Z Skrypty dla studentów Ekonofizyki UPGOW

Wersja z 13:05, 4 maj 2010

Analiza i wycena instrumentów

Najważniejszym na rynku jest orientacja w tym co się dzieje i czy instrumenty, które są w obrocie w danym momencie i których ceny są znane na rynku odzwierciedlają ich rzeczywistą wartość. Wycena instrumentu finansowego to termin odnoszący się do obliczenia wartości tego instrumentu w chwili bieżącej (momencie otwierania lub zamykania przez inwestora pozycji). Wycenę instrumentu pochodnego nazywamy sprawiedliwą (godziwą) jeśli żadna ze stron nie jest uprzywilejowana. Pytanie czy wycena jest godziwa to pytanie o szanse naszego działania. Należy bowiem wiedzieć, czy cena rynkowa instrumentów jest wyższa lub niższa od ich godziwej wartości. Jeśli cena rynkowa jest inna niż własna wycena inwestora to wie on jakie działanie podjąć na rynku by pozbyć się przewartościowanych instrumentów biorąc należną premie, nabyć niedowartościowane licząc na zysk w najbliższej przyszłości. Przy próbach wyceny instrumentów finansowych zmuszeni jesteśmy czynić pewne upraszczające założenia dotyczące funkcjonowania rynku. Najczęstsze założenia dotyczą efektywności, płynności i możliwości arbitrażu^[1]. W zależności od przyjętych założeń otrzymujemy pewną modelową wycenę, która może uwzględniać nasze subiektywne rozumienie mechanizmów rządzących opisywanym procesem. Zwykle zakłada się również istnienie (dostępność) wolnej od ryzyka stopy procentowej. Jest to pewna idealizacja - w praktyce przyjmuje się, że rolę tę mogą pełnić stopy dochodu zerokuponowych^[2] obligacji (bonów skarbowych) gwarantowanych przez skarb państwa (lub instytucję równoważną). Dostępność oznacza tu, że w obrocie dostępne są takie instrumenty o dowolnym terminie zapadalności.

Wycena obligacji

Obligacja jest to papier wartościowy (instrument finansowy), stwierdzający zaciągnięcie przez emitenta obligacji długu wobec posiadacza obligacji – zwanego obligatariuszem i zawierający zobowiązanie wobec obligatariusza do wykupu obligacji - jako zwrotu zaciągniętego długu oraz wypłacenia odsetek za korzystanie z użyczonych pieniędzy oraz terminowość wypłat. Odsetki mogą mogą być wypłacane w określonych momentach (tzw. kupony) lub w postaci dyskonta w momencie emisji (obligacja zerokuponowa).

Cechy charakterystyczne określające obligacje:

• wartość nominalna – jest to wartość zaciągniętego długu, od której nalicza się odsetki, i która jest płacona w momencie wykupu przez emitenta posiadaczowi obligacji;
• termin wykupu – jest to termin, w którym obligatariusz otrzymuje od emitenta kwotę równą wartości nominalnej; w terminie wykupu obligacja podlega wykupowi;
• oprocentowanie – stopa procentowa określająca wielkość odsetek wypłaconych obligatariuszowi;
• terminy płacenia odsetek – czyli częstotliwość wypłat odsetek. Przykładowo: raz na rok, raz na pól roku, kwartalnie.
• cena emisyjna – to cena, po której obligacja jest sprzedawana jej pierwszemu posiadaczowi w momencie emisji. Cena ta może być zarówno niższa jak i wyższa od ceny nominalnej. Decyzja emitenta zależy w tym przypadku do przewidywanego zainteresowania i oprocentowania obligacji.

OBLIGACJA I JEJ CENA

W charakterystycznych cechach obligacji wymienione zostały dwie ceny związana z obligacją. Były to cena nominalna i cena emisyjna. W rynkowym obrocie obligacjami używa się jeszcze terminów ceny rynkowej i rozliczeniowej. Cena rynkowa (kurs giełdowy), jest ustalana na codziennych sesjach giełdowych jako wypadkowa popytu i podaż^[3]. Określana jest w procentach wartości nominalnej. Nie jest to jednak faktycznie ta cena, jaką faktycznie płaci kupujący i otrzymuje sprzedający obligacje, ponieważ nie uwzględnia narosłych odsetek przypadających w danym dniu. Cena rozliczeniowa, czyli cena giełdowa powiększona o narosłe odsetki, to rzeczywista kwota transakcyjna jaką płaci kupujący i otrzymuje sprzedający obligacje. Aby ją obliczyć, należy po prostu dodać do ceny rynkowej należne w tym dniu odsetki. Wartość obligacji na rynku (a zatem jej cena), jak zostało wcześniej wspomniane, kształtuje się w wyniku popytu i podaży, które z kolei zależą od różnych czynników. Najważniejszym czynnikiem kształtującym wartość obligacji jest poziom stóp procentowych. Inwestorzy często dokonują wyceny obligacji. Wycena obligacji polega na określaniu tzw. godziwej ceny obligacji ( fair price), która powinna odzwierciedlać wartość obligacji. Najczęściej stosowaną metodą przy wycenie jest metoda dochodowa, inaczej zwana metodą zdyskontowanych przepływów pieniężnych.

Wycena obligacji.

Cena godziwa ( fair price)

Jeśli mamy obligację, której emitent zobowiązuje się do płacenia odsetek regularnie raz do roku i zamierza zwrócić zaciągnięte zobowiązanie (wartość nominalną) w chwili wykupu, na koniec życia zobowiązania, to godziwa cena takiego instrumentu jest wynikiem zdyskontowanej wartości bieżacej przepływów pieniężnych generowanych przez takie zobowiązanie. Stopa dyskontowa jest określana przez rynek.

\(\ P_o=\sum\limits_{i=1}^n\frac{C}{(1+r)^i} +\frac{P_N}{(1+r)^n},\)

gdzie C – odsetki (ang. coupon)

\(P_o\) – wartość obligacji

\(P_n\) – wartość nominalna

r - stopa dyskontowa

Przykład

(obligacja ze stałym kuponem)

Jaka jest wartość obligacji o terminie wykupu przypadającym za dwa lata. Wartość nominalna tej obligacji wynosi 100, oprocentowanie 6%, odsetki płacone są co rok. Wymagana stopa dochodu określona przez inwestora wynosi 7% w skali roku.

Po podstawieniu do wzoru otrzymujemy:

\(\ P_o=\frac{6}{(1+0,07)^1} +\frac{106}{(1+0,07)^2}.\)

W naszym przypadku:

\(C=0,06x100 = 0,06\)

\(R = 7% = 0,07.\)

(Wartość nominalna wynosi 100 czyli w 2 roku nastąpi wpływ \(\frac{100+6}{(1+0,07)^2} \) )

Dla naszego inwestora wartość tej obligacji wynosi 98,2 jednostek.

Cena godziwa dla obligacji wieczystych

Obligacje wieczyste zwane konsolami nie są nigdy wykupywane, a ich posiadacz otrzymuje nieskończony strumień odsetek, zwany rentą wieczystą. W tym przypadku n= \(\infty\,\). Więc cena godziwa \(\ P_o = \frac {C}{r}\ \) (jest to suma szeregu geometrycznego).

Obligacja zerokuponowa

Obligacje zerokuponowe to typowe instrumenty dyskontowe. Ich cena jest wyznaczana poprzez dyskontowanie ich wartości nominalnej do dnia wyceny. Wzór stosowany dotychczas do wyceny obligacji przybierze postać:

\(\ P_o=\sum\limits_{i=1}^n\frac{C}{(1+r)^i} +\frac{P_N}{(1+r)^n}= \sum\limits_{i=1}^n\frac{0}{(1+r)^i} +\frac{P_N}{(1+r)^n}\ = \frac{P_N}{(1+r)^n}\ \)

Podany wyżej wzór dotyczy obligacji wypłacającej kupon jeden raz na rok. Dla większej ilości okresów odsetkowych aby obliczyć wartość obligacji należy zdyskontować strumienie pieniężne jakie generuje do czasu wykupu.

Jej wartość można wyrazić następująco:

\(\ P_o=\sum\limits_{i=1}^n\frac{C_i/m}{(1+r/m)^i} +\frac{P_N}{(1+r/m)^n}\)

Gdzie: m – liczba płatności odsetkowych w roku

n – to liczba okresów odsetkowych w roku, n= mT

T - długość życia obligacji w latach

\(P_n\) - wartość nominalna obligacji.

\(C_i\) – wysokość kuponu w i-tym okresie odsetkowym.

i - i-ty okres odsetkowy ( i zawiera się między 1 a n)

r - stopa dyskontowa.

