Ekonofizyka

Z Skrypty dla studentów Ekonofizyki UPGOW

(Różnice między wersjami)

Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Aktualna wersja na dzień 13:24, 17 mar 2011

' \(\)

\(\)

Jerzy Dajka

\(\)

Kwantowe metody opisu dynamiki instrumentów finansowych

\(\)

skrypt dla studentów ekonofizyki

\(\)
\(\)
\(\)

\(\)

\(\)
\(\)\(\)
\(\)
\(\)\(\)
\(\)
\(\)\(\)
\(\)
\(\)\(\)
\(\)
\(\)\(\)
\(\)
\(\)\(\)
\(\)
\(\)\(\)
\(\)\(\)\(\)
\(\)

Spis treści

1 Wstęp
2 Literatura
3 Obiekt zainteresowań, czyli o czym będzie mowa
4 Dynamika Hamiltonowska
5 Całki po trajektoriach
6 Model Blacka-Scholesa 'Plus', czyli zmienność stochastyczna
7 Całki po trajektoriach w probabilistyce
8 Teoria pola i inne pominięte tematy
9 A co z fizyką?
10 Podsumowanie, czyli trochę science fiction
11 Indeks oznaczeń

Wstęp

' \(\)

\(\)

Współczesna fizyka rości sobie prawa (złośliwi mówią "uzurpuje") do uniwersalności. Oznacza to, w pewnym uproszczeniu, że wielu fizyków wierzy (większość, a tak na prawdę wszyscy), że dzięki swej sztuce są w stanie opisać dowolny fragment rzeczywistości. Skutkiem tej filozofii jest obecność fizyków w wielu dziedzinach nauki, często wcześniej pozornie niezwiązanych z fizyką. Jako szczególnie znane przypadki niech posłuży biologia, czy medycyna, gdyż o znaczeniu fizyki w chemii nie warto już nawet wspominać, by nie narazić się na zarzut odkrywania oczywistości. Poczynając od lat 80. dwudziestego wieku, grupa odważnych fizyków wkroczyła w dziedzinę, która dotąd skutecznie opierała się ścisłemu, ilościowemu opisowi: w świat zjawisk rynkowych. Niezależnie od wielu spektakularnych sukcesów ekonofizyki w rozwiązywaniu szeroko rozumianych praktycznych problemów (badanie korelacji, dynamika nieliniowa szergów czasowych, procesy losowe w opisie dynamiki instrumentów finansowych), ekonofizycy, wzorem fizyków "zwykłych", coraz częściej angażują swój wysiłek w poszukiwaniu rynkowych "zasad pierwszych". We współczesnej fizyce akceptuje się pogląd, zgodnie z którym fizyka kwantowa jest bardziej podstawowa of fizyki klasycznej. Można byłoby podejrzewać, że poszukiwanie podstaw teorii należałoby prowadzić w drodze kwantowania teorii klasycznej.

Dystansując się od wartościowania powyższych opinii, podkreślmy, że cel prezentowanego skryptu jest odmienny. Poniższe notatki powstały na podstawie wykładu prowadzonego przez autora na drugim stopniu kierunku "Ekonofizyka" otwartym na Uniwersytecie Śląskim w Katowicach. Zamiarem autora było wprowadzenie studentów w świat metod kwantowych (a nie kwantowości per se), które mogą znaleźć zastosowanie w opisie dynamiki instrumentów finansowych. Cel wprowadzenia tych metod nie ma charakteru rozważań "podstawowych", lecz stawia sobie cele czysto utylitarne. Autor jest przekonany, że metody fizyki kwantowej mogą się przyczynić do lepszego zrozumienia zjawisk rynkowych, a w szczególności, mogą być podstawą efektywniejszego (oczywiście w pewnych przypadkach) opisu tych zjawisk.

Wykład stanowiący kanwę dla niniejszego skryptu kierowany był nie tylko do fizyków lub ekonofizyków (licencjantów kierunku), lecz także do studentów innych kierunków, którzy podjęli studia ekonofizyczne. Takie audytorium narzucało autorowi i wykładowcy ścisłe ograniczenia tak prezentowanego materiału z zakresu fizyki, jak i, szeroko rozumianej, inżynierii finansowej. Ostatecznie zarówno wykład jak i skrypt obejmują względnie elementarne wprowadzenie do mechaniki kwantowej (szczególnie całek po trajektoriach, będących nadal nieczęsto nauczanymi na studiach fizycznych) oraz w pełni elementarne wprowadzenie do opisu dynamiki finansowych instrumentów pochodnych (nie wychodzące niemal poza podstawowy model Blacka-Scholesa). Taki ryzykowny wybór tematyki może nie zadowolić wielu potencjalnych czytelników skryptu. Jednocześnie jednak, w opinii autora, skrypt może stanowić wygodny punkt wyjścia dla studentów pragnących specjalizować się w ekonofizyce na poziomie magisterskim lub doktorskim.

Literatura

' \(\)

\(\)

Należy podkreślić, że niniejszy skrypt ma charakter pomocy dydaktycznej dla studentów ekonofizyki. Powstał na podstawie wykładu prowadzonego przez autora na Uniwersytecie Śląskim w Katowicach. Jest adresowany do konkretnego odbiorcy i stanowi integralną cześć wykładu. W przygotowaniu wykładu oraz skryptu wykorzystano wiele źródeł. Poniższa lista wyczerpuje ścisły rdzeń zagadnień omawianych w skrypcie

J. S. Townsend "A modern approach to quantum mechanics" McGraw-Hill (1992)

B. E. Baaquie "Quantum finance" Camb. Univ Press (2004)

A. Das "Field Theory - A path integaral approach" World Scientific, Singapore (1993)

T. Kashiwa, Y. Ohnuki, M. Suzuki "Path integral methods" Oxford Science Publ. (1997)

A. Koper "Wstęp do kwantowej teorii wielu ciał" Wyd. Naukowe UAM (1997)

H. Kleinert "Path Integrals in Quantum Mechanics, Statistics, Polymer Physics, and Financial Markets"

A. Weron, R. Weron "Inżynieria finansowa" WNT (2009)

Powyższa lista może stanowić wstęp do dalszych, pogłębionych studiów tematu omawianego w skrypcie. Na szczególną uwagę zasługują oryginalne prace badawcze, niewymienione powyżej, a które zaleźć można w bibliografii powyższych pozycji. Autor podkreśla, że niniejszy skrypt zawiera idee autorów powyższych pozycji, jednak odpowiedzialność za wszelkie zastosowane w procesie dydaktycznym uproszczenia (skutkujące pewnymi nieścisłościami i niedomówieniami) spoczywa na autorze skryptu.

Obiekt zainteresowań, czyli o czym będzie mowa

' \(\)

\(\)

Rozpocznijmy od może nieco nadmiernie obrazowego przedstawienia podstawowych zagadnień, których badanie stanowić będzie nasz cel. Podkreślmy, że uproszczony model prezentowany w tym rozdziale nie może stanowić substytutu rzetelnego wykładu inżynierii lub matematyki finansowej. Zakłada się, że czytelnik, niezależnie od swej profesji, posiadł już był niezbędne przygotowanie w postaci co najmniej semestralnego kursu typowego dla kierunku ekonofizyka. Jeśli jest inaczej autor skryptu czuje się w obowiązku ostrzec, że jakkolwiek dyskusja poniższa przedstawia istotę badanego problemu, jest jednak daleka od wyczerpującej.

Opcje

Wraz z postępującym rozwojem rynków finansowych, ich pomysłowi uczestnicy uczestnicy wymyślali coraz bardziej pomysłowe 'towary' warte obrotu. Wyobraźmy sobie bardzo realną sytuację: jesienią chciałbym kupić 100 kg ziemniaków (czyli kwintal lub tzw. 'meter'). Umawiam się więc z plantatorem, panem Zenkiem, że 30 września kupię od niego wspomniany kwintal za cenę K. Pan Zenek, wiedząc o tym, zasadzi dodatkowe dwa rządki na swoim zagonie z myślą o moim zamówieniu. Jeśli jednak znajdzie się ktoś chętny kupić ode mnie prawo zakupu za satysfakcjonującą ceną, nic nie stoi na przeszkodzie, abym sprzedał mu prawo zakupu ziemniaków pana Zenka. Z drugiej strony, czy pan Zenek koniecznie musi zasadzić dwa dodatkowe rządki ziemniaków, gdy umawia się ze mną? A może, w razie czego, opłaci mu się kupić te ziemniaki od innego plantatora? Okazuje się, że w tym procederze nie muszą pojawiać się żadne ziemniaki! Obiektem obrotu, handlu i spekulacji może być prawo zakupu lub zobowiązanie sprzedaży. Tutaj dochodzimy do intuicyjnego sedna pojęcia instrumentu pochodnego i jego relacji do instrumentu podstawowego (ziemniaka).

Opcje: definicja

Opcja jest kontraktem dającym posiadaczowi prawo (nie obowiązek!) kupić (opcje typu CALL) lub sprzedać (opcje typu PUT) instrument finansowy w chwili T za cenę K

T: czas wykonania, wygaśnięcia, dojrzałości K: cena wykonania

Jeśli opcja może być wykonana jedynie w chwili T mówimy o opcji europejskiej. Ten typ opcji będzie znajdował się w centrum naszych zainteresowań. Jeśli wykonanie opcji może nastąpić w dowolnej chwili \(t\in[0,T]\) to jest to opcja amerykańska. Zaprezentowana klasyfikacja nie wyczerpuje wszystkich typów opcji. W istocie wymienione zostały dwa najbardziej podstawowe rodzaje. Konstrukcją skomplikowanych i bardzo chytrych instrumentów pochodnych jest przedmiotem szeroko rozumianej inżynierii finansowej i pozostaje poza tematyką tego skryptu.

Pytanie: Ile warta jest moja opcja?

Centralnym zagadnieniem pozostaje próba określenia wartości posiadanej opcji \(C(t)\) w chwili \(t\in[0,T]\) w relacji do ceny instrumentu bazowego \(S(t)\). Niewątpliwie, jeśli rynkowa cena ziemniaków 30 września będzie niższa niż cena wykonania opcji nie kupię ziemniaków u pana Zenka, lecz raczej na targu. Oznacza to, że wtedy moja opcja jest nic nie warta. Inaczej jest, gdy ziemniaki na targu są droższe niż cena za jaką mogę je kupić od pana Zenka. Należy podkreślić, że prawo zakupu ziemniaków mogłem nabyć za pewną cenę \(C(0,S(0))\), którą powinienem uwzględnić w bilansie zysków i strat.

Powyższą dyskusję można sformalizować stosując metody współczesnej ekonofizyki. Zacznijmy od warunku brzegowego dla wartości opcji:

\[ C(T,S(T))=\left\{ \begin{array}{cc} S(T)-K & \mbox{gdy}\,\, S(T)>K \\ 0 &\mbox{gdy}\,\, S(T)<K \end{array}\right. \] Warto zauważyć, że powyższy warunek brzegowy jest warunkiem końcowym, tzn. opisuje wartość opcji w chwili wykonania.

Wycena opcji: model Blacka-Scholesa

Model BS jest najprostszym i chyba najstarszym modelem pozwalającym na znalezienie wartości opcji na instrument bazowy. Pełni on w ekonofizyce funkcję podobną do modelu oscylatora harmonicznego w fizyce: każdy wie, że jest to model zbyt prosty, z drugiej jednak strony oddaje istotę omawianych zjawisk. Dla wyprowadzenie tego modelu wymagana jest spełnienie szeregu założeń. Część z nich jest oczywista, inna techniczna, jeszcze inna trudna do zrozumienia bez pogłębionej analizy matematycznej będącej poza naszym obszarem zainteresowań.

Mówiąc w pewnym (dość znacznym) uproszczeniu oczekujemy, że:

1. cena instrumentu podstawowego opisywany jest procesem Ito

2. wszystkie procesy są ciągłe w czasie

3. nie ma możliwości arbitrażu

4. przeprowadzenie transakcji możliwe jest w dowolnej chwili

5. transakcje nie są obarczone kosztami

6. istnieje stała (w czasie \(t\in[0,T]\)), wolna od ryzyka stopa rynkowa \(r\)

7. pomijamy możliwość wypłacania dywidendy

Typowym sposobem opisu dynamiki instrumentu bazowego jest tzw. geometryczny ruch Browna opisywany równaniem Ito \[ \frac{dS(t)}{dt}=\phi S(t)+\sigma S(t)R(t) \] gdzie \(R(t)\;\) to biały szum gaussowski (pochodna po czasie procedu Wienera) o wartości przeciętnej \( E[R(t)]=0 \;\) i autokorelacji \( E[R(t),R(t')]=\delta(t-t')\;\). Parametry \(\phi\) oraz \(\sigma\) to, odpowiednio, dryf i zmienność. Wybór tego modelu jest podyktowany szeregiem jego pożądanych własności:

1. Jeśli \(S(t_0)>0\;\) to \(S(t>t_0)>0\;\), czyli proces przyjmuje wartości nieujemne.

2. Granica \(S=0\;\) jest pochłaniająca

Dalej zakładamy, że jesteśmy posiadaczami 'portfela' składającego się z opcji i pewnej liczby jednostek (pewnej ilości) instrumentu bazowego \[\Pi=C-\Delta_h S \;\] Wybór \(\Delta_h\;\) jest kluczowy dla minimalizacji ponoszonego ryzyka. Nie wchodząc w uzasadnienia zakładamy, że \[\Delta_h=\frac{\partial C}{\partial S}\; \] a wówczas nasz portfel ma postać \[\Pi=C-\frac{\partial C}{\partial S}S \; \] Obliczenie szybkości zmian wartości portfela, przy zastosowaniu formuły Ito \[dC=(\frac{\partial C}{\partial S}+\frac{\partial C}{\partial t}+\frac{1}{2}\frac{\partial^2 C}{\partial S^2}\sigma^2 S^2)dt+\frac{\partial C}{\partial S}\sigma S R(t)dt \] i użycie formuły definiującej geometryczny ruch Browna prowadzi do wzoru \[ \frac{d\Pi}{dt}=\frac{dC}{dt}-\frac{\partial C}{\partial S}\frac{dS}{dt}=\frac{\partial C}{\partial t}+\frac{1}{2}\sigma^2S^2\frac{\partial^2C}{\partial S^2}\] Zauważmy, że gdyby zdecydować się zdeponować wartość portfela w banku, przy stałej, wolnej od ryzyka stopie procentowej, wówczas \[ \frac{d\Pi}{dt}=r\Pi\] Przy braku arbitrażu, oba powyższe scenariusze prowadzą do jednakowych zmian wartości portfela. W wyniku uzyskuje się równanie Blacka-Scholesa \[ rC= \frac{\partial C}{\partial t}+rS\frac{\partial C}{\partial S}+\frac{1}{2}\sigma^2S^2\frac{\partial^2C}{\partial S^2} \] Warto zauważyć, że minimalizacja ryzyka skutkuje konstrukcją w pełni deterministycznego modelu, bez czynników losowych.

