Z Skrypty dla studentów Ekonofizyki UPGOW

Wersja z 08:25, 17 mar 2014 (pokaż źródło) SewerynKowalski (dyskusja | edycje) (UWAGA! Zastąpienie treści hasła bardzo krótkim tekstem: „'''W przygotowaniu'''”) ← poprzednia edycja		Aktualna wersja na dzień 08:53, 31 mar 2015 (pokaż źródło) SewerynKowalski (dyskusja | edycje)
Linia 1:		Linia 1:
-	'''W przygotowaniu'''	+	[[Category:KURS MATEMATYKI]]
		+	Podamy poniżej intuicyjne określenia zbiorów liczbowych, które są w zupełności wystarczające dla celów niniejszego skryptu. Nie są to w żadnym przypadku ścisłe definicje, które są bardzo rozbudowane.
		+
		+	== Liczby naturalne ==
		+	Zbiór liczb naturalnych <math>\mathbb{N}</math> tworzą liczby <math>1,2,3,\ldots</math>
		+
		+	:<math>\mathbb{N} = \{1,2,3,\ldots \}</math>
		+
		+	Nie ma największej liczby naturalnej, czyli innymi słowy dla każdej liczby naturalnej można znaleźć liczbę większą. Matematycy czasami przyjmują, że najmniejszą liczbą naturalną jest 1, a czasami że 0. My przyjmiemy, że 1 jest najmniejszą liczbą naturalną.
		+
		+	== Liczby całkowite ==
		+	Zbiór liczb całkowitych <math>\mathbb{C}</math> tworzą liczby <math>\ldots,-3,-2,-1,0,1,2,3,\ldots</math>
		+
		+	:<math>\mathbb{C} = \{\ldots,-3,-2,-1,0,1,2,3,\ldots \}</math>
		+
		+	Nie ma najmniejszej ani największej liczby całkowitej, a zbiór liczb naturalnych zawiera się w zbiorze liczb całkowitych:
		+
		+	:<math>\mathbb{N} \subset \mathbb{C}</math>
		+
		+	==Liczby wymierne==
		+	Zbiór liczb wymiernych <math>\mathbb{W}</math> tworzą liczby postaci <math>\frac{m}{n}</math>, gdzie <math>m,n \in \mathbb{C} </math> oraz <math> n \neq 0</math>
		+
		+	:<math>\mathbb{W} = \{\frac{m}{n}: m,n \in \mathbb{C} \wedge n \neq 0\}</math>
		+
		+	Nie ma najmniejszej ani największej liczby wymiernej, a zbiór liczb całkowitych zawiera się w zbiorze liczb wymiernych:
		+
		+	:<math>\mathbb{C} \subset \mathbb{W}</math>
		+
		+	== Liczby niewymierne ==
		+	Zbiór liczb niewymiernych <math>\mathbb{IW}</math> tworzą liczby, których nie można przedstawić w postaci <math>\frac{m}{n}</math>, gdzie <math>m,n \in \mathbb{C}</math>, oraz <math>n \neq 0</math>, czyli nie można przedstawić w postaci ułamka. Przykładami liczb niewymiernych są <math>\sqrt{2}</math>, <math>\pi</math>, <math>\sqrt{13}</math>, liczba <math>e</math> i nieskończenie wiele innych. Z podanego określenia zbioru <math>\mathbb{IW}</math> wynika, że zbiory liczb wymiernych i niewymiernych są rozłączne, czyli nie posiadają elementów wspólnych:
		+
		+	:<math>\mathbb{W} \cap \mathbb{IW} = \emptyset</math>
		+
		+	== Liczby rzeczywiste ==
		+	Zbiór liczb rzeczywistych <math>\mathbb{R}</math> tworzy suma zbioru liczb wymiernych <math>\mathbb{W}</math> i zbioru liczb niewymiernych <math>\mathbb{IW}</math> (zbiory <math>\mathbb{W}</math> i <math>\mathbb{IW}</math> są rozłączne):
		+
		+	:<math>\mathbb{R} = \mathbb{W} \cup \mathbb{IW}</math>
		+
		+	Oczywiście nie ma najmniejszej ani największej liczby rzeczywistej, a pomiędzy dwie dowolne liczby rzeczywiste można włożyć nieskończenie wiele liczb rzeczywistych.
		+
		+	== Liczby zespolone ==
		+	Zbiór liczb zespolonych <math>\mathbb{Z}</math> tworzą liczby postaci <math> z = a + i\,b </math>, gdzie <math> a,b \in \mathbb{R} </math>, a <math> i </math> jest tzw. jednostką urojoną, czyli rozwiązaniem równania <math> i^{2} = -1 </math>.
		+
		+	:<math>\mathbb{Z} =  \{ z = a + i\,b:\ a,b \in \mathbb{R},\ i^{2} = -1\} </math>
		+
		+	Liczby zespolone przedstawia się zwykle na tzw. płaszczyźnie zespolonej, która jest podzielona na cztery części dwoma osiami: rzeczywistą  i urojoną. Własności i działania na liczbach zespolonych zostaną omówione w dalszej części kursu.
		+
		+	W świetle powyższych określeń, oczywista jest następująca zależność zawierania się zbiorów liczbowych:
		+	<br>
		+	:<math>\mathbb{N} \subset \mathbb{C} \subset \mathbb{W} \subset \mathbb{R} \subset \mathbb{Z}</math>
		+
		+	W literaturze można spotkać inne oznaczenia zbiorów liczbowych<math>: \mathbb{Z}</math> - zbiór liczb całkowitych, <math> \mathbb{Q}</math> - zbiór liczb wymiernych, <math>\mathbb{C}</math> - zbiór liczb zespolonych.

