Z Skrypty dla studentów Ekonofizyki UPGOW
(→Kapitał jako wielkość zmienna w czasie: renty i kredyty) |
(→Kapitał jako wielkość zmienna w czasie: renty i kredyty) |
||
Linia 241: | Linia 241: | ||
co, z kolei, prowadzi do formuły: | co, z kolei, prowadzi do formuły: | ||
- | <math>V=\frac{R}{i}[1-\frac{1}{(1+i)^{n}}]. | + | <math>V=\frac{R}{i}[1-\frac{1}{(1+i)^{n}}]</math>. W przypadku granicznym <math>n\rightarrow\infty</math> |
otrzymujemy wartość renty wieczystej | otrzymujemy wartość renty wieczystej | ||
<math> V_{\infty}=\lim _ | <math> V_{\infty}=\lim _ |
Wersja z 15:51, 3 mar 2010
Instrumenty rynków finansowych
Część pierwsza
Wstęp
Kilka słów o rynkach finansowych
W przeciągu ostatniego półwiecza matematyka finanasowa przerodziła się z rachunków rzadko wykraczających poza oprocentowanie i dyskontowanie bazujące na ciągach arytmetycznych i geometrycznych w samodzielną dyscyplinę nauki wykorzystującą zaawansowany formalizm matematyki, teorii prawdopodobieństwa, teorii informacji, fizyki statystycznej, a ostatnio nawet mechniki kwantowej. Zmiany te sa wynikiem niezwykle intensywnego rozwoju rynków i instytucji finansowych spowodowanych globalizacją i informatyzacją. Inwestycja finansowa jest tu rozumiana w bardzo szerokim sensie, a celem wykładu jest przedstawienie podstaw zmiany wartości kapitału w czasie, metod wyceny (modelowania wartości) strumieni (przepływów) kapitałowych, instrumentów pochodnych oraz portfeli inwestycyjnych. Do zrozumienia materiału wystarczy znajomość matematyki uzyskana w czasie pierwszych dwóch lat studiów (ekonofizyka). Ze względu na informacyjno-wprowadzający charakter wykładu omawiane są najważniejsze i najbardziej reprezentatywne instrumenty i narzędzia. Główny akcent jest położony na praktyczne aspekty dyskutowanych problemów.
Rynkowe stopy procentowe - cena czasu i ryzyko
Arytmetyka finansowa
Z wyjątkiem okresów hiperinflacji, w życiu codziennym rzadko musimy uwzględniać zmienność wartosci pieniądza w czasie. Jednak planując poważniejsze inwestycje (np kupno domu) musimy już tę zmienność uwzględniać. W matematyce finansowej analiza zjawiska zmiany wartości pieniądza jest jednym z najważniejszych problemów, a przyjęte założenia i ich konsekwencje mają istotny wpływ na wnioski dotyczące szerokiej klasy zagadnień ekonomicznych. Problem ten komplikuje dodatkowo fakt, że wiekszość instytucji finansowych operuje tzw. czasem bankowym, który często różni się od czasu rzeczywistego zwanego również czasem kalendarzowym. Nietrywialne jest też często uwzględnienie okresów, gdy pewne instytucje są nieczynne lub czynności niemożliwe (np w nocy). W tym paragrafie omówimy pojęcie czasu bankowego, które ma istotny wpływ na proces kapilalizacji odsetek. Zgodnie z obowiązującym w Polsce prawem bankowym, rok bankowy ma 360 dni i dzieli się na 12 miesięcy bankowych, o długości 30 dni każdy.
Przykład Obliczmy różnicę między czasem bankowym a rzeczywistym w okresie od 01.03.07 do 31.05.07. Według czasu bankowego upłynęły 3 miesiące, czyli 90 dni. W rzeczywistości upłynęło 31+30+31=92 dni. Bardziej zaskakujący wynik otrzymamy obliczając tę różnicę dla okresu 29.05.07 do 5.06.07. Czas bankowy to (30-29)+5=6 podczas, gdy w rzeczwistości upłynęło 7 dni. Różnica wynosi aż 1/7, czyli około 14,28%!