Rozwiązanie równania BS jest doskonale znane zarówno ekonofizykom jak i inżynierom finansowym. Ponieważ celem skryptu jest uwypuklenie użyteczności kwantowych metod analizy tego równania, jego 'klasyczne' rozwiązanie, dla europejskiej opcji CALL, przedstawiamy bez wyprowadzenia:

\[C(\tau=T-t,S,K,r)=SN(d_+)-Ke^{-r\tau}N(d_-)\;\] gdzie \[d_\pm=\frac{\ln(\frac{S}{K})+(r\pm\frac{\sigma^2}{2})\tau}{\sigma\sqrt{\tau}}\] a \[N(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^x \exp(-\frac{z^2}{2})dz\] jest dystrybuantą rozkładu normalnego.

Dynamika Hamiltonowska

' \(\)

\(\)

Jak wiadomo mechanika klasyczna, teoria zamknięta, może być formułowana na kilka mniej lub bardziej równoważnych sposobów. Każdy z tych sposobów zyskuje bądź traci na atrakcyjności zależnie od charakteru problemu jakiemu ma służyć. Historycznie rzecz ujmując mechanika Hamiltona, oparta na pojęciu zmiennych kanonicznych, stanowiła punkt wyjścia dla kwantowania teorii klasycznych. Sama procedura pierwszego kwantowania, w odróżnieniu od tzw. drugiego kwantowania, jest procedurą wymagającą wysoce rozwiniętej intuicji fizycznej. W szczególności najlepiej przebiega wówczas, gdy wykonujący ją fizyk wie jaki wynik chce uzyskać. Wiedzę tę wspiera się danymi eksperymentalnymi. Mówiąc w znacznym uproszczeniu: kwantowanie zmiennych kanonicznych zasadza się w swej istocie na wprowadzeniu nieprzemiennej struktury algebry obserwabli poprzez wprowadzenie dla ich opisu operatorów działających w określonych przestrzeniach funkcyjnych, czyli przestrzeni stanów. Teorie kwantowe można sklasyfikować poprzez wymiar przestrzeni stanów: skończony, nieskończony, choć przeliczalny, a wreszcie nieprzeliczalny. Podział ten, w istocie niefizyczny, dyktowany jest naturą stosowanych w tych trzech przypadkach metod matematycznych. W przypadku skończenie wymiarowym stosuje się algebrę liniową, a w istocie jej bardzo szczególny fragment. W pozostałych dwu użytkowany jest jeszcze szczególniejszy fragment szeroko rozumianej analizy funkcjonalnej, a więc, jak czytelnik może się spodziewać, trudność rośnie wraz z wymiarem. Rozpoczniemy tu od przypadku najprostszego, a jednocześnie najbardziej kwantowego, czyli spinu, dziś moda nakazuje mówić: "qubitu". W opisie tego układu wykorzystuje się tzw. mechanikę macierzową. Z jednej strony nisko wymiarowy układ jest pozornie prosty, z drugiej jednakowoż operować będziemy pojęciami nieposiadającymi klasycznych odpowiedników. O ile można taki odpowiednik znaleźć dla "położenia", o tyle myślenie o spinie jak o czymś co się kręci (fizycy jądrowi), czy też czymś co jest "w górę" lub "w dół" (fizycy ciała stałego) prowadzi prawie zawsze do niedomówień.

Mechanika kwantowa: mechanika macierzowa

' \(\)

\(\)

Sceną zdarzeń mechaniki kwantowej jest przestrzeń stanów \(|\psi\rangle\in\mathcal{H}\). Jest to przestrzeń wektorowa nad ciałem liczb zespolonych, której elementy można dodawać i mnożyć przez (zespolone) skalary, a także, co najważniejsze, można obliczać ich iloczyn skalarny: \[\langle \psi_1|\psi_2\rangle=(\langle \psi_1|\psi_2\rangle)^*\in\mathbb{C}\] \[\langle \psi_1|a\psi_2\rangle=a\langle \psi_1|\psi_2\rangle,\,\,\,a\in\mathbb{C}\]

Eksperyment Sterna-Gerlacha (SG).

Zacznijmy od najprostszego przypadku, który jednak zawiera w sobie całą istotę mechaniki kwantowej. Wyobraźmy sobie wiązkę elektrów wpadającą w jednorodne pole magnetyczne wytworzone pomiędzy biegunami magnesu. Wiązka elektronów w polu magnetycznym dzieli się na dwa strumienie. Oznacza to, że w obrębie wiązki możemy wyróżnić dwa rodzaje elektronów różniące się jakąś cechą (stopniem swobody). Cechę tę nazywa się spinem. Jest to całkowicie kwantowa własność elektronów i jakakolwiek próba jej wizualizacji, czy to w postaci wirowania, czy namagnesowania, ociera się o niedorzeczność. Ponieważ w eksperymencie SG wiązka elektronów podzielił się na dwie wiązki można podejrzewać, że w opisie tego stopnia swobody potrzeba przestrzeni dwuwymiarowej \(dim\mathcal{H}=2\). Załóżmy, że w eksperymencie SG pole magnetyczne skierowane było wzdłuż osi \(z\). Wówczas bazę przestrzeni możemy oznaczyć \[|+z\rangle,\,\, |-z\rangle\] Stan elektronów w wiązce, element przestrzeni \(\mathcal{H}\) możemy zapisać w postaci kombinacji liniowej

\[|\psi\rangle=c_+|+z\rangle+ c_-|-z\rangle\]

Stany \(|\pm z\rangle\) róznią się wartością wielkości zwanej spinem w kierunku osi \(z\). Przyjmijmy, że w stanie \(|\pm z \rangle\) spin przyjmuje wartości \(S_z=\pm\frac{\hbar}{2}\) odpowiednio. Tutaj \(\hbar=\frac{h}{2\pi}\), gdzie \(h\) to stała Plancka. Nie ma to jednak, co ciekawe, większego znaczenie dla dalszej dyskusji.

Zauważmy, że jeśli dowolną z wiązek otrzymaną w wyniku podziału wiązki w eksperymencie SG skierujemy do następnego, identycznego z pierwszym, eksperymentu SG, to wiązka ta nie ulegnie dalszemu rozszczepieniu. Oznacza to, że stany \(|\pm z\rangle \) nie zawierają w sobie stanów \(|\mp z\rangle\). Matematyka pozwala sformalizować tę obserwację: Baza \(\{|+z\rangle,|-z\rangle\}\) jest ortogonalna ( co więcej, bez straty ogólności możemy przyjąć, że jest to baza ortonormalna) \[\langle \pm z|\mp z\rangle =0\] \[\langle \pm z|\pm z\rangle =1\]

Zauważmy, że nic nie stoi na przeszkodzie, aby obrócić eksperyment SG, tak aby pole magnetyczne wyznaczało inną niż \(z\) oś. Wówczas wiązka również się rozszczepi

\[|\psi\rangle=c_+|+x\rangle+ c_-|-x\rangle\] gdy pole jest skierowane wzdłuż osi \(x\) lub

\[|\psi\rangle=c_+|+y\rangle+ c_-|-y\rangle\] gdzy pole wyznacza oś \(y\).

W przedstawionych przykładach wektor stanu \(|\psi\rangle\) przedstawiony został w trzech spośród nieskończenie wielu (odpowiadających dowolnemu kątowi obrotu eksperymentu SG) baz przestrzeni \(\mathcal{H}\)

Interpretacja probabilistyczna.

Iloczyn skalarny \[\langle\psi_1|\psi_2\rangle\] ma w mechanice kwantowej głęboką interpretację probabilistyczną. Opisuje on amplitudę zdarzenia, polegającego na tym, że stan \(|\psi_1\rangle\) jest stanem \(|\psi_2\rangle\) (i oczywiście vice versa). Co to jest amplituda? Ponieważ, przestrzeń \(\mathcal{H}\) jest zespolona, iloczyn skalarny jej elementów jest w ogólności liczbą zespoloną, czyli amplitudą, zwaną czasem amplitudą prawdopodobieństwa. Wartość bezwzględna amplitudy zdarzenia jest jego prawdopodobieństwem. Zauważmy, że przy takiej interpretacji \(c_+\) jest amplitudą, a \(|c_+|=c_+c_+^*\) jest prawdopodobieństwem tego, że stan wiązki wchodzącej do SG jest stanem \(|+z\rangle\). Interpretacja probabilistyczna nie przenosi się na problemy ekonofizyki omawiane w skrypcie, więc nie będziemy dalej zgłebiać tego tematu.

Mechanika kwantowa: bra-kety i operatory

W przypadku układów wyżej wymiarowych, czyli takich, gdzie skończony układ wektorów bazowych \[\{|v_i\rangle,i=1,...,N=dim\mathcal{H}\}\] rozpina przestrzeń stanów \[\mathcal{H}=\mbox{span}\{|v_i\rangle,i=1,...,N=dim\mathcal{H}\}\] dowolny wektor zapisujemy w postaci \[|\psi\rangle=\sum_{i=1}^N c_i|v_i\rangle=\left(\begin{array}{c}c1 \\ c2 \\ \ldots \\ c_N \end{array}\right)\]

W tradycyjnej terminologii wektor \(|\psi\rangle\) nazywamy wektorem ket. Wektor do niego dualny

\[\langle\psi|=\sum_{i=1}^N c_i^*\langle v_i|=\left(c_1^*,c_2^*,\ldots, c_N^*\right)=\left(|\psi\rangle \right)^\dagger\]

zwykło się nazywać wektorem bra. \(\dagger\) oznacza hermitowskie sprzężenie macierzy: transpozycja wraz ze sprzężeniem zespolonym. Nazewnictwo to wynika z faktu, że iloczyn skalarny \[\langle \psi|\phi\rangle=\sum_{i=1}^N c_i^* d_i\] można zapisać w postaci 'mnożenia bra razy ket'

\[ \langle \psi| \cdot |\phi\rangle=\left(c_1^*,c_2^*,\ldots, c_N^*\right)\left(\begin{array}{c}d1 \\ d2 \\ \ldots \\ d_N \end{array}\right)\]

i otrzymać braket. Należy podkreślić, że formalizm "braketów" nie uogólnia się łatwo na przypadki przestrzeni nieskończenie wymiarowych. Przyczyna leży w tym, że w ogólnym przypadku wektorów bra jest więcej niż wektorów ket. Mówiąc bardziej formalnie przestrzeń Hilberta i jej przestrzeń dualna nie są izomorficzne. Brak izomorfizmu stanowił istotną trudność matematyczną dla wczesnej mechaniki kwantowej. Próby pokonania tej trudności zaowocowały powstaniem nowych działów fizyki matematycznej a nawet matematyki. Teoria dystrybucji (funkcji uogólnionych) niech posłuży za spektakularny przykład.

Operacje w przestrzeni wektorowej, transformujące wektory w inne wektory, reprezentowane są przez macierze (macierzowe reprezentacje operatorów). Reprezentacja macierzowa doskonale sprawdza się w przypadku przestrzeni skończenie wymiarowych. W przypadku przestrzeni funkcyjnych w zastępstwie wielu fizycznie interesujących macierzy stosuje się operatory różniczkowe. \[|\psi\rangle=A|\phi\rangle\] \[\langle\psi|=\langle A\phi|=\langle \phi| A^\dagger \]

Większość fizyków interesują trzy typy operatorów:

1. Operatory hermitowskie o własności \[A=A^\dagger\] zapewniającej rzeczywiste widmo i ortonormalne wektory własne. Operatory te opisują wielkości obserwowalne w mechanice kwantowej, czyli tak zwane obserwable. Ich widmo odpowiada wynikom pomiaru danej wielkości.

2. Operatory unitarne \[U^{-1}=U^\dagger\] zachowujące iloczyny skalarne \[\langle U\psi|U\phi\rangle =\langle \psi|U^\dagger U\phi\rangle=\langle\psi|\phi\rangle\] i opisujące, między innymi, dynamikę układów kwantowych, czy, przez tw. Wignera, różnorakie symetrie.