Wycena przy kapitalizacji ciągłej

Powyższe wyliczenia dotyczą kapitalizacje dyskretnej obligacji . Dla ciągłego procesu kapitalizacji i stałego kuponu wartość obligacji będzie opisywana zależnością:

\(\ P_o=\sum\limits_{i=1}^n\ {(C/m)}{exp(-r t_i)} +\ {P_N}{exp(-rt_n)},\)

gdzie:

\(t_i\) - moment wypłaty i–tego kuponu

pozostałe oznaczenia jak wyżej.

RENTOWNOŚĆ OBLIGACJI

Obligacja jest instrumentem dłużnym . Jeśli inwestor zainwestował pieniądze w czyjś dług spodziewa sie nagrody za czas , w którym jego pieniędzmi dysponuje ktoś inny. Oczywiście w przypadku obligacji inwestor oprócz kwoty nominalnej pożyczki której zwrot następuje po zakończeniu życia zobowiązania dostaje regularnie wypłacane co okres odsetki. Ale obligacja może zmienić właściciela miedzy okresami wypłaty kuponu. Każdy z posiadaczy tej obligacji rości sobie prawo do partycypacji w tym kuponie, gdyż każdy z inwestorów przez określona ilość dni finansuje dług. Każdy z nich chce udziału w kuponie proporcjonalnie do czasu w jakim był posiadaczem obligacji w okresie miedzy wypłatą kuponu. Cena rozliczeniowa obligacji to pewna wartość zwana ceną czystą obligacji + należne odsetki za okres posiadania. Zależność jest liniowa.

Tak zdefiniowana cena nazywa się cena „brudna” i po takiej cenie rozliczają się tak naprawdę uczestnicy rynku. Cena brudna, a właściwie jej zachowanie w czasie posiada kształt przypominający zęby piły.

Cena brudna a cena czysta obligacji

Dodatkowo należy wspomnieć o następującej sytuacji. Kupon jest wypłacany właścicielowi obligacji. Właścicielowi, w dniu naliczania kuponu. Jeśli miedzy dniem naliczenia kuponu a dniem wypłacenia fizycznego pieniędzy obligacja zmieni właściciela to nowy można powiedzieć ,ze stary właściciel dostaje pieniądze za czas kiedy obligacja do niego nie należy. W takiej sytuacji nowy właściciel jest „wynagradzany” przez starego właściciela tym ,ze cena brudna w tym czasie jest niższa od ceny czystej . Rysunek obok modelowo obrazuje taka sytuacje i zachowanie się w czasie cen obligacji.

Zgodnie z (David Blake - Fin. Mark. Analysis) narosłe odsetki są równe

\(\ A_i =d\frac{{N_a}-{N_b}}{365}\,\)

Gdzie :

Ai – należne odsetki

Na- ilość dni miedzy dniem naliczenia odsetek i datą wypłaty kuponu

Nb – liczba dni miedzy data naliczenia kuponu a dniem transakcji

d- wartość płatności kuponu

Stopa zwrotu z obligacji.

Ze względu na często skomplikowane strumienie pieniężne jakie generują obligacje , trudne jest je porównywać na podstawie ceny, raczej robi się to poprzez porównywania stopy zwrotu. Istnieje kila różnych stóp zwrotu.

Stopa bieżąca

Najprostszym sposobem oceny obligacji jest określenie stopy bieżącej.

Jest ona definiowana jako stosunek kuponu czyli oprocentowania obligacji w skali roku do ceny czystej

\(r_c=\frac{d}{P}\)

Gdzie:

Rc- bieżąca stopa P- cena czysta d- oprocentowanie obligacji w skali roku

Właściwszym byłoby, w zasadzie używać ceny brudnej do takiej oceny, gdyż właściwie taką cenę płaci się za obligacje . Jednakże należy pamiętać o jej podobieństwie do piły i stopa bieżąca tez miałby taki charakter.

Stopa zwrotu w terminie do wykupu ( Yield to maturity)

Do tego momenty mówiąc o cenie obligacji używając wzoru:

\(\ P_o=\sum\limits_{i=1}^n\frac{C_i/m}{(1+r/m)^i} +\frac{P_N}{(1+r/m)^n}\)

Wyceniając ciąg płatności zakładaliśmy wartość stopy dyskontowej.

Na rynku mamy sytuacje nieco inna znamy raczej bieżące, ceny rynkowe obligacji. Aby wiec wycenić jej stopę zwrotu czyli stopę od chwili nabycia do końca życia instrumentu powinno się za stronę lewą równania wstawić wartość rynkowa obligacji i wyliczyć stopę zwrotu.

Tak wyliczona stopa zwrotu to jest nic innego niż wewnętrzna stopa zwrotu ( IRR) z inwestycji.

Stopa zwrotu w terminie do dnia wykupu ( YTM) liczona przy założeniu reinwestowania kuponów po rentowności YTM.

Wylicza się rozwiązując powyższe równanie względem r.

Łatwiej jest napisać rozwiązując niż to zrobić. Nie znamy analitycznej postaci rozwiązania - stosuje się w tym przypadku metody przybliżone.

Rozumienie koncepcji stopy zwrotu w terminie do wykupu.

Takie zdefiniowanie powyższej wielkości ma szereg implikacji i wskazuje na wiele istotnych aspektów.

Po pierwsze stopa zwrotu do wykupu to metoda określenia ceny obligacji. Mając ceną rynkową potrafimy ( bardziej lub mniej dokładnie ) wyliczyć stopę zwrotu i odwrotnie ( co łatwiejsze) mając stopę YTM można wyznaczyć cenę obligacji. Druga interpretacja to taka ,że YTM odpowiada „ekwiwalentnej” stopie procentowej depozytu bankowego. Tzn. Ze gdyby zdeponować środki na depozycie bankowym oprocentowanym stopą YT to zachowywać się będzie jak inwestycja w obligacje ( i odwrotnie). Ta analogia ekwiwalentu stopy depozytowej stwarza możliwość używania YTM jako sposobu porównywania rożnych obligacji o różnych kuponach, czasie życia i rożnych cenach rynkowych.

Innymi słowy, przykładowo, daje to inwestorowi łatwy wybór czy ma zainwestować w które konto czy oprocentowane np. na 6% czy na 5,5% ( oba porównywalnie co do ryzyka i sposobu naliczania procentu). Jeśli stanie przed takim wyborem z pewnością wybierze konto wyżej oprocentowane.

W przypadku stopy oprocentowania rachunku, która jest jedyna miara inwestycji w przypadku YTM nie można powiedzieć ,ze jest to jedyna i ostateczna wielkość pomiaru wartości inwestycji. W kontekście porównania do rachunku bankowego należy wskazać trzy zasadnicze miejsca gdzie analogia załamuje się. ( s.Homer i L.Leibowitz- N.Y Insitute of Finance.)

Pierwszy punkt to, to , ze inwestor sam dowolnie decyduje wypłatach ze swojego konta ( co do wielkości i terminów).Tak nie jest w przypadku obligacji, którą inwestor nabywa wraz ze specyficznym dla niej realizacja kuponu i datą zapadalności. Ponadto inwestor działa w ramach swoich potrzeb finansowania i pod względem czasu i wielkości i kierunku przepływów środków. W związku z tym nawet mając do wyboru dwie obligacje o tym samym YTM ale generujących różne czasowo przepływy wybierze tą której właśnie przepływy będą bardziej mu odpowiadały.

Szukanie podobieństwa zawodzi w przypadku stałości oprocentowania rachunku bankowego. Inwestor nie martwi się o poziom przyszłych stóp procentowych bo ma jest ustalone. Nie jest tak w przypadku obligacji , gdy wpływy z kuponów są inwestowane na bieżąco iw dostępne rynkowo instrumenty , których stopa zwrotu nie musi być równa stopie YTM pierwszego instrumentu.

Dalej ciągnąc tę myśl jest to ze wypłata nominału jest związaną z datą zapadalności. Różnica występuje gdy właściciel nominału zainwestowane chce go wyciągać przed data zapadalności. Właściciel konta bankowego zna wielkość nominału depozytu w każdym czasie bez względu na poziom stóp procentowych. W przypadku obligacji jedyne co może zrobić to sprzedać obligacje po cenach rynkowych. Inwestor w obligacje wie jedynie, że rynek obligacji stwarza możliwości i ryzyka związane z jego kapitałem w czasie do zapadalności.

