewien obszar na płaszczyźnie \(XY\). \[f:\ \ \mathbb{R}^2 \supset D \ni (x,y) \to f(x,y) \in \mathbb{R}\] Wykres funkcji dwóch zmiennych jest powierzchnią i może być przedstawiony w przestrzeni trójwymiarowej \(XYZ\) (Rys. 1).

Rys. 1 Przykładowy wykres funkcji dwóch zmiennych

Przykład

• Dziedzina funkcji (Rys. 2a) i wykres funkcji (Rys. 2b) \(z=\sqrt{9-x^2-y^2}\)

Rys. 2a Dziedzina funkcji \(z=\sqrt{9-x^2-y^2}\)

Rys. 2b Wykres funkcji \(z=\sqrt{9-x^2-y^2}\)

• Inne przykłady wykresów funkcji dwóch zmiennych znajdują się na rysunkach Rys. 2c (funkcja \(z=-\sqrt{x^2+y^2}\)) i Rys. 2d (funkcja \(z=xy\))

Rys. 2c Wykres funkcji \(z=-\sqrt{x^2+y^2}\)

Rys. 2d Wykres funkcji \(z=xy\)

Pochodna cząstkowa I-go rzędu funkcji dwóch zmiennych

Pochodna cząstkowa funkcji dwóch zmiennych jest to pochodna względem jednej z jej zmiennych przy ustaleniu drugiej. Pochodną cząstkową możemy oznaczać w jeden z następujących sposobów

\(f^\prime_x,\ f_x,\ \partial_x f, \frac{\partial}{\partial x}f, \text{ lub } \frac{\partial f}{\partial x}\)

Niech funkcja \(f\) będzie określona przynajmniej na otoczeniu punktu \((x_0, y_0)\).

Pochodną cząstkową pierwszego rzędu funkcji \(f\) względem zmiennej \(x\) w punkcie \((x_0, y_0)\) określamy wzorem

\[\frac{ \partial }{\partial x }f(x_0,y_0) = \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{ f(x_0 + \Delta x,y_0) - f(x_0,y_0) \over{\Delta x} }\]

Pochodną cząstkową pierwszego rzędu funkcji \(f\) względem zmiennej \(y\) w punkcie \((x_0, y_0)\) określamy wzorem

\[\frac{ \partial }{\partial y }f(x_0,y_0) = \lim_{\Delta y \rightarrow 0}{ f(x_0,y_0 + \Delta y) - f(x_0,y_0) \over{\Delta y} }\]

Przykład

Pochodne cząstkowe funkcji \(z=f(x,y)=x^3y^3-2x^2\).

• Pochodna cząstkowa względem zmiennej \(x\),

\(\frac{ \partial }{\partial x }f(x,y) = 3x^2y^3-4x\)

• Pochodna cząstkowa względem zmiennej \(y\),

\(\frac{ \partial }{\partial y }f(x,y) = x^3 3y^2\)

Pochodne cząstkowe II-go rzędu funkcji dwóch zmiennych

Niech funkcja \(f(x,y)\) ma pochodne cząstkowe \(\frac{\partial f}{\partial x}\) i \(\frac{\partial f}{\partial y}\) przynajmniej w otoczeniu punktu \((x_0, y_0)\), przy czym przez otoczenie punktu (na płaszczyźnie) rozumiemy każde koło o środku w punkcie \((x_0, y_0)\). Wtedy pochodne cząstkowe drugiego rzędu tej funkcji w punkcie \((x_0, y_0)\) określamy wzorami:

\[\frac{\partial^2f(x_0,y_0)}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x} ( {\partial f(x,y)\over{\partial x}})_{(x,y)=(x_0,y_0)} \ \]

\[\frac{\partial^2f(x_0,y_0)}{\partial x \partial y} = \frac{\partial}{\partial x} ( {\partial f(x,y)\over{\partial y}})_{(x,y)=(x_0,y_0)} \ \]

\[\frac{\partial^2f(x_0,y_0)}{\partial y^2} = \frac{\partial}{\partial y} ( {\partial f(x,y)\over{\partial y}})_{(x,y)=(x_0,y_0)} \ \]

\[\frac{\partial^2f(x_0,y_0)}{\partial y \partial x} = \frac{\partial}{\partial y} ( {\partial f(x,y)\over{\partial x}})_{(x,y)=(x_0,y_0)} \]

