Z Skrypty dla studentów Ekonofizyki UPGOW
(→Schemat Eulera dla równania z szumem addytywnym) |
(→Schemat Eulera dla równania z szumem addytywnym) |
||
Linia 35: | Linia 35: | ||
Ten zapis pokazuje też ważną cechę przy obliczaniu aproksymacji rozwiązań stochastycznych - najniższy rząd w h jest nie O(h) ale <math>O(h^{1/2})</math>. | Ten zapis pokazuje też ważną cechę przy obliczaniu aproksymacji rozwiązań stochastycznych - najniższy rząd w h jest nie O(h) ale <math>O(h^{1/2})</math>. | ||
+ | |||
+ | Ponadto z takiego sformułowania widać też, że zmiany procesu Wienera w stosunku do przyrostów czasu są rozbieżne - | ||
=== Proces Wienera === | === Proces Wienera === |
Wersja z 06:55, 15 kwi 2010
Stochastyczne równania różniczkowe
W tym rozdziale zostaną opisane metody numeryczne, które służa do rozwiązywania stochastycznych równań różniczkowych typu:
gdzie F i G to dowolne funkcje, a \Gamma(t) jest procesem losowym. Najczęstszym przypadek to taki w którym \Gamma(t) to biały szum Gaussowski. Tak zapisane równanie nie jest precyzyjnie określone ze względu na dylemat Stratonowicza-Ito. Dlatego poprawne jest zapisanie równanie Ito w postaci:
dX(t)= F(X(t), t)dt + G(X(t), t) dW(t)\;
Nie zmienia to ogólności, gdyż jak wiadomo każde równanie zapisane w interpretacji Stratonowicza ma swój odpowiednik Ito. Dla potrzeb metod numerycznych będziemy rozpatrywać zawsze równania Ito, a jeśli pojawią się równania Stratonowicza to będziemy je transpormować do postaci Ito.
Schemat Eulera dla równania z szumem addytywnym
Najprostszą metodą aproksymacji numerycznej równania stochastycznego jest podobnie jak w przypadku równań różniczkowych zwyczajnych jest schemat Eulera. Część deterministyczną równania stochastycznego traktujemy w taki sam sposób jak w schemacie Eulera dla równań różniczkowych zwyczajnych. Niech h oznacza krok całkowania i oś czasowa będzie zdyskretyzowana na przedzialy t_{i-1},t_{i},t_{i+1} oraz h=t_{i}-t_{i-1}. Wtedy część deterministyczna równania stochastycznego przyjmuje postać:
X(t_i) = X(t_{i-1}) + \int_{t_{i-1}}^{t_{i}} F(X(t), t) dt \simeq X(t_{i-1}) + F(X(t_{i-1}, t_{i-1}) h
Aby całkować część stochastyczną potrzebujemy formuły na przyrost skończony procesu Wienera:
\int_{t_{i-1}}^{t_{i}} \Gamma(t) dt =\;\int_{t_{i-1}}^{t_{i}} dW(t) = W(t_{i})-W(t_{i-1})
Wiemy, że proces Wienera jest procesem o przyrostach niezależnych, które są gaussowską zmienna losową o zerowej wartości średniej i wariancji 2D(t_{i} − t_{i-1})=2 D h.
Tak więc widać, że w schemacie Eulera całkę typu \int_{t_{i-1}}^{t_{i}} \Gamma(t) dt należy zastąpić w każdym kroku całkowania gaussowską zmienną losową o wariancji proporcjonalnej do kroku całkowania h. Ponieważ z reguły dysponujemy gaussowskich generatorem liczb losowych o jednostkowej wariancji N(0,1), można zapisać:
\int_{t_{i-1}}^{t_{i}} \Gamma(t) dt = \sqrt{2D h} N(0,1)
Ten zapis pokazuje też ważną cechę przy obliczaniu aproksymacji rozwiązań stochastycznych - najniższy rząd w h jest nie O(h) ale O(h^{1/2}).
Ponadto z takiego sformułowania widać też, że zmiany procesu Wienera w stosunku do przyrostów czasu są rozbieżne -
Proces Wienera
Proces Wienera jest rozwiązaniem następującego stochastycznego równania różniczkowego:
dX(t)= dW(t)\;.
Jego realizacja jest funkcją ciągłą, ale jednocześnie nigdzie nie jest różniczkowalna. Przyrost W(t_2) - W(t_1) jest zmienna losową gaussowską o zerowej wartości średniej i wariancji = 2D(t_2 - t_1) .
Całkując powy