Należy jeszcze zwrócić uwagę na jeden aspekt. YTM jako stopa procentowa w określeniu wartości przyszłej dzisiejszej inwestycji. W tym miejscu często popełniane są błędy. W określeniu wartości przyszłej stopa procentowa jest stopa po której zostanie zainwestowany ( reinwestowany) kupon w chwili kiedy stanie się dostępny. Mimo podobnej konstrukcji matematycznej, YTM nie jest prognozą stopy reinwestycji i nie może( chyba ,że przypadkowo) reprezentować stopy wzrostu wartości przyszłej. Tak naprawdę może reprezentować tą stopę tylko wtedy gdy reinwestycje nastąpią ze stopą równa stopie YTM.

Stopa YTM jest stopą określoną w danym dniu dla danej ceny. Jest niezwykle pomocnym instrumentem przy podejmowaniu decyzji ale nie jedynym parametrem uzasadniającym decyzje inwestycyjne.

RYZYKO STOPY PROCENTOWEJ

Krzywe dochodowości

Związek miedzy stopą zwrotu danej klasy obligacji a czasem życia tych papierów ilustruje krzywa rentowności. Ta zależność jest potocznie zwana czasowa strukturą stóp procentowych. Są rożne kształty krzywej dochodowości.

Rózne kształty krzywych dochodowości

Krzywa opadająca, stała , rosnąca i z garbem. Typowy kształt krzywej to stopy procentowe dla dłuższych okresów są wyższe niż dla krótszych okresów. Wiąże się to z niepewnością odległej przyszłości, trudniejszym do przewidzenia zachowaniem gospodarki i uczestników rynku, nieprzewidzianych zdarzeń, za co jest przewidziana wyższa nagrodą dla odważnych inwestorów. W krótszym okresie wydaję się ,ze znane są wszystkie kluczowe fakty i łatwiej przewidzieć można to co może stać się na rynku i jest to już wkalkulowane w cenę ryzyka instrumentu. Nachylenie krzywej ma tez znaczenie. Jeśli krzywa ma dodatnią stromiznę wskazuje to na oczekiwanie przez rynek wzrostu stóp. Jeśli jest stromo ujemna - może to wskazywać na oczekiwanie spadku stóp.

Są trzy teorie wyjaśniające kształty tych krzywych. Każda z tych teorii potrafi wyjaśnić każdy z zaprezentowanych kształtów krzywych ale wskazując na nieco inne mechanizmy i czynniki jako źródła kształtu. Są to teorie szalenie ciekawe wskazujące na bardzo złożony charakter procesów kształtowania równowagi miedzy ryzykiem rynkowym a jego cena Teorie te :

• Teoria Oczekiwań
• Teoria preferencji płynności
• Teoria segmentacji rynku.

Ryzyka inwestycji w obligacje.

Ryzyko inwestycji w obligacji wiążę się z kilkoma jego źródłami.

Ryzyko wiąże się z:

• Możliwością niedotrzymania umowy przez emitenta( ryzyko bilansu)( default risk)
• Zmianami cen obligacji na rynku związany ze zmianą stóp procentowych.

Pierwsze ryzyko można poznać albo przez dokładna analizę sytuacji finansowej emitenta wykonaną osobiście albo korzystając z ocen agencji ratingowej. Wykonanie analizy pozwala na dokonanie oceny ryzyka ale nie usuwa jego istnienia.

Ryzyko drugie czyli ryzyko zmian stóp procentowych wiążę się z obiektywnie istniejacymi na na rynku pieniężnym zmianami cen instrumentów. Rynek finansowyn podlega szeregowi wpływów a ceny obligacji , podobnie jak każdego instrumentu wycenianego przez rynek, reagują na każdą istotna informacje gospodarczą. Nawet intuicyjnie widać ,że ryzyko zmiany stóp procentowych dla obligacji jest większe im dłuższy jest czas życia tego instrumentu. Różne rodzaje obligacji są narażone na tego typu ryzyko w różnym stopniu. Najbardziej wrażliwe są ceny obligacji o stałym oprocentowaniu oraz obligacje o najdłuższych terminach do wykupu. Ryzyko wiąże się z niepewnością co do wielkości dochodu z obligacji w przyszłości, jak i możliwością niekorzystnej zmiany ich ceny. Ceny obligacji o stałym oprocentowaniu (w tym zerokuponowych) spadają, gdy rosną oficjalne i rynkowe stopy procentowe. Przy spadających stopach procentowych rosnąć będą ceny tych obligacji, ale także tych o zmiennym oprocentowaniu, które zapewniają odsetki wyższe niż nowo emitowane papiery.

Aby zilustrować mechanizm zmiany ceny obligacji przy zmianie stóp procentowych zanalizujmy poniższy przykład: Inwestor zakupił 10 letnią obligację oprocentowaną na 8% rocznie. Oznacza to tyle, że przez najbliższe 10 lat będzie otrzymywał roczne odsetki w wysokości 8 zł. To gwarantuje mu zakupiona obligacja, bez względu na poziom stóp procentowych na rynku. Niech wartość nominalna obligacji wynosi 100 PLN. Jednakże stopy procentowe zostały np. decyzją Rady Polityki Pieniężnej podniesione. Zaraz po tej decyzji emitent wypuścił nową obligację oprocentowaną na 10%rocznie. Inwestor widzi ,że jego inwestycja nie jest tak dobra jak byłaby nowa inwestycja w nową obligacje. Rozsądnie postępując powinien on sprzedać „starą” obligacje i kupić nową, bardziej dochodowa obligację. Ale jak sprzedać stara nisko oprocentowana gdy na rynku dostępne są obligacje o wyższej rentowności? Aby sprzedać Inwestor musi obniżyć cenę posiadanej obligacji tak by nowa cena kompensowała nabywcy niższe odsetki. Jest to możliwe gdy zaoferuję posiadaną obligację ( o wartoci nominalnej 100PLN) za 80 PLN. Przy takiej cenie nowy inwestor widzi ,że może kupić albo „stara „ obligacje za 80 PLN od Inwestora i przynoszącą 8 PLN rocznie ( czyli 10%) albo nową obligację z rynku o wartości 100 zł przynoszący 10 zł zysku. W każdym przypadku zarobi 10 procent. Czyli, przy takiej cenie obligacji może brać pod uwagę propozycje sprzedaży Inwestora.

Inwestor doznał konsekwencji ryzyka zmiany stopy procentowej i przy jej wzroście poniósł stratę na swojej inwestycji.

Obligacje . Zależność cena rentowność.

Związek między ceną obligacji a jej rentownością przypomina krzywa na rysunku obok. Jej pokazanie ma na celu pokazanie ,ze związek miedzy ceną a rentownością nie jest liniowy, gdyż aby podać jej cenę należy wyliczyć jej Po czyli wartość aktualną ze wzoru przytaczanego wcześniej gdzie stopa procentowa występuje w mianowniku ułamka dyskontującego. Kształt tej krzywej jest różny dla różnego czasu życia obligacji( w wyliczeniach należy wtedy brać pod uwag ę więcej okresów kuponowych czyli sumować więcej wyrazów w których stopa procentowa występować będzie w wyższych potęgach. Innymi słowy obligacje o długim okresie zapadalności mają bardziej stromą krzywa rentowność/ cena niż obligacje o krótkim okresie życia. Zatem są bardziej wrażliwe na zmiany rynkowych stóp procentowych niż te o krótszym życiu . Zatem czas do zapadalności nie jest najlepszą miarą wrażliwości obligacji.

Aby ocenić ryzyko zmiany stóp procentowych w przypadku obligacji można użyć kilku metod.

Obligacje . Idea duration.

Dyskontując płatności generowane przez obligacje widzimy ,że wartość aktualna ( present) tych przepływów zachowuje się podobnie do schematu przedstawionego na rysunku. Ostatnie płatność to kupon wraz z nominałem. Duration (D) instrumentu o stałym dochodzie możemy zdefiniować jako średnią ważoną chwil czasowych, w których dokonywane są płatności gotówkowe. Wagami są wartości aktualna ( present) poszczególnych przepływów gotówkowych. Przypuśćmy, ze przepływy gotówkowe otrzymywane są w chwilach \(t1, t2, . . . , t_n\). Wtedy duration takiego strumienia płatności dane jest następująco:

\(D=\frac{PV(t_1)t_1+PV(t_2)t_2 + … PV(t_N)t_N}{P_o}\)

Gdzie :

\(\ P_o\) to wartość aktualna strumienia płatności czyli wartość obligacji

\(\ PV(t_i)\)- to wartość aktualna i- tej płatności kuponu w chwili \(t_i\)

Tak zdefiniowane duration (D) to średnia czasu wpłat ważonych ich wielkością. Zatem D będzie mieścić się miedzy pierwsza a ostatnią płatnością . Jest to średni ważony termin wykupu. Będzie to czas przypadający miedzy pierwsza a ostania płatnością . Dla obligacji zero kuponowej jest on równy czasowy życia czyli czasowi do zapadalności. Obligacja kuponowa będzie miała duration krótsze od czasu do zapadalności.

