Z Skrypty dla studentów Ekonofizyki UPGOW

---

Wersja z 14:50, 2 lut 2014

Spis treści 1 Operator różniczkowy - definicja 2 Nabla 2.1 Gradient 2.2 Dywergencja 2.3 Rotacja 2.4 Laplasjan 3 Złożenia operatorów różniczkowych 3.1 Związki między operatorami różniczkowymi

Operator różniczkowy - definicja

Operator określony na przestrzeni funkcji różniczkowalnych wykorzystujący pojęcie pochodnej bądź różniczki funkcji. Operatory różniczkowe mogą działać zarówno na funkcje jednej jak i wielu zmiennych, na funkcje skalarne i wektorowe.

Nabla

W rachunku wektorowym konwencja notacyjna ułaskawiając zapis różnorodnych operatorów różniczkowych: gradientu, dywergencji, rotacji i laplasjanu. Oznaczana jako \(\nabla\)

Nablę definiuje się za pomocą pochodnych cząstkowych wzorem (układ współrzędnych kartezjańskich)

\[\nabla = \left(\frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z}\right) = \mathbf i \frac{\partial}{\partial x} + \mathbf j \frac{\partial}{\partial y} + \mathbf k \frac{\partial}{\partial z}, \]

gdzie \( \scriptstyle \mathbf i,\; \mathbf j,\; \mathbf k \)oznaczają wektory jednostkowe osi (patrz Wektory, działania na wektorach)

Gradient

Jeśli \(\scriptstyle \varphi\colon \mathbb R^3 \to \mathbb R\) jest polem skalarnym, to potraktowanie nabli jako funkcji pola skalarnego daje pole wektorowe nazywane gradientem \[ \mathrm{grad}\; \varphi = \left(\frac{\partial \varphi}{\partial x}, \frac{\partial \varphi}{\partial y}, \frac{\partial \varphi}{\partial z}\right) = \mathbf i \frac{\partial \varphi}{\partial x} + \mathbf j \frac{\partial \varphi}{\partial y} + \mathbf k \frac{\partial \varphi}{\partial z} = \nabla \varphi; \]

Zapis ten można traktować jako mnożenie „wektora nabla” przez „skalar” dające w wyniku „wektor”.

Dywergencja

Jeżeli \(\mathbf f\colon \mathbb R^3 \to \mathbb R^3\) jest polem wektorowym \((f_x, f_y, f_z)\) zmiennych \( (x, y, z)\), to dywergencję \(\mathbf f\) będącą polem skalarnym można wyrazić za pomocą iloczynu skalarnego nabli przez \(\mathbf f\),

\[ \mathrm{div}\; \mathbf f = \frac{\partial f_x}{\partial x} + \frac{\partial f_y}{\partial y} + \frac{\partial f_z}{\partial z} = \nabla \cdot \mathbf f; \]

„Wektor nabla” jest mnożony przez „wektor” dając w wyniku „skalar”.

Rotacja

Zamiana iloczynu skalarnego na iloczyn wektorowy dla danego pola wektorowego \(\mathbf f\) w powyższym przypadku umożliwia zwarty sposób zapisu rotacji: \[ \begin{align} \mathrm{rot}\; \mathbf f & = \left(\frac{\partial f_z}{\partial y} - \frac{\partial f_y}{\partial z},\ \frac{\partial f_x}{\partial z} - \frac{\partial f_z}{\partial x},\ \frac{\partial f_y}{\partial x} - \frac{\partial f_x}{\partial y}\right) = \\ & = \left(\frac{\partial f_z}{\partial y} - \frac{\partial f_y}{\partial z}\right) \mathbf i + \left( \frac{\partial f_x}{\partial z} - \frac{\partial f_z}{\partial x}\right) \mathbf j + \left(\frac{\partial f_y}{\partial x} - \frac{\partial f_x}{\partial y}\right) \mathbf k = \nabla \times \mathbf f;\end{align} \]

„Wektor nabla” mnożony wektorowo przez „wektor” daje inny „wektor”.

Notacja macierzowa rotacji:

\[ \nabla \times \mathbf f = \det \begin{bmatrix} \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ f_x & f_y & f_z \\ \mathbf i & \mathbf j & \mathbf k \end{bmatrix}\]

Laplasjan

Operator Laplace'a, jest operatorem skalarnym działającym na pole skalarne danym jako \[ \Delta = \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2} = \nabla \cdot \nabla = \nabla^2 \]

Złożenia operatorów różniczkowych

• Trzech operacje na polu wektorowym -> gradient pola skalarnego,

\( \mathrm{div}\;(\mathrm{grad}\; \varphi) = \nabla \cdot (\nabla \varphi)\),

\( \mathrm{rot}\;(\mathrm{grad}\; \varphi) = \nabla \times (\nabla \varphi)\),

\( \Delta \varphi = \nabla^2 \varphi\),

• Operacje na polu skalarnym -> dywergencja pola wektorowego,

\(\mathrm{grad}\;(\mathrm{div}\; \mathbf f) = \nabla (\nabla \cdot \mathbf f)\),

• Dwóch operacji na polu wektorowym -> rotacja pola wektorowego,

\(\mathrm{div}\;(\mathrm{rot}\; \mathbf f) = \nabla \cdot (\nabla \times \mathbf f)\),

\(\mathrm{rot}\;(\mathrm{rot}\; \mathbf f) = \nabla \times (\nabla \times \mathbf f)\),

• Operacja laplasjanu wektorowego,

\(\Delta \mathbf f = \nabla^2 \mathbf f\),

Związki między operatorami różniczkowymi

• \(\mathrm{div}\;(\mathrm{grad}\; \varphi) = \nabla \cdot (\nabla \varphi) = \nabla^2 \varphi = \Delta \varphi\),
• \(\mathrm{rot}\;(\mathrm{grad}\; \varphi) = \nabla \times (\nabla \varphi) = 0\),
• \(\mathrm{div}\;(\mathrm{rot}\; \mathbf f) = \nabla \cdot (\nabla \times \mathbf f) = 0\).
• \(\nabla \times (\nabla \times \mathbf f) = \nabla (\nabla \cdot \mathbf f) - \nabla^2 \mathbf f\),