Wersja z 20:11, 8 maj 2010

Instrumenty rynków finansowych

Projekt finansowany przez

Spis treści

[ukryj]

1 Analiza portfela i wycena aktywów
- 1.1 Zarządzanie portfelem instrumentów finansowych
  - 1.1.1 Model Markowitza
2 Przypisy

Analiza portfela i wycena aktywów

Zwykle, myśląc o inwestycji mamy do dyspozycji pewien kapitał własny lub pożyczony. W tej części ograniczymy się do inwestycji na rynkach kapitałowych. Przyjmiemy też upraszczające założenie, że pieniądze są inwestowane w chwili początkowej i interesuje nas wartość naszego portfela w pewnej chwili końcowej^[1]. Wartość ta na ogół nie jest zdeterminowana wartością początkową naszego kapitału. Musimy więc podjąć decyzję w warunkach niepewności. Decyzję, z naszego punktu widzenia optymalną to znaczy, będąca kompromisem między poziomem ryzyka, które jesteśmy gotowi zaakceptować a naszą chciwością czyli oczekiwanym zyskiem. Przy konstrukcji portfela papierów wartościowych istotna jest klasa instrumentów, w które chcemy inwestować. W tym miejscu ograniczymy się do przedstawienia klasycznych idei dotyczących portfela złożonego z akcji, bezpiecznych instrumentów (obligacji) oraz pieniędzy (gotówka lub kredyt).

Zarządzanie portfelem instrumentów finansowych

Przypomnijmy, że pomijając podatki i koszty transakcji, zysk (zwrot) \(R_z\) i stopę zwrotu \(r_z\) z inwestycji możemy zdefiniować następująco:

\(R_z= \frac{K_k-K_0}{K_0}=1+r_z,\)gdzie \(K_k\) to wartość końcowa inwestycji, a \(K_0\) jest wartością początkową, czyli kwotą zainwestowaną. Formułę tę łatwo można uogólnić by opisywała portfel inwestycji. Załóżmy, że w chwili początkowej mamy portfel o n składnikach \(K_{0i},\ i= 1,...n,\) takich, że \(\sum_{i}K_{0i}=K_0.\) Tych samych oznaczeń używamy by opisać sytuację końcową - wskaźnik 0 zastępujemy wskaźnikiem k. Możemy zdefiniować tzw. wagi (udziały) poszczególnych składników jako: \(K_{0i}=w_i K_0,\ i=1,...,n,\ \sum _i w_i=1\)i jeśli dopuszczamy krótką sprzedaż, to niektóre z \(w_i\) mogą być ujemne. Jeśli przez \(R_i\ (r_i)\) oznaczymy zwrot (stopę zwrotu) obliczone dla i-tego składnika portfela to mamy \(R_z=\frac{\sum_{i}w_iR_iK_{0}}{K_{0}}=\sum_{i}w_iR_i\) oraz \(r_z=\sum_{i}w_ir_i.\) Załóżmy, że niepewność inwestycji w poszczególne składniki, ma podłoże losowe. W takim przypadku ceny i stopy zwrotu stają się zmiennymi losowymi. Możemy więc zaryzykować probabilistyczny (statystyczny) opis zachowania portfela inwestycji. Przypomnijmy,że oczekiwana stopa zwrotu z portfela \(\overline{r}=E(r)\) i jej wariancja \(\sigma ^2\, \) są dane wzorami: \(\overline{r}=\sum _i w_iE(r_i)=\sum _i w_i\overline{r_i}\) \(\sigma ^2=E((r-\overline{r})^2)=E(\sum _{ij} w_iw_j(r_i-\overline{r_i})(r_j-\overline{r_j}))\equiv\sum _i w_iw_j\sigma_{ij}.\)

Wniosek (dywersyfikacja)

Załóżmy, że wszystkie składniki portfela mają taką samą oczekiwaną stopę zwrotu a i jej wariancję s. Wtedy dla \(w_i=1/n,\ i=1,...n\) mamy

\(\overline{r}=\frac{1}{n}\sum_i E(r_i)=m\) oraz \(var(r)=\frac{1}{n^2}\sum_i var(r_i)=\sum _i \frac{s^2}{n^2}=\frac{s^2}{n}.\)

Oznacza to, że rozkładając inwestycję na n równorzędnych składników możemy zmiejszyć oczekiwane ryzyko z inwestycji (mierzone wariancją portfela).