Duration według Macaulay’a - Duration obligacji przy kapitalizacji dyskretnej.

Cena obligacji jako aktualna wartość płatności generowanych przez obligacje opisana jest wzorem:

\(\ P_o=\sum\limits_{i=1}^n\frac{C_i/m}{(1+r/m)^i} +\frac{P_N}{(1+r/m)^n}\)

Jeśli policzymy pierwsza pochodna ceny względem stopy to otrzymamy:

\(\ dp/dr=\sum\limits_{i=1}^n\frac{(-i/m)C_i/m}{(1+r/m)^i+1} +\frac{P_N}{(1+r/m)^n+1}\)

Wyłączając czynnik 1/ 1+y/m przed nawias a następnie dzieląc obie strony przez cenę obligacji

Możemy przekształcić wzór do postaci:

\(\ ( dp/dr)1/P=\sum\limits_{i=1}^n\frac{(-i/m)C/m}{(1+r/m)^i} 1/P+\frac{P_N}{(1+r/m)^n}1/P\)

Porównują wyrażenie po prawej stronie równania widać, że jest to nic inne jak Duration D zdefiniowana już poprzednio jako średni ważony okres do zapadalności. Czyli, z dokładnością do znaku,

\((dp/dr)1/P=D\frac{1}{1+r}\)

Lewa strona równania określa elastyczność ceny względem zmiany stopy procentowej.

Rysunek obok ilustruje sens duration na wykresie lnP w zależności od ln stopy procentowej ( YTM)

Interpretacja duration.

Duration ilustruje stromość , nachylenie krzywej w punkcie r.

Zmodyfikowane duration \(M_D\)

Zmodyfikowane duration jest zdefiniowane jako:

\(\ M_D = \frac{D}{(1+r)}\)

Znaczy to, ze między ceną obligacji a zmodyfikowana duration zachodzi zwiazek :

\(\ \Delta P = -P M_D \Delta r \)

Wypukłość

O ile duration jest miarą pierwszego rzędu stopy procentowej bo mierzy nachylenie krzywej wartości bieżącej dla danej stopy YTM, to wypukłość jest miarą drugiego rzędu. Mierzy ona krzywiznę krzywej wartości bieżącej stopy procentowej. Duration służy do oceny ryzyka stopy procentowej. Lepsze wyniki można jednak uzyskać dodając wyraz drugiego rzędu rozwinięcia funkcji ceny obligacji P w szereg Taylora. Wyraz drugiego rzędu w tym rozwinięciu związany jest z wypukłością (convexity) obligacji i odpowiada za stopień krzywizny relacji ceny od wartości YTM.

Pojęcie wypukłości jest niezwykle przydatne przy omawianiu metod zarządzania portfelem obligacji.

Cena obligacji zależy od stopy procentowej, terminu zapadalności. Różniczkując dwukrotnie funkcje ceny obligacji względem r czyli

\(\ P_o=\sum\limits_{i=1}^n\frac{C_i/m}{(1+r/m)^i} +\frac{P_N}{(1+r/m)^n}\)

Rozwijając funkcje w szereg Taylora i ograniczając się do drugiego wyrazu rozwinięcia czyli

Można wykazać istnienie równości

\(\ F(x + \Delta x) = \ f(x) +\Delta x\frac{\delta f}{\delta x} + 1/2! \frac{\delta^2 f(x)}{\delta x^2}(\Delta x)^2\)

Gdy za funkcje f(x) użyjemy ceny obligacji, możemy rozwinięcie tej funkcji doprowadzić do postaci zapisu:

\(\ \Delta P_d =-MD P_d ( \Delta r) + (C/2)P_d ( \Delta r)^2\)

Gdzie C – jest wypukłością obligacji.

Można wykazać ,że wypukłość wzrasta z kwadratem zapadalności. Maleje ze wzrostem wartości kuponu i rentowności.

Krzywe bieżącej ceny a wypukłość.

Rysunek obok pokazuje cechy tej miary ryzyka stopy procentowej na przykładzie dwu obligacji, obligacji A i obligacji B.

Obligacje te są na rynku w tej samej cenie i maja taką samą rentowność do zapadalności ( YTM) i maja taka samą „duration”. Obligacja B jest bardziej wypukła niż obligacja A. Obligacja B jest bardziej pożądana przez inwestorów w porównaniu z A. Dlatego ,ze będzie zawsze generować lepsze wyniki inwestycji bez względu na to co stanie się ze stopami na rynku. Jeśli, przykładowo stopy wzrastają , cena B spadnie mniej niż cena A, a jeśli stopy spadają , cena B rośnie więcej niż wzrasta cena A.

Wysoka wypukłość to niezwykle pożądana cecha obligacji.

Szacowanie ceny akcji

Akcje jako papiery wartościowe zostały omówione w szerzej w „ Rynkach finansowych” . Ze wspomnianego omówienia wynika m.in. ze akcje jako papier wartościowy są dokumentem uprawniającym posiadacza do czerpania praw z bycia Akcjonariuszem spółki akcyjnej, w tym prawa do udziału w potencjalnych zyskach spółki wypłacanych jako dywidenda.

Dla posiadacza akcji a szczególnie dla inwestora zamierzającego wejść w posiadanie akcji ważnym jest rozumienie finansowej struktury spółki zanim jeszcze weźmie pod uwagę cenę akcji. To rozumienie jest istotne albowiem akcjonariusz ma prawa do udziału w wartości spółki. O ile posiadacze papierów dłużnych mają prawo roszczenia do majątku spółki ( spłata zaciągniętych przez spółkę zobowiązań ,lub tez zaspokojenie roszczeń jeśli spółka nie jest w stanie spłacić długu) przed posiadaczami akcji. Posiadaczy zobowiązań dłużnych struktura finansowa spółki interesuje o ile ma wpływ na ryzyko posiadanego instrumentu. Akcjonariusza jako właściciele spółki są zainteresowani we wzroście jej wartości i taki cel wyznaczają zazwyczaj zarządzającym spółka . Akcjonariusze chcą mieć pewność, ze wartość spółki rośnie. Dlatego ich zainteresowanie spółką i jej finansami jest dużo większe niż posiadaczy wierzytelności dłużnych.

O ile posiadacz obligacji może łatwo porównać dwa papiery dłużne i jeśli posiadają ta sama wartość nominalną i taki sam sposób wypłacania odsetek i ten sam cza zapadalności to wie ,ze przepływy pieniężne wynikające z jedne z tych instrumentów będą takie same jak przepływy z drugiego. Jeśli z jednych przepływów potrafi wyznaczyć stopę dyskonta to może ją zastosować do drugiego instrumentu.

Posiadacze akcji mają bardziej skomplikowana sytuacje. Jeśli nawet dwie spółki maja taki sam zysk albo nawet taki sam rachunek przepływów pieniężnych to parametry wyliczone z dla jednej spółki nie bardzo nadają się do aproksymacji wyniku finansowego w drugiej spółce. Powodem tego jest inne zdefiniowanie planu kont i przyjętego sposobu księgowania zdarzeń finansowych. W przypadku akcji , do ich oceny wymagana jest znacznie głębsza znajomość operacji finansowych spółki.

Cena godziwa akcji.

Celem analizy fundamentalnej jest określenie godziwej ceny akcji. Jeśli jest znana, można ją porównać z ceną rynkową i ocenić czy bieżąca cena rynkowa jest:

• niższa ( akcja niedoceniona , warto kupić bo cena jej powinna wzrosnąć i można zarobić na różnicy miedzy dzisiejsza ceną kupna i przyszłą ceną sprzedaży)
• rynek ceni akcje wyżej niż jej wartość godziwa , więc cena jej spadnie w przyszłości . W takim razie albo jej nie kupujemy albo , jeśli posiadamy należy się jej pozbyć dziś bo w przyszłości jej cena będzie niższa.

Oczywiście jeśli właściwie wyceni się wartość godziwą biorąc pod uwagę istotne dla jej zachowania czynniki.

Generalnie przyjmuje się dwa sposoby podejścia do znalezienia ceny godziwej. Jedno podejście to ocena biorąc pod uwagę oczekiwaną dywidendę a drugie bierze pod uwagę oczekiwane zyski.

