Z Skrypty dla studentów Ekonofizyki UPGOW

Aktualna wersja na dzień 12:32, 28 cze 2011

PROCESY LEVY'EGO

Procesy Levy'ego

Paul Pierre Lévy (1886-1971) [1]

Podaliśmy dwa przykłady najbardziej popularnych modeli szumu białego: gaussowskiego i poissonowskiego. Są one pochodną procesów Wienera i Poissona, procesów o przyrostach niezależnych na nieprzekrywających się przedziałach. Oba procesy są szczególnymi przypadkami ogólnej klasy procesów stochastycznych, które nazywają się procesami Levy'ego $L(t)$.

Definicja procesu Levy'ego $L(t)$ jest następująca:

(1) Jest to proces rzeczywisty, który prawie wszędzie jest prawostronnie ciągły i posiada wszędzie lewostronne granice

(2) $L(0)=0$ (proces startuje z zera)

(3) $L(t)$ ma przyrosty niezależne na nieprzekrywających się przedziałach, to znaczy zmienne losowe $L(t_4) -L(t_3)$ oraz $L(t_2) -L(t_1)$ są niezależna dla $0 \le t_1 \le t_2 \le t_3 \le t_4$

(4) $L(t)$ ma stacjonarne przyrosty, to znaczy rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej $L(t_2) -L(t_3)$ zależy od różnicy czasów $t_2 -t_1$ dla $0 \le t_1 \le t_2$

(5) $L(t)$ jest stochastycznie ciągły, to znaczy dla każdego $t \ge 0$ oraz $\epsilon > 0$

$\lim_{s\to t} P(|L(t) -L(s)|>\epsilon)=0$

Z własności (3) wynika, że funkcja korelacyjna procesu Levy'ego o wartości średniej zero, $\langle L(t)\rangle =0$, ma postać

$\langle L(t) L(s) \rangle = 2D_0 \mbox{min} (t, s) \equiv 2D_0 [t \theta(s-t) + s \theta(t-s)]$

gdzie $D_0 > 0$ jest stałą, nazywaną natężeniem lub intensywnością pprocesu Levy'ego.

Procesy Levy'ego są przykładem losowego ruchu którego trjektorie (realizacje) są funkcjami prawostronnie ciągłymi (tak jak proces Poissona) i mogą mieć co najwyżej przeliczalną ilość punktów nieciągłości w losowych chwilach czasu na każdym skończonym przedziale czasu.

Istnieje wspaniała formuła Levy'ego-Chinczyna dla funkcji charakterystycznej procesu Levy'ego

$C(\omega, t) = \langle \mbox{e}^{i\omega L(t)} \rangle = \mbox{e}^{t \psi(\omega)}$

gdzie

$\psi(\omega) = ia_0 \omega -\frac{1}{2} b \omega^2 + \int_{-\infty}^{\infty} \left[\mbox{e}^{i\omega y} - 1 - i\omega y {\mathbb I}_{(-1,1)}(y) \right] \nu (dy),$

Parametry $a_0\in R, b \ge 0$. Funkcja

${\mathbb I}_A(y)= \{ {{1 \; \; \mbox{if} \; \; y \in A} \atop {0 \; \; \mbox{if} \; \; y \notin A }}$

nazywa się funkcją charakterystyczną zbioru $A$ lub indykatorem zbioru $A$, a wielkość $\nu = \nu(dy)$ jest tzw. miarą Levy'ego na zbiorze $R-\{0\}$ o własnościach

$\nu (R-[-1, 1]) < \infty, \quad \int_{-1}^1 y^2 \nu(dy) < \infty$

Czytelnik, który nie ma zacięcia matematycznego może myśleć o mierze Levy'ego jako o wyrażeniu

$\nu = \nu(dy) = \rho(y) dy, \; \; \; \; \rho(y) \ge 0$

Nieujemna funkcja $\rho(y)$ ma wiele cech wspólnych z gęstością rozkładu prawdopodobieństwa.

Jak widać, proces Levy'ego jest w pełni określony przez tryplet $(a_0, b, \nu)$ w którym $a_0$ opisuje dryf, $b$ charakteryzuje proces Wienera (ruch Browna) i składowa nieciągła procesu Levy'ego opisana jest miarą Levy'ego $\nu$. Tryplet $(0, b, 0)$ opisuje proces Wienera. Tryplet $(0, 0, \mu \delta(y-1))$ opisuje proces Poissona o parametrze $\mu$ i o jednostkowym skoku. Jezeli mamy dowolne losowe skoki (uogólniony proces Poissona) opisane rozkładem prawdopodobieństwa $\nu(dy)$ to wówczas

$\psi(\omega) = \mu \int_{-\infty}^{\infty} \left[\mbox{e}^{i\omega y} - 1 \right] \nu (dy)$

Jeżeli $\nu(R) = \infty$ wówczas $L(t)$ opisuje nieciągły proces, który ma nieskończoną ilość małych skoków w dowolnym skończonym przedziale czasu. Taki proces nie opisuje realnych procesów, ale może być przydatną idealizacją.