Różnice obliczone w powyższym przykładzie pokazują, że może ona mieć istotny wpływ na koszty kredytu czy wysokość oprocentowania -- obrazuje to poniższa tabela dla kredytu w wysokości 100000 zł udzielenego na okres od 01.03.07 do 31.05.07 przy rocznej stopie oprocentowania w wysokości 12%. Odsetki I obliczamy według wzoru \(I=100000\cdot 0,12\cdot n_x =12000\cdot n_x,\) gdzie \(n_x, x=r \ \text{lub}\ x=b\) oznacza współczynnik zamiany dni na lata, \( n_r=\frac{\text{czas w dniach}}{365},\) a \(n_b=\frac{\text{czas w dniach}}{360}\)
wysokość odsetek | nr | nb |
---|---|---|
czas rzeczywisty | 3024,66 zł | 3066,67 zł |
czas bankowy | 2958,90 zł | 3000,00 zł |
Banki, których podstawową działalnością jest udzielanie kredytów zainteresowane są naliczaniem odsetek według tak zwanej reguły bankowej, naliczaniem dni według czasu rzeczywistego i zamieniana dni na lata według czasu bankowego (prawa, górna kratka w powyższej tabeli).
Drugim ważnym zagadnieniem związanym z czasem jest tak zwany czas wzorcowy. Otóż wiele transakcji i umów zawartych na rynkach lub związanych z nimi zawiera w swojej treści lub istocie odniesienie do czasu. Na przykład, dla każdej transakcji giełdowej określony jest czas zrealizowania tej transakcji. W związku z tym w dokumentach (elektronicznych lub papierowych) wymagany jest tak zwany stempel czasowy określający ten czas. Instytucja pośrednicząca lub dokumentująca takie transakcje jest zobowiązana do pobierania wzorca czasu (tzw. Uniwersalny Czas Koordynowany) z legalnego żródła. W Polsce regulowane to jest Ustawą z dnia 10 grudnia 2003 roku o czasie urzędowym na obszarze Rzeczypospolitej Polskiej
Ogólnie rzecz biorąc, przez inwestycję będziemy rozumieli ciąg wydatków i wpływów w rozpatrywanym okresie czasu, które nazywamy przepływami pieniężnymi. Wydatki i wpływy najwygodniej opisuje się w jednostkach pieniężnych to jest w jednostkach wyróżnionego dobra - pieniądza - funkcjonującego na rynku, które jest swobodnie wymieniane na inne dobra
- Definicja (Przepływ pieniężny, strumień przepływów)
Pojedynczy wpływ netto nazywamy przepływem pieniężnym (cash flow). Może on być dodatni lub ujemny. Ciąg przepływów pieniężnych w określonych momentach nazywamy strumieniem przepływów pieniężnych (cash flow stream).
Zauważmy, że przepływy pieniężne mogą być dokładnie określone (np. odsetki od lokat) lub niepewne (najczęściej losowe). Dlatego wyróżniamy przepływy deterministyczne i uogólnione (niedeterministyczne). Za pomocą strumieni pieniężnych możemy w miarę jednolity sposób analizować różne klasy problemów dotyczących opisu, oceny i zarządzania inwestycjami. Strumień przepływów pieniężnych najłatwiej opisuje się, gdy poszczególne wpływy są znane. Wtedy, gdy przyjmiemy pewien okres bazowy (np rok), strumień przepływów będziemy zapisywać następująco \((a_0, a_1,\ldots ,a_{n-1}, a_n)\), gdzie \(a_0\) jest przepływem w chwili początkowej, a \(a_i\) przepływem po upływie \(i\)-tego okresu bazowego. Gdy przepływy nie następują po jednakowych okresach czasu, wygodnie jest przyjąć za okres bazowy taki okres, by wszystkie przepływy następowały po upływie całkowitych wielokrotności okresu bazowego - wtedy możemy zapis uzupełnić zerami w chwilach, gdy nie ma przepływów.
- Przykład
Kupno trzyletniej obligacji Skarbu Państwa o nominale 100 złotych opisuje następujący strumień: \((-100,a_1,\ldots ,a_11,100+a_{12}),\) gdzie \(a_i\) to odsetki wypłacane po \(i\)-tym kwartale. Pierwszy przepływ jest ujemny, bo wydaliśmy 100 zł na kupno obligacji; po upływie ostatniego okresu bazowego następuje zwrot wartości nominalnej i wypłata odsetek za ostatni kwartał.