3. Projektory, czyli operatory rzutowania. Ograniczymy się tu do projektorów postaci \[P=|\phi\rangle \langle \phi| \] gdzie \(|\phi\rangle\) to pewien wektor. Operator tej postaci jest w istocie projektorem: \[P^2=P=P^\dagger\] Szczególnym przykładem jest projektor rzutujący wektor na wektor ortonormalnej bazy: \[P_k|\psi\rangle=\left(| v_k\rangle\langle v_k|\right)\sum_{i=1}^N c_i| v_i\rangle= c_k \] Operatory rzutowania odgrywają ważną rolę w opisie pomiaru kwantowego.

3a. Identyczność, lub operator identycznościowy, którego najważniejszą cechą jest nicnierobienie \[\mathcal{I}=\sum_{i=1}^N |v_i\rangle \langle v_i|\] Powyższy zapis nosi nazwę rozkładu jedności w bazie wektorów \(\{|v_i\rangle, i=1,\ldots, N\}\)

W dalszym toku wykładu zauważymy, że w opisie zjawisk rynkowych dokonywanym w oparciu o metody mechaniki kwantowej konieczne będzie wyjście poza wymienione grupy operatorów.

Dynamika układów kwantowych

' \(\)

\(\)

Wszystko płynie, również czas, choć ten raczej ucieka (tempus fugit). Istnieje co najmniej kilka sposobów opisu ewolucji w czasie układów kwantowych. W toku wykładu omówimy dwa spośród nich: "tradycyjny" (Hamiltonowski) i drugi, wykorzystujący całki po trajektoriach (to później).

Ewolucja w czasie układu kwantowego oznacza istnienie transformacji (operatora \(U(t)\)) \[U(t)|\psi(0)\rangle=|\psi(t)\rangle\] Zwróćmy uwagę, że warunek zachowania normalizacji \[\langle \psi(t)|\psi(t)\rangle=\langle \psi(0)|U^\dagger(t)U(t)\psi(0)\rangle=\langle \psi(0)|\psi(0)\rangle\] narzuca na operator \(U(t)\) warunek unitarności \[U^\dagger(t)U(t)=\mathcal{I}\] Rozważmy ewolucję infintezymalnie krótką: \(t\rightarrow dt\): \[U(dt)=\mathcal{I}-\frac{i}{\hbar}Hdt\] gdzie operator \(H\) jest generatorem przesunięcia w czasie i tradycyjnie nazywa się go hamiltonianem. Stała Plancka, jak zwykle, nie pełni to ważniejszej funkcji niż inne parametry. Zauważmy, że unitarność \(U(t)\) implikuje hermitowskość \(H=H^\dagger\) Ewolucja w czasie spełnia następujące równanie: \[U(t+dt)=U(dt)U(t)=\left(\mathcal{I}-\frac{i}{\hbar}Hdt\right)\] a wówczas \[U(t+dt)-U(t)=\left(-\frac{i}{\hbar}Hdt\right)U(t)\] co, "dzieląc przez \(dt\)" można zapisać w postaci operatorowego równania różniczkowego \[i\hbar\frac{d}{dt}U(t)=HU(t)\] lub w postaci równania różniczkowego opisującego wektor stanu \[i\hbar\frac{d}{dt}|\psi(t)\rangle=H|\psi(t)\rangle\] znanego w kręgach "zbliżonych do fizyków" pod nazwą równania Schroedingera. Uważny czytelnik z pewnością zauważy przynajmniej dwa uproszczenia w powyższym wywodzie: po pierwsze, dlaczego operator \(H\) nie miałby zależeć od czasu, po drugie zaś, milcząco założono że \(dim\mathcal{H}<\infty\). Uproszczenia te pozwalają jednak znaleźć rozwiązanie równania Schroedingera, które ma postać inną niż tylko formalna: \[U(t)=\lim_{N\rightarrow \infty}\left[\mathcal{I}-\frac{i}{\hbar}H(\frac{t}{N}) \right]^N=e^{-iHt/\hbar}\] a wówczas \[|\psi(t)\rangle=e^{-iHt/\hbar}|\psi(0)\rangle\] Fizyczną implikacją założenia niezależności od czasu hamiltonianu jest zachowawczość układu (wartość oczekiwana energii \(E\) jest stała w czasie) \[\langle E\rangle =\langle\psi(t)|H|\psi(t)\rangle=\langle\psi(0)|H|\psi(0)\rangle\] Szczególnie prostą postać przyjmuje ewolucja w czasie stanów włąsnych operatora \(H\), czyli wektorów spełniających warunek \[H|E\rangle=E|E\rangle\] gdzie energia \(E\) jest liczbą rzeczywistą. Dla stanów tych \[e^{-iHt/\hbar}|E\rangle=e^{-iEt/\hbar}|E\rangle\]

Przykład

Jako przykład, zaczerpnięty z Feynmanna, układu, którego ewolucję chcemy opisać niech posłuży cząstka amoniaku \(NH_3\). Budowa takiej molekuły (składającej się z trzech atomów wodoru ułożonych na płaszczyźnie, pod/ponad którą umiejscowiony jest azot) sugeruje wprowadzenie uproszczonego opisu: \[|1\rangle =|\mbox{azot nad}\rangle \] \[|2\rangle =|\mbox{azot pod}\rangle \] oznaczającego uwzględnienie jedynie dwu, dla nas istotnych, stopni swobody. Hamiltonian układu \[H=\left(\begin{array}{cc} \langle 1|H|1\rangle & \langle 1|H|2\rangle \\ \langle 2|H|1\rangle & \langle 2|H|2\rangle \end{array} \right)=\left(\begin{array}{cc} E_0 & -A \\ -A & E_0 \end{array} \right)\] Zagadnienie własne \[H|E\rangle=E|E\rangle\] prowadzi do znalezienia dwu unormowanych stanów własnych \[|E_I\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}|1\rangle+\frac{1}{\sqrt{2}}|2\rangle\] \[|E_{II}\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}|1\rangle-\frac{1}{\sqrt{2}}|2\rangle\] odpowiadającym energiom \[E_{I/II}=E_0\pm A\] Przyjmijmy, że początkowo azot znajduje się nad płaszczyzną wyznaczoną przez wodory \[|\psi(0)\rangle=|1\rangle\] Wówczas \[|\psi(t)\rangle=e^{-iHt/\hbar}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}|E_I\rangle+\frac{1}{\sqrt{2}}|E_{II}\rangle \right)=\frac{e^{-i(E_It}/\hbar}{\sqrt{2}}|E_I\rangle+\frac{e^{-iE_{II}t/\hbar}}{\sqrt{2}}|E_{II}\rangle \] czyli problem jest rozwiązany.

Mechanika kwantowa: mechanika falowa

' \(\)

\(\)

Na wstępie rozdziału autor przedstawiał, uzależnioną od wymiarowości, konieczność stosowania odmiennych metod matematycznych w mechanice kwantowej. Dalej jednak, niekonsekwentnie, zamiast wprowadzić metody analizy funkcjonalnej (teorii przestrzeni Hilberta, czy wyposażonych przestrzeni Hilberta) nieco oszukańczo spróbujemy uogólnić mechanikę macierzową do nieskończonej liczby wymiarów.

W dalszym ciągu skupimy naszą uwagę na bardzo szczególnej reprezentacji mechaniki kwantowej. Jest to tzw. reprezentacja położeniowa, prowadzące w efekcie do mechaniki falowej. Reprezentację tę definiuje wyróżniona baza położeń \[\{|x\rangle\}, \,\,\, x\in\mathbb{R}\] Baza ta jest ortonormalna (w uogólnionym sensie) \[\langle x|x'\rangle=\delta(x-x'), \,\,\, x,x'\in\mathcal{R}\] Zapis ten sugeruje, że dla położenia rozkład jedności \[\mathcal{I}=\int_\mathcal{R}dx |x\rangle\langle x|\] jest "uciągloną" wersją wyrażenia postaci \[\mathcal{I}=\sum_x |x\rangle\langle x|\] właściwego dla przypadku przeliczalnej (lub skończonej) liczby możliwych położeń. W bazie położeń dowolny wektor zapisujemy w postaci kombinacji liniowej \[|\psi\rangle=\int_{-\infty}^\infty dx |x\rangle\langle x|\psi\rangle\] gdzie \[\psi(x)=\langle x|\psi\rangle\] to funkcja falowa.

Operacja przesunięcia

Rozważmy naturalny operator przesunięcia zadany warunkiem \[T(a)|x\rangle=|x+a\rangle\] Wówczas \[|\psi'\rangle=T(a)|\psi\rangle=T(a)\int_\mathcal{R}dx'|x'\rangle\langle x'|\psi\rangle=\int dx'|x'+a\rangle\langle x'|\psi\rangle\] Zauważmy, że \[\psi'(x)=\int dx'\langle x|x'+a\rangle\psi(x')=\int dx' \delta(x-(x'+a))\psi(x')=\psi(x-a)\] ponadto, z unitarności przesunięcia \[T^\dagger(a)T(a)=\mathcal{I}\] można łatwo wywieść \[T^\dagger(a)=T(-a)\] Z operatorem przesunięcia można związać jego generator \[T(dx)=\mathcal{I}-\frac{i}{\hbar}p_xdx\] w sposób analogiczny do generatora przesunięcia w czasie. Hermitowski operator \[p_x=p^\dagger_x\] jest, jak pokażemy, operatorem pędu. Dowolny operator przesunięcia można wyrazić poprzez jego generator \[T(a)=e^{-ip_xa/\hbar}\] Spróbujmy teraz znaleźć postać generatora przesunięć w bazie położeniowej. Oznacza to, że próbujemy obliczyć \(\langle x|p_x\psi\rangle\). Załóżmy, że \(s\approx dx\) wówczas \[T(s)|\psi\rangle=\int dx|x+s\rangle \psi(x)=\int dx'|x'\rangle\psi(x'-s)\] z drugiej strony, stosując dla małych \(s\) rozwinięcie Taylora \[\psi(x'-s)=\psi(x')-s\frac{\partial}{\partial x'}\psi(x')\] otrzymujemy \[T(s)|\psi\rangle=|\psi\rangle-s\int dx'|x'\rangle\frac{\partial}{\partial x'}\psi(x')=\left(\mathcal{I}-\frac{i}{\hbar}p_xs\right)\] czyli \[p_x|\psi\rangle=\frac{\hbar}{i}\int dx'|x'\rangle\frac{\partial}{\partial x'}\psi(x')\] a stąd \[\langle x|p_x|\psi\rangle=\frac{\hbar}{i}\frac{\partial}{\partial x}\langle x|\psi\rangle\] a więc \[p_x\longrightarrow \frac{\hbar}{i}\frac{\partial}{\partial x}\]

Przestrzeń położeń, przestrzeń pędów

Załóżmy, że operator pędu posiada sensownie określone stany własne: \[p_x|p\rangle=p|p\rangle\] stanowiące (ortonormalną) bazę przestrzeni stanów (\(\langle p|p'\rangle=\delta(p-p')\)), czyli pozwalające zapisać dowolny wektor w postaci \[|\psi\rangle=\int dp|p\rangle\langle p|\psi\rangle\] gdzie \[\psi(p)=\langle p|\psi\rangle\] jest funkcją falową w bazie pędów. Związek między tymi bazami zawarty jest w formule \[|p\rangle=\int dx|x\rangle\langle x|p\rangle\] gdzie współczynniki \(\langle x|p\rangle\) znajdujemy rozwiązując równanie różniczkowe postaci \[\langle x|p_x|p\rangle=p\langle x|p\rangle=\frac{\hbar}{i}\frac{\partial}{\partial x}\langle x|p\rangle\] W pierwszej z równości korzystamy z faktu, że stany pędowe to stany własne operatora pędu, w drugiej zaś z reprezentacji położeniowej operatora pędu. Ostatecznie \[\langle x|p\rangle=\frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}e^{ipx/\hbar}\] czyli związek pomiędzy reprezentacją położeniową a pędową zadany jest transformacją Fouriera wraz z dodatkowo narzuconym warunkiem normalizacji \(\langle p|p'\rangle=\delta(p-p')\)

Ewolucja w czasie

Podobnie jak w ogólnym przypadku dyskutowanym wcześniej, dynamika kwantowa w przestrzeni położeń generowana jest przez odpowiednio dobrany hamiltonian. Konwencjonalnie zakłada się, że hamiltonian układu kwantowego jest sumą operatorowej wersji energii kinetycznej i odpowiedniego potencjału: \[H=\frac{p_x^2}{2m}+V(x)\] Oczywiście znalezienie dynamiki kwantowej w jej ogólnej postaci jest, poza nielicznymi wyjątkami, po prostu niemożliwe. Rozważmy jednak to co da się opisać: dynamikę cząstki swobodnej, czyli takiej, dla której \(V\equiv 0\), czyli \[H=\frac{p_x^2}{2m}\] Wówczas \[|\psi(t)\rangle=e^{-iHt/\hbar}\int dp |p\rangle\langle p|\psi\rangle\] gdzie stan \[|\psi(0)\rangle=\int dp |p\rangle\langle p|\psi\rangle=\int dx |x\rangle\langle x|\psi\rangle\] korzystniej zapisać jest w bazie pędów, gdyż jest to również baza stanów własnych hamiltonianu. Oczywiście, obie bazy są Fourierowsko dualne: \[\langle p|\psi\rangle=\int dx \langle p|x\rangle\langle x|\psi\rangle=\int dx \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}e^{-ipx/\hbar}\langle x|\psi\rangle\] \[\langle x|\psi\rangle=\int dp \langle x|p\rangle\langle p|\psi\rangle=\int dp \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}e^{ipx/\hbar}\langle p|\psi\rangle\]

