Z Skrypty dla studentów Ekonofizyki UPGOW
(Różnice między wersjami)
|
|
Linia 5: |
Linia 5: |
| | | |
| <center><math> Pr \{ \xi \in (a, b)\} = \int_a^b p_{\xi}(x)dx </math></center> | | <center><math> Pr \{ \xi \in (a, b)\} = \int_a^b p_{\xi}(x)dx </math></center> |
- |
| |
- |
| |
- | '''PODSTAWOWE POJĘCIA NA TEMAT ZBIORÓW'''
| |
- |
| |
- | Oznaczmy przez <math>\Omega</math> zbiór, który nazwiemy '''przestrzenią'''. Niech <math>A, B, ...</math> będa podzbiorami zbioru
| |
- | <math>\Omega</math>.
| |
- |
| |
- | '''Sumą''' zbiorów nazywamy zbiór złożony ze wszystkich elementów należących do '''któregokolwiek''' z sumowanych zbiorów. Suma zbiorów <math>A </math> i <math> B </math> jest oznaczana przez <math>A\cup B</math>. Tak więc:
| |
- | : <math>A\cup B=\{x:x\in A\vee x\in B\}</math>
| |
- |
| |
- | '''Iloczyn''' (lub '''część wspólna''', '''przekrój''', '''przecięcie''') zbiorów <math> A </math> i <math> B </math> to zbiór, do którego należą te elementy zbioru <math> A </math>, które należą również do <math> B </math>. Część wspólna zbiorów <math> A </math> i <math> B </math> jest oznaczana przez <math>A\cap B</math>. Tak więc:
| |
- | : <math>A\cap B=\{x:x\in A\wedge x\in B\}</math>.
| |
- |
| |
- | '''Różnica zbiorów''' ''A\B'' - to zbiór złożony z tych elementów zbioru ''A'', które nie należą do ''B'':
| |
- | : <math>A \setminus B = \{ x : x\in A \and x \notin B\}</math>
| |
- |
| |
- | '''Dopełnieniem''' <math>A'</math> zbioru <math>A</math> (w przestrzeni <math>\Omega</math>) nazywa się różnica zbiorów
| |
- | : <math>A'=\Omega \setminus A = \{x \in \Omega\colon x \notin A\}</math>,
| |
- |
| |
- | '''Zbiór pusty''' to zbiór, który nie zawiera żadnych elementów. Oznaczany jest symbolem <math>\empty</math> lub <math>\varnothing</math>.
| |
- |
| |
- | '''Zbiory rozłączne''' – dwa zbiory <math>A</math> i <math>B </math>są rozłączne jeżeli ich część wspólna jest zbiorem pustym:
| |
- |
| |
- | : <math>A\cap B=\empty</math>.
| |
- |
| |
- | Inaczej mówiąc, zbiory te nie mające wspólnego elementu.
| |
- |
| |
- | Na przykład, zbiory {1 ,2, 5, 8, 9} i {4, 6} są rozłączne, natomiast zbiory {2, 3, 5, 7, 8} i {2, 5, 6} – nie.
| |
- |
| |
- | Rodzinę zbiorów| <math>(A_i)_{i\in I}</math> nazywa się rodziną zbiorów parami rozłącznych, jeśli każde dwa różne zbiory tej rodziny są rozłączne:
| |
- | :<math>i\ne j \implies A_i\cap A_j = \emptyset</math>
| |
- |
| |
| | | |
| | | |
Wersja z 19:59, 10 gru 2009
Procesy i zjawiska losowe
Skrypt dla studentów ekonofizyki
\( Pr \{ \xi \in (a, b)\} = \int_a^b p_{\xi}(x)dx \)
Spis teści
- Wprowadzenie
- Zbiory
- Elementy teorii prawdopodobieństa
- Przestrzeń probabilistyczna
- Zmienna losowa
- Rozkłady prawdopodobieństwa zmiennej losowej
- Wiele zmiennych losowych-Wektor zmiennych losowych
- Rozkłady prawdobodobieństwa wielu zmiennych losowych
- Próby Bernouliego
- Twierdzenie Poissona i rozklad Poissona
- Procesy stochastyczne
- Proces Poissona
- Proces urodzin i śmierci
- Poissonowski ciąg impulsów: biały szum Poissona
- Uogólnienia procesu Poissona
- Równania ewolucji dla procesów Poissona; funkcja tworząca
- Błądzenie przypadkowe
- Proces Wienera -proces dyfuzji
- Biały szum gaussowski
- Stochastyczne równania różniczkowe
- Równanie Kramersa-Moyala
- Proste i odwrotne równanie Kołmogorowa. Równanie Fokkera-Plancka
- Równanie Ito a proces dyfuzji
- Równanie Ito i równanie Stratonowicza
- Twierdzenie Ito o różniczce funkcji procesu stochastycznego
- Przykłady zastosowań równań stochastycznych w ekonomii
- Geometryczny proces Wienera