Szeregi liczbowe

Z Skrypty dla studentów Ekonofizyki UPGOW

(Różnice między wersjami)
(UWAGA! Zastąpienie treści hasła bardzo krótkim tekstem: „'''W przygotowaniu'''”)
 
Linia 1: Linia 1:
-
'''W przygotowaniu'''
+
[[Category:KURS MATEMATYKI]]
 +
W tym wykładzie zajmiemy się szeregami liczbowymi nieskończonymi, czyli nieskończonymi sumami liczb. Nasze rozważania rozpoczniemy od szeregów o wyrazach tylko dodatnich, a potem uogólnimy to na przypadek szeregów o wyrazach dowolnych. Podamy trzy kryteria zbieżności szeregów o wyrazach nieujemnych oraz jedno dla szeregów naprzemiennych. A na zakończenie powiemy o rozwijaniu funkcji w szereg potęgowy Taylora lub Maclaurina. Takie rozwinięcia mają duże zastosowanie w rozwiązywaniu wielu zagadnień fizycznych, jak np. ruch wahadła.<br />
 +
 
 +
 
 +
Szereg liczbowy nieskończony to nieskończona suma liczb, czyli wyrazów tego szeregu <math>a_1, a_2, \ldots</math>
 +
 
 +
:<math>\begin{aligned}
 +
a_1 + a_2 + a_3 + \ldots = \sum_{n=1}^{\infty} a_n \nonumber \end{aligned}</math>
 +
 
 +
Podobnie jak dla ciągów <math>a_n</math> nazywamy wyrazem ogólnym szeregu. Szereg nieskończony możemy rozpatrywać jako ciąg sum częściowych. Oczywiście można utworzyć nieskończenie wiele sum częściowych <math>s_m</math>, z których najprostsza to <math>s_1 = a_1</math>, a suma częściowa <math>s_m</math> wyraża się następującym wzorem
 +
 
 +
:<math>\begin{aligned}
 +
s_m = a_1 + a_2 + a_3 + \ldots + a_m = \sum_{n=1}^{m} a_n \nonumber \end{aligned}</math>
 +
 
 +
Granicę <math>s</math> ciągu sum częściowych nazywamy sumą szeregu liczbowego nieskończonego
 +
 
 +
:<math>\begin{aligned}
 +
\lim_{m \rightarrow \infty} s_m = s = \sum_{n=1}^{\infty} a_n \nonumber \end{aligned}</math>
 +
 
 +
Bardzo ważną własnością szeregów nieskończonych jest ich zbieżność bądź rozbieżność. Jeżeli ciąg sum częściwych <math>s_m</math> jest zbieżny:
 +
 
 +
:<math>\begin{aligned}
 +
\lim_{m \rightarrow \infty} s_m = s \nonumber \end{aligned}</math>
 +
 
 +
tzn. granica <math>s</math> jest skończona, to szereg nieskończony <math>\sum_{n=1}^{\infty} a_n</math> nazywamy zbieżnym. W przeciwnym wypadku szereg jest rozbieżny.
 +
<!--
 +
W takim przypadku ciąg sum częściowych zmierza do granicy <math>s</math>, która jest sumą zbieżnego szeregu liczbowego nieskończonego <math>\sum_{n=1}^{\infty} a_n</math>. Jeżeli granica ciągu sum częściowych nie istnieje to wtedy szereg nazywamy szeregiem rozbieżnym. Powiemy, że suma takiego szeregu, czyli granica ciągu sum częściowych, jest równa <math>\pm \infty</math> lub nie istnieje.
 +
-->
 +
Określenie zbieżności szeregów ma fundamentalne znaczenie dla ich zastosowań praktycznych.
 +
 
 +
Warunkiem koniecznym zbieżności szeregu jest to aby jego wyrazy <math>a_n</math> zmierzały do zera
 +
 
 +
:<math>\begin{aligned}
 +
\lim_{n \rightarrow \infty} a_n = 0 \nonumber \end{aligned}</math>
 +
 
 +
Jest to warunek konieczny ale nie wystarczający. Np. szereg ''harmoniczny'' o wyrazie ogólnym <math>a_n = \frac{1}{n}</math> jest rozbieżny, a <math>\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n}</math> = 0. 
 +
 
 +
== Szereg geometryczny ==
 +
 
 +
Nasze rozważania o szeregach rozpoczniemy od szeregu geometrycznego, który jest sumą wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego
 +
 
 +
:<math>\begin{aligned}
 +
a_1 + a_1q + a_1q^2 + a_1q^3 + \ldots = \sum_{n=0}^{\infty} a_1q^n \nonumber \end{aligned}</math>
 +
 
 +
Jak pamiętamy (rozdział o ciągach), ciąg jego sum częsciowych <math>S_n</math> dla <math>q \neq 1 </math> jest dany wzorem
 +
 
 +
:<math>\begin{aligned}
 +
S_n = a_1 + a_2 + ... + a_n = a_1 \cdot \frac{1 - q^n}{1 - q}. \nonumber \end{aligned}</math>
 +
 
 +
Można pokazać, że jeżeli <math>-1 \lt q \lt 1</math> to szereg geometryczny jest zbieżny a jego suma <math>S</math> wyraża się następującym wzorem
 +
 
 +
:<math>\begin{aligned}
 +
S = a_1 + a_1q + a_1q^2 + a_1q^3 + \ldots = \sum_{n=0}^{\infty} a_1q^n = \frac{a_1}{1-q}.\nonumber \end{aligned}</math>
 +
 
 +
Oczywiście <math>S</math> jest granicą ciągu sum częściowych <math>S_n</math> szeregu geometrycznego.
 +
 
 +
== Trzy kryteria zbieżności szeregów ==
 +
 
 +
Istnieje wiele kryteriów (czyli sposobów) określania zbieżności szeregów liczbowych. Są one wygodniejsze do zastosowania niż podana powyżej definicja zbieżności szeregu jako zbieżności ciągu jego sum częściowych. Podamy trzy, najczęściej stosowane, kryteria zbieżności szeregów o wyrazach dodatnich.
 +
 
 +
=== Kryterium Cauchy’ego ===
 +
 
 +
Dla szeregu <math>\sum_{n=1}^{\infty} a_n</math> tworzymy ciąg o wyrazie ogólnym <math>c_n = \sqrt[n]{a_n}</math> i obliczamy granicę ciągu <math>c_n</math>:
 +
 
 +
* Jeżeli <math>\lim_{n \rightarrow \infty} c_n < 1</math>, to szereg <math>\sum_{n=1}^{\infty} a_n</math> jest zbieżny,
 +
* Jeżeli <math>\lim_{n \rightarrow \infty} c_n > 1</math>, to szereg <math>\sum_{n=1}^{\infty} a_n</math> jest rozbieżny,
 +
* Jeżeli <math>\lim_{n \rightarrow \infty} c_n = 1</math>, to kryterium Cauchy’ego nie rozstrzyga o zbieżności szeregu <math>\sum_{n=1}^{\infty} a_n</math> (szereg może być zbieżny lub rozbieżny).
 +
 
