Z Skrypty dla studentów Ekonofizyki UPGOW
(→\sigma-algebra podzbiorów zbioru \Omega) |
(→\sigma-algebra podzbiorów zbioru \Omega) |
||
| Linia 46: | Linia 46: | ||
'''Funkcja addytywna zbioru''' – funkcja określona na pewnym [[Ciało zbiorów|ciele zbiorów]] o wartościach w zbiorze [[liczby rzeczywiste|liczb rzeczywistych]], której wartość dla [[suma zbiorów|sumy]] dwóch zbiorów rozłącznych jest [[Dodawanie|sumą]] wartości dla każdego z tych zbiorów. Blisko związanymi pojęciami są '''σ-addytywność''' oraz '''podaddytywność'''. | '''Funkcja addytywna zbioru''' – funkcja określona na pewnym [[Ciało zbiorów|ciele zbiorów]] o wartościach w zbiorze [[liczby rzeczywiste|liczb rzeczywistych]], której wartość dla [[suma zbiorów|sumy]] dwóch zbiorów rozłącznych jest [[Dodawanie|sumą]] wartości dla każdego z tych zbiorów. Blisko związanymi pojęciami są '''σ-addytywność''' oraz '''podaddytywność'''. | ||
| + | |||
| + | |||
| + | |||
| + | == Definicje == | ||
| + | Niech <math>{\mathcal F}</math> będzie ciałem podzbiorów pewnej przestrzeni <math>X</math> oraz niech <math>f:{\mathcal F}\longrightarrow {\mathbb R}</math>. | ||
| + | |||
| + | * Mówimy, że funkcja <math> f </math> jest '''funkcją podaddytywną (subaddytywną)''', jeśli | ||
| + | : <math>f(A\cup B) \leqslant f(A)+ f(B)</math> dla wszystkich <math>A,B\in {\mathcal F}</math>. | ||
| + | |||
| + | * Powiemy, że <math> f </math> jest '''funkcją addytywną''', jeśli | ||
| + | : <math>f(A\cup B)=f(A)+ f(B)</math> dla wszystkich [[zbiory rozłączne|rozłącznych]] <math>A,B\in {\mathcal F}</math>. | ||
| + | |||
| + | * Załóżmy dodatkowo, że <math>{\mathcal F}</math> jest [[Przestrzeń mierzalna|σ-ciałem]] podzbiorów przestrzeni <math> X </math>. Mówimy wówczas, że funkcja <math>f:{\mathcal F}\longrightarrow {\mathbb R}</math> jest '''σ-addytywna''' ('''przeliczalnie addytywna''') jeśli | ||
| + | : <math>f\left(\bigcup_{n = 0}^{\infty}~A_n\right) = \sum_{n = 0}^{\infty}~f(A_n)</math> dla wszystkich parami rozłącznych zbiorów <math>A_0,A_1,A_2,\ldots\in {\mathcal F}</math>. | ||
| + | |||
| + | Często funkcjami (pod)addytywnymi zbiorów nazywa się funkcje określone na <math>\mathcal{F}</math> o wartościach w pewnej [[struktura algebraiczna|strukturze algebraicznej]], w której określone jest [[dodawanie|działanie dodawania]] (jak np. [[grupa abelowa]], [[przestrzeń liniowa]]), spełniające analogiczne warunki, jak wyżej. Addytywne funkcje zbiorów o wartościach w rzeczywistych bądź zespolonych przestrzeniach unormowanych nazywane są, na przykład [[miara wektorowa|miarami wektorowymi]]. | ||
==Zmienna losowa== | ==Zmienna losowa== | ||
Wersja z 19:22, 26 paź 2009
Spis treści |
Teoria prawdopodobieństwa
Procesy i zjawiska losowe (przypadkowe, stochastyczne) opisywane są przez teorię prawdopodobieństwa. W odróżnieniu od procesów deterministycznych, nie można jednoznacznie przewidywać ewolucji układu losowego. Losowość opisujemy za pomocą prawdopodobieństwa zajścia określonych zdarzeń.
