Z Skrypty dla studentów Ekonofizyki UPGOW

Wersja z 07:49, 26 paź 2009 (pokaż źródło) WikiSysop (dyskusja | edycje) ← poprzednia edycja		Wersja z 18:10, 26 paź 2009 (pokaż źródło) Luczka (dyskusja | edycje) (→Przestrzeń probabilistyczna) następna edycja →
Linia 28:		Linia 28:
	==Przestrzeń probabilistyczna==		==Przestrzeń probabilistyczna==
	===podroździał===		===podroździał===
		+
		+	Teoria prawdopodobieństwa bazuje, jak każda teoria matematyczna, na odpowiedniej przestrzeni.
		+
		+	Dla przykładu, dla teorii funkcji taka przestrzenią jest '''przestrzeń metryczna'''.  Przestrzeń metryczna
		+	jest takim zbiorem <math>  X  </math>,  w którym można zdefiniować odległość  '''<math> d(x, y) </math>'''  między dwoma jej elementami
		+	<math> x \in X </math> i <math> y \in X </math>. Odleglość jest funkcją dwóch zmiennych <math> x </math>  i <math> y </math> oraz posiada kilka charakterystycznych cech, np. odległość nie może byc ujemna. Jeżeli zdefiniujemy odległość w zbiorze <math> X </math>, wówczas możemy w tym zbiorze
		+	określić zbieżność ciągów i wprowadzić pojęcie ciągłości funkcji. Możemy też zdefiniować pojęcie pochodnej funkcji i całki oznaczonej. Możemy
		+	dokonywać wielu innych operacji na funkcjach. Widać z tego przykładu, że pojęcie metryki jest bardzo użyteczne i zdefiniowanie metryki w jakimś zbiorze niesłychanie wzbogaca ten zbiór. Matematycy lubią definiować przestrzeń metryczna jako parę '''<math> (X, d)</math>''', tzn. jest to zbiór
		+	X wraz z określoną w niej odległościa, czyli metryką <math> d=d(x, y)</math>.
		+
		+	Podobnie jest w teorii prawdopodobieństwa. Przestrzenią, którą bada teoria prawdopodobieństwa, jest zbiór, w którym określone są dodatkowe elementy, analogiczne do metryki. Przestrzeń ta nazywa się '''przestrzenią probabilistyczną'''. Dokładniej mówiąc przestrzeń ta nie jest parą jak w przypadku przestrzeni metrycznej, ale trójką  '''<math> (\Omega,  {\mathcal F},  P)</math>'''. Rozszyfrujmy poszczególne elementy tej trójki.
		+
		+	(I) <math>\Omega</math> jest zbiorem elementów <math>\omega</math>. Element <math>\omega</math> nazywa się zdarzeniem elementarnym lub inaczej mówiąc możliwym wynikiem doświadczenia. Przykłady:
		+
		+	1. Doświadczenie polega na jednokrotnym rzucie monetą. Są dwa możliwe wyniki: orzeł lub reszka. Wynikowi "orzeł"  możemy przyporządkować
		+	oznaczenie <math>\omega_1</math>, natomiast wynikowi "reszka" - <math>\omega_2</math>. Tak więc zbiór <math>\Omega =\{\omega_1, \omega_2\}</math>.
		+
		+	2. Doświadczenie polega na dwukrotnym  rzucie monetą. Teraz  możliwe są cztery wyniki: <math>\omega_1 =</math>(orzeł, orzeł), (orzeł, reszka), (reszka, orzeł) i (reszka, reszka). Jeden wynik to p: orzeł lub reszka. Wynikowi "orzeł"  możemy przyporządkować
		+	oznaczenie <math>\omega_1</math>, natomiast wynikowi "reszka" - <math>\omega_2</math>. Tak więc zbiór <math>\Omega =\{\omega_1,\omega_2,\omega_3, \omega_4\}</math>.
		+
		+	3. Doświadczenie polega na jednokrotnym rzucie kostką do gry w popularnego "chińczyka". Wynikiem może być jedno oczko, albo dwa oczka, albo trzy oczka, albo cztery oczka, albo pięć oczek, albo sześć oczek. Przyporządkowując liczbie oczek oznaczenie <math>\omega_n </math> dla  <math> n=1, 2, 3, 4, 5, 6 </math> otrzymamy zbiór <math>\Omega =\{\omega_1, \omega_2, \omega_3, \omega_4, \omega_5, \omega_6 \}</math>.
		+
	==Zmienna losowa==		==Zmienna losowa==
	==Wiele zmiennych losowych-Wektor zmiennych losowych==		==Wiele zmiennych losowych-Wektor zmiennych losowych==
	==Próby Bernouliego==		==Próby Bernouliego==
	==Twierdzenie Poissona i rozklad Poissona==		==Twierdzenie Poissona i rozklad Poissona==