 +
Zastosujemy teraz kryterium Cauchy'ego do badania zbiezności szeregu <math>\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^2}{2^n}</math>. Znajdujemy, że
 +
 
 +
:<math>\begin{aligned}
 +
\lim_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{a_n} = \lim_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{\frac{n^2}{2^n}} = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{\sqrt[n]{n^2}}{\sqrt[n]{2^n}} = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{(\sqrt[n]{n})^2}{2} = \frac{1}{2} < 1, \end{aligned}</math>
 +
 
 +
co oznacza, że szereg jest zbieżny. W obliczeniach skorzystaliśmy z bardzo ważnej granicy: <math>\lim_{n \rightarrow \infty}\sqrt[n]{n}=1.</math>
 +
 
 +
=== Kryterium d’Alemberta ===
 +
 
 +
Dla szeregu <math>\sum_{n=1}^{\infty} a_n</math> tworzymy ciąg o wyrazie ogólnym <math>d_n = \frac{a_{n+1}}{a_n}</math> i obliczamy granicę ciągu <math>d_n</math>:
 +
 
 +
* Jeżeli <math>\lim_{n \rightarrow \infty} d_n < 1</math>, to szereg <math>\sum_{n=1}^{\infty} a_n</math> jest zbieżny,
 +
* Jeżeli <math>\lim_{n \rightarrow \infty} d_n > 1</math>, to szereg <math>\sum_{n=1}^{\infty} a_n</math> jest rozbieżny,
 +
* Jeżeli <math>\lim_{n \rightarrow \infty} d_n = 1</math>, to kryterium d’Alemberta nie rozstrzyga o zbieżności szeregu <math>\sum_{n=1}^{\infty} a_n</math> (szereg może być zbieżny lub rozbieżny).
 +
 
 +
Warto zauważyć, że kryterium d’Alemberta jest słabsze od kryterium Cauchy’ego, tzn. jeżeli na podstawie kryterium d’Alemberta stwierdzimy, że szereg jest zbieżny to taką samą odpowiedź otrzymamy stosując kryterium Cauchy’ego, ale wnioskowanie odwrotne nie jest prawdziwe.
 +
 
 +
A teraz zbadamy zbieżność szeregu <math>\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^2}{2^n}</math> korzystając z kryterium d'Alemberta:
 +
 
 +
:<math>\begin{aligned}
 +
\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{(n+1)^2}{2^{n+1}} \frac{2^n}{n^2} = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{(n^2+2n+1)2^n}{n^22^n2} = \frac{1}{2} \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n^2+2n+1}{n^2} = \frac{1}{2} < 1, \end{aligned}</math>
 +
 
 +
ponieważ
 +
 
 +
:<math>\begin{aligned}
 +
\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n^2+2n+1}{n^2} = 1, \end{aligned}</math>
 +
 
 +
jak pokazaliśmy, znajdując podobną granicę, w rozdziale o granicy ciągu. Rozważany szereg jest zbieżny - taki sam wynik dostalismy z kryterium Cauchy'ego.
 +
 
 +
=== Kryterium porównawcze zbieżności szeregów ===
 +
 
 +
W tym kryterium korzystamy ze znajomości zbieżności (lub rozbieżności) jednego szeregu i porównujemy jego wyrazy z wyrazami szeregu o nieznanej zbieżności. I tak jeżeli dla <math>n > N</math> (skończona liczba początkowych wyrazów szeregu nie ma wpływu na jego zbieżność)
 +
 
 +
:<math>\begin{aligned}
 +
a_n \leq b_n, \end{aligned}</math>
 +
 
 +
to
 +
 
 +
* ze zbieżności szeregu <math>b_n</math> wynika zbieżność szeregu <math>a_n</math>,
 +
* a z rozbieżności szeregu <math>a_n</math> wynika rozbieżność szeregu <math>b_n</math>.
 +
 
 +
W praktyce skorzystanie z tego kryterium polega na znalezieniu odpowiedniego szeregu o znanej zbieżności (lub rozbieżności). Często wykorzystywanym szeregiem w kryterium porównawczym jest szereg harmoniczny rzędu <math>a</math> (<math>a \gt 0</math>)
 +
 
 +
:<math>\begin{aligned}
 +
1 + \frac{1}{2^a} + \frac{1}{3^a} + \ldots + \frac{1}{n^a} + \ldots = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^a}, \nonumber \end{aligned}</math>
 +
 
 +
który jest zbieżny dla <math>a \gt 1</math>, a rozbieżny dla <math>a \leq 1</math>.
 +
 
 +
Przez porównanie z szeregiem harmonicznym, czyli korzystając z kryterium porównawczego, stwierdzamy zbieżność szeregu
 +
 
 +
:<math>\begin{aligned}\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n(n^3 + 1)}}, \end{aligned}</math>
 +
 
 +
ponieważ 
 +
 
 +
:<math>\begin{aligned}\frac{1}{\sqrt{n(n^3 + 1)}} \lt \frac{1}{\sqrt{n \cdot n^3}} = \frac{1}{n^2}, \end{aligned}</math>
 +
 
 +
a szereg <math>\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}</math> jest szeregiem zbieżnym.
 +
 
 +
=== Zbieżność szeregów o wyrazach dowolnych ===
 +
 
 +
Zauważmy, że początkowa, skończona ilość wyrazów szeregu nie wpływa na jego zbieżność. I dlatego:
 +
 
 +
* jeżeli wyrazy szeregu <math>\sum_{n=1}^{\infty} a_n</math> są dodatnie dla <math>n > N</math> to odrzucamy skończoną ilość początkowych wyrazów dla <math>n \leq N</math> i rozpatrujemy szereg nieskończony o wyrazach dodatnich,
 +
* jeżeli wyrazy szeregu <math>\sum_{n=1}^{\infty} a_n</math> są ujemne dla <math>n > N</math> to przez zmianę znaku dla <math>n > N</math> znowu rozpatrujemy szereg nieskończony o wyrazach dodatnich.
 +
 
 +
Zatem widzimy, że nowym przypadkiem jest szereg który zawiera nieskończenie wiele wyrazów dodatnich i nieskończenie wiele wyrazów ujemnych. Najczęściej spotykanym takim szeregiem jest szereg naprzemienny, w którym na przemian mamy wyraz dodatni i ujemny. I właśnie do szeregów naprzemiennych ograniczymy nasze badania zbieżności szeregów o wyrazach dowolnych.
 +
 
 +
=== Kryterium Leibniza zbieżności szeregów ===
 +
 
 +
Jeżeli w szeregu naprzemiennym <math>\sum_{n=1}^{\infty} a_n</math>
 +
 
 +
:<math>\begin{aligned}
 +
\bigvee_{N > 0} \quad \bigwedge_{n > N} \mid a_{n+1} \mid < \mid a_n \mid \qquad i \qquad \lim_{n \rightarrow \infty} a_n = 0 \nonumber \end{aligned}</math>
 +
 
 +
to szereg <math>\sum_{n=1}^{\infty} a_n</math> jest zbieżny. Czyli, jeżeli od pewnego <math>N</math> wartości bezwzględne wyrazów szeregu <math>\sum_{n=1}^{\infty} a_n</math> dążą do granicy równej 0 to szereg jest zbieżny.
 +
 