Przypisy
Teoria procentu
W nimiejszym opracowaniu terminu kapitał używamy w stosunkowo ograniczonym sensie:
- Definicja (Kapitał)
Kapitał to dobro rynkowe, które może być wyrażone w dowolnej chwili w jednostkach innych dóbr, które są na tyle płynne by przelicznik między tymi jednostkami nie budził kontrowersji. Jednostkami mogą być np. uncja złota, baryłka ropy naftowej, pieniądz.
Jak mierzyć zysk? -- to chyba najbardziej fundamentalne pytanie dla teorii inwestycji. Najprostszą stosowaną miara zysku jest podawanie względnego przyrostu wartości kapitału. Zwykle podaje się ją w procentach. Procent oznacza jedną setną i w matematyce finansowej pojęcie to jest powszechnie używane do opisu korzyści płynących z użytkowania kapitału. W związku z tym wprowadza się pojęcie kapitalizacji odsetek, które oznacza powiększenie tegoż kapitału o wygenerowane odsetki.
Stopy procentowe
W paragrafie tym omówimy dwie najważniejsze metody obliczania i kapitalizacji odsetek. Zaczniemy od podania definicji:
- Definicja (Okresowa stopa procentowa, okres bazowy)
Stosunek wypracowanych w danym okresie - zwanym czasem oprocentowania - odsetek do kapitału, który je wygenerował nazywamy okresową stopą procentową. Okres ten nazywamy okresem bazowym. Wyjściową wartość kapitału nazywamy kapitałem początkowym, zaś kapitał początkowy powiększony o odsetki nazywamy kapitałem końcowym.
W większości umów między wierzycielem a dłużnikiem to właśnie stopy procentowe są używane do określenia procentu, przy czym stosuje się dwie reguły postępowania: oprocentowanie proste oraz oprocentowanie składane, które omówimy poniżej. Zauważmy jeszcze, że równolegle funkcjonuje jeszcze termin warunki oprocentowania, który został wprowadzony przez banki by zamieszać w głowach potencjalnych kredytobiorców. Ukrywa on mianowicie wszelkiego rodzaju dodatkowe opłaty mające na celu obejście obowiązującego prawa lub stworzenie pozorów niższej stopy procentowej. Nie wiadomo dlaczego prawodawca pozwala na chwyty - nic nie stoi na przeszkodzie by koszty kredytu opisywać jedynie jednym parametrem: rzeczywistą stopą procentową.
- Definicja (Oprocentowanie proste)
Oprocentowanie proste jest najprostszą[ 1] zasadą naliczania odsetek. Można ją charakteryzować w następujący sposób: W oprocentowaniu prostym odsetki naliczamy proporcjonalnie do długości okresu oprocentowania. Ogólnie możemy zapisać: \(V= (1+nr)K,\) gdzie \(V\), \(K\), \(r\) i \(n\) oznaczają, odpowiednio, kapitał końcowy, kapitał początkowy, stopę procentową i liczbę okresów bazowych dla stopy r. W sytuacji, kiedy czas trwania inwestycji jest krótszy od okresu bazowego, odsetki też naliczamy proporcjonalnie, tzn. po upływie \(f\)-tej części okresu bazowego naliczymy odsetki w wysokości \(fr\).
- Przykład
- Powyższą definicję łatwo można uogólnić na przypadek, gdy stopa procentowa jest zmienna w czasie. Przyjmijmy, że czas oprocentowania kapitału \(K\) jest równy \(n\) okresom bazowy i tworzy go \(m\) następujących po sobie okresów o długościach \(n_i\), \(i=1,\ldots ,m\), w których obowiązują stopy procentowe \(r_i\). Obliczając odsetki proste dla poszczególnych okresów i dodając je otrzymujemy:
\(V=(1+\sum_{l=1}^{l=m}n_lr_l)K,\)
W przypadku zmiennej stopy procentowej możemy zdefiniować przeciętną stopę procentową \(\bar{r}\):
- Definicja (przeciętna stopa procentowa)
Przeciętną stopą procentową \(\bar{r}\) nazywa się roczną stopę, przy której kapitał \(K\) generuje w czasie \(n\) odsetki o takiej samej wartości, jak przy danej stopie zmiennej obowiązującej w tym czasie.
Z definicyjnej równości \(n\bar{r}K=K\sum_{j=1}^{m}r_jn_j\), przyjmując oznaczenia jak wyżej, natychmiast otrzymujemy formułę pozwalającą obliczyć stopę przeciętna: \(\bar{r}=\frac{1}{n}\sum_{j=1}^{m}r_jn_j\). Zauważmy, że nie zależy ona od wartości kapitału początkowego.
