Procesy i Zjawiska Losowe

Z Skrypty dla studentów Ekonofizyki UPGOW

(Różnice między wersjami)
(→Procesy i zjawiska losowe)
(→Procesy i zjawiska losowe)
Linia 6: Linia 6:
   <center><math> Pr \{ \xi \in (a, b)\} = \int_a^b p_{\xi}(x)dx </math></center>
   <center><math> Pr \{ \xi \in (a, b)\} = \int_a^b p_{\xi}(x)dx </math></center>
-
'''Sumą''' albo '''unią zbiorów''' nazywamy [[zbiór]] złożony ze wszystkich elementów należących do '''któregokolwiek''' z sumowanych zbiorów. Suma zbiorów <math>A </math> i <math> B </math> jest oznaczana przez <math>A\cup B</math>. Tak więc:
+
Oznaczmy przez <math>\Omega</math> zbiór, który nazwiemy [[przestrzenią]]. Niech <math>A, B, C, ...</math> będa podzbiorami zbioru
 +
<math>\Omega</math>.
 +
 
 +
'''Sumą''' zbiorów nazywamy [[zbiór]] złożony ze wszystkich elementów należących do '''któregokolwiek''' z sumowanych zbiorów. Suma zbiorów <math>A </math> i <math> B </math> jest oznaczana przez <math>A\cup B</math>. Tak więc:
: <math>A\cup B=\{x:x\in A\vee x\in B\}</math>
: <math>A\cup B=\{x:x\in A\vee x\in B\}</math>
-
'''Przekrój''' (inaczej '''część wspólna''', '''iloczyn''' lub '''przecięcie''') zbiorów <math> A </math> i <math> B </math> to  [[zbiór]], do którego należą te elementy zbioru <math> A </math>, które należą również do <math> B </math>. Część wspólna zbiorów <math> A </math> i <math> B </math> jest oznaczana przez <math>A\cap B</math>. Tak więc:
+
'''Iloczyn''' (lub '''część wspólna''', '''przekrój''' lub '''przecięcie''') zbiorów <math> A </math> i <math> B </math> to  [[zbiór]], do którego należą te elementy zbioru <math> A </math>, które należą również do <math> B </math>. Część wspólna zbiorów <math> A </math> i <math> B </math> jest oznaczana przez <math>A\cap B</math>. Tak więc:
: <math>A\cap B=\{x:x\in A\wedge x\in B\}</math>.
: <math>A\cap B=\{x:x\in A\wedge x\in B\}</math>.
Linia 15: Linia 18:
: <math>A \setminus B = \{ x : x\in A \and x \notin B\}</math>
: <math>A \setminus B = \{ x : x\in A \and x \notin B\}</math>
-
'''Dopełnieniem''' zbioru <math>A</math> nazywa się [[różnica zbiorów|różnicę]]
+
'''Dopełnieniem''' zbioru <math>A</math> (w przestrzeni <math>\Omega</math>) nazywa się [[różnica zbiorów|różnicę]]
-
: <math>U \setminus A = \{x \in U\colon x \notin A\}</math>,
+
: <math>\Omega \setminus A = \{x \in U\colon x \notin A\}</math>,

Wersja z 19:04, 10 gru 2009

Procesy i zjawiska losowe

Skrypt dla studentów ekonofizyki


\( Pr \{ \xi \in (a, b)\} = \int_a^b p_{\xi}(x)dx \)

Oznaczmy przez \(\Omega\) zbiór, który nazwiemy przestrzenią. Niech \(A, B, C, ...\) będa podzbiorami zbioru \(\Omega\).

Sumą zbiorów nazywamy zbiór złożony ze wszystkich elementów należących do któregokolwiek z sumowanych zbiorów. Suma zbiorów \(A \) i \( B \) jest oznaczana przez \(A\cup B\). Tak więc:

\(A\cup B=\{x:x\in A\vee x\in B\}\)

Iloczyn (lub część wspólna, przekrój lub przecięcie) zbiorów \( A \) i \( B \) to zbiór, do którego należą te elementy zbioru \( A \), które należą również do \( B \). Część wspólna zbiorów \( A \) i \( B \) jest oznaczana przez \(A\cap B\). Tak więc:

\(A\cap B=\{x:x\in A\wedge x\in B\}\).

Różnica zbiorów A\B - zbiór złożony z tych elementów zbioru A, które nie należą do B:

\(A \setminus B = \{ x : x\in A \and x \notin B\}\)

Dopełnieniem zbioru \(A\) (w przestrzeni \(\Omega\)) nazywa się różnicę

\(\Omega \setminus A = \{x \in U\colon x \notin A\}\),


Spis teści

  1. Wprowadzenie
  2. Elementy teorii prawdopodobieństa
    1. Przestrzeń probabilistyczna
    2. Zmienna losowa
    3. Rozkłady prawdopodobieństwa zmiennej losowej
    4. Wiele zmiennych losowych-Wektor zmiennych losowych
    5. Rozkłady prawdobodobieństwa wielu zmiennych losowych
    6. Próby Bernouliego
    7. Twierdzenie Poissona i rozklad Poissona
  3. Procesy stochastyczne
  4. Proces Poissona
    1. Proces urodzin i śmierci
    2. Poissonowski ciąg impulsów: biały szum Poissona
    3. Uogólnienia procesu Poissona
    4. Równania ewolucji dla procesów Poissona; funkcja tworząca
  5. Błądzenie przypadkowe
  6. Proces Wienera -proces dyfuzji
  7. Biały szum gaussowski
  8. Stochastyczne równania różniczkowe
  9. Równanie Kramersa-Moyala
  10. Proste i odwrotne równanie Kołmogorowa. Równanie Fokkera-Plancka
  11. Równanie Ito a proces dyfuzji
  12. Równanie Ito i równanie Stratonowicza
  13. Twierdzenie Ito o różniczce funkcji procesu stochastycznego
  14. Przykłady zastosowań równań stochastycznych w ekonomii
    1. Geometryczny proces Wienera
Źródło „http://172.16.3.1/ekonofizyka/index.php/Procesy_i_Zjawiska_Losowe”