---

Aktualna wersja na dzień 08:53, 31 mar 2015

Podamy poniżej intuicyjne określenia zbiorów liczbowych, które są w zupełności wystarczające dla celów niniejszego skryptu. Nie są to w żadnym przypadku ścisłe definicje, które są bardzo rozbudowane.

Spis treści [ukryj] 1 Liczby naturalne 2 Liczby całkowite 3 Liczby wymierne 4 Liczby niewymierne 5 Liczby rzeczywiste 6 Liczby zespolone

Liczby naturalne

Zbiór liczb naturalnych $\mathbb{N}$ tworzą liczby $1,2,3,\ldots$

$$\mathbb{N} = \{1,2,3,\ldots \}$$

Nie ma największej liczby naturalnej, czyli innymi słowy dla każdej liczby naturalnej można znaleźć liczbę większą. Matematycy czasami przyjmują, że najmniejszą liczbą naturalną jest 1, a czasami że 0. My przyjmiemy, że 1 jest najmniejszą liczbą naturalną.

Liczby całkowite

Zbiór liczb całkowitych $\mathbb{C}$ tworzą liczby $\ldots,-3,-2,-1,0,1,2,3,\ldots$

$$\mathbb{C} = \{\ldots,-3,-2,-1,0,1,2,3,\ldots \}$$

Nie ma najmniejszej ani największej liczby całkowitej, a zbiór liczb naturalnych zawiera się w zbiorze liczb całkowitych:

$$\mathbb{N} \subset \mathbb{C}$$

Liczby wymierne

Zbiór liczb wymiernych $\mathbb{W}$ tworzą liczby postaci $\frac{m}{n}$, gdzie $m,n \in \mathbb{C}$ oraz $n \neq 0$

$$\mathbb{W} = \{\frac{m}{n}: m,n \in \mathbb{C} \wedge n \neq 0\}$$

Nie ma najmniejszej ani największej liczby wymiernej, a zbiór liczb całkowitych zawiera się w zbiorze liczb wymiernych:

$$\mathbb{C} \subset \mathbb{W}$$

Liczby niewymierne

Zbiór liczb niewymiernych $\mathbb{IW}$ tworzą liczby, których nie można przedstawić w postaci $\frac{m}{n}$, gdzie $m,n \in \mathbb{C}$, oraz $n \neq 0$, czyli nie można przedstawić w postaci ułamka. Przykładami liczb niewymiernych są $\sqrt{2}$, $\pi$, $\sqrt{13}$, liczba $e$ i nieskończenie wiele innych. Z podanego określenia zbioru $\mathbb{IW}$ wynika, że zbiory liczb wymiernych i niewymiernych są rozłączne, czyli nie posiadają elementów wspólnych:

$$\mathbb{W} \cap \mathbb{IW} = \emptyset$$

Liczby rzeczywiste

Zbiór liczb rzeczywistych $\mathbb{R}$ tworzy suma zbioru liczb wymiernych $\mathbb{W}$ i zbioru liczb niewymiernych $\mathbb{IW}$ (zbiory $\mathbb{W}$ i $\mathbb{IW}$ są rozłączne):

$$\mathbb{R} = \mathbb{W} \cup \mathbb{IW}$$

Oczywiście nie ma najmniejszej ani największej liczby rzeczywistej, a pomiędzy dwie dowolne liczby rzeczywiste można włożyć nieskończenie wiele liczb rzeczywistych.

Liczby zespolone

Zbiór liczb zespolonych $\mathbb{Z}$ tworzą liczby postaci $z = a + i\,b$, gdzie $a,b \in \mathbb{R}$, a $i$ jest tzw. jednostką urojoną, czyli rozwiązaniem równania $i^{2} = -1$.

$$\mathbb{Z} = \{ z = a + i\,b:\ a,b \in \mathbb{R},\ i^{2} = -1\}$$

Liczby zespolone przedstawia się zwykle na tzw. płaszczyźnie zespolonej, która jest podzielona na cztery części dwoma osiami: rzeczywistą i urojoną. Własności i działania na liczbach zespolonych zostaną omówione w dalszej części kursu.

W świetle powyższych określeń, oczywista jest następująca zależność zawierania się zbiorów liczbowych:
$$\mathbb{N} \subset \mathbb{C} \subset \mathbb{W} \subset \mathbb{R} \subset \mathbb{Z}$$

W literaturze można spotkać inne oznaczenia zbiorów liczbowych$: \mathbb{Z}$ - zbiór liczb całkowitych, $\mathbb{Q}$ - zbiór liczb wymiernych, $\mathbb{C}$ - zbiór liczb zespolonych.