Studnia potencjału

W praktycznych zastosowaniach mechaniki kwantowej w badaniu własności układów atomowych centralnym zagadnieniem pozostaje rozwiązanie równania Schroedingera \[\langle x|H|\psi(t)\rangle=i\hbar \langle x|\frac{d}{dt}|\psi(t)\rangle\] gdzie \[\langle x|H|\psi(t)\rangle=\langle x|\left[\frac{p_x^2}{2m}+V(x)\right]=\left[-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2} +V(x)\right]\langle x|\psi(t)\rangle\] lub w terminologii funkcji falowych \[\left[-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2} +V(x)\right]\psi(x,t)=i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\psi(x,t), \,\,\, \langle x|\psi(t)\rangle=\psi(x,t)\] Szczególnym problemem pozostaje znalezienie dopuszczalnych energii własnych układu. Ponieważ badany układ jest zachowawczy, gdyż jego hamiltonian nie zależy od czasu, ewolucja stanu własnego hamiltonianu przebiega następująco \[\psi_E(x,t)=\langle x|E\rangle e^{-iEt/\hbar}\] co pozwala zredukować problem do rozwiązania równania Schroedingera niezależnego od czasu postaci \[\left[-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2} +V(x)\right]\langle x|E\rangle =E\langle x|E\rangle\] Rozpatrzmy najprostszy z możliwych przykładów: zagadnienie własne dla cząstki uwięzionej w studni potencjału \[V(x)=\left\{\begin{array}{cc} 0 & |x|<\frac{a}{2}\\ \infty & |x|\ge \frac{a}{2} \end{array} \right.\] Przypadek ten, jak się okaże, znajdzie swoje zastosowanie w opisie opcji barierowych w dalszym toku dyskusji. Szukane rozwiązanie jest postaci \[\psi(x)=A\sin kx+ B\cos kx, \,\,\, |x|<a/2 \] z dodatkowym warunkiem \(\psi\left(\pm\frac{a}{2}\right)=0\). Warunek ten zapisany jawnie przyjmuje postać \[\left(\begin{array}{cc}\sin(ka/2) & \cos(ka/2) \\ -\sin(ka/2) & \cos(ka/2) \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} A \\ B \end{array} \right)=0\] Z warunku \[\left|\begin{array}{cc}\sin(ka/2) & \cos(ka/2) \\ -\sin(ka/2) & \cos(ka/2) \end{array}\right|=0\] otrzymujemy \[\sin ka=0 \Rightarrow k_na=n\pi,\,\, n\in\mathbb{N} \] a rozwiązanie (z uwzględnieniem normalizacji) \[\psi_n(x)=\left\{\begin{array}{cc}\sqrt{\frac{2}{a}}\cos(\frac{n\pi x}{a}) & n=1,3,5... \\ \sqrt{\frac{2}{a}}\sin(\frac{n\pi x}{a}) & n=2,4,6... \end{array}\right.\] a odpowiednie wartości energii to \[k_n a=\sqrt{\frac{2mE_n}{\hbar^2}}a=n\pi,\,\,\, n\in\mathbb{N}\]

Podkreślmy, że zaprezentowany przykład, będący w istocie archetypem wielu problemów fizyki atomowej i jądrowej, gdzie rozważa się problem stanów związanych, znajduje swoje zastosowanie w ekonofizyce w opisie pewnej grupy opcji barierowych. Do zagadnienia tego powrócimy w toku wykładu.

Ekonofizyka

' \(\)

\(\)

W tym rozdziale po raz pierwszy dochodzimy do meritum rozważanej w skrypcie problematyki. Pokażemy jak wykorzystać narzędzia badawcze mające swe źródło w opisie dynamiki układów kwantowych przy badaniu dynamiki opcji w modelu Blacka-Scholesa (BS). Pragniemy podkreślić, że zaproponowana metodologia badawcza nie oznacza kwantowania modelu BS w sensie znanym w fizyce, lecz wskazanie na istnienie formalnych analogii pomiędzy tymi teoriami. Rozpocznijmy od równania BS: \[\frac{\partial C}{\partial t}=-\frac{1}{2}\sigma^2 S^2\frac{\partial^2C}{\partial S^2}-rS\frac{\partial C}{\partial S}+rC\] gdzie \(C=C(S,t)\;\) jest szukaną ceną instrumentu pochodnego uzależnioną od ceny instrumentu bazowego \(S(t)\;\) i czasu \(t\). Szczegółowa dyskusja tego równania przedstawiona została we wcześniejszych rozdziałach skryptu.

Rozważmy zamianę zmiennych \[S=e^x, \,\,\,\, x\in [-\infty,\infty]\] w wyniku której równanie BS przyjmuje "hamiltonowską" postać \[\frac{\partial C}{\partial t}=H_{BS} C\] Operator \[H_{BS}\left(\cdot\right)=-\frac{\sigma^2}{2}\frac{\partial^2}{\partial x^2}\left(\cdot\right)+\left(\frac{1}{2}\sigma^2-r \right)\frac{\partial}{\partial x}\left(\cdot\right) + r\left(\cdot\right)\] będziemy w toku dalszego wykładu nazywać hamiltonianem Blacka-Scholesa (BS). Już tutaj musimy podkreślić bardzo istotną cechę odróżniającą model BS od modeli rozważanych typowo w fizyce. Hamiltonian BS nie jest hermitowski. \[H_{BS}^\dagger \left(\cdot\right)=-\frac{\sigma^2}{2}\frac{\partial^2}{\partial x^2}\left(\cdot\right)-\left(\frac{1}{2}\sigma^2-r \right)\frac{\partial}{\partial x}\left(\cdot\right) + r\left(\cdot\right)\neq H_{BS}\left(\cdot\right)\] Niehermitowskie hamiltoniany pojawiają się w efektywnym opisie układów kwantowych. Pobieżna dyskusja tego zagadnienie przedstawiona zostanie w następnym rozdziale. Już tu jednak podkreślmy, że brak "hermitowskości" stanowić może poważną niedogodność, lub może raczej hermitowskość hamiltonianów fizycznych jest znacznym, często niedocenianym, ułatwieniem. Kolejna różnica widoczna w porównaniu modelu BS i równania Schroedingera to brak jednostki urojonej \(i^2=-1\;\). W pewnym uproszczeniu możemy powiedzieć, że dynamika BS odbywa się w czasie urojonym \(t\rightarrow it\;\). Czas urojony stosuje się w fizyce statystycznej przy badaniu własności termodynamicznych układów kwantowych. Do zagadnienia tego powrócimy w dalszych rozdziałach skryptu.

Stany własne niehermitowskich hamiltonianów

Podrozdział ten ma charakter techniczny. Przedstawiony zostanie, w sposób uproszczony, opis zagadnienia własnego dla operatora niehermitowskiego. Dla uproszczenia badamy operatory o niezwyrodniałym widmie dyskretnym, zaś \(dim \mathcal{H}<\infty\;\).

Operator sprzężony definiuje, dla dowolnych wektorów, wzór \[\langle\psi|H\phi\rangle=\langle H^\dagger \psi|\phi\rangle\] Jeśli, jak to zwykle bywa w fizyce, \[H=H^\dagger\] wartości własne operatora \(H\;\) są rzeczywiste, a wektory własne ortogonalne. \[H|\psi_n\rangle=E_n|\psi_n\rangle, n=1,\ldots N<\infty\] \[\langle\psi_n|\psi_m\rangle=\delta_{nm}, \,\,\, E_n\in\mathbb{R}\] W przypadku operatorów niehermitowskich \[H\neq H^\dagger\] sytuacja komplikuje się. W ogólnym wypadku mamy dwa, nierównoważne zagadnienia własne: \[H|\psi_n\rangle=E_n|\psi_n\rangle\] \[H^\dagger|\tilde{\psi}_n\rangle=\tilde{E}_n|\tilde{\psi}_n\rangle\] gdzie \[E_n=\tilde{E}_n^*\] wraz z warunkiem biortogonalności \[\langle\tilde{\psi}_n|\psi_m\rangle=\delta_{nm}\] Pokażmy pierwszą z własności: \[E_n\langle\tilde{\psi}_n|\psi_n\rangle=\langle\tilde{\psi}_n|H\psi_n\rangle=\langle H^\dagger\tilde{\psi}_n|\psi_n\rangle=\langle \tilde{E}_n\tilde{\psi}_n|\psi_n\rangle=\tilde{E}_n^*\langle \tilde{\psi}_n|\psi_n\rangle\] Dla dowodu drugiej, pamiętając o założonym braku degeneracji widma, rozważmy \[\langle H^\dagger\tilde{\psi}_m|\psi_n\rangle-\langle \tilde{\psi}_m|H\psi_n\rangle =(\tilde{E}_m^*-E_n)\langle \tilde{\psi}_m|\psi_n\rangle\]

Propagator Blacka-Scholesa

Równanie BS zapisane w postaci hamiltonowskiej \[\frac{\partial C}{\partial t}=H C\] gdzie dla uproszczenie pominięto wskaźnik BS i.e. \(H=H_{BS}\), można formalnie rozwiązać \[C(t,x)=e^{tH}C(0,x)\;\] przy czym, stosując notację Diraca ("bra-kety") \(C(t,x)=\langle x|C,t\rangle\). To samo równanie można zapisać przy użyciu notacji Diraca \[\frac{\partial}{\partial t}|C,t\rangle=H |C,t\rangle\] a rozwiązanie

\(|C,t\rangle=e^{tH}|C,0\rangle\)

Notacja Diraca stanowi użyteczne uproszczenie o charakterze mnemotechnicznym, choć jej stosowalność w przypadku układów nieskończenie wymiarowych wymaga użycia uogólnionych (wyposażonych) przestrzeni Hilberta. Nie zapominajmy, że zgodnie z dyskusją zawartą we wcześniejszych rozdziałach, równanie BS wymaga określenie warunku końcowego: \[|C,T\rangle=e^{TH}|C,0\rangle=|g\rangle\] Ponieważ wówczas \[|C,0\rangle=e^{-TH}|g\rangle\] więc rozwiązanie równania BS przyjmuje postać \[|C,t\rangle=e^{tH}|C,0\rangle=e^{-(T-t)H}|g\rangle\] W dalszym ciągu przyjmuje oznaczenie \[\tau=T-t\;\] W zaproponowanej notacji stany \(|x\rangle\;\), gdzie \(x\in\mathcal{R}\;\), pełnią naturalną funkcję położeń wraz z odpowiadającym rozkładem jedności \[\mathcal{I}=\int_\mathbb{R}dx |x\rangle\langle x|\] Rozkład jedności pozwala na znalezienie szukanej ceny opcji w modelu BS w postaci funkcji falowej \[C(t,x)=\langle x|e^{-\tau H}|x\rangle=\int_{-\infty}^\infty dx' \langle x|e^{-\tau H}|x'\rangle\] Zauważmy, że dla znajomości wartości instrumentu pochodnego w dowolnej chwili wystarcza znajomość warunku końcowego i wielkości \[K(x,x',\tau)=\langle x|e^{-\tau H}|x'\rangle\] znanej w fizyce pod nazwą propagatora, lub funkcji Greena. Pokażemy w dalszych rozdziałach jak, stosując metody rodem z fizyki kwantowej, można obliczyć, lub sensownie przybliżyć, propagator dla modelu BS.

Propagator Blacka-Scholesa: rozwiązanie

Ze względu na względną prostotę modelu BS możliwym jest podanie dla tego modelu jawnej postaci propagatora \(K(x,x',\tau)\;\). Wykorzystamy w tym celu reprezentację "pędową", czyli postąpimy analogicznie do przypadku kwantowej cząstki swobodnej:

\(K(x,x',\tau)=\langle x|e^{-\tau H}|x\rangle=\int_\mathbb{R} \frac{dp}{2\pi}\langle x|e^{-\tau H}|p\rangle\langle p|x'\rangle\)

gdzie zastosowano rozkład jedności \[\mathcal{I}=\int_\mathbb{R} \frac{dp}{2\pi}dp|p\rangle\langle p|\] Do wykorzystania powyższego wzoru wystarczy zauważyć, że \[\langle x|H| p\rangle=H\langle x| p\rangle= He^{ipx}=\left(\frac{1}{2}\sigma^2p^2+i(\frac{1}{2}\sigma^2-r)p+r \right) e^{ipx}\], gdyż, przypomnijmy (\(\hbar=1\)) \[\langle x|p\rangle=e^{ipx},\,\,\,\,\, p_x\rightarrow -i\frac{\partial}{\partial x}\] Teraz propagator można zapisać w postaci całki \[K(x,x',\tau)=e^{-r\tau}\int_\mathbb{R}\frac{dp}{2\pi}e^{-\frac{1}{2}\tau\sigma^2p^2}e^{ip\left(x-x'+\tau(r-\frac{\sigma^2}{2})\right)}\] Całka ta jest całką gaussowską, którą można, korzystając ze wzoru \[\int_\mathbb{R}dse^{-as^2}=\sqrt{\frac{\pi}{a}} ,\,\, a\neq 0\] obliczyć jawnie \[K(x,x',\tau)=e^{-r\tau}\frac{1}{\sqrt{2\pi\tau\sigma^2}}e^{-\frac{1}{2\tau\sigma^2}\left(x-x'+\tau(r-\frac{\sigma^2}{2})\right)^2}\] Oznacza to, że problem wyceny opcji BS można uznać za rozwiązany.