---

Wersja z 18:10, 26 paź 2009

Procesy i zjawiska losowe (przypadkowe, stochastyczne) opisywane są przez teorię prawdopodobieństwa. W odróżnieniu od procesów deterministycznych, nie można jednoznacznie przewidywać ewolucji układu losowego. Losowość opisujemy za pomocą prawdopodobieństwa zajścia określonych zdarzeń.

Spis treści [ukryj] 1 Teoria prawdopodobieństwa 2 Przestrzeń probabilistyczna 2.1 podroździał 3 Zmienna losowa 4 Wiele zmiennych losowych-Wektor zmiennych losowych 5 Próby Bernouliego 6 Twierdzenie Poissona i rozklad Poissona

Teoria prawdopodobieństwa

Teoria prawdopodobieństwa bazuje, jak każda teoria matematyczna, na odpowiedniej przestrzeni.

Dla przykładu, dla teorii funkcji taka przestrzenią jest przestrzeń metryczna. Przestrzeń metryczna jest takim zbiorem $X$, w którym można zdefiniować odległość $d(x, y)$ między dwoma jej elementami $x \in X$ i $y \in X$. Odleglość jest funkcją dwóch zmiennych $x$ i $y$ oraz posiada kilka charakterystycznych cech, np. odległość nie może byc ujemna. Jeżeli zdefiniujemy odległość w zbiorze $X$, wówczas możemy w tym zbiorze określić zbieżność ciągów i wprowadzić pojęcie ciągłości funkcji. Możemy też zdefiniować pojęcie pochodnej funkcji i całki oznaczonej. Możemy dokonywać wielu innych operacji na funkcjach. Widać z tego przykładu, że pojęcie metryki jest bardzo użyteczne i zdefiniowanie metryki w jakimś zbiorze niesłychanie wzbogaca ten zbiór. Matematycy lubią definiować przestrzeń metryczna jako parę $(X, d)$, tzn. jest to zbiór X wraz z określoną w niej odległościa, czyli metryką $d=d(x, y)$.

Podobnie jest w teorii prawdopodobieństwa. Przestrzenią, którą bada teoria prawdopodobieństwa, jest zbiór, w którym określone są dodatkowe elementy, analogiczne do metryki. Przestrzeń ta nazywa się przestrzenią probabilistyczną. Dokładniej mówiąc przestrzeń ta nie jest parą jak w przypadku przestrzeni metrycznej, ale trójką $(\Omega, {\mathcal F}, P)$. Rozszyfrujmy poszczególne elementy tej trójki.

(I) $\Omega$ jest zbiorem elementów $\omega$. Element $\omega$ nazywa się zdarzeniem elementarnym lub inaczej mówiąc możliwym wynikiem doświadczenia. Przykłady:

1. Doświadczenie polega na jednokrotnym rzucie monetą. Są dwa możliwe wyniki: orzeł lub reszka. Wynikowi "orzeł" możemy przyporządkować oznaczenie $\omega_1$, natomiast wynikowi "reszka" - $\omega_2$. Tak więc zbiór $\Omega =\{\omega_1, \omega_2\}$.

2. Doświadczenie polega na dwukrotnym rzucie monetą. Teraz możliwe są cztery wyniki: $\omega_1 =$(orzeł, orzeł), (orzeł, reszka), (reszka, orzeł) i (reszka, reszka). Jeden wynik to p: orzeł lub reszka. Wynikowi "orzeł" możemy przyporządkować oznaczenie $\omega_1$, natomiast wynikowi "reszka" - $\omega_2$. Tak więc zbiór $\Omega =\{\omega_1,\omega_2,\omega_3, \omega_4\}$.

