Z Skrypty dla studentów Ekonofizyki UPGOW
(→PROCESY LEVY'EGO) |
(→PROCESY LEVY'EGO) |
||
Linia 1: | Linia 1: | ||
[[Plik:kl.png|200px|left]][[Plik:Ue.png|200px|right]] | [[Plik:kl.png|200px|left]][[Plik:Ue.png|200px|right]] | ||
+ | |||
Linia 7: | Linia 8: | ||
==PROCESY LEVY'EGO== | ==PROCESY LEVY'EGO== | ||
- | |||
- | |||
- | |||
- | |||
===Procesy Levy'ego=== | ===Procesy Levy'ego=== |
Wersja z 21:38, 12 maj 2010
PROCESY LEVY'EGO
Procesy Levy'ego

Podaliśmy dwa przykłady najbardziej popularnych modeli szumu białego: gaussowskiego i poissonowskiego. Są one pochodną procesów Wienera i Poissona, procesów o przyrostach niezależnych na nieprzekrywających się przedziałach. Oba procesy są szczególnymi przypadkami ogólnej klasy procesów stochastycznych, które nazywają się procesami Levy'ego .
Definicja procesu Levy'ego L(t) jest następująca:
(1) Jest to proces rzeczywisty, który prawie wszędzie jest prawostronnie ciągły i posiada wszędzie lewostronne granice
(2) L(0)=0 (proces startuje z zera)
(3) L(t) ma przyrosty niezależne na nieprzekrywających się przedziałach, to znaczy zmienne losowe L(t_4) -L(t_3) oraz L(t_2) -L(t_1) są niezależna dla 0 \le t_1 \le t_2 \le t_3 \le t_4
(4) L(t) ma stacjonarne przyrosty, to znaczy rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej L(t_2) -L(t_31 zależy od różnicy czasów t_2 -t_1 dla 0 \le t_1 \le t_2
(5) L(t) jest stochastycznie ciągły, to znaczy dla każdego t \ge 0 oraz \epsilon > 0
\lim_{s\to t} P(|L(t) -L(s)|>\epsilon)=0
Z własności (3) wynika, że funkcja korelacyjna procesu Levy'ego o wartości średniej zero, \langle L(t)\rangle =0, ma postać
\langle L(t) L(s) \rangle = 2D_0 \mbox{min} (t, s) \equiv 2D_0 [t \theta(s-t) + s \theta(t-s)]
gdzie D_0 > 0 jest stałą, nazywaną natężeniem lub intensywnością pprocesu Levy'ego.
Procesy Levy'ego są przykładem losowego ruchu którego trjektorie (realizacje) są funkcjami prawostronnie ciągłymi (tak jak proces Poissona) i mogą mieć co najwyżej przeliczalną ilość punktów nieciągłości w losowych chwilach czasu na każdym skończonym przedziale czasu.
Istnieje wspaniała formuła Levy'ego-Chinczyna dla funkcji characterystycznej procesu Levy'ego
C(\omega, t) = \langle \mbox{e}^{i\omega L(t)} \rangle = \mbox{e}^{t \psi(\omega)}
gdzie
\psi(\omega) = ia_0 \omega -\frac{1}{2} b \omega^2 + \int_{-\infty}^{\infty} \left[\mbox{e}^{i\omega y} - 1 - i\omega y {\mathbb I}_{(-1,1)}(y) \right] \nu (dy),
Parametry a_0\in R, b \ge 0. Funkcja
{\mathbb I}_A(y)= \{ {{1 \; \; \mbox{if} \; \; y \in A} \atop {0 \; \; \mbox{if} \; \; y \notin A }}
nazywa się funkcją charakterystyczną zbioru A lub indykatorem zbioru A, a wielkość \nu = \nu(dy) jest tzw. miarą Levy'ego na zbiorze R-\{0\} o własnościach
\nu (R-[-1, 1]) < \infty, \quad \int_{-1}^1 y^2 \nu(dy) < \infty
Czytelnik, który nie ma zacięcia matematycznego może myśleć o mierze Levy'ego jako o wyrażeniu
\nu = \nu(dy) = \rho(y) dy, \; \; \; \; \rho(y) \ge 0
Nieujemna funkcja \rho(y) ma wiele cech wspólnych z gęstością rozkładu prawdopodobieństwa.