Potencjały a opcje barierowe

Uniwersalna stosowalność mechaniki kwantowej w opisie mikroświata zasadza się w możliwości modelowania niemal dowolnych układów poprzez wybór odpowiedniego potencjału w hamiltonianie występującym w równaniu Schroedingera \[H=\frac{p^2}{2m}+V\] Dobór potencjału \(V\) podyktowany jest naturalnymi przesłankami wynikającymi z natury sił wiążących układ kwantowy. W przypadku wyceny opcji w modelach typu Blacka-Scholesa okazuje się, że istnieje swoboda podobnego typu. Okazuje się, że opis szerokiej klasy opcji zależnych od drogi można przeprowadzić poprzez modyfikację \[H_{eff}=H_{BS}+V\;\] Szczególnym przypadkiem mogą być tu tzw. opcje barierowe, czy też opcje azjatyckie dla których \[V=ige^x\;\] Ciekawą klasę problemów otrzymuje się, gdy założy się \(r\rightarrow V(x)\) otrzymując \[H_V=-\frac{\sigma^2}{2}\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\left(\frac{\sigma^2}{2}-V(x)\right)\frac{\partial}{\partial x}+V(x)\] Z powyższym niehermitowskim hamiltonianem można powiązać hamiltonian efektywny \(H_{eff}\) poprzez następującą izospektralną (nie zmieniającą widma) transformację \[H_V=e^sH_{eff}e^{-s}\;\] gdzie \[H_{eff}=-\frac{\sigma^2}{2}\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{1}{2}\frac{\partial V}{\partial x}+\frac{1}{2\sigma^2}\left(V+\frac{1}{2}\sigma^2 \right)^2\] oraz \[s=\frac{1}{2}x -\frac{1}{\sigma^2}\int_0^x dh V(h)\] Korzyść wyniesiona z przeprowadzonej transformacji staje się jasna, gdz zauważymy, że hamiltonian efektywny jest hermitowski \(H_{eff}^\dagger=H_{eff}\). Oznacza to istotne uproszczenie przy próbie jego diagonalizacji \[H_{eff}|\phi_n\rangle=E_n|\phi_n\rangle\] Oczywiście \[H_V|\psi_n\rangle=E_n|\psi_n\rangle\] gdzie \[|\psi_n\rangle=e^s|\phi_n\rangle\] lecz oczywiście \[\langle \tilde{\psi}_n|=e^{-s}\langle\phi_n|\neq \langle\psi_n|\] gdyż \(H_V\) nie jest hermitowski.

W szczególnym przypadku \(V=r\), czyli dla podstawowego modelu BS \[H_{BS}=e^sH_{eff}e^{-s}=e^{\alpha x}\left(-\frac{\sigma^2}{2}\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\gamma \right)e^{-\alpha x}\] gdzie \[\gamma=\frac{1}{2\sigma^2}\left(r+\frac{1}{2}\sigma^2 \right)^2, \,\,\,\,\alpha=\frac{1}{\sigma^2}\left(\frac{1}{2}\sigma^2-r\right)\]

Przykład: dwie bariery

Opcje barierowe to instrumenty pochodne konstruowane dla instrumentu bazowego, którego zakres wartości (położenie) ograniczony jest do właściwego podzbioru zbioru liczb rzeczywistych (\(x\in A\subset\mathbb{R}\)) Rozważmy dynamikę opcji w modelu BS w obecności potencjału, który ogranicza położenie instrumentu bazowego do skończonego przedziału na osi liczb rzczywistych. \[H_{DB}=H_{BS}+V(x)=e^s(H_{eff}+V(x)))e^{-s}\;\] gdzie \[V(x)=\left\{\begin{array}{cc} \infty & x\le a \\ 0 & x\in(a,b)\\ \infty & x\ge b \end{array} \right.\] zaś \[H_{eff}=-\frac{\sigma^2}{2}\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\gamma\] Zauważmy, że rozważany model, w którym występują dwie bariery jest spektralnie równoważny modelowi cząstki uwięzionej w studni potencjału.

Stany własne: \[\langle x|\phi_n\rangle=\sqrt{\frac{2}{b-a}}\sin(p_n(x-a)),\,\,\,p_n=\frac{\pi n}{b-a},\,\,\, E_n=\frac{\sigma^2}{2}p_n^2,\,\,\,n\in\mathbb{N}\] otrzymuje się z rozwiązania odpowiedniego problemu kwantowego, a nastepnie, korzystając z ich zupełności \[\mathcal{I}=\sum_{n=1}^\infty |\phi_n\rangle\langle\phi_n|\] obliczamy \[K(x,x',\tau)=\langle x|e^{-\tau H_{BD}}|x'\rangle =e^{-\tau\gamma}e^{\alpha(x-x')}\sum_{n=1}^\infty e^{-\tau E_n}\langle x|\phi_n\rangle\langle\phi_n|x'\rangle \] co oznacza rozwiązanie problemu.

Całki po trajektoriach

' \(\)

\(\)

Nieprzemienność operatorów w mechanice kwantowej z jednej strony stanowi o jej bogactwie, z drugiej zaś niestety o jej trudności. Próbą ominięcia trudności wynikających ze stosowania nieprzemiennych wielkości w mechanice kwantowej jest teoria całek po trajektoriach. Mówiąc w wikipedycznym skrócie w teorii tej rozważa się cząstki poruszające się po klasycznych trajektoriach. Ze względu na nieoznaczoność pędu i położenia pojęcie trajektorii nie jest dobrze określone w "operatorowej mechanice kwantowej", jeśli jednak założy się, jak zrobił to Feynmann, że cząstka porusza się z punktu \(A\) do \(B\) po wszystkich możliwych trajektoriach, przy czym prawdopodobieństwo realizacji konkretnej trajektorii jest powiązane z działaniem poruszającej się cząstki, otrzymuje się teorię poprawnie opisującą świat kwantów. Teoria ta nie jest jedynie słuszną mechaniką kwantową, wręcz przeciwnie, niezależnie od pozornej poglądowości jej stosowalność napotyka na istotne ograniczenia i trudności.

Mechanika klasyczna: ujęcie Langrange'a

' \(\)

\(\)

Mechanika klasyczna, bardziej niż jakakolwiek teoria fizyczna, znana jest z tego, że dopuszcza przynajmniej trzy alternatywne (choć nie równoważne zob. Arnold "Matematyczne metody mechaniki klasycznej") sposoby opisu. Możemy wyróżnić

1. Mechanikę Newtona

2. Mechanikę Hamiltona

3. Mechanikę Lagrange'a

Mechanika Hamiltona, formalizm kanoniczny, stanowi podstawę historycznie najwcześniejszych prób kwantowania mechaniki. Niemniej jednak to formalizm Lagrange'a stał się kanwą dla omawianych w dalszych rozdziałach metod całek po trajektoriach.

Rozpocznijmy od pojęcia funkcjonału, operacji przyporządkowania funkcji liczby (rzeczywistej) danej następującą formułą \[F[f]=\int dx F(f(x))\] szczególnym przypadkiem takiej operacji jest funkcjonał działania \[S[x]=\int_{t_i}^{t_f} dt L(x,\dot{x})\] gdzie \[L(x,\dot{x})=\frac{m}{2}\dot{x}^2-V(x)\] to funkcja Lagrange'a.

Funkcjonały można różniczkować: \[F'[v]=\frac{d}{d\epsilon}F[f+\epsilon v]|_{\epsilon=0}= \int dx\frac{\delta F[f]}{\delta f(x)}v(x)\] gdzie \[\frac{\delta F(f(x))}{\delta f(y)}=\lim_{\epsilon\rightarrow 0}\frac{F(f(x)+\epsilon\delta(x-y))-F(f(x))}{\epsilon}\] a w szczególności \[\frac{\delta f(y)}{\delta f(x)}=\delta (x-y)\] Zauważmy, że tak zdefiniowana pochodna funkcjonału jest naturalnym uogólnieniem pojęcia pochodnej kierunkowej dla funkcji wielu zmiennych.

Dla przykładu rozważmy: \[F[f]=\int dy F(f(y))= \int dy (f(y))^n\] obliczjąc pochodną: \[\frac{\delta}{\delta f(x)}F(f(y))=\lim_{\epsilon\rightarrow 0} \frac{f(y)+\epsilon \delta(x-y))^n-f(y))^n}{\epsilon}=\] \[ =\lim_{\epsilon\rightarrow 0}\frac{(f(y))^n+n\epsilon (f(y))^{n-1}\delta(y-x)+O(\epsilon^2)-(f(y))^n}{\epsilon}=n(f(y))^{n-1}\delta(y-x)\] czyli ostatecznie \[\frac{\delta}{\delta f(x)}F[f]=\int dy \frac{\delta F(f(y))}{\delta f(x)}=\int dy nf(y)^{n-1} \delta(y-x)=nf(x)^{n-1}\]

Równania Lagrange'a

Jako kolejny przykład rozważmy funkcjonał działania \[S[x]=\int_{t_i}^{t_f} dt' L(x(t'),\dot{x}(t'))\]\ gdzie funkcja Lagrange'a \[L(x(t),\dot{x}(t'))=\frac{1}{2}m\dot{x}^2-V(x(t))=T(\dot{x}(t))-V(x(t))\] jest różnicą energii kinetcznej i potencjalnej cząstki.

Równania ruchu cząstki otrzymuje z ekstremalizacji funkcjonału działania: \[0=\frac{\delta S[x]}{\delta x(t)}=\int_{t_i}^{t_f} dt' \frac{\delta L(x(t'),\dot{x}(t'))}{\delta x(t)}=-m \ddot{x}(t)-V'(x(t))\] gdyż \[\frac{\delta L(x(t'),\dot{x}(t'))}{\delta x(t)}=m\dot{x}(t')\frac{d}{dt'}\delta(t-t')-\frac{\partial V(x(t')}{\partial x(t')}\delta(t'-t)\] Ostatecznie, ekstremalizując działanie cząstki na klasycznej trajektorii okazało się, że ruch cząstki dany jest rozwiązaniem równania Newtona.

Całki w mechanice kwantowej

' \(\)

\(\)

Powróćmy teraz do opisu dynamiki układów kwantowych. Całki po trajektoriach powstały po to, aby stanowiły alternatywne narzędzie do badania własności mikroświata. Należy podkreślić, że dziś całki po trajektoriach stanowią dobrze ugruntowaną i zaakceptowaną metodę badawczą. Co więcej, w przypadku układów o skończonej liczbie stopni swobody, są one akceptowalne również dla większości matematycznych purystów. W przypadku teorii pola sytuacja jest już mniej różowa. Zwróćmy uwagę, że całki funkcjonalne, w czasach gdy powstawały były metodą delikatnie mówiąc kontrowersyjną. Już sama ich nazwa "po trajektoriach" budziła zasadniczy sprzeciw: w mechanice kwantowej jest nieoznaczoność położenia i pędu, cóż to jest więc trajektoria?

Formalizm całek po trajektoriach, który zostanie zaprezentowany w niniejszym rozdziale, pozwala na obliczenie ewolucji w czasie nie tyle stanu: \[|x,t\rangle_H=\exp(\frac{i}{\hbar}tH)|x\rangle\] co raczej na znalezienie propagatora \[_H\langle x_1,t_1|x_2, t_2\rangle_H = \langle x_1|e^{\frac{-i}{\hbar} Ht_1}e^{\frac{i}{\hbar} Ht_2}|x_2\rangle=\langle x_1|e^{\frac{-i}{\hbar} H(t_1-t_2)}|x_2\rangle= \] \[=\langle x_1|U(t_1,t_2)|x_2\rangle=U(t_1,x_1;t_2,x_2)\] Oznacza to, że stosując całki po trajektoriach przyjmuje się za fundamentalne nieco inne wielkości niż w przypadku "kanonicznym" omawianym wcześniej. Należy podkreślić, że nie skutkuje to utratą informacji o badanym układzie.