Można je także oznaczyć następującymi symbolami \(f_{xx}^{\prime \prime}(x_0,y_0),f_{xy}^{\prime \prime}(x_0,y_0),f_{yy}^{\prime \prime}(x_0,y_0),f_{yx}^{\prime \prime}(x_0,y_0)\).

Jeżeli w pewnym otoczeniu punktu \((x_0, y_0)\) istnieją pochodne \(f_{xy}^{\prime \prime}(x_0,y_0), f_{yx}^{\prime \prime}(x_0,y_0)\) i są w tym punkcie ciągłe to

\[f_{xy}^{\prime \prime}(x_0,y_0) = f_{yx}^{\prime \prime}(x_0,y_0),\]

co oznacza, że w przypadku takich funkcji kolejność różniczkowania nie ma znaczenia.

Przykład

Obliczymy teraz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji \(z=f(x,y)=x^3y^3-2x^2\). Skorzystamy z obliczonych powyżej pochodnych cząstkowych rzędu pierwszego.

\[f_{xx}^{\prime \prime}(x,y) = \frac{\partial^2f(x,y)}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x} ( {\partial f(x,y)\over{\partial x}}) = \frac{\partial}{\partial x}(3x^2y^3-4x) = 6xy^3 - 4,\] \[f_{yy}^{\prime \prime}(x,y) = \frac{\partial^2f(x,y)}{\partial y^2} = \frac{\partial}{\partial y} ( {\partial f(x,y)\over{\partial y}}) = \frac{\partial}{\partial y}(3x^3y^2) = 6x^3y,\] \[f_{yx}^{\prime \prime}(x,y) = \frac{\partial^2f(x,y)}{\partial y \partial x} = \frac{\partial}{\partial x} ( {\partial f(x,y)\over{\partial y}}) = \frac{\partial}{\partial x}(3x^3y^2) = 9x^2y^2,\] \[f_{xy}^{\prime \prime}(x,y) = \frac{\partial^2f(x,y)}{\partial x \partial y} = \frac{\partial}{\partial y} ( {\partial f(x,y)\over{\partial x}}) = \frac{\partial}{\partial y}(3x^2y^3-4x) = 9x^2y^2.\]

Jak widzimy pochodne rzędu drugiego mieszane \(f_{xy}^{\prime \prime}(x,y)\) i \(f_{yx}^{\prime \prime}(x,y)\) są sobie równe.

Ekstremum lokalne funkcji dwóch zmiennych

• Funkcja \(f(x,y)\) ma w punkcie \((x_0, y_0)\) minimum lokalne, jeżeli istnieje sąsiedztwo tego punktu takie, że dla dowolnego \((x, y)\) należącego do tego sąsiedztwa zachodzi nierówność \(f(x, y) \gt f(x_0, y_0)\).

• Funkcja \(f(x,y)\) ma w punkcie \((x_0, y_0)\) maksimum lokalne, jeżeli istnieje sąsiedztwo tego punktu takie, że dla dowolnego \((x, y)\) należącego do tego sąsiedztwa zachodzi nierówność \(f(x, y) \lt f(x_0, y_0)\).