Model dyskontowania dywidendy

Wycena w oparciu o oczekiwaną dywidendę. ( jeden okres)

Inwestor kupuje akcje firmy na okres jednego roku. Kupując liczy na zysk w postaci dywidendy i wzrostu ceny akcji spółki. Analizując taką inwestycje przy założeniu ,że wielkość stopy dyskontowej dla inwestora jest r., cena dzisiejsza akcji będzie spełniać równanie:

\(\ P_o =\frac{(Di_1+P_1)}{1+r}\)

Gdzie

\(\ Di_1\) - to dywidenda wypłacona w pierwszym roku posiadania akcji

\(\ P_1\) - cena akcji po pierwszym roku

r – stopa dyskontowa inwestora.

Gdyby z tego równania wyliczyć stopę dyskontowa r to:

\(\ r = \frac{Di_1}{P_o}+ \frac{(P_1-P_o)}{ P_o}\)

Powyższe równanie wskazuje, że całkowita stopa zwrotu Inwestora składa się z dwu składników . Pierwszego oczekiwanego stopy zwrotu z dywidendy i z oczekiwane gej stopy zwrotu z inwestycji kapitałowej.

Przykład:

Inwestor spodziewa się wypłaty dywidendy w roku bieżącym w wysokości 1,80PLN za akcję, której wartość pod koniec roku osiagnie36 PLN, żądając od inwestycji stopy zwrotu 10%. Cena godziwa akcji to:

\(\ P_o = \frac {1,8+36}{1,1}= 34,4\)

Wycena w przypadku wieli okresów

Równanie ceny \(\ P_o = \frac {Di_1+P_1}{1+r}\) można przepisać w nieco innej równoważnej formie.

\(\ P_o = \frac {Di_1}{(1+r)}+ \frac{P_1}{(1+r)}\)

Jeśli inwestor zamierza zatrzymać akcje kolejny rok wtedy wyceniając jej cene otrzyma

\(\ P_1 = \frac {Di_2}{(1+r)}+ \frac{P_2}{(1+r)}\)

Wstawiając drugie równanie do pierwszego otrzymamy:

\(\ P_o = \frac {Di_1}{(1+r)}+ \frac{Di_2}{(1+r)^2} + \frac{P_2}{(1+r)^2} \)

Postępując podobnie kolejne razy otrzymamy ogólny wzór:

\(\ P_o=\sum\limits_{i=1}^n\frac{Di_i }{(1+r)^i} +\frac{P_N}{(1+r)^n}\)

Należy pamiętać, że jeśli akcje kupujemy na nieznany okres to należy traktować spółkę jako źródło dywidendy na okres nieskończony. Spółka bowiem nie ma zdefiniowanego czasu życia (no, może w szczególnym przypadku, który nie jest istotny dla istoty tej analizy).

Jeśli tak to w tym przypadku n= \(\infty\) to dla skończonej ceny w nieskończoności

Otrzymujemy

\(\ P_o=\sum\limits_{i=1}^n\frac{Di_i }{(1+r)^i} \)

Model powyższy określania ceny godziwej akcji jest zwany modelem dyskontowanej dywidendy.

Należy podkreślić w tym miejscu kilka aspektów stosowania modeli. Pierwszy aspekt , należy pamiętać, ze jest to model. Założenie nieskończonego życia spółki powoduje, ze wycenę dzisiejszej wartości spółki nie wymaga znajomości przyszłej ceny akcji. Model ten wskazuje ,ze w cenie aktualnej akcji są „zawarte” nieskończony ciąg przyszłych dywidend.

Wycena w oparciu o oczekiwany wzrost.

Jeśli w tytule wyczuwa się problem wzrostu czego to powód tego jest następujący.

Jeśli weźmie się do analizy zyski firmy to uwaga, ze firma niezwykle rzadko przeznacza cały zysk na dywidendę jest niezwykle trafna uwagą. Konsekwencja takiego myślenia jest, ze cena wyliczona z dywidend, które zazwyczaj są mniejsze niż zyski firmy może dać wartość mniejsza niż w oparciu o wzrost zysków. Ale dla tego modelu przyjmuje się jeszcze jedno założenie- jeśli zyski firmy rosną, to dywidenda też powinna rosnąc w tym samym tempie.

Przypadek stałego wzrostu. Wzrost zerowy dywidendy.

Załóżmy, że spółka płaci stała dywidendę nie ma szans na jej wzrost w rozsądnej przyszłości.

Czyli

\(\ Di_1\) = \(\ Di_2\)=.....=\(\ Di\)

Stąd stały strumień pieniądza generowany przez wypłatę dywidend do nieskończoności jako sumy szeregu nieskończonego daje wynik:

\(\ P_o = \frac {Di}{r}\)

Czyli renta wieczysta.

Innymi słowy cena akcji jest równa wartości wieczystej dywidendy dzielonej przez stopę dyskontową. Jeśli stopa dyskontowa jest stopą rynkową dyskonta ( właściwą dla ryzyka inwestycji w tą akcje) to tak uzyskana cena jest ceną rynkową. Chociaż liczba firm wypłacających w nieskończoność stałą dywidendę jest praktycznie raczej niewielka, to ten model jest przydatny do wyceny jeśli aktualnie wypłacane dywidendy nie zmieniają się od pewnego czasu. Z pewnością równanie takie można stosować dla wyceny akcji uprzywilejowanych ( co do wielkości wypłaty dywidendy).

Stały wzrostu. Wzrost większy od zera.

Powtarzając sposób myślenia zaprezentowany przez „David Blake- Financial Market Analysis -Mc Graw-Hill Book Company 1990str.135. Przyjmujemy ze dywidenda wzrasta z oku na rok o czynnik g.

Cena z modelu dyskontowego dywidendy jest

\(\ P_o=\sum\limits_{i=1}^n\frac{Di_i }{(1+r)^i} \)

Jeśli wzrost dywidendy jest stały możemy kolejne dywidendy zapisac korzystając z dywidendy okresu poprzedniego i czynnika wzrostu

\(\ Di_1=(Di_o )(1+g) \)

Gdzie

g - jest procentowym wzrostem dywidendy ( zysków)

W kolejnym roku

\(\ Di_2=(Di_1 )(1+g) \)

Czyli

\(\ Di_2=(Di_o )(1+g)^2 \)

Dla i- tego roku

\(\ Di_i=(Di_o )(1+g)^i \)

Wstawiając tak wyliczoną i- ta dywidende do wzoru na cene akcji w modelu dyskontowania dywidendy otrzymamy:

\(\ P_o=\sum\limits_{i=1}^n\frac{Di_o (1+g)^i}{(1+r)^i} \)

Niech

\(\ (1+h)=\frac{(1+g)}{(1+r)} \)

Czyli

\(\ \sum\limits_{i=1}^n(1+h)^i \)

Dla n= \(\infty\) i jeśli stopa wzrostu czyli współczynnik g jest mniejszy od stopy dyskonta.

Otrzymujemy sumę ciągu geometrycznego

\(\ \sum\limits_{i=1}^n(1+h)^i=-\frac{(1+h)}{h}= \frac{(1+g)}{(r-g)} \)

Wstawiając ten wynik do wzoru na cenę akcji uzyskujemy:

\(\ P_o=\frac{Di_o (1+g)}{(r-g)}= \frac{Di_1}{(r-g)} \)

To ostatnie równanie jest zwane równaniem modelu Gordona i jest najczęściej stosowanym równaniem dla dywidendowej wyceny. Nazwa równanie Gordona jest przyjęte w literaturze mimo, kilka lat wcześniej równoważny model została zaprezentowany przez J.B.Williams’a w „Theory of Investment Value”( Cambridge, MA: Harvard University Press, 1938).

Na pytanie co w przypadku gdy g jest większe od r??? odsyłamy do rozważań przedstawionych w pozycjach: Ramesh Rao „Financial Management” –Uniwersity of TexasSoth Western College Publishing1995i lub R.A.Brealey, S.T.Myers-„ Priciple of corporate Finance” McGraw HillComp-1996.