Jeśli pójdziemy dalej tym tropem i będziemy używać wariancji jako "miary ryzyka", często nazywanej volatility w tym kontekście, to możemy "uprościć" nasz problem i analizować tylko zależność oczekiwanej stopy zwrotu z portfela od parametru ryzyka (czyli wariancji).

Model Markowitza

H. Markowitz zaproponował następujące podejście do teorii portfela^[2]. Załóżmy, że na podstawie danych historycznych można estymować wartości oczekiwane stóp zwrotu poszczególnych składników portfela a variancja jest dobrą miarą ryzyka związanego z inwestycją w dany portfel. Wtedy "racjonalny inwestor" mający nadzieję uzyskać określoną stopę stopę zwrotu powinien z wszystkich portfeli o tej samej preferowanej oczekiwanej stopie zwrotu wybrać najmniej ryzykowny czyli minimalizujący wariancję. Oznacza to, że musimy rozwiązać następujący problem:

minimalizuj

\(\sum_{ij}w_iw_j\sigma_{ij}\,\)

pod warunkiem, że

\(\sum_{i}w_i\overline{r_i}=\overline{r}\)

i

\(\sum_{i}w_i=1\)

Jak pamiętamy z kursu analizy matematycznej, problem taki można na ogół rozwiązać korzystając z metody czynników Lagrange'a. W tym celu definiujemy lagrangian:

\(L(\overline{r_1},...,\overline{r_n},\lambda ,\mu)=\sum_{ij}w_iw_j\sigma_{ij}-\lambda (\sum_{i}w_i\overline{r_i}-\overline{r})- \mu (\sum_{i}w_i-1).\)

Szukamy minimum^[3] funkcji \(L(\overline{r_1},...,\overline{r_n},\lambda ,\mu)\). Warunkiem koniecznym jest znikanie pochodnych cząstkowych:

\(\frac{\partial L}{\partial \overline{r_i}}=0, \ i=1,...,n\) \(\frac{\partial L}{\partial \lambda}=0\) \(\frac{\partial L}{\partial \mu}=0.\)

Prowadzi to do układu n+2 równań liniowych z n+2 niewiadomymi, który na ogół ma rozwiązanie:

\(2\sum_{j}w_i\sigma_{ij}-\lambda\overline{r_i}-\mu =0\) \(\sum_{i}w_i\overline{r_i}=\overline{r}\) \(\sum_{i}w_i=1,\,\)

Przykład (lemat o dwóch funduszach)

Model Markowitza ma wiele interesujących właściwości. Omówimy tu jedną z nich, która wynika z formy opisujących go równań. Załóżmy, że znamy rozwiązania dla dwóch różnych wartości \(\overline{r}\)

Przypisy

↑ Zauważmy, że założenie to trudno uzasadnić w przypadku portfela akcji, ale okazuje się że stosunkowo łatwo można omawiane procedury uogólnić tak by uniknąć tego typu ograniczeń, co również zrobimy w dalszej części.
↑ Idea ta została przedstawiona w słynnej pracy Markowitz, H. (1952), ‘Portfolio Selection’, Journal of Finance, 7(1), 77-91.
↑ Tak na prawdę to metoda ta znajduje ekstremum lub tzw. punkt siodłowy; musimy jeszcze sprawdzić czy jest to rzeczywiście minimum

[0] Zauważmy, że założenie to trudno uzasadnić w przypadku portfela akcji, ale okazuje się że stosunkowo łatwo można omawiane procedury uogólnić tak by uniknąć tego typu ograniczeń, co również zrobimy w dalszej części.

[1] Idea ta została przedstawiona w słynnej pracy Markowitz, H. (1952), ‘Portfolio Selection’, Journal of Finance, 7(1), 77-91.

[2] Tak na prawdę to metoda ta znajduje ekstremum lub tzw. punkt siodłowy; musimy jeszcze sprawdzić czy jest to rzeczywiście minimum

[1]

[2]

[3]