Najczęściej jednak kapitalizuje się odsetki metodą procentu składanego, który zdefiniowany jest następująco:
- Definicja (Oprocentowanie składane, okres kapitalizacji)
W oprocentowaniu składanym odsetki są naliczane po upływie z góry ustalonego okresu zwanego okresem kapitalizacji. Wynika stąd, że gdy czas oprocentowania jest dłuższy od okresu kapitalizacji, to odsetki są kapitalizowane wielokrotnie. Ogólnie możemy to zapisać przy pomocy wzoru: \(V=(1+r)^nK\), gdzie \(V\), \(K\), \(r\) i n oznaczają, odpowiednio, kapitał końcowy, kapitał początkowy, stopę procentową i liczbę okresów bazowych dla stopy \(r\). W sytuacji, kiedy okres kapitalizacji jest krótszy od okresu bazowego, odsetki naliczamy proporcjonalnie, tzn. po upływie \(f\)-tej części okresu bazowego naliczymy odsetki w wysokości \(fr\).
- Uwaga
- Zauważmy, że różne okresy kapitalizacji mogą utrudnić szybką ocenęwarunków oprocentowania podawanych dla różnych okresów bazowych. Z tego powodu często wprowadza się pojęcie równoważności stóp procentowych, które ułatwia takie oceny i porównywanie ofert:
- Definicja (Równoważność stóp procentowych)
Mówimy, że w oprocentowaniu składanym dwie stopy \(i_1\) oraz \(i_2\) są równoważne jeśli przy każdej z nich odsetki składane po czasie \(t\) są identyczne.
Prosty rachunek przekonuje nas, że pojęcie to jest niezależne od wartości kapitału początkowego ani od czasu oprocentowania. Oznaczając przez \(n_1\) i \(n_2\) ilości okresów bazowych składających się na czas oprocentowania \(t\) otrzymujemy:
\(V_1=(1+i_1)^{n_1}K=V_2=(1+i_2)^{n_2}K \Rightarrow (1+i_1)^{n_1}=(1+i_2)^{n_2}.\)
Przy okazji uzyskaliśmy również formułę opisującą równoważność stóp. Często podaje się tzw. nominalną stopę procentową \(r_{nom}\), którą definiuje się jako iloczyn stopy procentowej dla danego okresu bazowego przez liczbę okresów bazowych składających się na 1 rok, \(r_{nom}(i_{k})=ki_{k}\), gdzie \(k\) jest liczbą okresów bazowych składających się na 1 rok. Nie uwzględnia ona okresów kapitalizacji różnych od jednego roku i dlatego może być myląca.
Granicznym przypadkiem oprocentowania składanego jest kapitalizacja ciągła (continuous compunding), która często uważana jest jako odrębna metoda kapitalizacji:
- Definicja (Kapitalizacja ciagła)
Przez kapitalizację ciągłą rozumiemy granicę procesu kapitalizacji składanej, w której długość okresu kapitalizacji dąży do zera: \(\lim _{m\rightarrow\infty}(1+\frac{r}{m})^{m}=e^{r},\) gdzie \(e\) oznacza stałą Eulera równą w przybliżeniu \(2,7818\ldots\).
Warunek równoważności stóp procentowych można rozszerzyć, tak by porównywać kapitalizację ciągła i składaną dyskretną: \((1+i)^{n_i}=e^{tr_c}\), gdzie \(n_i\) jest liczbą okresów bazowych składających się na \(t\). Bezsensowne jest analogiczne porównywanie dla kapitalizacji prostej, gdyż, jak łatwo można się przekonać,zależałoby ono od długości okresu oprocentowania.
Przeanalizowaliśmy już krótko ogólne zasady zmiany wartości kapitału w czasie spowodowane dopisywaniem odsetek. Obecnie zajmiemy się procesem odwrotnym, tzn. obliczymy jaką wartość posiada w chwili obecnej wypłata, którą otrzymamy (spodziewamy się otrzymać) w przyszłości. Wielkość tą nazywa się wartością obecną (present value -- PV) a proces dyskontowaniem (discounting).