 +
 
 +
Zbadamy teraz zabieżność szeregu <math>\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1}\frac{1}{n}</math> korzystając z kryterium Leibniza. Jest to szereg naprzemienny anharmoniczny i zgodnie z kryterium  stwierdzamy , że wartości bezwzględne wyrazów szeregu (<math>1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3},\ldots</math>) monotonicznie maleją, a ponadto
 +
 
 +
:<math>\begin{aligned}
 +
\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} = 0 \nonumber \end{aligned}</math>
 +
 
 +
co jest równoznaczne ze stwierdzeniem, że szereg jest zbieżny. Przypominamy, że szereg harmoniczny <math>\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}</math>, który jest szeregiem o wyrazach tylko  dodatnich, jest szeregiem rozbieżnym.
 +
 
 +
== Szereg potęgowy ==
 +
 
 +
Ważnym, ze względu na szerokie zastosowanie jest szereg potęgowy
 +
 
 +
:<math>\begin{aligned}
 +
a_0 + a_1x + a_2x^2 + a_3x^3 + \ldots + a_nx^n + \ldots = \sum_{n=1}^{\infty} a_nx^n \nonumber \end{aligned}</math>
 +
 
 +
Widzimy, że jest to znany nam wielomian, przy czym ma teraz nieskończenie wiele wyrazów. Jak każdy szereg także szereg potęgowy może być zbieżny lub rozbieżny, przy czym jego zbieżność zależy zarówno od współczynników <math>a_n</math> tego szeregu jak i od wartości zmiennej <math>x</math>. Dla szeregów potęgowych definiuje się promień zbieżności <math>R \geq 0</math>. Szereg potęgowy jest:
 +
 
 +
* zbieżny dla <math>\mid x \mid < R</math>,
 +
* rozbieżny dla <math>\mid x \mid >R</math>,
 +
* natomiast dla <math>x = -R</math> i dla <math>x = R</math> nie możemy wnioskować o zbieżności bądź rozbieżności szeregu potęgowego.
 +
 
 +
Do znalezienia promienia zbieżności <math>R</math> szeregu potęgowego można skorzystać z następujących twierdzeń wynikających ze znanych nam już kryteriów d’Alemberta i Cauchy’ego. Jeżeli dla szeregu potęgowego:
 +
 
 +
<math>\begin{aligned}
 +
\lim_{n \rightarrow \infty} \mid \frac{a_{n+1}}{a_n} \mid = g \mathbf \quad lub \quad \lim_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{\mid a_n \mid} = g \nonumber \end{aligned}</math>
 +
 
 +
to wtedy
 +
 
 +
* <math>R = \frac{1}{g}</math> <math>\quad</math> gdy <math>\quad</math> <math>g \neq 0</math> <math>\quad </math> i <math>\quad</math> <math>g \neq +\infty</math>,
 +
* <math>R = 0</math> <math>\quad</math> gdy <math>\quad</math> <math>g = +\infty</math>,
 +
* <math>R = +\infty</math> <math>\quad</math> gdy <math>\quad</math> <math>g = 0</math>.
 +
 
 +
== Rozwinięcie funkcji w szereg Taylora ==
 +
 
 +
Najpierw podamy wzór Taylora, który pozwala na przedstawienie funkcji w postaci wielomianu z pewną resztą. Jeżeli funkcja <math>f(x)</math> posiada pochodną rzędu <math>n</math>, <math>f^{(n)}(x)</math>, dla <math>x \in [x_1,x_2]</math> to wtedy dla każdego punktu <math>x \in (x_1,x_2)</math> zachodzi następujący wzór Taylora (<math>a \in [x_1,x_2]</math>)
 +
 
 +
:<math>\begin{aligned}
 +
f(x) = f(a) + \frac{f'(a)}{1!}(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \ldots + \frac{f^{n-1}(a)}{(n-1)!}(x-a)^{n-1} + R_n, \nonumber\end{aligned}</math>
 +
 
 +
gdzie <math>R_n</math> jest resztą we wzorze Taylora
 +
 
 +
:<math>\begin{aligned}
 +
R_n = \frac{f^{n}(c)}{n!}(x-a)^{n},\quad c \in (x_1,x_2). \nonumber\end{aligned}</math>
 +
 
 +
Wzór Taylora jest rozwinięciem skończonym i dlatego nie rozpatruje się jego zbieżności. Pojawia się pytanie jak duża jest reszta <math>R_n</math>? Nie można jej bezpośrednio obliczyć, ponieważ jest wyrażona przez <math>n</math>-tą pochodną funkcji <math>f(x)</math>, którą należy obliczyć dla <math>c</math>. Wartość <math>c</math> zazwyczaj zależy zarówno od wartości <math>x</math> jak i wartości <math>n</math>. Zauważmy jednak, że reszta we wzorze Taylora będzie coraz mniejsza gdy będziemy zwiększać stopień wielomianu. Dzieje się tak z dwóch powodów: (1) w mianowniku jest szybko rosnąca silnia, oraz (2) zazwyczaj stosujemy wzór Taylora dla <math>x</math> w pobliżu punktu <math>a</math> co powoduje, że kolejne potęgi wyrażenia <math>(x-a)</math> występujące w liczniku wzoru Taylora są coraz mniejsze. Możemy powiedzieć, że im więcej wyrazów we wzorze Taylora tym dokładniejsze jest przybliżenie funkcji wielomianem. Zobaczymy to w rozwinięciu funkcji <math>f(x) = \sin{x}</math>. Problem z resztą we wzorze Taylora znika jeżeli funkcja <math>f(x)</math>, którą rozwijamy w szereg ma pochodne dowolnego rzędu. Wtedy wielomian dany wzorem Taylora staje się szeregiem potęgowym nieskończonym
 +
 
 +
:<math>\begin{aligned}
 +
f(x) = f(a) + \frac{f'(a)}{1!}(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \ldots + \frac{f^{n}(a)}{n!}(x-a)^{n} + \ldots \nonumber \\
 +
= f(a) + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n, \nonumber\end{aligned}</math>
 +
 
 +
dla którego wyznacza się promień zbieżności.<br />
 +
 
 +
 
 +
Funkcję <math>f(x)</math> można rozwijać w szereg potęgowy, w pobliżu dowolnego punktu <math>a</math> w otoczeniu którego funkcja ma pochodne dowolnego rzędu.
 +
 
 +
Dla <math>a = 0</math> szereg Taylora staje się szeregiem Maclaurina
 +
 
 +
:<math>\begin{aligned}
 +
f(x) = f(0) + \frac{f'(0)}{1!}x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \ldots + \frac{f^{n}(0)}{n!}x^{n} + \ldots \nonumber \\
 +
= f(0) + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n. \nonumber\end{aligned}</math>
 +
 
