Bistable
Z Skrypty dla studentów Ekonofizyki UPGOW
(Różnice między wersjami)
m |
m (→Układ) |
||
Linia 3: | Linia 3: | ||
===Układ === | ===Układ === | ||
- | Rozważmy oscylator nieliniowy: | + | Rozważmy oscylator nieliniowy (usaa): |
<math>m \ddot x = -\frac{dU(x)}{dx}-\gamma x ,</math> | <math>m \ddot x = -\frac{dU(x)}{dx}-\gamma x ,</math> |
Wersja z 15:01, 28 paź 2010
Oscylator bistabliny
Układ
Rozważmy oscylator nieliniowy (usaa):
\(m \ddot x = -\frac{dU(x)}{dx}-\gamma x ,\)
równoważnie:
\(\dot x = v\)
\(m \dot v = -\frac{dU(x)}{dx}-\gamma x ,\)
jako potencjal weżmy funkcję z dwoma minimami np.:
\(U(x) = \displaystyle x^4-4 x^2,\)
Wykres U(x) można otrzymać poleceniem:
fplot(@(x) x.^4-4*x.^2,[-2.1,2.1],200)
\(f(x) =-\frac{dU(x)}{dx} = -4 x^3+8 x^2,\)
close all clear all f =@(x,E) sqrt(8*x.^2-2*x.^4-E); xa=linspace(-2,2,200); xb=linspace(2,-2,200); hold on for E=-8:2:8 Rts=roots([-2,0,8,0,-E]); AllRealRoots=sort(Rts(find (imag(Rts)==0))); if (length(AllRealRoots)==2) xminmax=sort([AllRealRoots',-0.00001,0.00001]); else xminmax=AllRealRoots'; endif xa=linspace(xminmax(1),xminmax(2),200); xb=linspace(xminmax(3),xminmax(4),200); if (E==0) plot([rotdim(xa,2),xa],[-f(rotdim(xa,2),E),f(xa,E)],"r-;E=0;"); plot([xb,rotdim(xb,2)],[f(xb,E),-f(rotdim(xb,2),E)],"r-"); else plot([rotdim(xa,2),xa],[-f(rotdim(xa,2),E),f(xa,E)],"g-"); plot([xb,rotdim(xb,2)],[f(xb,E),-f(rotdim(xb,2),E)],"g-"); endif endfor hold off
Analiza
lsode_options("absolute tolerance",1e-6) lsode_options("relative tolerance",1e-6) n=500; tmax=10; t = linspace(0,tmax,n); global gama; gama=0.9 ny=10; y=linspace(0,5,ny); x0=-sqrt(2); trajsxP=zeros(ny,n); trajsyP=zeros(ny,n); trajsxN=zeros(ny,n); trajsyN=zeros(ny,n); for iy=1:ny X0 = [x0,y(iy)]; [X,T,MSG]=lsode(@ODEbistable,X0,t); if(X(length(X),1)>0) trajsxP(iy,:)=X(:,1); trajsyP(iy,:)=X(:,2); else trajsxN(iy,:)=X(:,1); trajsyN(iy,:)=X(:,2); endif endfor disp("Integration done"); hold on every=20 for i=(every+1):every:size(trajsxP)(2) plot(trajsxP(:,(i-every):i)',trajsyP(:,(i-every):i)',"r-",\ trajsxN(:,(i-every):i)',trajsyN(:,(i-every):i)',"b-") drawnow() disp(t(i)); fflush(stdout); print ( sprintf("Traj_anim_%05d.png",i), "-S300,220"); endfor hold off
który możemy zaimplementować jako funkcję w matlabie:
function dx = ODEbistable(X,T) global gama; dx = zeros(2,1); dx(1) = X(2); dx(2) = -gama*X(2)-4*X(1).^3+8*X(1); return end