Wycena kontraktów terminowych

Jak było już wspomniane w części dotyczącej funkcjonowania rynków finansowych, kontrakt terminowy to kontrakt zawarty dziś na dostawę dobra w przyszłości. Przypomnijmy, że kontrakt futures tym różni się od kontraktu forward, że futures jest kontraktem standardowym (standardem jest również data dostawy) notowanym na giełdzie. Kontrakt forward z kolei jest kontraktem sprzedawanym na rynku OTC a data dostawy jest specyficzna cecha każdego indywidualnego kontraktu. Różnice te powodują to, że, z nielicznymi wyjątkami, tylko kontrakt futures jest instrumentem płynnym. Wyjątkiem od tej zasady jest sytuacja gdy notowania giełdowe zostają zawieszone. Wtedy kontrakt futures jest niepłynny. Ceny na rynku fizycznym dobra i ceny tego dobra na rynku terminowym są z sobą związane. Kontrakt futures jest przecież instrumentem pochodnym i cena jego zależy od ceny dobra podstawowego. Szczególnie widać ten związek w dniu dostawy kontraktu terminowego^[4]. W dniu dostawy dobra, na którym oparty jest kontrakt futures i ceny tego dobra na rynku transakcji fizycznych (spot) są sobie równe. Bowiem oba rynki w ten dzień dostarczają to samo dobro. Przed datą dostawy ceny kontraktów terminowych mogą być wyższe lub niższe od ceny na rynku spot. Różnica cen miedzy rynkami nazywana jest bazą:

\(\ Baza = cena futures-cena spot\, .\)

(Niektórzy autorzy definiują bazę jako różnicę miedzy ceną spot a ceną futures.) Jeśli cena futures jest wyższa niż cena spot, baza jest dodatnia (sytuacja taka nazywana jest contango). Ceny futures w tym przypadku maleją w kierunku ceny spot, do dnia dostawy, gdy baza staje się równa zero. Jeśli cena futures jest niższa niż cena spot, baza jest ujemna (sytuacja taka nazywana jest backwardation). W tym przypadku cena futures rośnie w czasie by w dniu dostawy zrównać się z ceną spot. ^{[5] [6]}

Istotną cechą rynku terminowego futures jest dostawa albo rozliczenie kontraktu. Ma on miejsce wtedy gdy kontrakt nie zostanie zlikwidowany (poprzez zawarcie kontraktu przeciwnego) przed dniem dostawy. Proces ten jest zwykle szczegółowo opisany w regulaminie giełdy składa się z sekwencji działań jakie należy podjąć określonym porządku. Izby Rozliczeniowe jako, że są stroną każdego kontraktu są również włączone w ten proces. Generalnie Izba czuwa by strona „short” transakcji dostarczyła stronie „long” godziwe dobro z rynku fizycznego. Czasem rozliczenie może być robione w formie rozliczenia pieniężnego. Jeśli na rynku fizycznym są różne dobra spełniające specyfikę kontraktu dostarczający (short) ma prawo wybrać to, które jest „najtańsze do dostarczenia” ( cheapest to deliver). Przykładowo ma to miejsce gdy rozliczenie wymaga dostarczenia portfela obligacji o określonym terminie do zapadalności. Takich obligacji na rynku może być bardzo wiele, ale dostarczający ma prawo wybrać portfel takich, które dają największą implikowana stopę repo dla strony short z transakcji „cost of carry” tzn. strategii zakupu obligacji (za pożyczone środki) na rynku kasowym i sprzedanie ich na rynku futures. ^{[7] [8]}

Do tego miejsca kontrakty terminowe futures były omawiane bardzo ogólnie i odnosiły się do kontraktów opiewających na dostawę w przyszłości określonego ”dobra”. Taki sposób dobrze opisuje rynek transakcji towarowych (commodities) takich jak określone metale, określone płody rolne, ropę itd. Posiadanie czegoś, jakiegoś dobra , tak by móc go dostarczyć w przyszłości wiąże się z kosztami jego przechowywania. W przypadku kontraktów terminowych futures, gdzie kontrakty oparte są o rożne aktywa począwszy od surowców, poprzez aktywa finansowe, koszty przechowywania mają dużo szersze znaczenie. Koszty przechowania to finansowanie nabycia aktywów (odsetki od kredytu zaciągniętego na nabycie aktywów) lub koszt zamrożenia kapitału, na które składają się magazynowanie, ubezpieczenie, zabezpieczenie (towary fizyczne), transport. W ich skład może również wchodzić prowizja depozytariusza jeśli kontrakt dotyczy papierów wartościowych. Bardzo ciekawa sytuacja następuje w przypadku kontraktów futures związanych z instrumentami finansowymi.

Wycena godziwa kontraktów futures

Przypadek braku niepewności^[9].

Jeśli na rynku nie ma niepewności, cena godziwa kontraktu futures jest łatwa do określenia. Załóżmy, że inwestor chce zainwestować w jeden z dwu sposobów: na rynku spot (kasowym, transakcji natychmiastowych) lub na rynku futures. Może on pożyczyć pieniądze na rynku spot, by kupić aktywa, utrzymywać inwestycje przez T lat (zyskując odsetki, ale ponosząc koszty, wliczając w nie płacenie odsetek od pożyczonego kapitału, następnie sprzedać aktywa na rynku kasowym i zapłacić odsetki od pożyczonego kapitału. Może on jednak, jako alternatywa, sprzedać kontrakt futures za aktualna cenę na rynku futures i pod koniec roku T kupić aktywa na rynku kasowym i dostarczyć go na rynku futures by wywiązać się ze zobowiązania inwestycji. Zysk z tej drugiej inwestycji wynosi

\(\ P2 = P_f- P_s(T), \)

gdzie

\(P_f\)= aktualna cena na rynku futures

\(P_s(T)\)= cena spot w roku T.

Jasnym jest, że w przypadku całkowitej pewności \( P_f=P_s(T)\) czyli, że ceny futures muszą być równe aktualnej przyszłej cenie rynku spot. Należy w tym miejscu przypomnieć sobie to, co było mówione o zachowaniu przyszłych kursów wymiany w stosunku do dzisiejszych kursów wymiany, w Rynkach Finansowych. Tak więc zysk z takiej transakcji będzie równy zero. Należy zauważyć, że z powodu pełnej pewności nie ma potrzeby na pobieranie „initial margin” czyli depozytu zabezpieczającego ani depozyt ten nie będzie się zmieniał. Czyli w strategii 2 nie wystąpią żadne wypływy pieniężne ani wpływy w czasie życia inwestycji. Również koszty przechowywania nie występują w kontrakcie futures - całkowite koszty przechowywania są związane z transakcja na rynku kasowym i nie wystąpia do końca okresu.

W przypadku strategii 1 zysk wynosi:

\(\ P1 = P_s(T)- P_s(1+rT) + dP_sT = P_s(T)- P_s-(r-d)P_sT,\)

gdzie

\(P_s\) = aktualna cena spot (kasowa)

P_s(T) = cena spot w roku T

R = roczny koszty przechowywania (Carry costs) (włączając koszty oprocentowania pożyczki (odpowiednio do czasu)

d = roczny zwrot z posiadania aktywa

W ostatnim wzorze został użyty procent prosty, a nie procent składany. Jeśli by użyć procentu składanego wtedy należałoby użyć formuły \(\ (1+r)^T\) a koszty przechowywania na rynku kasowym byłyby proporcjonalne do ceny. „Cost of carry” są równe przychodom pomniejszonym o wydatki czyli (r-d) i mogą być, jak wiemy ujemne albo dodatnie.

Obie strategie dają ten sam wynik czyli sprzedaż aktywa w roku T. Obydwie nie wymagają zaangażowania czyjegoś kapitału i obie wolne są od ryzyka. Dwie identyczne strategie nie zużywające kapitału, odbywające się bez ryzyka ( takie dwie transakcje zwane są arbitrażem)w warunkach równowagi powinny generować ten sam zysk, a zysk ten powinien być równy zero. Jeśli wiemy, ze strategia 2 generuje zysk zero to strategia 1 tez powinna generować zysk równy zero. Porównując te równania można wyliczyć cenę godziwą kontraktu futures \(\ Pf_o\).

\(\ Pf_o={1+(r-d)T}P_s = P_s+(r-d)P_sT.\)

Czyli godziwa cena futures jest równa aktualnej cenie spot + „cost of Carry” – kosztom przechowywania. Biorąc pod uwagę definicję bazy i wstawiając ja do ostatniego równania widzimy, ze cost of carry jest równy bazie.

\(\ Baza= Pf_o- P_s+(r-d)P_s(T)= cost-of-carry\)

Baza jest dodatnia (contango) jeśli koszty przechowywania są dodatnie i jest ujemna (backwardation) jeśli koszty przechowywania są ujemne.

Podobne równaniami zachodzą miedzy cenami kontraktów futures na różne terminy dostawy.

\(\ Pf_2=Pf_1+(r-d)Pf_1(T_2-T_1),\)

gdzie:

\(Pf_1\) = aktualna cena kontraktu futures z terminem dostawy \(T_1\)

\(Pf_2\) = aktualna cena kontraktu futures z terminem dostawy \(T_2(T_1<T_2)\)

Różnica między cenami dwu kontraktów futures nazywa się spread i widać, że spread jest równy „cost-of-carry”.

\(\ Spread=Pf_2- Pf_1=(r-d)Pf_1(T_2-T_1)= cost of carry\)

Jeśli cost of carry (i tym samym spread) jest dodatni to \(Pf_2>Pf_1\) (contango), a jeśli te wielkości są ujemne to \(\ Pf_2<Pf_1\) (backwardation).