 +
Wiele funkcji można rozwinąć w szeregi potęgowe, czyli w pewnym przedziale argumentów <math>x</math> niejako zastąpić funkcję <math>f(x)</math> wielomianem. Jak już wspomnieliśmy na wstępie tego wykładu takie rozwinięcie funkcji jest bardzo przydatne w wielu zastosowaniach. W szereg Taylora można rozwijać również funkcje dwóch zmiennych, co jednakże wykracza poza zakres tego skryptu. Takie rozwinięcie będzie omawiane w dalszej części zajęć z matematyki.
 +
 
 +
== Rozwinięcie w szereg Maclaurina funkcji <math>f(x) = \sin{x}</math> ==
 +
 
 +
Obliczmy pochodne kolejnych rzędów funkcji <math>f(x) = \sin{x}</math>:
 +
 
 +
<math>\begin{aligned}
 +
f'(x) = (\sin x)' = \cos x, \quad f'(0) = 1 \nonumber \\
 +
f''(x) = (\cos x)' = -\sin x, \quad f''(0) = 0 \nonumber \\
 +
f'''(x) = (-\sin x)' = -\cos x, \quad f'''(0) = -1 \nonumber \\
 +
f^{(4)}(x) = (-\cos x)' = \sin x, \quad f^{(4)} = 0 \nonumber \\
 +
f^{(5)}(x) = (\sin x)' = \cos x = f'(x), \quad f^{(5)} = 1 \nonumber \end{aligned}</math>
 +
 
 +
gdzie podaliśmy wartość kolejnych pochodnych w punkcie <math>a = 0</math> (jest to bowiem rozwinięcie w szereg Maclaurina) wokół którego dokonujemy rozwinięcia. Jak widzimy pochodna rzędu piątego jest równa pochodnej rzędu pierwszego, a wartości pochodnych kolejnych rzędów funkcji <math>f(x) = \sin{x}</math> powtarzają się co cztery. Wstawmy teraz obliczone pochodne do wzoru Maclaurina
 +
 
 +
<math>\begin{aligned}
 +
\sin{x} = f(0) + \frac{f'(0)}{1!}x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \ldots \nonumber \\
 +
= 0 + \frac{1}{1!}x + \frac{0}{2!}x^2 + \frac{-1}{3!}x^3 + \frac{0}{4!}x^4 + \frac{1}{5!}x^5 \ldots \nonumber \\
 +
= x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + \ldots = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \frac{x^{2n-1}}{(2n-1)!}. \nonumber\end{aligned}</math>
 +
 
 +
Jak widać w rozwinięciu występują jedynie potęgi nieparzyste zmiennej <math>x</math> (<math>\sin x </math> jest funkcją nieparzystą). Jest to szereg naprzemienny co we wzorze na wyraz ogólny zostało wyrażone przez <math>(-1)^{n+1}</math>. A nieparzyste wykładniki potęg i wartości silni dla <math>n</math> nieparzystego zostały zapisane jako <math>(2n-1)</math>. Oczywiście <math>2n</math> pozwala zapisać wykładniki parzyste co zobaczymy w rozwinięciu funkcji <math>f(x) = \cos x </math>. Promień zbieżności otrzymanego szeregu wynosi <math>R = +\infty</math>.
 +
 
 +
Aby zobaczyć jak dokładne jest to rozwinięcie obliczmy wartość funkcji <math>\sin x </math> dla kąta <math>7^\circ</math>. Używając kalkulatora od razu znajdujemy, że <math>\sin (7^\circ)  = 0.12186934</math>, przy czym ograniczymy się do podania 8-miu miejsc po kropce dziesiętnej. Kąt <math>7^\circ</math> (po zamianie na miarę łukową to <math>0.12217304 \text{ rad}</math>) jest bliski <math>0^\circ</math> więc rozsądne jest rozwinięcie w szereg Maclaurina. Widzimy, że już pierwszy wyraz rozwinięcia, czyli wartość kąta wyrażona w radianach jest dość dokładnym przybliżeniem wartości funkcji ''sinus''. Nie powinno to nas dziwić, ponieważ gdy przyjrzymy się rozwinięciu funkcji ''sinus'' w szereg Maclaurina to pierwszy wyraz jest po prostu równy <math>x</math>.  Jednocześnie warto zauważyć, że wartość kąta jest nieco większa niż wartość funkcji sinus. I dlatego następny, czyli drugi, wyraz rozwinięcia jest ujemny. Gdy uwzględnimy jedynie dwa wyrazy rozwinięcia to otrzymamy
 +
 
 +
<math>\begin{aligned}
 +
\sin (7^\circ)  =  x - \frac{x^3}{3!} = 0.12217304 - 0.00030393 = 0.12186911 \nonumber\end{aligned}</math>
 +
 
 +
Otrzymalismy dokładniejszą wartość funkcji ''sinus'', która jest teraz nieco mniejsza niż 'dokładna' obliczona przy pomocy kalkulatora. Ale zostanie to 'poprawione' po uwzględnieniu  kolejnego, dodatniego wyrazu rozwinięcia. Zachęcamy czytelnika do rozwinięcia funkcji ''sinus'' dla większej wartości kąta np. <math>20^\circ</math>.
 +
 
 +
== Rozwinięcie w szereg Maclaurina funkcji <math>f(x) = \cos x</math> ==
 +
 
 +
Pochodne kolejnych rzędów funkcji <math>f(x) = \cos x</math> są równe:
 +
 
 +
<math>\begin{aligned}
 +
f'(x) = (\cos x)' = -\sin x, \quad f'(0) = 0 \nonumber \\
 +
f''(x) = (-\sin x)' = -\cos x, \quad f''(0) = -1 \nonumber \\
 +
f'''(x) = (-\cos x)' = \sin x, \quad f'''(0) = 0 \nonumber \\
 +
f^{(4)}(x) = (\sin x)' = \cos x, \quad f^{(4)} = 1 \nonumber \\
 +
f^{(5)}(x) = (\cos x)' = -\sin x = f'(x), \quad f^{(5)} = 0 \nonumber \end{aligned}</math>
 +
 
 +
Jak widzimy także dla funkcji <math>f(x) = \cos x</math> pochodna rzędu piątego jest równa pochodnej rzędu pierwszego, a wartości pochodnych kolejnych rzędów powtarzają się co cztery. Wstawmy teraz obliczone pochodne do wzoru Maclaurina
 +
 
 +
<math>\begin{aligned}
 +
cosx = f(0) + \frac{f'(0)}{1!}x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \ldots \nonumber \\
 +
= 1 + \frac{0}{1!}x + \frac{-1}{2!}x^2 + \frac{0}{3!}x^3 + \frac{1}{4!}x^4 + \frac{0}{5!}x^5 \ldots \nonumber \\
 +
= 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + \ldots = 1 + \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n} \frac{x^{2n}}{(2n)!}. \nonumber\end{aligned}</math>
 +
 
 +
W rozwinięciu występują jedynie potęgi parzyste zmiennej <math>x</math> (<math>\cos x</math> jest funkcją parzystą). Jest to szereg naprzemienny co we wzorze na wyraz ogólny zostało wyrażone przez <math>(-1)^{n}</math>, a parzyste wykładniki potęg i wartości silni dla <math>n</math> parzystego zostały zapisane jako <math>(2n)</math>. Promień zbieżności otrzymanego szeregu wynosi <math>R = +\infty</math>.
 +
 
