Z Skrypty dla studentów Ekonofizyki UPGOW

Wersja z 16:13, 2 lut 2014

Układ współrzędnych

Funkcja przypisująca każdemu punktowi danej przestrzeni skończony ciąg liczb rzeczywistych zwanych współrzędnymi punktu.

Układ współrzędnych kartezjańskich (prostokątny)

Prostoliniowy układ współrzędnych o parach prostopadłych osi. Nazwa pojęcia pochodzi od łacińskiego nazwiska francuskiego matematyka i filozofa Kartezjusza. Układem współrzędnych kartezjańskich nazywa się układ współrzędnych, w którym zadane są:

• punkt zwany początkiem układu współrzędnych, którego wszystkie współrzędne są równe zeru,
• zestaw n parami prostopadłych osi liczbowych zwanych osiami układu współrzędnych. Dwie pierwsze osie często oznaczane są jako:
  • X (zwana osią odciętych),
  • Y (zwana osią rzędnych),

Liczba osi układu współrzędnych wyznacza tzw. wymiar przestrzeni.

Najczęściej układ reprezentuje przestrzeń trójwymiarową. Wówczas trzy współrzędne oznaczane są: Trzy pierwsze współrzędne są często oznaczane jako:

• X – odcięta, łac. abscissa,
• Y – rzędna, łac. ordinata,
• Z – kota, łac. applicata.

Rys. 1 Układ współrzędnych kartezjańskich (prostokątny)

Układ współrzędnych biegunowych

Jest to układ wyznaczony przez punkt \(0\) (zwany biegunem) oraz półprosta \(OR\) (zwaną osią biegunową), której początek znajduje się w punkcie \(0\). Dowolnemu punktowi \(P\) przypisujemy jego współrzędne biegunowe:

• \(r\) promień wodzący punktu \(P\) (odległość \(|OP|\) od bieguna),
• \(\varphi\) amplituda punktu \(P\) (wartość kąta skierowanego pomiędzy półprostą \(OR\) a wektorem \(\overrightarrow{OP}\)), zakłada się, że \(0\leqslant \varphi<2\pi\)

Rys. 2 Układ współrzędnych biegunowych

Przejście do układu kartezjańskiego

Konwersja do układu kartezjańskiego dla danego wektora wodzącego \(r\geqslant 0\) i amplitudy \(\varphi\in [0,2\pi)\) punktu \(P\)określona jest przez następujące wzory

\(x=r\cdot\cos\varphi\)

\(y=r\cdot\sin\varphi\)

Jakobian przejścia wynosi

\(\frac{D(x,y)}{D(r,\varphi)}=\left|\begin{array}{ccc} \frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial x}{\partial \varphi} \\ \frac{\partial y}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial \varphi} \\ \end{array}\right| = \left|\begin{array}{ccc} \cos\varphi & -r\sin\varphi\\ \sin\varphi & r\cos\varphi\\ \end{array}\right| = r(\cos^2\varphi + sin^2 \varphi) = r \)

Przejście z układu kartezjańskiego

Konwersja z układu kartezjańskiego na biegunowy jest zadana przez

\(r = \sqrt{x^2 + y^2}\).

Jeśli \(r\neq 0\), to amplituda \(\varphi\) tego punktu jest dana przez

\( \varphi = \begin{cases} \operatorname{arctg}\;(\tfrac{y}{x}), & \mbox{gdy } x > 0 \mbox{ oraz } y \geqslant 0\\ \operatorname{arctg}\;(\tfrac{y}{x}) + 2\pi, & \mbox{gdy } x > 0 \mbox{ oraz } y < 0\\ \operatorname{arctg}\;(\tfrac{y}{x}) + \pi, & \mbox{gdy } x < 0\\ \tfrac{\pi}{2}, & \mbox{gdy } x = 0 \mbox{ oraz } y > 0\\ \tfrac{3\pi}{2}, & \mbox{gdy } x = 0 \mbox{ oraz } y < 0 \end{cases} \)

Układ współrzędnych sferycznych

Dowolnemu punktowi P przypisujemy jego współrzędne sferyczne:

• promień wodzący \(r\geqslant 0\) czyli odległość punktu P od początku układu O,
• długość azymutalna \(0\leqslant\phi<2\pi\) czyli miarę kąta między rzutem prostokątnym wektora \(\overrightarrow{OP}\) na płaszczyznę OXY, a dodatnią półosią OX.
• odległość zenitalna \(0\leqslant\theta\leqslant\pi\) czyli miarę kąta między wektorem \(\overrightarrow{OP}\) a dodatnią półosią OZ.

Wszystkie współrzędne sferyczne punktu O są równe 0.

Rys. 3 Układ współrzędnych sferycznych

Przejście do układu kartezjańskiego

Konwersję z układu sferycznego na współrzędne kartezjańskie x, y, z punktu P określają wzory

\(x=x(r,\theta,\phi)=r\, \sin\theta \, \cos\phi,\)

\(y=y(r,\theta,\phi)=r\, \sin\theta \, \sin\phi,\)

\(z=z(r,\theta,\phi)=r\, \cos\theta.\)

Jakobian przejścia wynosi

\( \frac{D(x,y,z)}{D(r,\theta,\phi)}=\left|\begin{array}{ccc} \frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial x}{\partial \theta} & \frac{\partial x}{\partial \phi} \\ \frac{\partial y}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial \theta} & \frac{\partial y}{\partial \phi} \\ \frac{\partial z}{\partial r} & \frac{\partial z}{\partial \theta} & \frac{\partial z}{\partial \phi} \end{array}\right|= \left|\begin{array}{ccc} \sin\theta\cos\phi & r\cos\theta\cos\phi & -r\sin\theta\sin\phi\\ \sin\theta\sin\phi & r\cos\theta\sin\phi & r\sin\theta\cos\phi\\ \cos\theta& -r\sin\theta & 0 \end{array}\right|=r^2\sin\theta\ \)

Przejście z układu kartezjańskiego

Konwersja z układu kartezjańskiego na sferyczny jest zadana przez

\(r=\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}\),

\(\theta=\mathrm{arctg} \frac{\sqrt{x^2 + y^2}}{z}=\arccos {\frac{z}{r}}\),

\(\phi=\mathrm{arctg} {\frac{y}{x}}\).

Układ współrzędnych walcowych

Każdy punkt P przestrzeni zapisuje się w postaci trójki współrzędnych \((\rho,\phi,z)\), gdzie poszczególne składowe wyrażają się następująco:

• \(\rho\,\) — odległość od osi OZ rzutu punktu P na płaszczyznę OXY,
• \(\phi\,\) — kąt pomiędzy osią dodatnią OX a odcinkiem łączącym rzut punktu P na płaszczyznę OXY z początkiem układu współrzędnych,
• \(z\,\) — odległość rzutu punktu P na oś OZ od początku układu współrzędnych.

Rys. 4 Układ współrzędnych walcowych

Przejście do układu kartezjańskiego

\(x=\rho\cos\phi\,\)

\(y=\rho\sin\phi\,\)

\(z=z\,\)

Przejście z układu kartezjańskiego

\(\rho=\sqrt{x^2+y^2}\)

\(\varphi = \begin{cases} 0 & \mbox{gdy } x = 0 \mbox{ ∧ } y = 0\\ \arcsin(\frac{y}{\rho}) & \mbox{gdy } x \geq 0 \\ -\arcsin(\frac{y}{\rho}) + \pi & \mbox{gdy } x < 0\\ \end{cases} \)