Omówimy teraz wpływ inflacji na użycie stóp procentowych. Inflację zwykle definiuje się (dosyć nieprecyjnie) jako wzrost ogólnego poziomu cen w danym okresie
Kapitał jako wielkość zmienna w czasie: renty i kredyty
Podsumowując rozważania przeprowadzone w poprzednich paragrafach możemy przedstawić modele zmienności wartości kapitału \(K(t)\) z upływem czasu \(t\). Dla ustalenia uwagi, niech \(t_0\) będzie dowolnym ustalonym momentem (chwilą początkową) a \(r\) roczną stopą procentowa
Oprocentowanie składane -
\(K(t)=K(t_0)(1+r)^{t-t_0}\)
Oprocentowanie ciągłe -
\(K(t)=K(t_0)\exp (r(t-t_0))\).
Oczywiście, jeśli \( t<t_0\) to formuły te opisują dyskontowanie. Często formułuje się poniższą zasadę równoważności kapitałów:
- Definicja (Zasada równoważności kapitałów)
Mówimy, że dwa kapitały\( K_1\) i \(K_2\) są równoważne, jeśli ich wartości zaktualizowane w dowolnej chwili \(t\in\R\) są równe.
Zauważmy, że równoważność kapitałów zależy od wartości stóp procentowych i sposobu kapitalizacji. Przeanalizujmy zastosowanie powyższych formuł do jednego z klasycznych zagadnień matematyki finansowej - wypłaty renty.
- Definicja (Renta, rata, okres bazowy)
Renta to ciąg płatności nazywanych ratami dokonywanych w równych odstępach czasu. Okres pomiędzy dwoma płatnościami nazywamy okresem bazowym.
Z powyższej definicji wynika, że pełna specyfikacja renty musi uwzględniać okres początkowy (data pierwszej płatności), długość okresu bazowego, liczbę, sposób płatności i wysokość rat. Do wyceny renty niezbędna jest więc znajomość stóp procentowych i zasad naliczania odsetek. W związku z tym rozróżniamy następujące typy rent:
- renta prosta -- okres bazowy pokrywa się z okresem kapitalizacji odsetek;
- renta uogólniona -- okres bazowy jest różny od okresu kapitalizacji odsetek;
- renta czasowa -- to renta o skończonej liczbie rat;
- renta wieczysta -- to renta o nieskończonej liczbie rat.
Ponadto, ze względu na termin wypłacania rozróżniamy renty płatne z dołu (zwykłe) - wypłaty następują na koniec okresu bazowego oraz renty płatne z góry, gdy wypłata następuję na początku okresu bazowego. Naszym głównym celem jest wycena renty oraz analiza związanych z rentą płatności, przez co rozumiemy podanie wartości kapitału i przepływów kapitałowych równoważnych danej rencie. W tym celu zdefiniujemy:
- Definicja (Wartość początkowa renty, wartość końcowa renty)
Wartością początkową renty nazywamy sumę zaktualizowanych na chwilę początkową wartości rat. Analogicznie, wartość końcowa renty to suma wartości rat zaktualizowanych na moment końcowy.
Prosty rachunek uwzględniający zmianę wartości kapitału w czasie prowadzi do następującego wyrażenia na wartość początkową \(V\) renty prostej
\(V=\sum_{j=1}^{j=n}R_j \prod _{k=1}^{k=j} (1+i_k)^{-1},\)
gdzie \(V\) to wartość początkowa renty, \(i_j\) stopa procentowa w \(j\)-tym okresie, a \(R_j\) to rata wypłacona na koniec \(j\)-tego okresu. W szczególnym przypadku, gdy\( R_j=R\) i \(i_k=i\) dla \(j,k=1,2\ldots ,n\) otrzymujemy:
\(V=R\sum_{j=1}^{j=n}(1+i)^{-j}.\)
Wtedy wzory można jeszcze bardziejuprościć, gdyż korzystając ze wzoru na sumę wyrazów postępu geometrycznego