Przestrzeń probabilistyczna
podroździał
Teoria prawdopodobieństwa bazuje, jak każda teoria matematyczna, na odpowiedniej przestrzeni.
Dla przykładu, dla teorii funkcji taka przestrzenią jest przestrzeń metryczna. Przestrzeń metryczna jest takim zbiorem \( X \), w którym można zdefiniować odległość \( d(x, y) \) między dwoma jej elementami \( x \in X \) i \( y \in X \). Odleglość jest funkcją dwóch zmiennych \( x \) i \( y \) oraz posiada kilka charakterystycznych cech, np. odległość nie może byc ujemna. Jeżeli zdefiniujemy odległość w zbiorze \( X \), wówczas możemy w tym zbiorze określić zbieżność ciągów i wprowadzić pojęcie ciągłości funkcji. Możemy też zdefiniować pojęcie pochodnej funkcji i całki oznaczonej. Możemy dokonywać wielu innych operacji na funkcjach. Widać z tego przykładu, że pojęcie metryki jest bardzo użyteczne i zdefiniowanie metryki w jakimś zbiorze niesłychanie wzbogaca ten zbiór. Matematycy lubią definiować przestrzeń metryczna jako parę \( (X, d)\), tzn. jest to zbiór X wraz z określoną w niej odległościa, czyli metryką \( d=d(x, y)\).
Podobnie jest w teorii prawdopodobieństwa. Przestrzenią, którą bada teoria prawdopodobieństwa, jest zbiór, w którym określone są dodatkowe elementy, analogiczne do metryki. Przestrzeń ta nazywa się przestrzenią probabilistyczną. Dokładniej mówiąc przestrzeń ta nie jest parą jak w przypadku przestrzeni metrycznej, ale trójką \( (\Omega, {\mathcal F}, P)\). Rozszyfrujmy poszczególne elementy tej trójki.
(I) \(\Omega\) jest zbiorem elementów \(\omega\). Element \(\omega\) nazywa się zdarzeniem elementarnym lub inaczej mówiąc możliwym wynikiem doświadczenia. Przykłady:
1. Doświadczenie polega na jednokrotnym rzucie monetą. Są dwa możliwe wyniki: orzeł lub reszka. Wynikowi "orzeł" możemy przyporządkować oznaczenie \(\omega_1\), natomiast wynikowi "reszka" - \(\omega_2\). Tak więc zbiór \(\Omega =\{\omega_1, \omega_2\}\).
2. Doświadczenie polega na dwukrotnym rzucie monetą. Teraz możliwe są cztery wyniki: \(\omega_1 =\)(orzeł, orzeł), (orzeł, reszka), (reszka, orzeł) i (reszka, reszka). Jeden wynik to p: orzeł lub reszka. Wynikowi "orzeł" możemy przyporządkować oznaczenie \(\omega_1\), natomiast wynikowi "reszka" - \(\omega_2\). Tak więc zbiór \(\Omega =\{\omega_1,\omega_2,\omega_3, \omega_4\}\).
3. Doświadczenie polega na jednokrotnym rzucie kostką do gry w popularnego "chińczyka". Wynikiem może być jedno oczko, albo dwa oczka, albo trzy oczka, albo cztery oczka, albo pięć oczek, albo sześć oczek. Przyporządkowując liczbie oczek oznaczenie \(\omega_n \) dla \( n=1, 2, 3, 4, 5, 6 \) otrzymamy zbiór \(\Omega =\{\omega_1, \omega_2, \omega_3, \omega_4, \omega_5, \omega_6 \}\).
\(\sigma\)-algebra podzbiorów zbioru \(\Omega\)
to przeliczalnie addytywne ciało podzbiorów \(\Omega\). Bardziej formalnie, niech \(\Omega\) będzie niepustym zbiorem. Powiemy, że rodzina \(\mathcal{F}\) podzbiorów zbioru \(\Omega\) nazywa sie \(\sigma\)-algebrą jeśli
- zbiór pusty należy do \(\mathcal{F}\),
- dopełnienie zbioru należącego do \(\mathcal{F}\) należy do \(\mathcal{F}\),
- suma przeliczalnie wielu zbiorów z \(\mathcal{F}\) należy do \(\mathcal{F}\).