Warunek konieczny istnienia lokalnego ekstremum

Jeżeli funkcja \(f(x,y)\) ma ekstremum lokalne w punkcie \((x_0, y_0)\) oraz istnieją pochodne cząstkowe \( \frac{\partial f(x_0,y_0)}{\partial x}\) i \(\frac{\partial f(x_0,y_0)}{\partial y}\) to \[\frac{\partial f(x_0,y_0)}{\partial x}=\frac{\partial f(x_0,y_0)}{\partial y}=0\]

Warunek wystarczający istnienia lokalnego ekstremum

Jeżeli spełniony jest warunek konieczny istnienia lokalnego ekstremum oraz wartość w punkcie \((x_0, y_0)\) podanego poniżej wyznacznika jest dodatnia \[ W(x_0,y_0) = \begin{vmatrix} \frac{\partial^2f(x_0,y_0)}{\partial x^2} & \frac{\partial^2f(x_0,y_0)}{\partial x \partial y} \\ \frac{\partial^2f(x_0,y_0)}{\partial y \partial x} & \frac{\partial^2f(x_0,y_0)}{\partial y^2} \end{vmatrix} >0 \] to wtedy funkcja \(f(x,y)\) ma w punkcie \((x_0, y_0)\) ekstremum lokalne i jest to minimum, jeżeli \(\frac{\partial^2f(x_0,y_0)}{\partial x^2}>0 \text{ lub } \frac{\partial^2f(x_0,y_0)}{\partial y^2}>0\) albo maksimum, jeżeli \(\frac{\partial^2f(x_0,y_0)}{\partial x^2}<0 \text{ lub } \frac{\partial^2f(x_0,y_0)}{\partial y^2}<0.\)

Ponadto

• Jeżeli \( W(x_0,y_0) < 0 \) to funkcja \(f(x,y)\) nie ma ekstremum w punkcie \((x_0, y_0)\),
• Jeżeli \( W(x_0,y_0) = 0 \) to w pewnych przypadkach (czyli w zależności od postaci funkcji \(f(x,y)\)) funkcja może mieć ekstremum lokalne w punkcie \((x_0, y_0)\), a w innych przypadkach może nie posiadać ekstremum lokalnego w tym punkcie.

Podobnie jak w przypadku znajdowania ekstremum lokalnego funkcji jednej zmiennej rozwiązaniem układu równań stanowiących warunek konieczny istnienia ekstremum funkcji jest zbiór punktów podejrzanych o to, że funkcja może mieć w nich ekstremum, ale nie musi. Dopiero większa od zera wartość wyznacznika \(W\) (warunek wystarczający istnienia ekstremum lokalnego) w punkcie podejrzanym przesądza o istnieniu ekstremum.

Zbadamy ekstrema funkcji \(f(x,y) = x^3 + 2y^2 -3xy - 1\). Pochodne cząstkowe rzędu pierwszego są równe \(f'_x(x,y) = 3x^2 - 3y\), \(f'_y(x,y) = 4y - 3x\), a warunek konieczny istnienia ekstremum funkcji dwóch zmiennych sprowadza się do rozwiązania układu równań

\[\left\{ \begin{array}{ccc} 3x^2 - 3y & = & 0 \\ 4y - 3x & = & 0 \\ \end{array} \right.\]

którego rozwiązaniem są dwie pary \((x,y):\) \((x_1,y_1) = (0,0)\) i \((x_2,y_2) = (1,\frac{3}{4})\). Otrzymaliśmy dwa punkty \(A(0,0)\) oraz \(B(1,\frac{3}{4})\), w których może być ekstremum. Zastosowanie warunku wystarczającego istnienia ekstremum funkcji dwóch zmiennych wymaga wyznaczenia wartości wyznacznika

\[ W(x,y) = \begin{vmatrix} \frac{\partial^2f(x,y)}{\partial x^2} & \frac{\partial^2f(x,y)}{\partial x \partial y} \\ \frac{\partial^2f(x,y)}{\partial y \partial x} & \frac{\partial^2f(x,y)}{\partial y^2} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 6x & -3 \\ -3 & 4 \end{vmatrix} = 24x -9 \]

w dwóch punktach podejrzanych \(A(0,0)\) oraz \(B(1,\frac{3}{4})\). Otrzymujemy \(W(0,0) = -9 \lt 0\) co oznacza, że funkcja nie ma ekstremum w punkcie \(A(0,0)\). Natomiast \(W(1,\frac{3}{4}) = 15 \gt 0\) i funkcja ma w punkcie \(B(1,\frac{3}{4})\) ekstremum i jest to minimum, ponieważ \(\frac{\partial^2f(1,\frac{3}{4})}{\partial x^2} = 6 \gt 0\).