Z arbitrażem (bez ryzyka) możemy mieć do czynienia jeśli cena \(\ Pf_2\) jest większa niż lewa strona równania

\(\ Pf_2=Pf_1+(r-d)Pf_1(T_2-T_1)\)

Wtedy mając kontrakt long do czasu dostawy w \(\ T_1\) a kontrakt short do czasu dostawy \(\ T_2\) byłoby możliwe przyjąć dostawę w \(T_1\) za \( Pf_1\) i trzymać aktywa, aby dostarczyć go w chwili \( T_2\) za cenę \( Pf_2\) i wygenerować zysk dla siebie. Jednakże, jeśli kontrakty futures są wycenione godziwie taka sytuacja nie może się zdarzyć.

Przypadek1. Wycena kontraktu futures - krótkoterminowy instrument zero kuponowy.

Przyjmijmy, że będzie to bon skarbowy, powiedzmy 360 dniowy bon skarbowy. Przyjmijmy, ze wyceniamy kontrakt futures na bony skarbowe US Treasury. Można wiec przyjąć, że w stopie futures nie ma premii za ryzyko. Rozważania na przypadek polskich Bonów Skarbowych będą wyglądać tak samo, jednak w praktyce rynek futures dla US Treasury istnieje i jest dość duży.

Ponieważ instrument nie generuje płatności kuponowych korzystając ze wzoru

\(\ Pf_o={1+(r-d)T}P_s\)

Dla \( d = 0\) i dla czasu n dni otrzymujemy:

\(\ Pf_o=[1+r(\frac{n}{360}]P_s.\)

Przypomnieć należy, że:

\( Pf_o \) to cena kontraktu futures

n = ilość dni do dostawy kontraktu.

\(P_s\) = cena spot aktywa bazowego ( obecna cena instrumentu bazowego)

r = stopa procentowa odpowiadająca terminowi realizacji kontraktu.

Przypadek 2. Kontrakt walutowy, czyli np. konieczność wyceny przyszłego kursu wymiany^[10].

Załóżmy, ze jesteśmy już w strefie EURO i celem jest pozyskanie USD w terminie za rok. Podobnie jak to było omawiane przy wycenie kontraktu forward na kurs wymiany inwestor ma do wybory dwa postępowania. Albo potrzebną kwotę dolarów otrzymujemy dzisiaj kupując dolary za euro i lokujemy je na depozycie dolarowym na rok. Albo, kwotę w euro deponujemy na depozycie euro na rok i za rok dokonujemy wymiany na dolary. Zakładając brak arbitrażu kwoty na depozytach po roku powinny być równoważne. Założenie jest w pełni uzasadnione co wykazano w rozdziale o kursach walutowych ( hipoteza oczekiwania w przypadku stóp procentowych). Innymi słowy, są dwie możliwe strategie. Kupić dziś kontrakt terminowy. Kupno kontraktu terminowego za cenę \(P_f\) oznacza ze za rok od dziś posiadacz kontraktu zamieni \(P_f\) euro na jednego dolara. Druga strategia polega na tym, że pożyczamy euro na początku okresu po stopie \(r_e\), wymieniamy je na dolary po cenie spot i inwestujemy na rynku depozytów dolarowych przy stopie \(r_d\). Pod koniec roku z dochodów dolarowych spłacamy zadłużenie w euro. Każdy z depozytów w ciągu roku przyrósł \((1+r)\) razy. Czyli depozyt euro przyrósł \((1+r_e)\) razy, a depozyt dolarowy \((1+r_d)\) razy. Łatwo wykazać, ze :

\(\ ( \frac{1+r_e}{1+r_d})P_s = P_f,\)

gdzie:

\(r_d\) - stopa oprocentowania dolarowego

\(r_e\) - stopa oprocentowania euro

\(P_s\) - cena spot wymiany

\(P_f\) - cena futures.

Po odpowiednim przekształceniu i odrzuceniu nieznaczących wyrazów wyższych rzędów , otrzymać można znajomo wyglądający wzór.

\(\ P_fo= P_s+(r_e-r_d)P_s\)

Czyli ponownie widać, że cena futures jest równa cenie spot powiększonej o „cost of carry, czyli różnicy stóp procentowych rynku euro i rynku dolarowego.

Ten wzór można przekształcić do bardziej przydatnej formy:

\(\ \frac{P_fo-P_s}{P_s}=r_e-r_d\)

Jest to tzw. równanie parytetu stóp procentowych. Mówi ono, ze wzrost terminowego kurs wymiany jest równy różnicy stóp procentowych rynków walut wymienianych. Innymi słowy równanie pozwala oceniać jak rynek terminowy ocenia aprecjację jednej waluty względem drugiej.

Przykład 3.

Cena godziwa futures na akcje lub indeks rynku akcji.

Cenę na kontrakt futures na akcje można obliczyć w następujący sposób. Uproszczenie - kontrakt futures na 1 rok i trzymamy jest do terminu dostawy.

Strategia 1. Na początku roku kupujemy odpowiednią dla warunku kontraktu ilość akcji . Na koniec roku sprzedajemy. To co zyskujemy to różnica cen akcji i dywidenda wypłacona w czasie roku. Czyli

\( \ Zwrot_1= (Ps_1-Ps)+dPs\)

Gdzie

\(Ps\)- cena akcji na początku roku

\(PS_1\) cena akcji na końcu roku

d - dywidenda (liczona jako procent ceny akcji)

Strategia 2.

Kupujemy kontrakt futures na akcje. Dodatkowo kwotę równa cenie odpowiedniej do warunków kontraktu ilości akcji zostaje zainwestowana na rynku pieniężnym na okres roku. Zysk z tych transakcji to Oprocentowanie uzyskane na rynku pieniężnym, - cena kontraktu futures plus różnica miedzy ceną akcji na końcu roku i na początku roku( to co daje kontrakt futures).

Czyli

\(\ Zwrot_2= (Ps_1-Pf)+(1+r)Ps- Ps,\)

gdzie

r - stopa procentowa oprocentowani na rynku pieniężnym inne oznaczenia jak wyżej.

Obie strategie powinny odbywać się w tych samych warunkach ryzyka i są tak samo wyceniane więc wynik muszą przynieść identyczny. Jeśli tak, to równając zyski z sobą otrzymujemy.

\(\ Pf_o = Ps = (r-d)Ps\)

Czyli znów cena futures równa się cenie spot plus “cost of carry” .

Proszę zauważyć, że robienie depozytu obrazuje w praktyce kredytowanie całej transakcji na rynku pieniężnym i jest kosztem inwestycji. Jeśli transakcje przeprowadzamy na okres krótszy niż rok, to wzór ten należy zapisać w poniższej formie:

\(\ Pf_o=Ps+(r-d)\frac{n}{360}Ps,\)

gdzie :

n - liczba dni w których trwa inwestycja pozostałe oznaczenia jak wyżej.

Rok obrachunkowy 360 dniowy.

Przykład 3a. Cena futures na indeks rynku akcji.

Rozumowanie przebiega tak samo jak w przypadku akcji. Tylko że cena zakupu indeksu to cena zakupu takiej ilości akcji i z taka waga jak opisane jest w indeksie i zasadach kontraktu futures,

Skoro rozumowanie jest takie samo więc cena kontaktu futures na indeks wynosi:

\(\ Pf_o = Ps = (r-d)Ps,\)

gdzie:

Ps - Cena-( wartość kasowa akcji wchodzących w skład indeksu) na początku roku.

Pf_o – cena kontraktu futures

r - stopa procentowa rynku pieniężnego.

d - współczynnik dywidendy (czyli dywidenda do ceny akcji)

Jeśli inwestycja dotyczy inne okresu niż równo jeden rok to wzór na cenę godziwą kontraktu futures wynosi:

\(\ Pf_o=Ps+(r-d) \frac{n}{360}Ps,\)

gdzie : n - liczba dni, w których trwa inwestycja pozostałe oznaczenia jak wyżej.

Wycena opcji

Jak pisaliśmy wcześniej, wycena instrumentu finansowego to termin odnoszący się do obliczenia wartości tego instrumentu w chwili bieżącej. W przypadku instrumentu pochodnego jest to zadanie niezwykle trudne, gdyż trzeba uwzględniać wiele specyficznych warunków definiujących ten instrument oraz oszacować prawdopodobieństwo przyszłego zachowania się instrumentu bazowego, stóp procentowych itp. Na ogół nie jest możliwe uzyskanie zwartych analitycznych formuł i trzeba zadowolić się pewnymi uproszczonymi modelami. Zilustrujemy to ma przykładzie opcji europejskiej na akcję nie przynoszącą dywidendy. Czytelnika zainteresowanego wyceną "bardziej skomplikowanych" jesteśmy zmuszeni odesłać do literatury specjalistycznej (ostrzegamy, że w wielu przypadkach nie jest znane rozwiązanie problemu). Modele wyceny opcji można podzielić na dwie kategorie:

• modele z czasem dyskretnym
• modele z czasem ciągłym.