Jak widać, proces Levy'ego jest w pełni określony przez tryplet (a_0, b, \nu) w którym a_0 opisuje dryf, b charakteryzuje proces Wienera (ruch Browna) i składowa nieciągła procesu Levy'ego opisana jest miarą Levy'ego \nu. Tryplet (0, b, 0) opisuje proces Wienera. Tryplet (0, 0, \mu \delta(y-1)) opisuje proces Poissona o parametrze \mu i o jednostkowym skoku. Jezeli mamy dowolne losowe skoki (uogólniony proces Poissona) opisane rozkładem prawdopodobieństwa \nu(dy) to wówczas
\psi(\omega) = \mu \int_{-\infty}^{\infty} \left[\mbox{e}^{i\omega y} - 1 \right] \nu (dy)
Jeżeli \nu(R) = \infty wówczas L(t) opisuje nieciągły proces, który ma nieskończoną ilość małych skoków w dowolnym skończonym przedziale czasu. Taki proces nie opisuje realnych procesów, ale może być przydatną idealizacją.
Z twierdzenia Levy'ego-Ito wynika, że dowolny proces Levy'ego L(t) można rozłożyć na cztery niezależne procesy
L(t)=L_1(t) +L_2(t) + L_3(t) + L_4(t)\;
gdzie L_1(t) opisuje dryf (proces deterministyczny), L_2(t) jest procesem Wienera, L_3(t) jest uogólnionym procesem Poissona oraz L_4(t) opisuje nieciągły proces, który ma nieskończoną ilość małych skoków w dowolnym skończonym przedziale czasu (a pure jump martingale). Wynika to z przedstawienia
\psi(\omega) = \psi_1(\omega) +\psi_2(\omega) +\psi_3(\omega) +\psi_4(\omega) \;
gdzie
\psi_1(\omega) = i a_0 \omega \;
\psi_2(\omega) = -\frac{1}{2} b \; \omega^2
\psi_3(\omega) = \int_{|y| \ge 1} \left[\mbox{e}^{i\omega y} - 1 \right] \nu (dy)
\psi_4(\omega) = \int_{|y| < 1} \left[\mbox{e}^{i\omega y} - 1 - i\omega y \right] \nu (dy).
Liniowa kombinacja nezależnych procesów Levy'ego jet też procesem Levy'ego.
Specjalna klasą procesów Levy'ego jet tzw. \alpha-proces o indeksie \alpha \in (0, 2] opisany przez tryplet (a, 0, \nu) z miarą Levy'ego
\nu(y) = \left[ c_{1} {\mathbb I}_{(0,\infty)}(y) + c_{2} {\mathbb I}_{(-\infty,0)}(y) \right] |y|^{-\alpha -1}\ dy,
gdzie
c_1>0, \; c_2>0.
Funkcja charakterystyczna takiego procesu ma postać
\psi(\omega) = \{ [[:Szablon:I a \omega - c]]
gdzie parametry
\alpha\in(0, 2], \; \; \beta =\beta(c_1, c_2) \in [-1, 1], \; \; c = c(\alpha, c_1, c_2) \in(0, \infty), \; \; a = a(a_0, \alpha, c_1, c_2)
Przypadek c_1=c_2 implikuje \beta=0 i proces jest procesem symetrycznym.
Biały szum Levy'ego
Biały szum Levy'ego jest zdefiniowany podobnie jak biały szum poissonowski i biały szum gaussowski:
Z(t)=\frac{dL(t)}{dt}
Dla procesu Levy'ego o zerowej wartości średniej funkcja korelacyjna ma postać
\langle Z(t) Z(s) \rangle = \frac{\partial^2}{\partial t \partial s} \ \langle L(t) L(s) \rangle = 2D_0 \delta (t-s),
Przypominam, że zawsze można przedefiniowac proces stochastyczny tak, aby jego wartość średnia była zero:
L(t) \to \tilde L(t) = L(t) - \langle L(t)\rangle, \; \; \; \; \; \langle \tilde L(t)\rangle = 0
Funkcjonał charakterystyczny symetrycznego \alpha-stabilnego białego szumu Levy'ego Y(t) ma postać
{\mathbb C}[f] =\langle \mbox{exp}\left[i \int_0^{t} ds\; f(s) Y(s) \right] \rangle = \mbox{exp}\left[- c \int_0^{t} dt\; |f(s)|^{\alpha} \right]
dla dowolnej tzw. testowej funkcji f(s). Jeżeli f(s) = \omega wówczas funkcjonał charakterystyczny redukuje się do funkcji charakterystycznej dla procesu Levy'ego L(t). Zkolei, jeżeli wybierzemy f(s) = \omega \delta(s-\tau) wówczas funkcjonał charakterystyczny redukuje się do funkcji charakterystycznej dla białego szumu Levy'ego Y(\tau) gdy \tau \in (0, t).