Dalej wyprowadzimy wzór opisujący propagator cząstki kwantowej lub inaczej, amplitudę zdarzenia, że cząstka będąca w chwili \(t_i\;\) w punkcie \(x_i\;\) znajdzie się w chwili \(t_f\;\) w punkcie \(x_f\;\). W toku wykładu ograniczamy się do przypadku jednowymiarowego i.e. \(x\in\mathbb{R}\;\). Centralnym problemem pozostaje obliczenie \[U(t_f,x_f;t_i,x_i)=_H\langle x_f,t_f|x_i,t_i\rangle_H\;\] Rozpocznijmy od dyskretyzacji czasu ("be wise, discretize") \[\epsilon=\frac{t_f-t_i}{N}\] czyli podzielenia ewolucji w czasie na kroki, i odpowiadające im chwile czasu \[t_n=t_i+n\epsilon,\,\,\, n=1,2,\ldots,(N-1)\] Wówczas propagator dla ciągłej w czasie ewolucji mozna otrzymać w drodze procedury granicznej \[ U(t_f,x_f;t_i,x_i)=\lim_{\epsilon\rightarrow 0}\lim_{N\rightarrow\infty} \int dx_1\ldots dx_{N-1}\,_H\langle x_f,t_f|x_{N-1},t_{N-1}\rangle_H\] \[\,_H\langle x_{N-1},t_{N-1}|x_{N-2},t_{N-2}\rangle_H\ldots\,_H\langle x_i,t_1|x_i,t_i\rangle_H\]; przy czym propagator dla "jednego kroku" dany jest wzorem \[_H\langle x_n,t_n|x_{n-1},t_{n-1}\rangle = \langle x_n| e^{-\frac{i}{\hbar} t_nH}e^{\frac{i}{\hbar} t_{n-1}H}|x_{n-1}\rangle=\] \[=\langle \exp(-\frac{i}{\hbar}(t_n-t_{n-1})H)|x_{n-1}\rangle=\langle x_n|\exp(-\frac{i}{\hbar}\epsilon H)|x_{n-1}\rangle=\] \[=\int\frac{dp}{2\pi\hbar}e^{\frac{i}{\hbar}p_n(x_n-x_{n-1})-\frac{i}{\hbar} \epsilon H(\frac{x_n+x_{n-1}}{2},p_n)}\] I ostatecznie \[U(t_f,x_f;t_i,x_i)=\lim_{\epsilon\rightarrow 0}\lim_{N\rightarrow \infty}\int dx_1\ldots dx_{N-1}\frac{dp_1}{2\pi\hbar}\ldots \frac{dp_N}{2\pi\hbar} \] \[\exp(\frac{i}{\hbar}\sum_{n=1}^N (p_n(x_n-x_{n-1})-\epsilon H(\frac{x_n+x_{n-1}}{2},p_n)))\] W granicy "ciągłych kroków", całkowanie przeprowadza się po nieprzeliczalnym zbiorze trajektorii łączących punkt \(x_i\;\) oraz \(x_f\;\). Taka "nieskończenie-krotna" całka wymaga wprowadzenie odpowiedniej miary całkowej. Istnienie takiej miary dla problemów mechaniki kwantowej nie budzi na ogół kontrowersji. Tutaj jednak nie zajmiemy się tym delikatnym matematycznym problemem. \[U(t_f,x_f;t_i,x_i)= \int \mathcal{D}p \int \mathcal{D}x \exp(\frac{i}{\hbar}\int_{t_i}^{t_f} dt (p\dot{x}-H(x,p)))=\] \[=\int \mathcal{D}p \int \mathcal{D}x \exp(\frac{i}{\hbar}\int_{t_i}^{t_f} dt L) \] Powyższy wzor nazywany bywa całką po trajektorii w przestrzeni fazowej. Formuła ta ma prostą interpretację fizyczną: amplituda przejścia z punktu \((x_i,t_i)\;\) do \((x_f,t_f)\;\) wyraża się sumą (sumą ciągłą,czyli całką) amplitud dla wszystkich możliwych trajektorii łączących te dwa punkty. Wkłady pochodzące od różnych trajektorii są ważone przez działanie odpowiadające danej trajektorii.

Postać Feynmanna całki po trajektorii

Dla bardzo szerokiej klasy problemów mechaniki kwantowej hamiltonian wyraża się w postaci sumy wkładu kinetycznego (zależnego kwadratowo od pędu) i potencjału zależnego wyłącznie od położenia cząstki \[H(x,p)= \frac{p^2}{2m}+V(x)\] W takiej sytuacji postać propagatora w reprezentacji przestrzeni fazowej ulega istotnemu uproszczeniu \[U(t_f,x_f;t_i,x_i)=\lim_{\epsilon\rightarrow 0}\lim_{N\rightarrow\infty} \int dx_1 \ldots dx_{N-1}\frac{dp_1}{2\pi\hbar}\ldots\frac{dp_N}{2\pi\hbar}\] \[\exp(\frac{i\epsilon}{\hbar} \sum_{n=1}^N (p_n(\frac{x_n-x_{n-1}}{\epsilon}-\frac{p_n^2}{2m} -V(\frac{x_n+x_{n-1}}{2})))\] wynikającemu z faktu, że odpowiednie całki "po pędzie" można, jako gaussowskie, wykonać. \[\int\frac{dp_n}{2\pi\hbar} \exp(-\frac{i\epsilon}{\hbar} (\frac{p_n^2}{2m}-\frac{p_n(x_n-x_{n-1})}{\epsilon}))=\sqrt{\frac{m}{2\pi i\hbar\epsilon}}\exp(\frac{im\epsilon}{2\hbar}(\frac{x_n-x_{n-1}}{\epsilon})^2)\] co prowadzi ostatecznie do wyrażenia na propagator w postaci Feynmanna \[U(t_f,x_f;t_i,x_i)=A\int \mathcal{D}x \exp(\frac{i}{\hbar}\int_{t_i}^{t_f}dt(\frac{1}{2}m\dot{x}^2-V(x)))=A\int\mathcal{D}x\exp(\frac{i}{\hbar}S[x])\] Porównując z postacią w przestrzeni fazowej widzimy znaczące uproszczenie wynikające ze zmiany liczby całek, które należy obliczyć. Ostateczne formuła wymaga obliczenia tylko jednej całki funkcjonalnej.

Cząstka swobodna

Po wyprowadzeniu wyrażeń opisujących propagator przy użyciu całek funkcjonalnych przystąpimy do zastosowania nowego (dla nas) formalizmu w opisie najprostszego z układów fizycznych: cząstki swobodnej opisanej funkcją Lagrange'a \[L=\frac{1}{2}m\dot{x}^2\] Propagator jest wówczas odpowiednio prostszy \[U(t_f,x_f;t_i,x_i)=\lim_{\epsilon\rightarrow 0}\lim_{N\rightarrow \infty} (\frac{m}{2\pi i\hbar\epsilon})^{N/2}\int dx_1 \ldots dx_{N-1} \exp(\frac{im}{2\hbar\epsilon} \sum_{n=1}^N(x_n-x_{n-1})^2))\] Obliczenie powyższej formuły przeprowadzimy po zamianie zmiennych \[y_n=\sqrt{\frac{m}{2\hbar\epsilon}}x_n\] a wówczas propagator \[U(t_f,x_f;t_i,x_i)=\lim_{\epsilon\rightarrow 0}\lim_{N\rightarrow \infty} (\frac{m}{2\pi i\hbar\epsilon})^{\frac{N}{2}}(\frac{2\hbar\epsilon}{m})^{\frac{N-1}{2}}\int dy_1\ldots dy_{N-1}\exp(i\sum_{n=1}^N(y_n-y_{n-1})^2)\] zawiera wyłącznie całki gaussowskie, które można z łatwością obliczyć \[U(t_f,x_f;t_i,x_i)=\lim_{\epsilon\rightarrow 0}\lim_{N\rightarrow \infty} (\frac{m}{2\pi i\hbar\epsilon})^{\frac{N}{2}}(\frac{2\hbar\epsilon}{m})^{\frac{N-1}{2}}\sqrt{\frac{i\pi^{N-1}}{N}}\exp(\frac{i}{N}(y_N-y_0)^2)=\] i, po powrocie do pierwotnych zmiennych, gdzie \[x_N=x_f, \,\,\, x_0=x_i\] otrzymać \[=\sqrt{\frac{m}{2\pi i\hbar(t_f-t_i)}}\exp(\frac{mi}{2\hbar}\frac{(x_f-x_i)^2}{t_f-t_i})\] Przykład cząstki swobodnej może być cokolwiek mylący. Obliczenie propagatora nie robi wrażenia trudniejszego niż to, które przeprowadziliśmy wcześniej, w ramach "zwykłej" mechaniki kwantowej. Niestety, sytuacja taka jest incydentalna. Wszystkie pozostałe rozwiązywalne problemy mechaniki kwantowej są, w formalizmie całek po trajektoriach dużo trudniejsze do rozwiązania, niż przy użyciu metod tradycyjnych.

Czas urojony

Niezależnie od licznych niedogodności związanych ze stosowaniem całek po trajektoriach, w pewnych obszarach fizyki są one niezastąpione. Rozpocznijmy od mechaniki statystycznej. Rozważmy następujący hamiltoniam "ze źródłami" \[H^J(t)=H(p,x)+\vec{\Phi}\cdot \vec{J}= H(p,x)+pK(t)+xJ(t)\] gdzie źródła opisane są wielkościami \[\vec{\Phi}=(p,x),\,\, \vec{J}(t)=(K(t),J(t))\] Jedną z najbardziej interesujących wielkości w fizyce wysokich energii i wszędzie tam, gdzie zainteresowanie badaczy ogniskuje się na problemach rozpraszania, jest tzw. amplituda próżnia-próżnia \[Z^J=Z^J(t_f,t_i)=\langle 0|U^J(t_f,t_i)|0\rangle\] czyli propagator opisujący zdarzenie polegające na przejściu, w toku ewolucji, układu w stanie podstawowym \[H(p,x)|0\rangle=E_0|0\rangle\] do stanu podstawowego po czasie \(t_f-t_i\). Niezależnie od zastosowań w teorii rozpraszania, wielkość ta pozwala na relatywnie łatwe obliczenie funkcji Greena \[-\hbar^2 \frac{1}{Z^J}\frac{\partial ^2 Z^J}{\partial \vec{J}(t_1)\partial\vec{J}(t_2)}|_{\vec{J}\rightarrow 0}=\langle 0|\mathbb{T} \vec{\Phi}(t_1)\vec{\Phi}(t_2)|0\rangle\] gdzie \[\vec{\Phi}(t)=e^{iHt/\hbar}\vec{\Phi}e^{-iHt/\hbar}\] a operator uporządkowania chronologicznego ma następujące działanie \[\mathbb{T}A(t_1)B(t_2)=\theta(t_1-t_2)A(t_1)B(t_2)-\theta(t_2-t_1)B(t_2)A(t_1)\]

Dokonajmy teraz pozornie niedorzecznej operacji: \[t\rightarrow -it\] a więc załóżmy, że czas jest wielkością czysto urojoną. Przeprowadźmy obliczenie odpowiedniego propagatora, jak poprzednio, krok po kroku \[\tilde{U}(t_f,t_i)=\lim_{N\rightarrow\infty}(\mathcal{I}-\frac{\epsilon}{\hbar}H_N^J(p,x))(\mathcal{I}-\frac{\epsilon}{\hbar}H_{N-1}^J(p,x))\ldots (\mathcal{I}-\frac{\epsilon}{\hbar}H_1^J(p,x))\] gdzie \[H_n^J=H(p,x)+\vec{\Phi}\cdot \vec{J}_n,\,\,\,\vec{J}_n=\vec{J}(-it_j) \] a w szczególności spróbujmy znaleźć jego ślad \[\tilde{Z}^J(t_f,t_i)=\mbox{Tr}\tilde{U}^J(t_f,t_i)=\int_{-\infty}^\infty dx \langle x|\tilde{U}^J|x\rangle\] który oczywiście zapiszemy w postaci całki po trajektoriach z periodycznymi warunkami brzegowymi \[\tilde{Z}^J(t_f,t_i)=\lim_{N\rightarrow\infty} \prod_{j=1}^N(\int\int\frac{dp_j dx_j}{2\pi\hbar})\] \[\exp(\frac{1}{\hbar}\sum_{j=1}^N(ip_j(x_j-x_{j-1})-\epsilon(H(p_j,\frac{x_j+x_{j-1}}{2})+p_jK_j+x_jJ_j)))|_{x_0=x_N}\] lub w reprezentacji Feynmanna \[\tilde{Z}^J(t_f,t_i)=\lim_{N\rightarrow\infty} \prod_{j=1}^N(\int\sqrt{\frac{m}{2\pi\hbar\epsilon}}dx_j)\] \[\exp(\frac{\epsilon}{\hbar}\sum_{j=1}^N(\frac{m}{2}(\frac{x_j-x_{j-1}+i\epsilon K_j}{\epsilon})^2+V(\frac{x_j+x_{j-1}}{2})+x_jJ+j))|_{x_0=x_N}\] Zauważmy, że \[\tilde{Z}^{\vec{J}=0}(t_f,t_i)=z(T)=\mbox{Tr}e^{-TH\hbar}\] czyli, po podstawieniu \[(t_f-t_i)/\hbar=T/\hbar\longrightarrow 1/k_BT\] jest niczym innym jak funkcją podziału (sumą statystyczną) pozostającą w centrum zainteresowania fizyki statystycznej.

Całki po trajektoriach w ekonofizyce

' \(\)

\(\)

W tym rozdziale powrócimy do badania dynamiki instrumentów pochodnych. Przypomnijmy, że we wcześniejszych rozdziałach pokazaliśmy, że problem wyceny opcji w modelu BS sprowadzić można do znalezienia odpowiedniego propagatora BS \[p(x,\tau;x')=\langle x|e^{-\tau H}|x\rangle\] Zwróćmy uwagę, że formuła ta ma zasadniczą strukturę propagatora w czasie urojonym cząstki kwantowej. Oznacza to ,że można poczynić próbę sformułowania problemy w języku całek po trajektoriach. Rozpocznijmy od dyskretyzacji czasu, a wówczas \[p(x,\tau;x')=\lim_{N\rightarrow\infty} \langle x|[e^{-\epsilon H}]^N|x'\rangle\] Jeśli teraz w każdym kroku czasowym wprowadzimy pomiędzy operatory ewolucji następujący rozkład jedności \[\mathcal{I}=\int_\mathbb{R} dx |x\rangle\langle x|\] otrzymamy następującą aproksymację \[p(x,\tau;x')=\lim_{N\rightarrow\infty}(\prod_{i=1}^{N-1}\int dx_i)\prod_{i=1}^N \langle x_i|e^{-\epsilon H}|x_{i-1}\rangle\] gdzie \[x_N=x,\,\,\,\, x_0=x'\] Dla dalszego zbliżenia pomiędzy wyceną opcji a mechaniką kwantową zapiszmy \[\langle x_i|e^{-\epsilon H}|x_{i-1}\rangle=\mathcal{N}_i(\epsilon)e^{\epsilon L(x_i,x_{i-1},\epsilon)}\] stałe zależne od \(\epsilon\) i czasu zależą od konkretnej postaci hamiltonianu. Szczegółowe obliczenia dla modelu BS przeprowadzimy w dalszym ciągu wykładu. Wówczas propagator wyraża się poprzez całkę po trajektoriach \[p(x,\tau;x')=\int\mathcal{D}x e^S\] z działaniem \[S=\sum_{i=1}^N L(x_i,x_{i-1},\epsilon))\] obliczonym jako suma (czas dyskretny) z odpowiedniej funkcji Lagranage'a, przy czym funkcjonalna miara całkowa jest postaci \[\int\mathcal{D}x=\mathcal{N}_N(\epsilon)\prod_{i=1}^{N-1}\int \mathcal{N}_i(\epsilon)dx_i\] Jeśli wykonamy przejście graniczne do czasu ciągłego otrzymamy \[p(x,\tau;x')=\prod_{t=0}^\tau \int_\mathbb{R} dx(t)e^S\] lub równoważnie \[\Rightarrow \langle x|e^{-\tau H}|x'\rangle=\int\mathcal{D}x e^S\] gdzie działanie \[S=\int L(x,\dot{x})dt\] wyraża się całką po czasie z funkcji Lagrange'a.

