Z Skrypty dla studentów Ekonofizyki UPGOW

---

Wersja z 12:41, 6 sty 2014

Równanie różniczkowe zwyczajne to równia zawierające zmienną niezależna \(x\) nieznaną funkcje \(y\) oraz jej pochodne \(y',y'',\ldots,y^{(n)}\). Równanie takie możemy zapisać w następującej postaci: \[F(x,y,y',y'',\ldots,y^{(n)})=0\] i jest to tzw. równanie różniczkowe rzędu \(n\). Rząd równania określa najwyższa pochodna funkcji \(y(x)\) występująca w danym równaniu różniczkowym Rozwiązaniem powyższego równania jest funkcja \(y=y(x)\) spełniająca to równanie. Ponadto, równanie różniczkowe jest liniowe w \(y',y'',\ldots,y^{(n)}\) jeżeli funkcja \(y\) i jej pochodne występują w pierwszej potędze. Równanie takie rozwiązuję się poprzez całkowanie równania różniczkowego czyli znalezienie wszystkich rozwiązań i zbadanie ich wartości. Rozwiązanie równania może być dane w postaci

• \(y=f(x)\),
• \(\Xi (x,y)=0\) - postać uwikłana,
• \(x=\phi(t), y=\psi(t)\) - postać parametryczna.

Spis treści 1 Równanie rzędu pierwszego 1.1 Rozwiązanie ogólne równania różniczkowe 1.2 Rozwiązanie szczególne równania różniczkowego 1.2.1 Przykład 1.3 Równanie odwrócone do równania \({dy \over{dx}}=f(x,y)\) 1.3.1 Przykład

Równanie rzędu pierwszego

Równanie różniczkowe rzędu pierwszego oraz stopnia pierwszego możemy zapisać w następującej postaci: \[{dy \over{dx}}=f(x,y)\]

Zagadnienie Cauchy'ego

Szukamy rozwiązania równania różniczkowego rzędu pierwszego oraz stopnia pierwszego w postaci \(y=y(x)\) spełniającej warunek \(y=y_0\) i \(x=x_0\) tzn. funkcja będąca rozwiązaniem \(y=y(x)\) spełnia warunek \(y(x_0)=y_0\) (warunek początkowy).

Przykład

Równanie różniczkowe \[{dy \over{dx}}=2x \text{, warunek początkowy } y(0)=1\]

Rozwiązanie zagadnienie Cauchy'ego \[y=2x+1\]

Rozwiązanie ogólne równania różniczkowe

Rozwiązaniem ogólnym równania \[{dy \over{dx}}=f(x,y)\] jest funkcja \(y=\phi(x,C)\) określona w pewnym obszarze zmienności \(x\) i \(C\) mająca ciągłą pierwszą pochodną względem x w każdym punkcie w którym istnieje rozwiązanie zagadnienia Cauchy'ego i jest ono jednoznaczne oraz \(y=\phi(x,C)\) posiada rozwiązanie względem C, tzn. \(C=\psi(x,y))\). Wynika z tego, że \(y=\phi(x,C)\) jest nieowiązaniem \({dy \over{dx}}=f(x,y)\)

Rozwiązanie szczególne równania różniczkowego

Jest to takie rozwiązanie, które w każdym swoim punkcie zapewnia jednoznaczność rozwiązania zagadnienia Cauchy'ego. Rozwiązanie \(y=\phi(x,C)\) równania \({dy \over{dx}}=f(x,y)\) w obszarze \(D\) dla konkretnej (dopuszczalnej) wartości stałej \(C\) jest rozwiązaniem szczególnym.

Przykład

Równanie różniczkowe \({dy \over{dx}}=2x \)

Rozwiązanie szczególne

• \(y=2x+1\)
• \(y=2x+\sqrt{2}\)

Równanie odwrócone do równania \({dy \over{dx}}=f(x,y)\)

Równanie odwrócone do równania \({dy \over{dx}}=f(x,y)\) ma postać \[{dx \over{dy}}= {1 \over{f(x,y)}}\]

• Równanie odwrócone można rozpatrywać w otoczeniu punktów, w których funkcja \(f(x,y) \to\infty \). Zbiór takich punktów dołącza się do obszaru oznaczoności równania \({dy \over{dx}}=f(x,y)\)
• Rozwiązanie równania odwróconego dołącza się do rozwiązań równania \({dy \over{dx}}=f(x,y)\)

Przykład

Równanie \({dy \over{dx}}={1 \over{x}}\)posiada rozwiązanie ogólne \(y=\ln x +C\)

Równanie odwrócone \(({dy \over{dx}})^{-1}={dx \over{dy}}=x\) rozwiązanie \(x=0\) równania odwróconego dołączamy do Rozwiązania ogólnego równania \({dy \over{dx}}={1 \over{x}}\)