Z twierdzenia Levy'ego-Ito wynika, że dowolny proces Levy'ego $L(t)$ można rozłożyć na cztery niezależne procesy

$L(t)=L_1(t) +L_2(t) + L_3(t) + L_4(t)\;$

gdzie $L_1(t)$ opisuje dryf (proces deterministyczny), $L_2(t)$ jest procesem Wienera, $L_3(t)$ jest uogólnionym procesem Poissona oraz $L_4(t)$ opisuje nieciągły proces, który ma nieskończoną ilość małych skoków w dowolnym skończonym przedziale czasu (a pure jump martingale). Wynika to z przedstawienia

$\psi(\omega) = \psi_1(\omega) +\psi_2(\omega) +\psi_3(\omega) +\psi_4(\omega) \;$

gdzie

$\psi_1(\omega) = i a_0 \omega \;$

$\psi_2(\omega) = -\frac{1}{2} b \; \omega^2$

$\psi_3(\omega) = \int_{|y| \ge 1} \left[\mbox{e}^{i\omega y} - 1 \right] \nu (dy)$

$\psi_4(\omega) = \int_{|y| < 1} \left[\mbox{e}^{i\omega y} - 1 - i\omega y \right] \nu (dy).$

Liniowa kombinacja nezależnych procesów Levy'ego jet też procesem Levy'ego.

Specjalna klasą procesów Levy'ego jet tzw. $\alpha$-proces o indeksie $\alpha \in (0, 2]$ opisany przez tryplet $(a, 0, \nu)$ z miarą Levy'ego

$\nu(y) = \left[ c_{1} {\mathbb I}_{(0,\infty)}(y) + c_{2} {\mathbb I}_{(-\infty,0)}(y) \right] |y|^{-\alpha -1}\ dy,$

gdzie

$c_1>0, \; c_2>0$.

Funkcja charakterystyczna takiego procesu ma postać

$\psi(\omega) = \{ [[:Szablon:I a \omega - c]]$

gdzie parametry

$\alpha\in(0, 2], \; \; \beta =\beta(c_1, c_2) \in [-1, 1], \; \; c = c(\alpha, c_1, c_2) \in(0, \infty), \; \; a = a(a_0, \alpha, c_1, c_2)$

Przypadek $c_1=c_2$ implikuje $\beta=0$ i proces jest procesem symetrycznym.

Biały szum Levy'ego

Biały szum Levy'ego jest zdefiniowany podobnie jak biały szum poissonowski i biały szum gaussowski:

$Z(t)=\frac{dL(t)}{dt}$

Dla procesu Levy'ego o zerowej wartości średniej funkcja korelacyjna ma postać

$\langle Z(t) Z(s) \rangle = \frac{\partial^2}{\partial t \partial s} \ \langle L(t) L(s) \rangle = 2D_0 \delta (t-s),$

Przypominam, że zawsze można przedefiniowac proces stochastyczny tak, aby jego wartość średnia była zero:

$L(t) \to \tilde L(t) = L(t) - \langle L(t)\rangle, \; \; \; \; \; \langle \tilde L(t)\rangle = 0$

Funkcjonał charakterystyczny symetrycznego $\alpha$-stabilnego białego szumu Levy'ego $Y(t)$ ma postać

${\mathbb C}[f] =\langle \mbox{exp}\left[i \int_0^{t} ds\; f(s) Y(s) \right] \rangle = \mbox{exp}\left[- c \int_0^{t} dt\; |f(s)|^{\alpha} \right]$

dla dowolnej tzw. testowej funkcji $f(s)$. Jeżeli $f(s) = \omega$ wówczas funkcjonał charakterystyczny redukuje się do funkcji charakterystycznej dla procesu Levy'ego $L(t)$. Zkolei, jeżeli wybierzemy $f(s) = \omega \delta(s-\tau)$ wówczas funkcjonał charakterystyczny redukuje się do funkcji charakterystycznej dla białego szumu Levy'ego $Y(\tau)$ gdy $\tau \in (0, t)$.

Uwagi

Jak już wspominaliśmy, proces Levy'ego stanowi szeroką klasę procesów stochastycznych. Procesy Poissona i procesy Wienera są szczególnymi przypadkami tego procesu. Także procesy gamma i procesy Cauchy'ego są procesami Levy'ego. Bogactwo jest tak ogromne, że nie sposób rozpatrywać wszystkich przypadków. Znamy własności trajektorii procesów Poissona i procesu Wienera. Mamy wyobrażenie o ich realizacjach, co zostało przedstawione na kilku rysunkach. Wśród procesów Levy'ego są też takie, których realizacje składają się z długich lotów (długich odcinków). W konsekwencji nie istnieje moment statystyczny drugiego rzędu, nie istnieje wariancja tego procesu. Fluktuacje takiego procesu mogą byc nieskończenie wielkie. Mimo takich "wad" procesy Levy'ego są pomocne do modelowania zjawisk, w których moga następować duże i nagłe zmiany.