Z Skrypty dla studentów Ekonofizyki UPGOW

---

Wersja z 20:27, 16 mar 2010

Procesy Levy'ego

Podaliśmy dwa przykłady najbardziej popularnych modeli szumu białego: gaussowskiego i poissonowskiego. Są one pochodną procesów Wienera i Poissona, procesów o przyrostach niezależnych na nieprzekrywających się przedziałach. Oba procesy są szczególnymi przypadkami ogólnej klasy procesów stochastycznych, które nazywają się procesami Levy'ego \(L(t)\).

Definicja procesu Levy'ego \(L(t)\) jest następująca:

(1) Jest to proces rzeczywisty, który prawie wszędzie jest prawostronnie ciągły i posiada wszędzie lewostronne granice

(2) \(L(0)=0\) (proces startuje z zera)

(3) \(L(t)\) ma przyrosty niezależne na nieprzekrywających się przedziałach, to znaczy zmienne losowe \(L(t_4) -L(t_3)\) oraz \(L(t_2) -L(t_1)\) są niezależna dla \(0 \le t_1 \le t_2 \le t_3 \le t_4\)

(4) \(L(t)\) ma stacjonarne przyrosty, to znaczy rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej \(L(t_2) -L(t_31\) zależy od różnicy czasów \(t_2 -t_1\) dla \($0 \le t_1 \le t_2\)

(5) \(L(t)\) jest stochastycznie ciągły, to znaczy dla każdego \(t \ge 0\) oraz \(\epsilon > 0\)

\(\lim_{s\to t} P(|L(t) -L(s)|>\epsilon)=0\)

Z własności (3) wynika, że funkcja korelacyjna procesu Levy'ego o wartości średniej zero, \(\langle L(t)\rangle =0\), ma postać

\( \langle L(t) L(s) \rangle = 2D_0 \mbox{min} (t, s) \equiv 2D_0 [t \theta(s-t) + s \theta(t-s)] \)

gdzie \(D_0 > 0\) jest stałą, nazywaną natężeniem lub intensywnością pprocesu Levy'ego.

Procesy Levy'ego są przykładem losowego ruchu którego trjektorie (realizacje) są funkcjami prawostronnie ciągłymi (tak jak proces Poissona) i mogą mieć co najwyżej przeliczalną ilość punktów nieciągłości w losowych chwilach czasu na każdym skończonym przedziale czasu.

Istnieje wspaniała formuła Levy'ego-Chinczyna dla funkcji characterystycznej procesu Levy'ego

\( C(\omega, t) = \langle \mbox{e}^{i\omega L(t)} \rangle = \mbox{e}^{t \psi(\omega)} \)

gdzie

\( \psi(\omega) = ia_0 \omega -\frac{1}{2} b \omega^2 + \int_{-\infty}^{\infty} \left[\mbox{e}^{i\omega y} - 1 - i\omega y {\mathbb I}_{(-1,1)}(y) \right] \nu (dy), \)

Parametry \(a_0\in R, b \ge 0\). Funkcja

\( {\mathbb I}_A(y)= \{ {{1 \; \; \mbox{if} \; \; y \in A} \atop {0 \; \; \mbox{if} \; \; y \notin A }} \)

nazywa się funkcją charakterystyczną zbioru \(A\) lub indykatorem zbioru \(A\), a wielkość \(\nu = \nu(dy) \) jest tzw. miarą Levy'ego na zbiorze \(R-\{0\}\) o własnościach

\( \nu (R-[-1, 1]) < \infty, \quad \int_{-1}^1 y^2 \nu(dy) < \infty \)

Czytelnik, który nie ma zacięcia matematycznego może myśleć o mierze Levy'ego jako o wyrażeniu

\( \nu = \nu(dy) = \rho(y) dy, \; \; \; \; \rho(y) \ge 0 \)

Nieujemna funkcja \(\rho(y)\) ma wiele cech wspólnych z gęstością rozkładu prawdopodobieństwa.