Funkcja Lagrange'a dla modelu Blacka-Scholesa

Rozważmy teraz konkretny model: model Blacka-Scholesa. Wówczas, korzystając z wyników wcześniejszych rozdziałów otrzymujemy \[\langle x_i|e^{-\epsilon H_{BS}}|x_{i-1}\rangle=\frac{e^{-r\epsilon}}{\sqrt{2\pi\epsilon\sigma^2}}\exp(-\frac{1}{2\epsilon\sigma^2}(x_i-x_{i-1}+\epsilon(r-\frac{\sigma^2}{2}))^2)=\] co pozwala na zapisanie propagatora w postaci \[=\frac{e^{-r\epsilon}}{\sqrt{2\pi\epsilon\sigma^2}}\exp(-\frac{\epsilon}{2\sigma^2}(\frac{\delta x_i}{\epsilon}+(r-\frac{\sigma^2}{2}))^2)=\mathcal{N}_{BS}(\epsilon)e^{\epsilon L_{BS}}\] gdzie wyróżniona została funkcja Lagrange's BS \[L_{BS}(i)=-\frac{1}{2\sigma^2}(\frac{\delta x_i}{\epsilon}+r-\frac{\sigma^2}{2})^2-r\] i działanie BS \[S_{BS}=\epsilon\sum_{i=1}^N L_{BS}(i)\] Czynnik normujący przyjmuje postać \[\mathcal{N}_{BS}(\epsilon)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\epsilon\sigma^2}}\] a funkcjonalna miara całkowa \[\int_{BS}\mathcal{D}x=(\frac{1}{2\pi\epsilon\sigma^2})^{N/2}\prod_{i=1}^{N-1}\int_\mathbb{R} dx_i\] Ostatecznie otrzymujemy wyrażenie na propagator BS w języku całek funkcjonalnych \[p_{BS}=\int_{BS}e^{S_{BS}}\]

Model Blacka-Scholesa: całka funkcjonalna

Ostatnie wyrażenie poprzedniego rozdziału ma charakter formalny, przynajmniej tak długo, jak długo nie obliczymy explicite występujących w nim wyrażeń. Działanie BS ma postać \[S_{BS}=-\frac{1}{2\epsilon\sigma^2}\sum_{i=1}^N(x_i-x_{i-1}+\epsilon(r-\frac{\sigma^2}{2}))^2-r\epsilon N\] Podobnie, jak miało to miejsce przy badaniu całki po trajektoriach w mechanice kwantowej, zastosujemy podstawienie \[\zeta_i=x_i-x_{i-1}+\epsilon(r-\frac{\sigma^2}{2})\] przy czym \[d\zeta_i=dx_i\] Zwróćmy uwagę na następujący związek \[x_N=x_0-N\epsilon(r-\frac{\sigma^2}{2})+\sum_{i=1}^N\zeta_i\] mający charakter więzów nałożonych na dynamikę \[m-\sum_i\zeta_i=0,\,\,\, m=x-x'+\tau(r-\frac{\sigma^2}{2})\] Ograniczenie wynikające z istnienia więzów wymaga uwzględnienia przy obliczaniu propagatora \[p_{BS}=\langle x|e^{-\tau H_{BS}}|x'\rangle=\int_{BS}\mathcal{D}xe^{S_{BS}}=\] gdzie więzy wyrażone są obecnością uogólnionej funkcji Diraca \[=e^{-r\tau}(\frac{1}{2\pi\epsilon\sigma^2})^{N/2}\prod_{i=1}^N\int_\mathbb{R} d\zeta_i\exp(-\frac{1}{2\epsilon\sigma^2}\sum_{i=1}^N\zeta_i^2)\delta(m-\sum_{i=1}^N\zeta_i)\] Delta Diraca zapisana w postaci całkowej (transformata Fouriera) \[\delta(s)=\int_\mathbb{R}\frac{dp}{2\pi}e^{ips}\] pozwala na sprowadzenie wyrażenia na propagator BS do postaci, w której występują jedynie całki gaussowskie. Oczywiście dzięki temu można znaleźć zwartą postać propagatora BS \[p_{BS}=e^{-r\tau}\frac{1}{\sqrt{2\pi\tau\sigma^2}}\exp(-\frac{1}{2\tau\sigma^2}(x-x'+\tau(r-\frac{\sigma^2}{2}))^2)\] podobnie jak miało to miejsce w przypadku kwantowej cząstki swobodnej.

Model Blacka-Scholesa: autokorelacja

Niezależnie od elegancji sformułowania Feynmanna, dobrze jest wskazać, gdzie zastosowany formalizm prowadzi do "namacalnych" zysków w relacji do metod tradycyjnych. Podobnie jak miało to miejsce w mechanice kwantowej obliczymy \[Z_{BS}[j]=\int_{BS} \mathcal{D}x e^{S_{BS}}\exp(\sum_{i=1}^N j_i\zeta_i)=\] \[=e^{-r\tau}(\frac{1}{2\pi\epsilon\sigma^2})^{N/2}\prod_{i=1}^N\int_\mathbb{R}d\zeta_i \exp(-\frac{1}{2\epsilon\sigma^2}\sum_{i=1}^N\zeta_i^2)\delta(m-\sum_{i=1}^N\zeta_i)\exp(\sum_{i=1}^Nj_i\zeta_i)\] A po obliczeniu całek gaussowskich (jak w poprzednim rozdziale) \[Z_{BS}[j]=\mathcal{N} e^{F[j]}\] gdzie \[F[j]=\frac{1}{2}\epsilon\sigma^2\sum_{i=1}^N j_i^2-\frac{m^2}{2\epsilon\sigma^2 N}+\frac{m}{N}\sum_i j_i -\frac{\epsilon}{2N}\sigma^2 (\sum_i j_i)^2\] otrzymujemy funkcję generującą momenty \[E(\zeta_n)=\frac{\partial F[j]}{\partial j_n}|_{j=0}=\frac{m}{N}\] lub \[E(\dot{x})=-\frac{x-x'}{\tau}\] Podobnie można obliczyć momenty wyższego rzędu, a w szczególności funkcję autokorelacji \[E(\zeta_i\zeta_n)=\frac{\partial^2 F[j]}{\partial j_i\partial j_n}|_{j=0}=\frac{1}{\epsilon}\delta_{n,i} -\frac{\sigma^2}{\epsilon N}+(\frac{m}{\epsilon})^2\] czy autokorelacji prędkości zmian wartości \[E(\dot{x}(t)\dot{x}(t'))=\sigma^2\delta(t-t')-\frac{\sigma^2}{T-t}+(\frac{x-x'}{T-t})^2\]

Model Blacka-Scholesa 'Plus', czyli zmienność stochastyczna

' \(\)

\(\)

Skuteczność modelu BS przysporzyła mu wielu zwolenników. Niestety jednak praktyka pokazała, że nawet tak eleganckie i względnie zrozumiałe narzędzie posiada szereg wad i ograniczeń. Nie czas i nie miejsce, aby je teraz omawiać. Odpowiedzią na pojawiające się trudności są zwykle próby poprawienia modelu, "urealnienia". Można wskazać dwa główne kierunki ulepszeń: pierwszy, najogólniej mówiąc, sprowadza się w swej istocie do prób zastąpienia białego szumu gaussowskiego w dynamice instrumentu bazowego przez ogólny procesy \(\alpha\)-stabilny. Drugi nurt uogólnień modelu BS to naszkicowane w tym rozdziale próby uwzględnienia dynamiki zmienności, która, jak pokazuje empiria, nie jest stała w czasie. Co więcej, jej dynamika jest dostatecznie skomplikowana, aby zasłużyć na opis stochastyczny (losowy).

Oznacza to, że dotąd stały parametr w modelu BS zastąpić należy przez proces losowy \[ \sigma^2=V, \,\,\, \frac{dV}{dt}=\lambda+\mu V+\xi V^{\alpha}Q \] przy czym dobór parametrów gwarantuje \( V>0 \).

Ogólnie rzecz ujmując dynamika instrumentu bazowego dana jest parą, niekoniecznie niezależnych, procesów Ito \[ \frac{dS}{dt}=\phi S + S\sqrt{V} R_1 \] \[ \frac{dV}{dt}=\lambda+\mu V+\xi V^{\alpha}R_2 \] gdzie, dla korelacji \( \rho\in[-1,1]\) \[ \frac{1}{\rho}E[R_1(t),R_2(t')]=\delta(t-t')\]

Równanie Mertona-Garmana

' \(\)

\(\)

Poszukiwanie efektywnej wyceny opcji zakłada konstrukcję portfela zbudowanego z dwu opcji i pewnej ilości instrumentu bazowego \[\Pi=C_1+\Gamma_1 C_2 +\Gamma_2 S\;\] następnie stosując równanie wykorzystujące stałą stopę procentową \[\frac{d\Pi}{dt}=r\Pi\] oraz odpowiednio skomplikowaną formułę Ito, a następnie dobierając współczynniki \(\Gamma_i\) tak, aby wyeliminować wkłady losowe. Ostatecznie po założeniu znikania tzw. "ceny rynkowej ryzyka zmienności" otrzymujemy równanie Mertona-Garmana (GM)

\[\frac{\partial C}{\partial t}+rS\frac{\partial C}{\partial S}+(\lambda+\mu V)\frac{\partial C}{\partial V} +\frac{1}{2}VS^2 \frac{\partial^2 C}{\partial S^2}\rho\xi V^{1/2+\alpha}S\frac{\partial^2 C}{\partial S\partial V} +\xi^2 V^{2\alpha}\frac{\partial^2 C}{\partial V^2}=rC\]

Hamiltonian Mertona-Garmana

' \(\)

\(\)

Równanie MG jest istotnie bardziej skomplikowane, jeśli porównać je z równaniem BS. Oznacza to, że jego transformacja do postaci hamiltonowskiej nastręczy nieco więcej trudności. Zastosujmy następującą zamianę zmiennych \[S=e^x,\,\,\,\,\,\, x\in\mathbb{R}\] \[\sigma^2=V=e^y,\,\,\,\,\,\, y\in\mathbb{R}\] Podstawienie to prowadzi do równania typu Schroedingera (czas urojony) \[\frac{\partial C}{\partial t}=H_{MG}C\] gdzie hamiltonian \[H_{MG}=-\frac{e^y}{2}\frac{\partial^2}{\partial x^2}-(r-\frac{e^y}{2})\frac{\partial}{\partial x}-(\lambda e^{-y}+\mu-\frac{\xi^2}{2}e^{2y(\alpha -1)})\frac{\partial}{\partial y}\] \[-\rho\xi e^{y(\alpha-1/2)}\frac{\partial^2}{\partial x\partial y} -\frac{\xi^2 e^{2y(\alpha -1)}}{2}\frac{\partial^2}{\partial y^2}+r\] Zauważmy, że problem MG, w odróżnieniu od BS, jest dwuwymiarowy. Oznacza to istotne utrudnienie w analizie.