\(\sum_{j=0}^{j=n} a_0q^j=a_0\frac{1-q^{n+1}}{1-q}\)
mamy
\(\sum_{j=1}^{j=n}(1+i)^{-j}=(1+i)^{-1}\frac{1-(1+i)^{-n}}{1-(1+i)^{-1}}=\frac{1-(1+i)^{-n}}{i},\)
co, z kolei, prowadzi do formuły:
\(V=\frac{R}{i}[1-\frac{1}{(1+i)^{n}}]\). W przypadku granicznym \(n\rightarrow\infty\) otrzymujemy wartość renty wieczystej
\( V_{\infty}=\lim _ {n\rightarrow\infty} \frac{R}{i}[1-\frac{1}{(1+i)^{n}}]=\frac{R}{i}.\)
Wartość rat wiąże sie następująco z wartością początkową i liczbą rat $n$: $$ R=\frac{i(1+i)^{n}V}{(1+i)^{n}-1},$$ zaś $$n=-\frac{\ln(1-iV/R)}{\ln(1+i)}.$$ Oczywiście wartość koncową renty $F$ obliczamy mnożąc wartość początkowa przez czynnik $ (1+i)^{n} $: $$F=(1+i)^{n}V =R \frac{(1+i)^{n}-1}{i}.$$ Analogicznie obliczamy wartości początkowe i końcowe rent płatnych z góry (rozpatrujemy tu tylko przypadki o stałej racie i stopie procentowej): $$V^{+1}= R\sum_{j=0}^{j=n-1}(1+i)^{-j}=R\frac{1+i-(1+i)^{1-n}}{i}$$ oraz $$F^{+1}=(1+i)^{n}R \sum_{j=0}^{j=n-1}(1+i)^{-j}=R \frac{(1+i)^{n+1}-1-i}{i}.$$ Renty płatne z góry są szczególnym przypadkiem tzw. rent odroczonych\index{renta!odroczona}. Terminem tym określa się rentę zwykłą, w której płatności są odroczone (opóźnione) o $K$ okresów, gdzie $K$ jest liczbą naturalną nazywaną karencją\index{karencja}. Łatwo wyprowadzamy formuły na wartość obecną (PV) i końcową renty odroczonej o $K$ okresów (momentem końcowym jest $t=K+n$\ !): $$PV^{-K}= R\sum_{j=1}^{j=n}(1+i)^{-K-j}=R(1+i)^{-K}\frac{1-(1+i)^{-n}}{i}$$ $$F^{-K}=R \sum_{j=1}^{j=n}(1+i)^{n-j}=R\frac{(1+i)^{n}-1}{i}=F^{-0}.$$
Formuły dla bardziej skomplikowanych sposobów płatności można łatwo wyprowadzić. W szcególności dla niektórych klas rent uogólnionych można podać proste zasady ich zamiany na renty proste. W przypadku , gdy okres bazowy składa się z $m$ okresów kapitalizacji odsetek możemy po prostu obliczyć stopę procentową $\overline{i}$ dla okresu bazowego (procent składany):\index{renta!uogólniona!zamiana na rentę prostą} $$ \overline{i}= (1+i)^{m}-1$$ Alternatywą jest zmiana liczby i wysokości rat. Korzystając z formuł wyprowadzonych wyżej szybko otrzymujemy: $$ \overline{R}= i\frac{R}{(1+i)^m-1}$$ oraz $$\overline{n}=nm.$$ Podobnie możemy postąc w przypadku, gdy okres kapitalizacji składa się z $l$ okresów bazowych. Wprowadzając stopę procentową $\underline{i}$ dla okresu bazowego renty: $$\underline{i}=(1+i)^{\frac{1}{l}}-1$$ definiujemy rente prostą o tej samej liczbie i wysokości rat, która jest ronoważna wyjściowej rencie uogólnionej. Może też rozważyć rente prostą wypłacaną tylko dla każdego okresu kapializacji. Wtedy:
$$ \underline{R}= ((1+i)^l-1)\frac{R}{i}$$ oraz
$$\underline{n}=\frac{n}{l}.$$ Uogólnienie powyższych formuł, tak by uwzględniały zmienne stopy procentowe nie nastęcza żadnych trudności. W praktyce można spotkać wiele innych możliwośi wypłacania rent, których nie jesteśmy tu w stanie wylicyć. Na ogół obliczenie potrzebnych w analizie wielkości nie jest trudne, chociaż wzory mogą być skomplokowane - zwykle korzysta się w tym celu z programów komputerowych wykonywujących błyskawicznie potrzebne obliczenia.