Jak widać, proces Levy'ego jest w pełni określony przez tryplet \((a_0, b, \nu)\) w którym \(a_0\) opisuje dryf, \(b\) charakteryzuje proces Wienera (ruch Browna) i składowa nieciągła procesu Levy'ego opisana jest miarą Levy'ego \(\nu\). Tryplet \((0, b, 0)\) opisuje proces Wienera. Tryplet \((0, 0, \mu \delta(y-1))\) opisuje proces Poissona o parametrze \(\mu\) i o jednostkowym skoku. Jezeli mamy dowolne losowe skoki (uogólniony proces Poissona) opisane rozkładem prawdopodobieństwa \(\nu(dy)\) to wówczas

\( \psi(\omega) = \mu \int_{-\infty}^{\infty} \left[\mbox{e}^{i\omega y} - 1 \right] \nu (dy) \)

Jeżeli \( \nu(R) = \infty\) wówczas \(L(t)\) opisuje nieciągły proces, który ma nieskończoną ilość małych skoków w dowolnym skończonym przedziale czasu. Taki proces nie opisuje realnych procesów, ale może być przydatną idealizacją.

Z twierdzenia Levy'ego-Ito wynika, że dowolny proces Levy'ego \(L(t)\) można rozłożyć na cztery niezależne procesy

\( L(t)=L_1(t) +L_2(t) + L_3(t) + L_4(t)\; \)

gdzie \(L_1(t)\) opisuje dryf (proces deterministyczny), \(L_2(t)\) jest procesem Wienera, \(L_3(t) \) jest uogólnionym procesem Poissona oraz \(L_4(t)\) opisuje nieciągły proces, który ma nieskończoną ilość małych skoków w dowolnym skończonym przedziale czasu (a pure jump martingale). Wynika to z przedstawienia

\( \psi(\omega) = \psi_1(\omega) +\psi_2(\omega) +\psi_3(\omega) +\psi_4(\omega) \; \)

gdzie

\( \psi_1(\omega) = i a_0 \omega \;\)

\( \psi_2(\omega) = -\frac{1}{2} b \; \omega^2 \)

\( \psi_3(\omega) = \int_{|y| \ge 1} \left[\mbox{e}^{i\omega y} - 1 \right] \nu (dy) \)

\( \psi_4(\omega) = \int_{|y| < 1} \left[\mbox{e}^{i\omega y} - 1 - i\omega y \right] \nu (dy). \)

Liniowa kombinacja nezależnych procesów Levy'ego jet też procesem Levy'ego.

Specjalna klasą procesów Levy'ego jet tzw. \(\alpha\)-proces o indeksie \(\alpha \in (0, 2]\) opisany przez tryplet \((a, 0, \nu)\) z miarą Levy'ego

\( \nu(y) = \left[ c_{1} {\mathbb I}_{(0,\infty)}(y) + c_{2} {\mathbb I}_{(-\infty,0)}(y) \right] |y|^{-\alpha -1}\ dy, \)

gdzie

\(c_1>0, \; c_2>0\).

Funkcja charakterystyczna takiego procesu ma postać

\( \psi(\omega) = \{ [[:Szablon:I a \omega - c]] \)

gdzie parametry

\( \alpha\in(0, 2], \; \; \beta =\beta(c_1, c_2) \in [-1, 1], \; \; c = c(\alpha, c_1, c_2) \in(0, \infty), \; \; a = a(a_0, \alpha, c_1, c_2) \)

Przypadek \(c_1=c_2\) implikuje \(\beta=0\) i proces jest procesem symetrycznym.

Biały szum Levy'ego jest zdefiniowany podobnie jak biały szum poissonowski i biały szum gaussowski:

\( Z(t)=\frac{dL(t)}{dt} \)

Dla procesu Levy'ego o zerowej wartości średniej funkcja korelacyjna ma postać

\( \langle Z(t) Z(s) \rangle = \frac{\partial^2}{\partial t \partial s} \ \langle L(t) L(s) \rangle = 2D_0 \delta (t-s), \)

Przypominam, że zawsze można przedefiniowac proces stochastyczny tak, aby jego wartość średnia była zero:

\(L(t) \to \tilde L(t) = L(t) - \langle L(t)\rangle, \; \; \; \; \; \langle \tilde L(t)\rangle = 0\)

Funkcjonał charakterystyczny symetrycznego \(\alpha\)-stabilnego białego szumu Levy'ego \(Y(t)\) ma postać

\( {\mathbb C}[f] =\langle \mbox{exp}\left[i \int_0^{t} ds\; f(s) Y(s) \right] \rangle = \mbox{exp}\left[- c \int_0^{t} dt\; |f(s)|^{\alpha} \right] \)