Z Skrypty dla studentów Ekonofizyki UPGOW

Wersja z 11:51, 2 mar 2011

Literatura

Z algebry liniowej godne polecenia są następujące pozycje:

1. NUMERICAL LINEAR ALGEBRA Lloyd N. Trefethen and David Bau, III. Jest to znany w świecie bestseller. O autorze Lloydzie Nicholasie Trefethenie można znaleźć notke w wikipedii.
2. Ciekawy kurs z Southern Illinois University cz. 2 cz. 3
3. Słynny kurs algebry liniowe Gilberta Stranga z MIT: OCW
4. wikibooks.org/wiki/GNU_Octave

Wektory

Wektor w przestrzeni euklidesowej N wymiarowej jest reprezentowany przez N liczb. Iloczyn skalarny dwóch wektorów \(\mathbf a\) oraz \(\mathbf b\) o oznaczany symbolem \(\mathbf a \cdot \mathbf b\) określony jest jako:

\(\mathbf a \cdot \mathbf b = \sum_{i=1}^{N}a_i b_i\),

gdzie \(a_i\) to i-ty element wektora a. W geometrii definiuje się, że iloczyn skalarny jako

\(\mathbf a \cdot \mathbf b = \|\mathbf a\| \|\mathbf b\| \cos \theta\),

gdzie \(\theta\) jest kątem między \(\mathbf a\) a \(\mathbf b\).

Jeśli jeden wektorów jest wektorem o długości jeden to mnoże go przez dowolny inny wektor może być interpretowane jako rzutowanie na kierunek wyznaczony przez pierwszy wektor.

Baza

Zmiana bazy

Zmiana bazy i iloczyn skalarny

Mamy \((x,y)=\sum_{i=1}^{N}x_i y_j\)

b1=[1;1;1]
b2=[1;0;1]
b3=[1;0;-1]
C=[b1,b2,b3]
C'*C
M=[b1'*b1,b1'*b2,b1'*b3;b2'*b1,b2'*b2,b2'*b3;b3'*b1,b3'*b2,b3'*b3]

Ortogonalizacja Grama-Schmidta

Operator rzutowania ortogonalnego wektora \(\mathbf{v}\) na wektor \(\mathbf{u}\) definiujemy jako:

Wówczas dla układu k wektorów \(\{\mathbf{v}_1, \ldots,\mathbf{v}_k\}\) proces przebiega następująco: \[\mathbf{u}_1 = \mathbf{v}_1,\] \[\mathbf{u}_2 = \mathbf{v}_2-\frac{(\mathbf{u}_1,\mathbf{v}_2)}{\|\mathbf{u}_1 \|}\mathbf{u}_1, \] \[\vdots\] \[\mathbf{u}_k = \mathbf{v}_k-\sum_{j=1}^{k-1}\frac{(\mathbf{u}_j,\mathbf{v}_k)}{\| \mathbf{u}_j \|} \mathbf{u}_j, \]

Wektory można zortonormalizować \[\mathbf{u}_k = \frac{\mathbf{u}_k}{\| \mathbf{u}_k\|},\] dla \(k=1..N\)

e1=b1
e2=b2-(e1'*b2)/(e1'*e1)*e1
e3=b3-( (e1'*b3)/(e1'*e1)*e1 + (e2'*b3)/(e2'*e2)*e2 )

E=[e1,e2,e3]
quiver3([0,0,0],[0,0,0],[0,0,0], C(1,:), C(2,:), C(3,:), 0,'r')
hold on
quiver3([0,0,0],[0,0,0],[0,0,0], E(1,:), E(2,:), E(3,:), 0,'b')
xlim([-1,1])
ylim([-1,1])
zlim([-1,1])
hold off

Wartości i wektory własne

 A= meshgrid (1:3)'-meshgrid (1:3)
A =
 
   0  -1  -2
   1   0  -1
   2   1   0
 
octave:283> [a,v]=eig(A)
a =
 
  -0.64550 + 0.00000i  -0.64550 - 0.00000i   0.40825 + 0.00000i
  -0.25820 + 0.31623i  -0.25820 - 0.31623i  -0.81650 + 0.00000i
   0.12910 + 0.63246i   0.12910 - 0.63246i   0.40825 + 0.00000i
 
v =
 
Diagonal Matrix
 
   0.00000 + 2.44949i                    0                    0
                    0   0.00000 - 2.44949i                    0
                    0                    0  -0.00000 + 0.00000i
 
 
b1=(a(:,1)+ a(:,2))/(sqrt(2))
b2=(a(:,1)- a(:,2))/(sqrt(2)*I)
C=[b1,b2,a(:,3)]

phi=linspace(0, 2*pi, 30);
 
X=cos(phi);
Y=sin(phi);
 
A=[X; Y];
 
plot(A(1,:),A(2,:),'bo');
hold on
B=rand(2);
B=B+B'
A=B*A;
plot(A(1,:),A(2,:),'ro');
 
[E,v]=eig(B)
 
quiver([0,0],[0,0], E(1,:), E(2,:), 0,'g')
 
hold off
 
xlim([-3,3])
ylim([-3,3])

[phi,theta]=meshgrid (linspace(0, 2*pi, 30), linspace(0,pi,20) );
 
X=sin(theta).*cos(phi);
Y=sin(theta).*sin(phi);
Z=cos(theta);
X=reshape(X,[prod(size(X)),1]) ;
Y=reshape(Y,[prod(size(Y)),1]) ;
Z=reshape(Z,[prod(size(Z)),1]) ;
 
A=[X Y Z]';
 
plot3(A(1,:),A(2,:),A(3,:),'bo');
hold on
B=rand(3);
A=B*A;
plot3(A(1,:),A(2,:),A(3,:),'ro');
 
quiver3([0,0,0],[0,0,0],[0,0,0], E(1,:), E(2,:), E(3,:), 0,'g')
 
hold off
 
xlim([-1,1])
ylim([-1,1])
zlim([-1,1])

Ćwiczenia: 

• obliczyć współrzędne wektora \(a=(1,2,3)\) w bazie \((e_1+e_2...\)
• obliczyc rząd macierzy