Ekstremum warunkowe funkcji dwóch zmiennych

Rozważaliśmy już znajdowanie ekstremów lokalnych funkcji dwóch zmiennych \(f(x,y)\). Gdy na ekstremum funkcji \(f(x,y)\) w punkcie o współrzędnych \((x_0,y_0)\) nałożymy dodatkowy warunek \(w(x,y)=0\), to otrzymamy ekstremum warunkowe funkcji \(f(x,y)\) przy warunku \(w(x,y)=0\). Oczywiście musi zachodzić \(w(x_0,y_0)=0\).

Do znajdowania ekstremum warunkowego funkcji dwóch zmiennych \(f(x,y)\) przy warunku \(w(x,y)=0\) najczęściej stosuje się metodę czynnika nieoznaczonego Lagrange’a, w której tworzymy tzw. funkcję pomocniczą Lagrange’a

\[\begin{aligned} P(x,y) = f(x,y) + \lambda w(x,y), \nonumber \end{aligned}\]

gdzie \(\lambda\) jest czynnikiem nieoznaczonym. Zastosowanie warunku koniecznego dla ekstremum funkcji dwóch zmiennych do funkcji pomocniczej Lagrange'a

\[\left\{ \begin{array}{c} \ \frac{\partial P}{\partial x}\; =\ \, 0 \\ \ \frac{\partial P}{\partial y}\; =\ \, 0 \end{array} \right.\]

prowadzi do następującego układu równań

\[\left\{ \begin{array}{c} \ \frac{\partial f}{\partial x}\ +\ \;\lambda\,\frac{\partial w}{\partial x}\ =\ \; 0 \\ \ \frac{\partial f}{\partial y}\ +\ \;\lambda\,\frac{\partial w}{\partial y}\ =\ \; 0 \end{array} \right.\]

który można traktować jako jednorodny układ dwóch równań liniowych

\[\left\{ \begin{array}{c} \ \frac{\partial f}{\partial x} \cdot 1\ \; +\ \; \frac{\partial w}{\partial x} \cdot \lambda\ \; =\ \; 0 \\ \ \frac{\partial f}{\partial y} \cdot 1\ \; +\ \; \frac{\partial w}{\partial y} \cdot \lambda\ \; =\ \; 0 \end{array} \right.\]

Jak pewnie pamiętamy z algebry, jednorodny układ \(n\) równań liniowych o \(n\) niewiadomych posiada niezerowe rozwiązania, wtedy i tylko wtedy, gdy zeruje się wyznacznik współczynników tego układu. Gdy dodamy do tego \(w(x,y) = 0\) otrzymamy warunek konieczny dla ekstremum warunkowego funkcji dwóch zmiennych

\[\left| \begin{array}{cc} \frac{\partial f}{\partial x} & \frac{\partial w}{\partial x} \\ \frac{\partial f}{\partial y} & \frac{\partial w}{\partial y} \\ \end{array} \right| = 0, \quad w(x,y) = 0.\]

Na przykładzie pokażemy jak stosować metodę czynnika nieoznaczonego Lagrange’a do znajdowania ekstremum warunkowego funkcji dwóch zmiennych.

Znaleźć ekstremum funkcji \(f(x,y)=x^2+y^2\) przy warunku \(w(x,y)=x+y-2=0\).

Stosując, otrzymamy powyżej przy pomocy metody czynnika nieoznaczonego Lagarnge'a, warunek konieczny dla ekstremum warunkowego otrzymujemy

\[\left| \begin{array}{cc} \frac{\partial (x^2 + y^2)}{\partial x} & \frac{\partial (x+y-2)}{\partial x} \\ \frac{\partial (x^2 + y^2)}{\partial y} & \frac{\partial (x+y-2)}{\partial y} \\ \end{array} \right| = 0, \quad x + y -2 = 0,\]

a po obliczeniu pochodnych cząstkowych

\[\left| \begin{array}{cc} 2x & 1 \\ 2y & 1 \\ \end{array} \right| = 0, \quad x + y -2 = 0.\]