 +
== Rozwinięcie w szereg Maclaurina funkcji <math>f(x) = e^x</math> ==
 +
 
 +
Pochodne kolejnych rzędów funkcji <math>f(x) = e^x</math> są równe <math>e^x</math>:
 +
 
 +
<math>\begin{aligned}
 +
f'(x) = (e^x)' = e^x, \quad f'(0) = 1 \nonumber \\
 +
f''(x) = (e^x)' = e^x, \quad f''(0) = 1 \nonumber \\
 +
\vdots \nonumber\end{aligned}</math>
 +
 
 +
A wstawiając je do wzoru Maclaurina otrzymujemy
 +
 
 +
<math>\begin{aligned}
 +
e^x = f(0) + \frac{f'(0)}{1!}x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \ldots \nonumber \\
 +
= 1 + \frac{1}{1!}x + \frac{1}{2!}x^2 + \frac{1}{3!}x^3 + \frac{1}{4!}x^4 + \ldots \nonumber \\
 +
= 1 + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n!}. \nonumber\end{aligned}</math>
 +
 
 +
W rozwinięciu występują zarówno parzyste jak i nieparzyste potęgi zmiennej <math>x</math>, a promień zbieżności otrzymanego szeregu wynosi <math>R = +\infty</math>.
 +
 
 +
== Zadania ==
 +
 
 +
# Zbadać zbieżność następujących szeregów liczbowych:
 +
##<math>\sum_{n=1}^{\infty}n^3</math>
 +
##<math>\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^3}</math>
 +
##<math>\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^n5^n}</math>
 +
# Znaleźć promień zbieżności następujących szeregów potęgowych:
 +
##<math>\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{2n}}{(2n)!}</math>
 +
##<math>\sum_{n=1}^{\infty}\frac{3^n}{n^n}x^n</math>
 +
##<math>\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(n!)^2}{(2n)!}x^n</math>
 +
# Rozwinąć w szereg Maclaurina następujące funkcje oraz znaleźć promień zbieżności otrzymanych szeregów potęgowych:
 +
##<math>f(x) = (3x+2)^5</math>
 +
##<math>f(x) = e^{-x^{2}}</math>
 +
##<math>f(x) = \cos^{2}{x}</math>
 +
##<math>f(x) = \sin^{2}{x}</math>
 +
##<math>f(x) = \frac{1}{1+x^2}</math>
 +
##<math>f(x) = \frac{1}{(1-x)^2}</math>
 +
##<math>f(x) = \ln{(1+x)}</math>
 +
##<math>f(x) = \text{arctg}\, x</math>

Aktualna wersja na dzień 09:31, 31 mar 2015

W tym wykładzie zajmiemy się szeregami liczbowymi nieskończonymi, czyli nieskończonymi sumami liczb. Nasze rozważania rozpoczniemy od szeregów o wyrazach tylko dodatnich, a potem uogólnimy to na przypadek szeregów o wyrazach dowolnych. Podamy trzy kryteria zbieżności szeregów o wyrazach nieujemnych oraz jedno dla szeregów naprzemiennych. A na zakończenie powiemy o rozwijaniu funkcji w szereg potęgowy Taylora lub Maclaurina. Takie rozwinięcia mają duże zastosowanie w rozwiązywaniu wielu zagadnień fizycznych, jak np. ruch wahadła.


Szereg liczbowy nieskończony to nieskończona suma liczb, czyli wyrazów tego szeregu \(a_1, a_2, \ldots\)

\[\begin{aligned} a_1 + a_2 + a_3 + \ldots = \sum_{n=1}^{\infty} a_n \nonumber \end{aligned}\]

Podobnie jak dla ciągów \(a_n\) nazywamy wyrazem ogólnym szeregu. Szereg nieskończony możemy rozpatrywać jako ciąg sum częściowych. Oczywiście można utworzyć nieskończenie wiele sum częściowych \(s_m\), z których najprostsza to \(s_1 = a_1\), a suma częściowa \(s_m\) wyraża się następującym wzorem

\[\begin{aligned} s_m = a_1 + a_2 + a_3 + \ldots + a_m = \sum_{n=1}^{m} a_n \nonumber \end{aligned}\]

Granicę \(s\) ciągu sum częściowych nazywamy sumą szeregu liczbowego nieskończonego

\[\begin{aligned} \lim_{m \rightarrow \infty} s_m = s = \sum_{n=1}^{\infty} a_n \nonumber \end{aligned}\]

Bardzo ważną własnością szeregów nieskończonych jest ich zbieżność bądź rozbieżność. Jeżeli ciąg sum częściwych \(s_m\) jest zbieżny:

\[\begin{aligned} \lim_{m \rightarrow \infty} s_m = s \nonumber \end{aligned}\]

tzn. granica \(s\) jest skończona, to szereg nieskończony \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n\) nazywamy zbieżnym. W przeciwnym wypadku szereg jest rozbieżny. Określenie zbieżności szeregów ma fundamentalne znaczenie dla ich zastosowań praktycznych.

Warunkiem koniecznym zbieżności szeregu jest to aby jego wyrazy \(a_n\) zmierzały do zera

\[\begin{aligned} \lim_{n \rightarrow \infty} a_n = 0 \nonumber \end{aligned}\]

Jest to warunek konieczny ale nie wystarczający. Np. szereg harmoniczny o wyrazie ogólnym \(a_n = \frac{1}{n}\) jest rozbieżny, a \(\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n}\) = 0.

Spis treści

Szereg geometryczny

Nasze rozważania o szeregach rozpoczniemy od szeregu geometrycznego, który jest sumą wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego

\[\begin{aligned} a_1 + a_1q + a_1q^2 + a_1q^3 + \ldots = \sum_{n=0}^{\infty} a_1q^n \nonumber \end{aligned}\]

Jak pamiętamy (rozdział o ciągach), ciąg jego sum częsciowych \(S_n\) dla \(q \neq 1 \) jest dany wzorem

\[\begin{aligned} S_n = a_1 + a_2 + ... + a_n = a_1 \cdot \frac{1 - q^n}{1 - q}. \nonumber \end{aligned}\]

Można pokazać, że jeżeli \(-1 \lt q \lt 1\) to szereg geometryczny jest zbieżny a jego suma \(S\) wyraża się następującym wzorem

\[\begin{aligned} S = a_1 + a_1q + a_1q^2 + a_1q^3 + \ldots = \sum_{n=0}^{\infty} a_1q^n = \frac{a_1}{1-q}.\nonumber \end{aligned}\]

Oczywiście \(S\) jest granicą ciągu sum częściowych \(S_n\) szeregu geometrycznego.

Trzy kryteria zbieżności szeregów

Istnieje wiele kryteriów (czyli sposobów) określania zbieżności szeregów liczbowych. Są one wygodniejsze do zastosowania niż podana powyżej definicja zbieżności szeregu jako zbieżności ciągu jego sum częściowych. Podamy trzy, najczęściej stosowane, kryteria zbieżności szeregów o wyrazach dodatnich.