W modelach z czasem dyskretnym przyjmuje się, że cena instrumentu bazowego "sprawdzana" jest w pewnych odstępach czasu określanych poprzez podział czasu życia opcji na skończoną liczbę podokresów (n)^[11]. W każdym z takich podokresów rozważamy wszystkie możliwe w danym modelu ruchy cen i tworzymy graf (drzewo) opisujący wszystkie możliwe trajektorie "ścieżki"^[12]. Na przykład, w tzw. modelu dwumianowym dopuszczamy tylko dwie możliwości cena może wzrosnąć lub spaść o, z góry zadaną, kwotę. By określić cenę opcji musimy zdecydować, która z możliwych ścieżek zostanie wybrana i wynikającą z tego wyboru cenę w momencie wygaśnięcia zaktualizować na chwilę obecną, co na ogół nie jest możliwe w sposób dokładny. Zakładając losowość odpowiednich procesów rynkowych, oznacza to że musimy spróbować określić prawdopodobieństwa wyboru poszczególnych trajektorii i za sprawiedliwą cenę opcji przyjąć wartość oczekiwaną. Można to zrobić, na przykład, w następujący sposób. Szacujemy na podstawie danych historycznych (oraz własnej subiektywnej wyceny spółki) możliwe wartości instrumentu bazowego w momencie wygaśnięcia opcji i związane z tym wypłaty z opcji oraz prawdopodobieństwa tych zdarzeń. Model ten chociaż ideowo prosty, jest żmudny rachunkowo, bez pomocy komputera trudno wykonać rachunki z realistyczną liczbą podokresów. Załóżmy więc, że oszacowaliśmy, że prawdopodobieństwo wzrostu ceny akcji w dowolnym z n momentów "obserwacji" wynosi p i cena akcji może wzróść z S do uS i z prawdopodobieństwem (1-p) spaść z S do dS^[13]. Mamy więc do czynienia z sytuacja analogiczna do rzutu "zafałszowana monetą". Taki proces (proces Bernouliego) jest opisany rozkładem dwumianowym (stąd oczywiście nazwa). Prawdopodobieństwo k sukcesów (wzrostów cen) w n okresach dane jest wiec wzorem

Z modeli z czasem ciągłym, najsłynniejszy model Blacka-Scholesa. W podejściu tym analizuje się ewolucję ceny opcji europejskiej na akcję w całym okresie jej ważności, \([0,T]\). Podstawowym założeniem jest przyjęcie, że ewolucja ceny instrumentu jest pewnym procesem losowym z jedną zmienną losową - ceną spot \(S_t\) instrumentu bazowego. Dostajemy wtedy tzw. równanie stochastyczne, które w pewnych przypadkach można rozwiązać. Dokładniej, załóżmy, że interesuje nas cena \(C(S, t)\) opcji kupna na akcje S, o terminie wygaśnięcia \(T\) i cenie wykonania. Zakłada się w tym modelu \(K\), że cena akcji \(S_t\) ewoluuje zgodnie z tak zwanym geometrycznym ruchem Browna przy ciągłej kapitalizacji z roczną stopą procentową r:

\(d S_t = S_t [\mu dt + \sigma d W_t]\,\), \(S_0 > 0\;\),

gdzie parametry \(\mu\) (tzw dryft) i \( \sigma\) (współczynnik zmienności ceny instrumentu bazowego (volatility)) szacujemy na podstawie danych historycznych. Proces losowy \(W_t\) jest tzw. białym szumem. Przy tych założeniach równanie na \(C(S,t)\) przyjmuje formę:

\(dC(S,t)=\frac{\partial C}{\partial t}(S,t)dt+\frac{\partial C}{\partial C}(S,t)dS+\frac{1}{2}\frac{\partial C}{\partial S^2}(S,t)dS^{2}.\)

To nietrywialne równanie można w pewnych przypadkach rozwiązać dokładnie. W przypadku logarytmiczno-normalnego rozkładu zmiennej losowej \(S_T\) otrzymuje się wtedy słynna formułę Blacka-Scholesa dla ceny opcji kupna na europejska akcję bez dywidendy^[15]:

\(C(S,t) = S N\left( \frac{\ln\frac{S}{K} + \left(r+\frac{\sigma^2}{2}\right)T}{\sigma \sqrt T} \right) - K e^{-rT} N\left( \frac{\ln\frac{S}{K} + \left(r-\frac{\sigma^2}{2}\right)T}{\sigma \sqrt T} \right),\)

gdzie
\(S\) - aktualna cena instrumentu bazowego
\(K\) - cena rozliczenia opcji

\(r\) - wysokość rocznej stopy procentowej wolnej od ryzyka dla terminu wygaśnięcia opcji
\(N(x)\) - kumulatywna dystrybuanta standardowego rozkładu normalnego: \(\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int^{x}_{-\infty}\exp{(-s^{2}/2)}ds\),

a termin wygaśnięcia opcji \(T\) jest liczony w latach. Model ten można rozszerzyć na wiele innych przypadków, ale nie jest to celem naszego, krótkiego wprowadzenia do zagadnienia^[16].

Przypisy

1. ↑ Musimy też wyeliminować z rozważań sytuacje patologiczne, na przykład strategie typu strategii podwajania stawki wynikające z faktu, że \(1+2+...+2^n=2^{n+1}-1\). Na przykład, gdy w grze polegającej na rzucie monetą za wygraną wypłata jest równa podwojonej stawce, a przegrana polega na utracie stawki, strategia podwajania stawki daje nam wygraną z prawdopodobieństwem 1, gdy możemy się wycofać z gry w dowolnym momencie (po wygranej). Strategie tego typu muszą uniemożliwić również kasyna.
2. ↑ Instrumenty kuponowe generują dodatkowe strumienie przepływów przed terminem zapadalności, które trzeba uwzględniać.
3. ↑ Oczywiście dotyczy to obligacji dopuszczonych do obrotu publicznego i notowanych na giełdzie
4. ↑ Przed skorzystaniem z pokusy arbitrażowej należy dokładnie zaznajomić się ze szczegółami notowań na ostatniej sesji przed wygaśnięciem kontraktu. Ceną rozliczeniową zwykle nie jest ostatnie notowanie lecz pewna średnia z notowań, np z ostatniej godziny.
5. ↑ M.D. Fitzgerald- „Financial Futures”- Euromoney Books 1993
6. ↑ P. Saługa,Z. Grudziński-Polityka Energetyczna. Tom 12 Zeszyt 2/2 str.525-540. rok 2009 używają na określenie contango i backwardation nazw reportu i deportu. Jednak uczestnicy rynku terminowego używają nazw angielskich.
7. ↑ D.Blake- Financial Market Analysis- Mc Graw- Hill company1990).
8. ↑ Implikowana stopa repo to rentowność z transakcji repo dla odstępu czasu od chwili aktualnej (bieżącej) do terminu realizacji kontraktu - przyp. autorów
9. ↑ D.Blake- Financial Market analysis
10. ↑ Rozumowanie przeprowadzone dla kontraktu futures nie będzie się różnić od rozważań przeprowadzonych dla wyceny kontraktu forward dla kursów wymiany przeprowadzonych w Rynkach Finansowych autorstwa M. Łukaszewski i J. Sładkowski. Ma jednak w tym miejscu cel wykazania ,ze przyjęta i omawiana zasada wyceny kontraktów futures obowiązuje. Jest to również przykład ilustrujący funkcjonowanie tej zasady.
11. ↑ Oczywiście w taki sposób możemy analizować i inne zjawiska rynkowe.
12. ↑ Oczywiście w analogiczny sposób można analizować i inne instrumenty finansowe
13. ↑ Oczywiście zakładamy, że u>1 a 0<d<1.
14. ↑ Na przykład, jeśli opcja opiewa na 1000 akcji, to \(f(S_n)=1000S_n\)
15. ↑ Ten sam wzór opisuje również amerykańską opcję kupna. W przypadku opcji sprzedaży występują już różnice.
16. ↑ Nie zawsze trzeba rozwiązywać równania stochastyczne. Na przykład, cenę opcji sprzedaży można wyznaczyć opierając się o tzw. parytet kupna-sprzedaży dla opcji europejskiej (cena opcji kupna powiększona o aktualną wartość ceny wykonania musi być równa cenie opcji sprzedaży powiększonej o cenę akcji).