Po obliczeniu wyznacznika dostajemy do rozwiązania układ dwóch równań liniowych

\[\left\{ \begin{array}{ccc} x & = & y \\ x + y - 2 & = & 0, \\ \end{array} \right.\]

którego rozwiązaniem jest \(x = y = 1\), czyli punkt \(A(1,1)\). Jest to punkt podejrzany o to, że może w nim być ekstremum warunkowe. Albo innymi słowy: jeżeli funkcja \(f(x,y)=x^2+y^2\) posiada ekstremum warunkowe to tylko w punkcie \(A(1,1)\). Musimy sprawdzić warunek wystarczający istnienia ekstremum. Z warunku \(w(x,y)=0\) otrzymujemy \(y=2-x\), a funkcja \(f(x,y)=x^2+y^2=x^2+(2-x)^2=2x^2-4x+4=g(x)\), staje się funkcją jednej zmiennej (zazwyczaj otrzymujemy tutaj tzw. funkcję uwikłaną i taką funkcją w ogólności trzeba się zajmować - to jednak wykracza poza zakres naszego kursu). Badając znanymi sposobami ekstremum funkcji \(g(x)\) znajdujemy, że \(g'(x)=4x-4\), \(g'(x)=0\) dla \( x=1 \), a także \(g''(1)=4>0\). Zatem ekstremum warunkowe funkcji \(f(x,y)=x^2+y^2\) przy warunku \(w(x,y)=x+y-2=0\) znajduje się w punkcie \(A(1,1)\).

Definicja funkcji trzech zmiennych

Funkcją trzech zmiennych \(w=f(x,y,z)\) będziemy nazywać przyporządkowanie trzem liczbom rzeczywistym \((x,y,z)\) dokładnie jednej liczby rzeczywistej \(w\). Zatem dziedziną funkcji \(f(x,y,z)\) będzie zbiór \(D \subset \mathbb{R}^3 \) taki, że dla dowolnych trzech liczb \((x,y,z) \in D \) istnieje \(w=f(x,y,z)\). Dziedzinę można przedstawić jako pewien obszar w przestrzeni trójwymiarowej \(XYZ\). \[f:\ \ R^3 \supset D \ni (x,y,z) \to f(x,y,z) \in \mathbb{R}\] Nie ma prostego przedstawienia wykresu funkcji trzech zmiennych (wykres leży w przestrzeni czterowymiarowej).

Zadania

1. Wyznacz dziedzinę następujących funkcji:
   1. \(f(x,y)={3x+5 \over{x^2+(y-1)^2}}\)
   2. \(f(x,y)=\ln(x^2+y^2+6x+8y)-10x+\sqrt{3}\)
   3. \(f(x,y)=\sqrt[4]{6-3x^2-3y^2}+{1 \over{2x+y}}\)
2. Obliczyć pochodne cząstkowe do rzędu drugiego włącznie następujących funkcji
   1. \(f(x,y)=3x^3-2y^2+x^3y^3-3xy\)
   2. \(f(x,y)=\cos{xy}-\sin{x}+\cos{3x}\)
   3. \(f(x,y)=\sqrt{x^2+y^2-xy}\)
   4. \(f(x,y)=x^{\frac{2}{y}}-\log_{10}(xy^2) \text{ dla } x>0 \text{ i } y \ne 0 \)
   5. \(f(x,y)=\sqrt{5x^4+y^8}\)
   6. \(f(x,y)=\arctan{\frac{y^2}{x}} \text{ dla } x \ne 0\)
3. Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji
   1. \(f(x,y)=e^{3x-2y}(3x^2-y^2)\)
   2. \(f(x,y)=-8x^3+y^3-24xy-4\)
   3. \(f(x,y)=3x^8+3y^8+8x^3y^3\)
   4. \(f(x,y)=y^2-3x^2y-x^3y\)
   5. \(f(x,y)=24xy-2x^3y-4xy^2\)