Z Skrypty dla studentów Ekonofizyki UPGOW
(→Proces Wienera) |
(→Stochastyczne równania różniczkowe) |
||
| Linia 17: | Linia 17: | ||
=== Proces Wienera === | === Proces Wienera === | ||
| - | + | Proces Wienera jest rozwiązaniem następującego stochastycznego równania różniczkowego: | |
| + | <math>dX(t)= dW(t)\;</math>. | ||
| + | |||
| + | |||
| + | Jego realizacja jest funkcją ciągłą, ale jednocześnie nigdzie nie jest różniczkowalna. | ||
Przyrost <math>W(t_2) - W(t_1)</math> jest zmienna losową gaussowską o zerowej wartości średniej i wariancji <math> = 2D(t_2 - t_1) </math>. Więc jego rozkład prawdopodobieństwa ma postać | Przyrost <math>W(t_2) - W(t_1)</math> jest zmienna losową gaussowską o zerowej wartości średniej i wariancji <math> = 2D(t_2 - t_1) </math>. Więc jego rozkład prawdopodobieństwa ma postać | ||
Wersja z 19:33, 14 kwi 2010
Stochastyczne równania różniczkowe
W tym rozdziale zostaną opisane metody numeryczne, które służa do rozwiązywania stochastycznych równań różniczkowych typu:
\(\frac{dX(t)}{dt} = F(X(t), t) + G(X(t), t)\Gamma(t)\)
gdzie F i G to dowolne funkcje, a \(\Gamma(t)\) jest procesem losowym. W przypadku gdy rozpatrujemy biały szum Gaussowski to należy zwrócic szczególną uwagę na dylemat Stratonowicza-Ito.
\(dX(t)= F(X(t), t)dt + G(X(t), t) dW(t)\;\)
Proces Wienera
Proces Wienera jest rozwiązaniem następującego stochastycznego równania różniczkowego:
\(dX(t)= dW(t)\;\).
Jego realizacja jest funkcją ciągłą, ale jednocześnie nigdzie nie jest różniczkowalna. Przyrost \(W(t_2) - W(t_1)\) jest zmienna losową gaussowską o zerowej wartości średniej i wariancji \( = 2D(t_2 - t_1) \). Więc jego rozkład prawdopodobieństwa ma postać
- \(\Delta W(t) = W(t+\Delta t) - W(t) \;\)
i wzór ma postać
\(\langle [\Delta W(t)]^2 \rangle = \langle [W(t+\Delta t) - W(t)[^2 \rangle = 2D \Delta t \)
Schemat Eulera dla równania z szumem addytywnym
Najprostszą metodą aproksymacji numerycznej równania stochastycznego jest podobnie jak w przypadku równań różniczkowych zwyczajnych - schemat Eulera.