Często w literaturze \(\sigma\)-algebra zbiorów nazywa się też \(\sigma\)-ciałem zbiorów.
Funkcja addytywna zbioru – funkcja określona na pewnym ciele zbiorów o wartościach w zbiorze liczb rzeczywistych, której wartość dla sumy dwóch zbiorów rozłącznych jest sumą wartości dla każdego z tych zbiorów. Blisko związanymi pojęciami są σ-addytywność oraz podaddytywność.
Definicje
Niech \({\mathcal F}\) będzie ciałem podzbiorów pewnej przestrzeni \(X\) oraz niech \(f:{\mathcal F}\longrightarrow {\mathbb R}\).
- Mówimy, że funkcja \( f \) jest funkcją podaddytywną (subaddytywną), jeśli
- \(f(A\cup B) \leqslant f(A)+ f(B)\) dla wszystkich \(A,B\in {\mathcal F}\).
- Powiemy, że \( f \) jest funkcją addytywną, jeśli
- \(f(A\cup B)=f(A)+ f(B)\) dla wszystkich rozłącznych \(A,B\in {\mathcal F}\).
- Załóżmy dodatkowo, że \({\mathcal F}\) jest σ-ciałem podzbiorów przestrzeni \( X \). Mówimy wówczas, że funkcja \(f:{\mathcal F}\longrightarrow {\mathbb R}\) jest σ-addytywna (przeliczalnie addytywna) jeśli
- \(f\left(\bigcup_{n = 0}^{\infty}~A_n\right) = \sum_{n = 0}^{\infty}~f(A_n)\) dla wszystkich parami rozłącznych zbiorów \(A_0,A_1,A_2,\ldots\in {\mathcal F}\).
Często funkcjami (pod)addytywnymi zbiorów nazywa się funkcje określone na \(\mathcal{F}\) o wartościach w pewnej strukturze algebraicznej, w której określone jest działanie dodawania (jak np. grupa abelowa, przestrzeń liniowa), spełniające analogiczne warunki, jak wyżej. Addytywne funkcje zbiorów o wartościach w rzeczywistych bądź zespolonych przestrzeniach unormowanych nazywane są, na przykład miarami wektorowymi.
Zmienna losowa
Przestrzeń probabilistyczna jest zbiorem, więc tak jak na każdym zbiorze możemy definiować odwzorowania. Niech \(f\) będzie dowolną funkcją określoną na zbiorze \(X\) o wartościach w zbiorze \(Y\). Pamiętamy, że element zbioru \(X\) nazywany jest argumentem funkcji (zmienną niezależną), natomiast zbiór \(Y\) jest zbiorem wartości funkcji. Zmienna losowa jest też funkcją, tyle że na przestrzeni probabilistycznej. Tutaj odpowiednikiem zbioru \(X\) jest zbiór zdarzeń elementarnych \(\Omega\), a zmienną niezależną jest zdarzenie elementarne \(\omega\). Jednak nie wszystkie funkcje na zbiorze \(\Omega\) nazywają się zmiennymi losowymi. Problem jest nieco podobny do tego, że nie wszystkie funkcje są funkcjami ciągłymi. Z "praktyki" studenci wiedzą, że funkcje ciągłe są "przyjemniejsze" (na przykład granica lewostronna jest równa granicy prawostronnej). Odpowiednikiem funkcji ciągłych są zmienne losowe.
Precyzyjna definicja matematyczna jest następujaca:
Niech \((\Omega, F, P)\) będzie przestrzenia probabilistyczną oraz \((Y, {\mathcal B})\) -- przestrzenią fazową, tzn. zbiorem \(Y\) wraz z \(\sigma\)-algebrą \({\mathcal B}\) zbioru \(Y\). Zwykle \(X=R\) jest zbiorem liczb rzeczywistych, a \(\sigma\)-algebra \({\mathcal B}\) jest polem Borela.