Lagrangian Mertona-Garmana

' \(\)

\(\)

Rozważmy tutaj szczególny przypadek problemu MG \[\alpha=1,\,\,\lambda=0\] wybór tem jest podyktowany jego rozwiązywalnością (poprzez całki po trajektoriach). Znalezienie funkcji Lagrange'a postępuje w sposób analogiczny do opisanego w kontekście modelu BS: \[\langle x,y| e^{-\epsilon H}|x'y'\rangle =\int_\mathbb{R} \frac{dp_y}{2\pi}\frac{dp_x}{2\pi} \langle x,y|e^{-\epsilon H}|p_x,p_y\rangle\langle p_x,p_y|x',y'\rangle=\] \[=\int_\mathbb{R} \frac{dp_y}{2\pi}\frac{dp_x}{2\pi}e^{ip_x(x-x')}e^{ip_y(y-y')}e^{-\epsilon H}\] gdzie \[H(x,y,p_x,p_y)=\frac{e^y}{2}p_x^2+(\frac{e^y}{2}-r)ip_x+\xi\rho e^{y/2}p_xp_y+\frac{\xi^2}{2}p_y^2+(\frac{e^y}{2}-\mu)ip_y \] Rożnica polega na potrzebie wprowadzenia dwuwymiarowego rozkładu jedności. Wykonując całki gaussowskie otrzymujemy \[\langle x,y| e^{-\epsilon H}|x'y'\rangle =\frac{1}{2\pi\epsilon\sqrt{\xi^2 e^y (1-\rho^2)}}e^{\epsilon L_{MG}}\] gdzie, przy oznaczeniach \[\delta x=x-x',\,\,\,\, \delta y=y-y'\] funkcja Lagrange'a jest postaci \[L_{MG}=-\frac{1}{2\xi^2} (\frac{\delta y}{\epsilon} +\mu-\frac{\xi^2}{2})^2-\frac{e^{-y}}{2(1-\rho^2)}(\frac{\delta x}{\epsilon}+r-\frac{e^y}{2}-\frac{\rho}{\xi}e^{y/2}(\frac{\delta y}{\epsilon}+\mu-\frac{\xi^2}{2}))^2\]

Całki po trajektoriach w probabilistyce

' \(\)

\(\)

Okazuje się, że całki po trajektoriach znajdują szerokie zastosowania w wielu dziedzinach nauki. W tym rozdziale omówimy na elementarnym przykładzie jak formalizm ten można użyć przy badaniu klasy procesów stochastycznych opisywanych jednowymiarowym równaniem Ito.

\[\frac{dx}{dt}=-\frac{dV(x)}{dx}+\sqrt{2\varepsilon}\frac{dW(t)}{dt}\]

Procesy losowe opisywane powyższym równaniem służą do modelowania szerokiej grupy zjawisk fizyki miękkiej materii. Jednocześnie równania Ito stosuje się w inżynierii finansowej do opisu dynamiki stóp procentowych. Celem rozdziału jest przedstawienie ogólnej idei stosowalności całek po trajektoriach w opisie tych zjawisk, a nie uzyskiwanie jakościowo satysfakcjonujących wyników. Skutkiem tego jest seria przyjętych nadmiernych uproszczeń nadających rozważaniom charakter akademicki.

Losowe równanie Ito można w zapisać w statystycznie równoważny sposób za pomocą deterministycznego równania cząstkowego dla gęstości prawdopodobieństwa procesu Ito: równania Fokkera-Plancka (FP):

\[\frac{\partial}{\partial t}P(x,t)=LP(x,t)\]

gdzie

\[L=-\frac{\partial}{\partial x}\alpha(x)+\varepsilon\frac{\partial^2}{\partial x^2}\] natomiast \(\varepsilon\) można zinterpretować jako współczynnik dyfuzji, zaś \[\alpha(x)=\frac{dV(x)}{dx}\] to dryf. Równanie FP można, w sposób analogiczny do równania BS, zapisać w postaci "hamiltonowskiej" stosując przekształcenie \[H=P_{eq}^{-1/2}LP_{eq}^{1/2}\] gdzie \[P_{eq}(x)=\exp(\frac{1}{\varepsilon}\int^x \alpha(x) dx)\] jest rozwiązaniem stacjonarnym równania FP. Wówczas otrzymujemy hamiltonian cząstki \[H=\varepsilon\frac{d^2}{dx^2}-\tilde{V}(x)\] w efektywnym potencjale \[\tilde{V}(x)=\frac{1}{2\varepsilon}\alpha^2(x)+\frac{1}{2}\alpha'(x)\] Tak więc klasyczny problem FP można sprowadzić do problemu \[\frac{\partial}{\partial t}G(x,t)=HG(x,t)\] o strukturze charakterystycznej dla problemów mechaniki kwantowej. Oczywiście, znając jego rozwiązanie można "odzyskać" rozwiązanie równania FP \[P(x,t)=\exp(\frac{1}{2\varepsilon}\int^x \alpha(x)dx)G(x,t)\] Zakładając warunek początkowy \[G(x,0)=\delta(x-x_0)\] można, stosując formułę Feynmana-Kaca dla procesów Wienera, rozwiązanie zapisać w postaci \[G(x,t)=\int_{x(0)=x_0}^{x(t)=x}\mathcal{D}x(t)\langle\exp(-\int_0^t \tilde{V}(s)ds) )\rangle\] gdzie "średniowanie" wykonano po rozkładach Gaussa poszczególnych przyrostów procesu Wienera \[G(x,t)=\lim_{n\rightarrow \infty}\int_\mathbb{R} dx_1\ldots dx_{n-1} \exp(-\frac{t}{n}\sum_{k=1}^{n-1}\tilde{V}(x_k))p(x-x_{n-1},t-t_{n-1})\ldots p(x_1,t_1)\] gdzie krok czasowy dany jest przez \[t_k-t_{k-1}=\frac{t}{n}\] a wspomniany rozkład Gaussa \[p(x,t)=\frac{1}{\sqrt{4\pi\varepsilon t}}\exp(-\frac{x^2}{4\varepsilon t})\] wstawiony do powyższych formuł daje \[G(x,t)=(\frac{n}{\sqrt{4\pi\varepsilon t}})^{n/2}\int_\mathbb{R} dx_1\ldots dx_{n-1}\exp(-\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n(\frac{1}{4\varepsilon}(\frac{x_k-x_{k-1}}{t/n})^2+\tilde{V}(x_k)))\] co oczywiście można zapisać w postaci całki funkcjonalnej \[G(x,t)=\int_{x(0)=x_0}^{x(t)=x}\mathcal{D}x(t)\exp(-\int_0^t((\frac{dx}{ds})^2+\tilde{V}(x(s)))ds)\] Oczywiście wtedy również rozwiązanie wyjściowego równania FP posiada taką reprezentację \[P(x,t)=\int_{x(0)=x_0}^{x(t)=x}\mathcal{D}x(t)\exp(-\int_0^t((\frac{dx}{ds}-\alpha(x(s)))^2+\frac{1}{2}\alpha'(x(s)))ds)\] Należy podkreślić, że rozwiązanie to nie tylko ma charakter formalny, lecz może stanowić wygodny punkt wyjścia dla analizy teoretycznej rozwiązań równania FP, a nawet być podstawą nowatorskich metod numerycznych do jego rozwiązywania.

Teoria pola i inne pominięte tematy

Poruszone w niniejszym skrypcie tematy stanowią drobny wycinek szerokiej i dynamicznie rozwijającej się dziedziny badawczej jaką jest współczesna ekonofizyka. Inne nurty badawcze związane są z dynamiką stochastyczną, badaniem korelacji i ryzyka, teorią sieci złożonych i teorią gier. Temtyka ta szerzej omawiana jest w ramach innych wykładów zarówno na pierwszym jak i drugim stopniu studiów ekonofizycznych w Katowicach. Z wymienionych przykładów na szczególną uwagę zasługuje modelowanie zjawisk rynkowych przy uwzględnieniu szeroko rozumianej złożoności. Złożoność problemu można "zmierzyć" podając liczbę stopni swobody opisujących rozważany model.

Zasadnicza część formalizm kwantowego wymyślonego (odkrytego) w XX wieku służy opisowi układów, które wymagają użycia wielu stopni swobody. W fizyce często bywa tak, że badanie układów o wielu stopniach swobody można uprościć dokładając tych stopni jeszcze więcej. W szczególności, wielkim sukcesem fizyki XX wieku było stworzenie kwantowej teorii pola, czyli teorii opisującej układy o nieskończonej (nieprzeliczalnej) liczbie stopni swobody. Metody teorii pola wykorzystuje się również w ekonofizyce. Prowadzi to znacznego wzbogacenia repertuaru stosowanych metod i zakresu badanych zjawisk. Metody te, ze względu na trudność użytych narzędzi, stanowić mogą podstawę kursu na poziomie doktorskim. Nieprzystępność metod teorii pola zasadza się w sposobie ich wykładania na studiach fizycznych. Teoria pola stosowana w fizyce wysokich energii z oczywistych względów wymaga ujęcia relatywistycznego, które, będąc istotnie nadmiarowym w stosunku do naszych potrzeb, skutkuje zaciemnieniem istoty problemu. Z drugiej strony teoria pola stosowana w fizyce materii stałej jest nierelatywistyczna, jednak jej wykład akcentuje często inne cele niż te, które potrzeba ekonofizykom. W szczególności fizycy ciała stałego częściej niż dynamiczne badają statyczne własności układów złożonych.

Teorie pola są teoriami "z cechowaniem". Oznacza to, że ekonofizyka w swej głębokiej (zaryzykujmy: fundamentalnej) warstwie jest teorią w dużej mierze geometryczną. Ten aspekt ekonfizyki ujęty jest w monografii

K. Ilinski, Physics of finance. Gauge modelling in non-equilibrium pricing, (John Willey and Sons, Singapure, 2001),

do zapoznania się z którą gorąco czytelnika zachęcamy.

A co z fizyką?

' \(\)

\(\)

Na zakończenie wykładu warto zadać sobie pytanie o stosowalność metod przedstawionych w skrypcie w "zwyczajnej" fizyce. W toku wywodu wielokrotnie podkreślone zostało, że przedstawione metody, jakkolwiek mające swe źródło w fizyce, różnią się od tych, typowo fizycznych.

O ile w XXI wieku nikt nie wątpi w fundamentalną rolę odgrywaną przez całki feynmannowskie w rozwoju naszego rozumienia fizyki zjawisk fundamentalnych. Tu szczególną uwagę należałoby poświęcić tym dziedzinom fizyki, gdzie w oczywisty sposób zawodzą metody perturbacyjne, zakładające istnienie "małego parametru". Dla konkretu można to przytoczyć silnie skorelowane układy elektronowe w fizyce ciała stałego (oddziaływanie elektron-elektron nie jest małe a tym bardziej nie może być zaniedbane) czy może układy oddziałujące silnie (kwarki ze swoją asymptotyczną swobodą).

Innym polem stosowalności całek po trajektoriach jest fizyka układów otwartych. O ile w przypadku układów kwantowo-optycznych oddziaływanie system-otoczenie można śmiało eliminować perturbacyjnie, o tyle w przypadku układów silnie tłumionych, przejawiających zachowanie niemarkowowskie, całki po trajektoriach wydają się niezastąpione:

Gert-Ludwig Ingold, Path Integrals and Their Applications to Dissipative Quantum Systems, w Coherent evolutions in noisy environmnets LNP, quant-ph/0208026

Pozornie mniej popularne są metody opisu dynamiki układów otwartych modelowanych przy użyciu niehermitowskich hamiltonianów

Ingrid Rotter, A non-Hermitian Hamilton operator and the physics of open quantum systems, J. Phys. A: Math. Theor. 42, R153001 (2009) (topical review)

Opis taki jest dużo bardziej fenomenologiczny w porównaniu z rygorystycznym podejściem za pomocą całek po trajektoriach. Niewątpliwą zaletą jest jednak "strawność" modeli bardziej skomplikowanych układów niż oscylator harmoniczny.

Podsumowanie, czyli trochę science fiction

' \(\)

\(\)

Przewidywania zachowań i zjawisk rynkowych wymagają precyzyjnych i szybkich obliczeń. Rzecz jasna, znajomość sensownego modelu to conditio sine qua non jakiegokolwiek modelowania. Jeśli jednak już model mamy, to chcielibyśmy być w stanie efektywnie go symulować, a więc obliczyć wynikłe zeń przewidywania. Podkreślmy, że rzeczywiste problemy ekonofizyki (takie jak badanie korelacji pomiędzy instrumentami finansowymi, czy elementami portfeli) są na tyle skomplikowane, że często dotykają granic (technicznych, nie fundamentalnych!) "obliczalności". Wiemy jednak, że w swej istocie obliczanie jest procesem fizycznym. Dociekliwy czytelnik zechce pogłębić swą wiedzę korzystając z

M.A. Nielsen, L.I. Chuang, Quantum Computation and Quantum Information, Camb. Univ. Press (2000)

Zauważmy, że proponowany dziś kwantowy opis dynamiki instrumentów finansowych może (kiedyś) znaleźć swój oddźwięk w konstruowaniu równoważnych ( w sensie dynamiki) układów kwantowych. których dynamika, badana w eksperymencie, lub (co ciekawsze) w procesie kwantowych symulacji przy użyciu kwantowych komputerów może owocować pogłębionym wglądem w naturę zjawisk rynkowych, a także uprościć, lub chociaż przyśpieszyć, ich analizę.

Indeks oznaczeń

Na zakończenie przedstawiamy wybór najważniejszych symboli i oznaczeń wykorzystanych w skrypcie:

\(S(t)\;\) wartość instrumentu bazowego

\(C(x,t)\;\) wartość opcji na instrument bazowy \(S=\exp(x)\;\)

\(r\;\) wolna od ryzyka stała stopa procentowa

\(H_{BS}\;\) hamiltonian Blacka-Scholesa

\(H_V\;\) hamiltonian Blacka-Scholesa zmodyfikowany potencjałem \(V(x)\) stosowany w modelach, gdzie \(r\rightarrow V(x)\) lub w opisie opcji barierowych

\(H_{eff}\;\) efektywny hermitowski hamiltonian Blacka-Scholesa otrzymany z \(H_V\;\) poprzez transformację izospektralną

\(\tilde{Z}\;\) (\(Z\;\)) funkcja pratycji, suma statystyczna

\(L_{BS}\;\) funkcja Lagrange'a dla modelu Blacka-Scholesa

\(Z_{BS}\;\) suma statystyczna dla modelu Blacka-Scholesa

\(H_{MG}\;\) hamiltonian Mertona-Garmana

\(L_{MG}\) funkcja Lagrange'a Mertona-Garmana