3. Doświadczenie polega na jednokrotnym rzucie kostką do gry w popularnego "chińczyka". Wynikiem może być jedno oczko, albo dwa oczka, albo trzy oczka, albo cztery oczka, albo pięć oczek, albo sześć oczek. Przyporządkowując liczbie oczek oznaczenie $\omega_n$ dla $n=1, 2, 3, 4, 5, 6$ otrzymamy zbiór $\Omega =\{\omega_1, \omega_2, \omega_3, \omega_4, \omega_5, \omega_6 \}$.

Przestrzeń probabilistyczna

podroździał

Teoria prawdopodobieństwa bazuje, jak każda teoria matematyczna, na odpowiedniej przestrzeni.

Dla przykładu, dla teorii funkcji taka przestrzenią jest przestrzeń metryczna. Przestrzeń metryczna jest takim zbiorem $X$, w którym można zdefiniować odległość $d(x, y)$ między dwoma jej elementami $x \in X$ i $y \in X$. Odleglość jest funkcją dwóch zmiennych $x$ i $y$ oraz posiada kilka charakterystycznych cech, np. odległość nie może byc ujemna. Jeżeli zdefiniujemy odległość w zbiorze $X$, wówczas możemy w tym zbiorze określić zbieżność ciągów i wprowadzić pojęcie ciągłości funkcji. Możemy też zdefiniować pojęcie pochodnej funkcji i całki oznaczonej. Możemy dokonywać wielu innych operacji na funkcjach. Widać z tego przykładu, że pojęcie metryki jest bardzo użyteczne i zdefiniowanie metryki w jakimś zbiorze niesłychanie wzbogaca ten zbiór. Matematycy lubią definiować przestrzeń metryczna jako parę $(X, d)$, tzn. jest to zbiór X wraz z określoną w niej odległościa, czyli metryką $d=d(x, y)$.

Podobnie jest w teorii prawdopodobieństwa. Przestrzenią, którą bada teoria prawdopodobieństwa, jest zbiór, w którym określone są dodatkowe elementy, analogiczne do metryki. Przestrzeń ta nazywa się przestrzenią probabilistyczną. Dokładniej mówiąc przestrzeń ta nie jest parą jak w przypadku przestrzeni metrycznej, ale trójką $(\Omega, {\mathcal F}, P)$. Rozszyfrujmy poszczególne elementy tej trójki.

(I) $\Omega$ jest zbiorem elementów $\omega$. Element $\omega$ nazywa się zdarzeniem elementarnym lub inaczej mówiąc możliwym wynikiem doświadczenia. Przykłady:

1. Doświadczenie polega na jednokrotnym rzucie monetą. Są dwa możliwe wyniki: orzeł lub reszka. Wynikowi "orzeł" możemy przyporządkować oznaczenie $\omega_1$, natomiast wynikowi "reszka" - $\omega_2$. Tak więc zbiór $\Omega =\{\omega_1, \omega_2\}$.

2. Doświadczenie polega na dwukrotnym rzucie monetą. Teraz możliwe są cztery wyniki: $\omega_1 =$(orzeł, orzeł), (orzeł, reszka), (reszka, orzeł) i (reszka, reszka). Jeden wynik to p: orzeł lub reszka. Wynikowi "orzeł" możemy przyporządkować oznaczenie $\omega_1$, natomiast wynikowi "reszka" - $\omega_2$. Tak więc zbiór $\Omega =\{\omega_1,\omega_2,\omega_3, \omega_4\}$.

3. Doświadczenie polega na jednokrotnym rzucie kostką do gry w popularnego "chińczyka". Wynikiem może być jedno oczko, albo dwa oczka, albo trzy oczka, albo cztery oczka, albo pięć oczek, albo sześć oczek. Przyporządkowując liczbie oczek oznaczenie $\omega_n$ dla $n=1, 2, 3, 4, 5, 6$ otrzymamy zbiór $\Omega =\{\omega_1, \omega_2, \omega_3, \omega_4, \omega_5, \omega_6 \}$.

Zmienna losowa

Wiele zmiennych losowych-Wektor zmiennych losowych

Próby Bernouliego

Twierdzenie Poissona i rozklad Poissona