Kryterium Cauchy’ego

Dla szeregu \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n\) tworzymy ciąg o wyrazie ogólnym \(c_n = \sqrt[n]{a_n}\) i obliczamy granicę ciągu \(c_n\):

  • Jeżeli \(\lim_{n \rightarrow \infty} c_n < 1\), to szereg \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n\) jest zbieżny,
  • Jeżeli \(\lim_{n \rightarrow \infty} c_n > 1\), to szereg \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n\) jest rozbieżny,
  • Jeżeli \(\lim_{n \rightarrow \infty} c_n = 1\), to kryterium Cauchy’ego nie rozstrzyga o zbieżności szeregu \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n\) (szereg może być zbieżny lub rozbieżny).

Zastosujemy teraz kryterium Cauchy'ego do badania zbiezności szeregu \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^2}{2^n}\). Znajdujemy, że

\[\begin{aligned} \lim_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{a_n} = \lim_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{\frac{n^2}{2^n}} = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{\sqrt[n]{n^2}}{\sqrt[n]{2^n}} = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{(\sqrt[n]{n})^2}{2} = \frac{1}{2} < 1, \end{aligned}\]

co oznacza, że szereg jest zbieżny. W obliczeniach skorzystaliśmy z bardzo ważnej granicy: \(\lim_{n \rightarrow \infty}\sqrt[n]{n}=1.\)

Kryterium d’Alemberta

Dla szeregu \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n\) tworzymy ciąg o wyrazie ogólnym \(d_n = \frac{a_{n+1}}{a_n}\) i obliczamy granicę ciągu \(d_n\):

  • Jeżeli \(\lim_{n \rightarrow \infty} d_n < 1\), to szereg \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n\) jest zbieżny,
  • Jeżeli \(\lim_{n \rightarrow \infty} d_n > 1\), to szereg \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n\) jest rozbieżny,
  • Jeżeli \(\lim_{n \rightarrow \infty} d_n = 1\), to kryterium d’Alemberta nie rozstrzyga o zbieżności szeregu \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n\) (szereg może być zbieżny lub rozbieżny).

Warto zauważyć, że kryterium d’Alemberta jest słabsze od kryterium Cauchy’ego, tzn. jeżeli na podstawie kryterium d’Alemberta stwierdzimy, że szereg jest zbieżny to taką samą odpowiedź otrzymamy stosując kryterium Cauchy’ego, ale wnioskowanie odwrotne nie jest prawdziwe.

A teraz zbadamy zbieżność szeregu \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^2}{2^n}\) korzystając z kryterium d'Alemberta:

\[\begin{aligned} \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{(n+1)^2}{2^{n+1}} \frac{2^n}{n^2} = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{(n^2+2n+1)2^n}{n^22^n2} = \frac{1}{2} \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n^2+2n+1}{n^2} = \frac{1}{2} < 1, \end{aligned}\]

ponieważ

\[\begin{aligned} \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n^2+2n+1}{n^2} = 1, \end{aligned}\]

jak pokazaliśmy, znajdując podobną granicę, w rozdziale o granicy ciągu. Rozważany szereg jest zbieżny - taki sam wynik dostalismy z kryterium Cauchy'ego.

Kryterium porównawcze zbieżności szeregów

W tym kryterium korzystamy ze znajomości zbieżności (lub rozbieżności) jednego szeregu i porównujemy jego wyrazy z wyrazami szeregu o nieznanej zbieżności. I tak jeżeli dla \(n > N\) (skończona liczba początkowych wyrazów szeregu nie ma wpływu na jego zbieżność)

\[\begin{aligned} a_n \leq b_n, \end{aligned}\]

to

  • ze zbieżności szeregu \(b_n\) wynika zbieżność szeregu \(a_n\),
  • a z rozbieżności szeregu \(a_n\) wynika rozbieżność szeregu \(b_n\).

W praktyce skorzystanie z tego kryterium polega na znalezieniu odpowiedniego szeregu o znanej zbieżności (lub rozbieżności). Często wykorzystywanym szeregiem w kryterium porównawczym jest szereg harmoniczny rzędu \(a\) (\(a \gt 0\))

\[\begin{aligned} 1 + \frac{1}{2^a} + \frac{1}{3^a} + \ldots + \frac{1}{n^a} + \ldots = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^a}, \nonumber \end{aligned}\]

który jest zbieżny dla \(a \gt 1\), a rozbieżny dla \(a \leq 1\).

Przez porównanie z szeregiem harmonicznym, czyli korzystając z kryterium porównawczego, stwierdzamy zbieżność szeregu

\[\begin{aligned}\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n(n^3 + 1)}}, \end{aligned}\]

ponieważ

\[\begin{aligned}\frac{1}{\sqrt{n(n^3 + 1)}} \lt \frac{1}{\sqrt{n \cdot n^3}} = \frac{1}{n^2}, \end{aligned}\]

a szereg \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}\) jest szeregiem zbieżnym.

Zbieżność szeregów o wyrazach dowolnych

Zauważmy, że początkowa, skończona ilość wyrazów szeregu nie wpływa na jego zbieżność. I dlatego:

  • jeżeli wyrazy szeregu \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n\) są dodatnie dla \(n > N\) to odrzucamy skończoną ilość początkowych wyrazów dla \(n \leq N\) i rozpatrujemy szereg nieskończony o wyrazach dodatnich,
  • jeżeli wyrazy szeregu \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n\) są ujemne dla \(n > N\) to przez zmianę znaku dla \(n > N\) znowu rozpatrujemy szereg nieskończony o wyrazach dodatnich.

Zatem widzimy, że nowym przypadkiem jest szereg który zawiera nieskończenie wiele wyrazów dodatnich i nieskończenie wiele wyrazów ujemnych. Najczęściej spotykanym takim szeregiem jest szereg naprzemienny, w którym na przemian mamy wyraz dodatni i ujemny. I właśnie do szeregów naprzemiennych ograniczymy nasze badania zbieżności szeregów o wyrazach dowolnych.

Kryterium Leibniza zbieżności szeregów

Jeżeli w szeregu naprzemiennym \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n\)

\[\begin{aligned} \bigvee_{N > 0} \quad \bigwedge_{n > N} \mid a_{n+1} \mid < \mid a_n \mid \qquad i \qquad \lim_{n \rightarrow \infty} a_n = 0 \nonumber \end{aligned}\]

to szereg \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n\) jest zbieżny. Czyli, jeżeli od pewnego \(N\) wartości bezwzględne wyrazów szeregu \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n\) dążą do granicy równej 0 to szereg jest zbieżny.


Zbadamy teraz zabieżność szeregu \(\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1}\frac{1}{n}\) korzystając z kryterium Leibniza. Jest to szereg naprzemienny anharmoniczny i zgodnie z kryterium stwierdzamy , że wartości bezwzględne wyrazów szeregu (\(1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3},\ldots\)) monotonicznie maleją, a ponadto

\[\begin{aligned} \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} = 0 \nonumber \end{aligned}\]

co jest równoznaczne ze stwierdzeniem, że szereg jest zbieżny. Przypominamy, że szereg harmoniczny \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}\), który jest szeregiem o wyrazach tylko dodatnich, jest szeregiem rozbieżnym.

