Z Skrypty dla studentów Ekonofizyki UPGOW
(Różnice między wersjami)
|
|
Linia 35: |
Linia 35: |
| i | | i |
| <center> <math>\sum_{i}w_i=1</math></center> | | <center> <math>\sum_{i}w_i=1</math></center> |
| + | Jak pamiętamy z kursu analizy matematycznej, problem taki można na ogół rozwiązać korzystając z metody czynników Lagrange'a. W tym celu definiujemy lagrangian: |
| + | <center> <math>L=\sum_{ij}w_iw_j\sigma_{ij}-\lambda (\sum_{i}w_i\overline{r_i}-\overline{r})- \mu (\sum_{i}w_i-1)</math></center> |
| | | |
| = Przypisy = | | = Przypisy = |
| <references/> | | <references/> |
Wersja z 13:20, 7 maj 2010
Instrumenty rynków finansowych
Instrumenty rynków finansowych
Projekt finansowany przez
Analiza portfela i wycena aktywów
Zwykle, myśląc o inwestycji mamy do dyspozycji pewien kapitał własny lub pożyczony. W tej części ograniczymy się do inwestycji na rynkach kapitałowych. Przyjmiemy też upraszczające założenie, że pieniądze są inwestowane w chwili początkowej i interesuje nas wartość naszego portfela w pewnej chwili końcowej[1]. Wartość ta na ogół nie jest zdeterminowana wartością początkową naszego kapitału. Musimy więc podjąć decyzję w warunkach niepewności. Decyzję, z naszego punktu widzenia optymalną to znaczy, będąca kompromisem między poziomem ryzyka, które jesteśmy gotowi zaakceptować a naszą chciwością czyli oczekiwanym zyskiem. Przy konstrukcji portfela papierów wartościowych istotna jest klasa instrumentów, w które chcemy inwestować. W tym miejscu ograniczymy się do przedstawienia klasycznych idei dotyczących portfela złożonego z akcji, bezpiecznych instrumentów (obligacji) oraz pieniędzy (gotówka lub kredyt).
Zarządzanie portfelem instrumentów finansowych
Przypomnijmy, że pomijając podatki i koszty transakcji, zysk (zwrot) i stopę zwrotu r_z z inwestycji możemy zdefiniować następująco:
R_z= \frac{K_k-K_0}{K_0}=1+r_z,gdzie
K_k to wartość końcowa inwestycji, a
K_0 jest wartością początkową, czyli kwotą zainwestowaną. Formułę tę łatwo można uogólnić by opisywała portfel inwestycji. Załóżmy, że w chwili początkowej mamy portfel o n składnikach
K_{0i},\ i= 1,...n, takich, że
\sum_{i}K_{0i}=K_0. Tych samych oznaczeń używamy by opisać sytuację końcową - wskaźnik 0 zastępujemy wskaźnikiem k. Możemy zdefiniować tzw. wagi (udziały) poszczególnych składników jako:
K_{0i}=w_i K_0,\ i=1,...,n,\ \sum _i w_i=1i jeśli dopuszczamy krótką sprzedaż, to niektóre z
w_i mogą być ujemne. Jeśli przez
R_i\ (r_i) oznaczymy zwrot (stopę zwrotu) obliczone dla i-tego składnika portfela to mamy
R_z=\frac{\sum_{i}w_iR_iK_{0}}{K_{0}}=\sum_{i}w_iR_i
oraz
r_z=\sum_{i}w_ir_i. Załóżmy, że niepewność inwestycji w poszczególne składniki, ma podłoże losowe. W takim przypadku ceny i stopy zwrotu stają się zmiennymi losowymi. Możemy więc zaryzykować probabilistyczny (statystyczny) opis zachowania portfela inwestycji. Przypomnijmy,że oczekiwana stopa zwrotu z portfela
\overline{r}=E(r) i jej wariancja
\sigma ^2\, są dane wzorami:
\overline{r}=\sum _i w_iE(r_i)=\sum _i w_i\overline{r_i}
\sigma ^2=E((r-\overline{r})^2)=E(\sum _{ij} w_iw_j(r_i-\overline{r_i})(r_j-\overline{r_j}))\equiv\sum _i w_iw_j\sigma_{ij}.
- Wniosek (dywersyfikacja)
-
Załóżmy, że wszystkie składniki portfela mają taką samą oczekiwaną stopę zwrotu a i jej wariancję s. Wtedy dla w_i=1/n,\ i=1,...n mamy
\overline{r}=\frac{1}{n}\sum_i E(r_i)=m oraz
var(r)=\frac{1}{n^2}\sum_i var(r_i)=\sum _i \frac{s^2}{n^2}=\frac{s^2}{n}.
Oznacza to, że rozkładając inwestycję na n równorzędnych składników możemy zmiejszyć oczekiwane ryzyko z inwestycji (mierzone wariancją portfela).
Jeśli pójdziemy dalej tym tropem i będziemy używać wariancji jako "miary ryzyka", często nazywanej volatility w tym kontekście, to możemy "uprościć" nasz problem i analizować tylko zależność oczekiwanej stopy zwrotu z portfela od parametru ryzyka (czyli wariancji).
Model Markowitza
H. Markowitz zaproponował następujące podejście do teorii portfela[2]. Załóżmy, że na podstawie danych historycznych można estymować wartości oczekiwane stóp zwrotu poszczególnych składników portfela a variancja jest dobrą miarą ryzyka związanego z inwestycją w dany portfel. Wtedy "racjonalny inwestor" mający nadzieję uzyskać określoną stopę stopę zwrotu powinien z wszystkich portfeli o tej samej preferowanej oczekiwanej stopie zwrotu wybrać najmniej ryzykowny czyli minimalizujący wariancję. Oznacza to, że musimy rozwiązać następujący problem:
minimalizuj
\sum_{ij}w_iw_j\sigma_{ij}\,
pod warunkiem, że
\sum_{i}w_i\overline{r_i}=\overline{r}
i
\sum_{i}w_i=1
Jak pamiętamy z kursu analizy matematycznej, problem taki można na ogół rozwiązać korzystając z metody czynników Lagrange'a. W tym celu definiujemy lagrangian:
L=\sum_{ij}w_iw_j\sigma_{ij}-\lambda (\sum_{i}w_i\overline{r_i}-\overline{r})- \mu (\sum_{i}w_i-1)
Przypisy
- ↑ Zauważmy, że założenie to trudno uzasadnić w przypadku portfela akcji, ale okazuje się że stosunkowo łatwo można omawiane procedury uogólnić tak by uniknąć tego typu ograniczeń, co również zrobimy w dalszej części.
- ↑ Idea ta została przedstawiona w słynnej pracy Markowitz, H. (1952), ‘Portfolio Selection’, Journal of Finance, 7(1), 77-91.