\section{Ratalna spłata kredytu}\index{kredyt!spłata ratalna}\index{dług!spłata ratalna} Wnimniejszym pragrafie przeanalizujemy problem ratalnej spłaty długu. Udzielenie pożyczki, kredytu itp. jest szczególnym przypadkiem inwestycji: konieczne są wiec metody wyceny takiej inwestycji. Będziemy zakładać, że dług zostaje zaciągnięto w chwili $t_0$ poprzez przekazanie przez inwestora, zwykle zwanego w tym przypadku wierzycielem\index{wierzyciel} kapitału $K_0$ dłużnikowi.\index{dłużnik}. Kapitał ten ma być zwrócony wierzycielowi w $n$ ratach $R_j, j=1,2\ldots,n-1,n$ płaconych w jednakowych odstępach czasu zwanych okresem bazowym. Spłata ratalna jest oczywiście szczególnym przypadkiem strumienia przepływów kapitałowych i założenie o równości wszystkich odstępów pomiędzy spłatami nie jest ograniczające -- w praktyce zawsze możemy zmniejszyć okres bazowy i wprowadzić dodatkowe raty w wysokości 0.\index{okres bazowy} Dla uproszczenia założymy, że stopa procentowa uwzględnia wysztkie koszty obsługi spłaty długu\footnote{Nic nie stoi na przeszkodzie by tak było w praktyce. Banki jednak najczęściej walczą o klienta podając jak najniższe stopy oprocentowania kredytu i ukrywają koszty dodatkowe w nie zawsze uczciwy sposób, np wprowadzanie opłaty za rozpatrzenie wniosku kredytowe, wszelkiego rodzaju opłaty manipulacyjne i prowizje, często zmienijąc nazwy i sposób pobierania tych opłat, jeśli prawo zabrania takich czy innych czynności.}.
Przypisy
- ↑ Zasada ta jest najprostsza i w wielu przypadkach nawet narzucona systemem prawnym, który wyróżnia tzw. kapitał odsetkowy Pozwala to na nic niekosztujące odroczenie spłaty. Wady tej nie ma oprocentowanie składane
- ↑ W przypadku, gdy ten wzrost jest ujemny mówimy o deflacji.
- ↑ Tak naprawdę, to tylko w odniesieniu do koszyka używanego do definicji stopy inflacji. Zmiana ceny konkretnego dobra na ogól nijak się ma do poziomu inflacji -- wyjątkiem są tu okresy hiperinflacji, kiedy to ogólna tendencja jest szczególnie widoczna.
- ↑ Wartość lokaty wzrasta nominalnie o czynnik \((1+r)\), ale wartość nabywcza spada w tempie \(\frac{1}{1+f}\) na okres bazowy
- ↑ Oczywiście wzory nie ulegną zmianie jeśli zmienimy okres bazowy i jednostkę czasu
- ↑ \R oznacza zbiór liczb rzeczywistych.
- ↑ Próby podania takich zależności dla oprocentowania prostego, np. \(K(t)=K(t_0)[1+r(t-t_0)]^{\frac{t-t_0}{\mid t-t_0\mid}}\) są niestety ułomne, mimo że dla dwóch ustalonych momentów \(t\) i \(t_0\) wzór ten poprawnie opisuje zmianę wartości kapitału; por. zadanie 2.
instrumenty rynku pieniężnego
instrumenty dochodowe
instrumenty dyskontowe
Obligacje
typy obligacji
wycena obligacji
dochodowość
krzywa dochodowości
średni okres do zapadalności
convexity
stałe a zmienne oprocentowanie
Akcje
struktura finansowa spółki
fundamentalna wycena akcjii
wycena przychodów firmy
Forex - czyli wymiana walutowa
kontrakty forward i futures
opcje- wycena
istota kontraktów opcyjnych
opcyjne kontrakty finansowe
wycena opcji
instrumety złożone
swapy
FRA
kilka słów o innych jeszcze
=
rynek i zarzadzanie portfelem instrumentów finansowych
hipoteza rynku efektywnego
analiza portfela i wycena aktywów
zarzadzanie porfelem instrumentów finansowych
ocena efektywności zarządzania
ryzyko- zabezpieczenie przed ryzykiem rynkowym, wybrane obszary
Procent złożony
\[ FV = PV ( 1+i )^n\, \] \[ PV = \frac {FV} {\left( 1+i \right)^n}\,\] \[ i = \left( \frac {FV} {PV} \right)^\frac {1} {n}- 1\] \[ n = \frac {\log(FV) - \log(PV)} {\log(1 + i)}\]
Klinij tutaj aby zrobić kopię zapasową strony (bez ilustracji)