Szereg potęgowy

Ważnym, ze względu na szerokie zastosowanie jest szereg potęgowy

\[\begin{aligned} a_0 + a_1x + a_2x^2 + a_3x^3 + \ldots + a_nx^n + \ldots = \sum_{n=1}^{\infty} a_nx^n \nonumber \end{aligned}\]

Widzimy, że jest to znany nam wielomian, przy czym ma teraz nieskończenie wiele wyrazów. Jak każdy szereg także szereg potęgowy może być zbieżny lub rozbieżny, przy czym jego zbieżność zależy zarówno od współczynników \(a_n\) tego szeregu jak i od wartości zmiennej \(x\). Dla szeregów potęgowych definiuje się promień zbieżności \(R \geq 0\). Szereg potęgowy jest:

  • zbieżny dla \(\mid x \mid < R\),
  • rozbieżny dla \(\mid x \mid >R\),
  • natomiast dla \(x = -R\) i dla \(x = R\) nie możemy wnioskować o zbieżności bądź rozbieżności szeregu potęgowego.

Do znalezienia promienia zbieżności \(R\) szeregu potęgowego można skorzystać z następujących twierdzeń wynikających ze znanych nam już kryteriów d’Alemberta i Cauchy’ego. Jeżeli dla szeregu potęgowego:

\(\begin{aligned} \lim_{n \rightarrow \infty} \mid \frac{a_{n+1}}{a_n} \mid = g \mathbf \quad lub \quad \lim_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{\mid a_n \mid} = g \nonumber \end{aligned}\)

to wtedy

  • \(R = \frac{1}{g}\) \(\quad\) gdy \(\quad\) \(g \neq 0\) \(\quad \) i \(\quad\) \(g \neq +\infty\),
  • \(R = 0\) \(\quad\) gdy \(\quad\) \(g = +\infty\),
  • \(R = +\infty\) \(\quad\) gdy \(\quad\) \(g = 0\).

Rozwinięcie funkcji w szereg Taylora

Najpierw podamy wzór Taylora, który pozwala na przedstawienie funkcji w postaci wielomianu z pewną resztą. Jeżeli funkcja \(f(x)\) posiada pochodną rzędu \(n\), \(f^{(n)}(x)\), dla \(x \in [x_1,x_2]\) to wtedy dla każdego punktu \(x \in (x_1,x_2)\) zachodzi następujący wzór Taylora (\(a \in [x_1,x_2]\))

\[\begin{aligned} f(x) = f(a) + \frac{f'(a)}{1!}(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \ldots + \frac{f^{n-1}(a)}{(n-1)!}(x-a)^{n-1} + R_n, \nonumber\end{aligned}\]

gdzie \(R_n\) jest resztą we wzorze Taylora

\[\begin{aligned} R_n = \frac{f^{n}(c)}{n!}(x-a)^{n},\quad c \in (x_1,x_2). \nonumber\end{aligned}\]

Wzór Taylora jest rozwinięciem skończonym i dlatego nie rozpatruje się jego zbieżności. Pojawia się pytanie jak duża jest reszta \(R_n\)? Nie można jej bezpośrednio obliczyć, ponieważ jest wyrażona przez \(n\)-tą pochodną funkcji \(f(x)\), którą należy obliczyć dla \(c\). Wartość \(c\) zazwyczaj zależy zarówno od wartości \(x\) jak i wartości \(n\). Zauważmy jednak, że reszta we wzorze Taylora będzie coraz mniejsza gdy będziemy zwiększać stopień wielomianu. Dzieje się tak z dwóch powodów: (1) w mianowniku jest szybko rosnąca silnia, oraz (2) zazwyczaj stosujemy wzór Taylora dla \(x\) w pobliżu punktu \(a\) co powoduje, że kolejne potęgi wyrażenia \((x-a)\) występujące w liczniku wzoru Taylora są coraz mniejsze. Możemy powiedzieć, że im więcej wyrazów we wzorze Taylora tym dokładniejsze jest przybliżenie funkcji wielomianem. Zobaczymy to w rozwinięciu funkcji \(f(x) = \sin{x}\). Problem z resztą we wzorze Taylora znika jeżeli funkcja \(f(x)\), którą rozwijamy w szereg ma pochodne dowolnego rzędu. Wtedy wielomian dany wzorem Taylora staje się szeregiem potęgowym nieskończonym

\[\begin{aligned} f(x) = f(a) + \frac{f'(a)}{1!}(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \ldots + \frac{f^{n}(a)}{n!}(x-a)^{n} + \ldots \nonumber \\ = f(a) + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n, \nonumber\end{aligned}\]

dla którego wyznacza się promień zbieżności.


Funkcję \(f(x)\) można rozwijać w szereg potęgowy, w pobliżu dowolnego punktu \(a\) w otoczeniu którego funkcja ma pochodne dowolnego rzędu.

Dla \(a = 0\) szereg Taylora staje się szeregiem Maclaurina

\[\begin{aligned} f(x) = f(0) + \frac{f'(0)}{1!}x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \ldots + \frac{f^{n}(0)}{n!}x^{n} + \ldots \nonumber \\ = f(0) + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n. \nonumber\end{aligned}\]

Wiele funkcji można rozwinąć w szeregi potęgowe, czyli w pewnym przedziale argumentów \(x\) niejako zastąpić funkcję \(f(x)\) wielomianem. Jak już wspomnieliśmy na wstępie tego wykładu takie rozwinięcie funkcji jest bardzo przydatne w wielu zastosowaniach. W szereg Taylora można rozwijać również funkcje dwóch zmiennych, co jednakże wykracza poza zakres tego skryptu. Takie rozwinięcie będzie omawiane w dalszej części zajęć z matematyki.

Rozwinięcie w szereg Maclaurina funkcji \(f(x) = \sin{x}\)

Obliczmy pochodne kolejnych rzędów funkcji \(f(x) = \sin{x}\):

\(\begin{aligned} f'(x) = (\sin x)' = \cos x, \quad f'(0) = 1 \nonumber \\ f''(x) = (\cos x)' = -\sin x, \quad f''(0) = 0 \nonumber \\ f'''(x) = (-\sin x)' = -\cos x, \quad f'''(0) = -1 \nonumber \\ f^{(4)}(x) = (-\cos x)' = \sin x, \quad f^{(4)} = 0 \nonumber \\ f^{(5)}(x) = (\sin x)' = \cos x = f'(x), \quad f^{(5)} = 1 \nonumber \end{aligned}\)

gdzie podaliśmy wartość kolejnych pochodnych w punkcie \(a = 0\) (jest to bowiem rozwinięcie w szereg Maclaurina) wokół którego dokonujemy rozwinięcia. Jak widzimy pochodna rzędu piątego jest równa pochodnej rzędu pierwszego, a wartości pochodnych kolejnych rzędów funkcji \(f(x) = \sin{x}\) powtarzają się co cztery. Wstawmy teraz obliczone pochodne do wzoru Maclaurina

\(\begin{aligned} \sin{x} = f(0) + \frac{f'(0)}{1!}x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \ldots \nonumber \\ = 0 + \frac{1}{1!}x + \frac{0}{2!}x^2 + \frac{-1}{3!}x^3 + \frac{0}{4!}x^4 + \frac{1}{5!}x^5 \ldots \nonumber \\ = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + \ldots = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \frac{x^{2n-1}}{(2n-1)!}. \nonumber\end{aligned}\)

Jak widać w rozwinięciu występują jedynie potęgi nieparzyste zmiennej \(x\) (\(\sin x \) jest funkcją nieparzystą). Jest to szereg naprzemienny co we wzorze na wyraz ogólny zostało wyrażone przez \((-1)^{n+1}\). A nieparzyste wykładniki potęg i wartości silni dla \(n\) nieparzystego zostały zapisane jako \((2n-1)\). Oczywiście \(2n\) pozwala zapisać wykładniki parzyste co zobaczymy w rozwinięciu funkcji \(f(x) = \cos x \). Promień zbieżności otrzymanego szeregu wynosi \(R = +\infty\).

Aby zobaczyć jak dokładne jest to rozwinięcie obliczmy wartość funkcji \(\sin x \) dla kąta \(7^\circ\). Używając kalkulatora od razu znajdujemy, że \(\sin (7^\circ) = 0.12186934\), przy czym ograniczymy się do podania 8-miu miejsc po kropce dziesiętnej. Kąt \(7^\circ\) (po zamianie na miarę łukową to \(0.12217304 \text{ rad}\)) jest bliski \(0^\circ\) więc rozsądne jest rozwinięcie w szereg Maclaurina. Widzimy, że już pierwszy wyraz rozwinięcia, czyli wartość kąta wyrażona w radianach jest dość dokładnym przybliżeniem wartości funkcji sinus. Nie powinno to nas dziwić, ponieważ gdy przyjrzymy się rozwinięciu funkcji sinus w szereg Maclaurina to pierwszy wyraz jest po prostu równy \(x\). Jednocześnie warto zauważyć, że wartość kąta jest nieco większa niż wartość funkcji sinus. I dlatego następny, czyli drugi, wyraz rozwinięcia jest ujemny. Gdy uwzględnimy jedynie dwa wyrazy rozwinięcia to otrzymamy

\(\begin{aligned} \sin (7^\circ) = x - \frac{x^3}{3!} = 0.12217304 - 0.00030393 = 0.12186911 \nonumber\end{aligned}\)

Otrzymalismy dokładniejszą wartość funkcji sinus, która jest teraz nieco mniejsza niż 'dokładna' obliczona przy pomocy kalkulatora. Ale zostanie to 'poprawione' po uwzględnieniu kolejnego, dodatniego wyrazu rozwinięcia. Zachęcamy czytelnika do rozwinięcia funkcji sinus dla większej wartości kąta np. \(20^\circ\).

Rozwinięcie w szereg Maclaurina funkcji \(f(x) = \cos x\)

Pochodne kolejnych rzędów funkcji \(f(x) = \cos x\) są równe:

\(\begin{aligned} f'(x) = (\cos x)' = -\sin x, \quad f'(0) = 0 \nonumber \\ f''(x) = (-\sin x)' = -\cos x, \quad f''(0) = -1 \nonumber \\ f'''(x) = (-\cos x)' = \sin x, \quad f'''(0) = 0 \nonumber \\ f^{(4)}(x) = (\sin x)' = \cos x, \quad f^{(4)} = 1 \nonumber \\ f^{(5)}(x) = (\cos x)' = -\sin x = f'(x), \quad f^{(5)} = 0 \nonumber \end{aligned}\)

Jak widzimy także dla funkcji \(f(x) = \cos x\) pochodna rzędu piątego jest równa pochodnej rzędu pierwszego, a wartości pochodnych kolejnych rzędów powtarzają się co cztery. Wstawmy teraz obliczone pochodne do wzoru Maclaurina

\(\begin{aligned} cosx = f(0) + \frac{f'(0)}{1!}x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \ldots \nonumber \\ = 1 + \frac{0}{1!}x + \frac{-1}{2!}x^2 + \frac{0}{3!}x^3 + \frac{1}{4!}x^4 + \frac{0}{5!}x^5 \ldots \nonumber \\ = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + \ldots = 1 + \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n} \frac{x^{2n}}{(2n)!}. \nonumber\end{aligned}\)

W rozwinięciu występują jedynie potęgi parzyste zmiennej \(x\) (\(\cos x\) jest funkcją parzystą). Jest to szereg naprzemienny co we wzorze na wyraz ogólny zostało wyrażone przez \((-1)^{n}\), a parzyste wykładniki potęg i wartości silni dla \(n\) parzystego zostały zapisane jako \((2n)\). Promień zbieżności otrzymanego szeregu wynosi \(R = +\infty\).

Rozwinięcie w szereg Maclaurina funkcji \(f(x) = e^x\)

Pochodne kolejnych rzędów funkcji \(f(x) = e^x\) są równe \(e^x\):

\(\begin{aligned} f'(x) = (e^x)' = e^x, \quad f'(0) = 1 \nonumber \\ f''(x) = (e^x)' = e^x, \quad f''(0) = 1 \nonumber \\ \vdots \nonumber\end{aligned}\)

A wstawiając je do wzoru Maclaurina otrzymujemy

\(\begin{aligned} e^x = f(0) + \frac{f'(0)}{1!}x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \ldots \nonumber \\ = 1 + \frac{1}{1!}x + \frac{1}{2!}x^2 + \frac{1}{3!}x^3 + \frac{1}{4!}x^4 + \ldots \nonumber \\ = 1 + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n!}. \nonumber\end{aligned}\)

W rozwinięciu występują zarówno parzyste jak i nieparzyste potęgi zmiennej \(x\), a promień zbieżności otrzymanego szeregu wynosi \(R = +\infty\).

Zadania

  1. Zbadać zbieżność następujących szeregów liczbowych:
    1. \(\sum_{n=1}^{\infty}n^3\)
    2. \(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^3}\)
    3. \(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^n5^n}\)
  2. Znaleźć promień zbieżności następujących szeregów potęgowych:
    1. \(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{2n}}{(2n)!}\)
    2. \(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{3^n}{n^n}x^n\)
    3. \(\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(n!)^2}{(2n)!}x^n\)
  3. Rozwinąć w szereg Maclaurina następujące funkcje oraz znaleźć promień zbieżności otrzymanych szeregów potęgowych:
    1. \(f(x) = (3x+2)^5\)
    2. \(f(x) = e^{-x^{2}}\)
    3. \(f(x) = \cos^{2}{x}\)
    4. \(f(x) = \sin^{2}{x}\)
    5. \(f(x) = \frac{1}{1+x^2}\)
    6. \(f(x) = \frac{1}{(1-x)^2}\)
    7. \(f(x) = \ln{(1+x)}\)
    8. \(f(x) = \text{arctg}\, x\)
Źródło „http://172.16.3.1/ekonofizyka/index.php/Szeregi_liczbowe”