Z Skrypty dla studentów Ekonofizyki UPGOW
(→Ekstremum warunkowe funkcji dwóch zmiennych) |
|||
| Linia 1: | Linia 1: | ||
[[Category:KURS MATEMATYKI]] | [[Category:KURS MATEMATYKI]] | ||
== Definicja i wykres funkcji dwóch zmiennych == | == Definicja i wykres funkcji dwóch zmiennych == | ||
| - | + | Funkcją dwóch zmiennych <math>z=f(x,y)</math> będziemy nazywać przyporządkowanie parze liczb rzeczywistych <math>(x,y)</math> dokładnie jednej liczby rzeczywistej <math>z</math>. | |
| + | Zatem dziedziną funkcji <math>f(x,y)</math> będzie zbiór <math>D \subset R \times R </math> taki, że dla dowolnej pary <math>(x,y) \in D </math> istnieje <math>z=f(x,y)</math>. | ||
| + | Dziedzinę można go przedstawiać jako pewien obszar na płaszczyźnie <math>XY</math>. | ||
| + | :<math>f: R^2 \supset D \ni (x,y) \to f(x,y) \in R</math> | ||
| + | Wykres funkcji dwóch zmiennych jest powierzchnią i może być przedstawiony w przestrzeni trójwymiarowej <math>XYZ</math> ([[Media:fun2_1.png|Rys. 1]]). | ||
[[File:fun2_1.png|thumb|250px|Rys. 1 Przykładowy wykres funkcji dwóch zmiennych]] | [[File:fun2_1.png|thumb|250px|Rys. 1 Przykładowy wykres funkcji dwóch zmiennych]] | ||
| + | |||
=== Przykład === | === Przykład === | ||
| Linia 8: | Linia 13: | ||
[[File:fun2_2a.png|thumb|250px|Rys. 2a Obszar zmienności funkcji <math>z=\sqrt{9-x^2-y^2}</math>]] | [[File:fun2_2a.png|thumb|250px|Rys. 2a Obszar zmienności funkcji <math>z=\sqrt{9-x^2-y^2}</math>]] | ||
[[File:fun2_2b.png|thumb|250px|Rys. 2b Wykres funkcji <math>z=\sqrt{9-x^2-y^2}</math>]] | [[File:fun2_2b.png|thumb|250px|Rys. 2b Wykres funkcji <math>z=\sqrt{9-x^2-y^2}</math>]] | ||
| + | * Inne przykłady wykresów funkcji dwóch zmiennych znajdują się na rysunkach [[Media:fun2_2b1.png|Rys. 2c]] (funkcja <math>z=-\sqrt{x^2+y^2}</math>) i [[Media:fun2_2b2.png|Rys. 2d]] (funkcja <math>z=xy</math>) | ||
| + | [[File:fun2_2b1.png|thumb|250px|Rys. 2c Wykres funkcji <math>z=-\sqrt{x^2+y^2}</math>]] | ||
| + | [[File:fun2_2b2.png|thumb|250px|Rys. 2d Wykres funkcji <math>z=xy</math>]] | ||
== Pochodna cząstkowa I-go rzędu funkcji dwóch zmiennych == | == Pochodna cząstkowa I-go rzędu funkcji dwóch zmiennych == | ||
| Linia 35: | Linia 43: | ||
== Pochodne cząstkowe II-go rzędu funkcji dwóch zmiennych == | == Pochodne cząstkowe II-go rzędu funkcji dwóch zmiennych == | ||
| - | Niech funkcja <math>f(x,y)</math> ma pochodne cząstkowe <math>\frac{\partial f}{\partial x}</math> i | + | Niech funkcja <math>f(x,y)</math> ma pochodne cząstkowe <math>\frac{\partial f}{\partial x}</math> i <math>\frac{\partial f}{\partial y}</math> przynajmniej w otoczeniu punktu <math>(x_0, y_0)</math>, przy czym przez otoczenie punktu (na płaszczyźnie) rozumiemy każdy okrąg o środku w punkcie <math>(x_0, y_0)</math>. To pochodne cząstkowe drugiego rzędu tej funkcji w punkcie <math>(x_0, y_0)</math> określamy wzorami: |
:<math>\frac{\partial^2f(x_0,y_0)}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x} ( {\partial f(x_0,y_0)\over{\partial x}}) \text{, }\frac{\partial^2f(x_0,y_0)}{\partial x \partial y} = \frac{\partial}{\partial x} ( {\partial f(x_0,y_0)\over{\partial y}})</math> | :<math>\frac{\partial^2f(x_0,y_0)}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x} ( {\partial f(x_0,y_0)\over{\partial x}}) \text{, }\frac{\partial^2f(x_0,y_0)}{\partial x \partial y} = \frac{\partial}{\partial x} ( {\partial f(x_0,y_0)\over{\partial y}})</math> | ||
:<math>\frac{\partial^2f(x_0,y_0)}{\partial y^2} = \frac{\partial}{\partial y} ( {\partial f(x_0,y_0)\over{\partial y}})\text{, }\frac{\partial^2f(x_0,y_0)}{\partial y \partial x} = \frac{\partial}{\partial y} ( {\partial f(x_0,y_0)\over{\partial x}})</math> | :<math>\frac{\partial^2f(x_0,y_0)}{\partial y^2} = \frac{\partial}{\partial y} ( {\partial f(x_0,y_0)\over{\partial y}})\text{, }\frac{\partial^2f(x_0,y_0)}{\partial y \partial x} = \frac{\partial}{\partial y} ( {\partial f(x_0,y_0)\over{\partial x}})</math> | ||
| - | Można je oznaczyć np. następującymi symbolami <math>f_{xx}(x_0,y_0),f_{xy}(x_0,y_0),f_{yy}(x_0,y_0),f_{yx}(x_0,y_0)</math> | + | Można je oznaczyć np. następującymi symbolami <math>f_{xx}^{\prime \prime}(x_0,y_0),f_{xy}^{\prime \prime}(x_0,y_0),f_{yy}^{\prime \prime}(x_0,y_0),f_{yx}^{\prime \prime}(x_0,y_0)</math>. |
| + | |||
| + | Jeżeli w pewnym otoczeniu punktu <math>(x_0, y_0)</math> istnieją pochodne <math>f_{xy}^{\prime \prime}(x_0,y_0), f_{yx}^{\prime \prime}(x_0,y_0)</math> i są w tym punkcie ciągłe to | ||
| + | |||
| + | :<math>f_{xy}^{\prime \prime}(x_0,y_0) = f_{yx}^{\prime \prime}(x_0,y_0),</math> | ||
| + | |||
| + | co oznacza, że w przypadku takich funkcji kolejność różniczkowania nie ma znaczenia. | ||
| + | |||
| + | === Przykład === | ||
| + | Obliczymy teraz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji <math>z=f(x,y)=x^3y^3-2x^2</math>. Skorzystamy z obliczonych powyżej pochodnych cząstkowych rzędu pierwszego. | ||
| + | |||
| + | :<math>f_{xx}^{\prime \prime}(x,y) = \frac{\partial^2f(x,y)}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x} ( {\partial f(x,y)\over{\partial x}}) = \frac{\partial}{\partial x}(3x^2y^3-4x) = 6xy^3 - 4,</math> | ||
| + | :<math>f_{yy}^{\prime \prime}(x,y) = \frac{\partial^2f(x,y)}{\partial y^2} = \frac{\partial}{\partial y} ( {\partial f(x,y)\over{\partial y}}) = \frac{\partial}{\partial y}(3x^3y^2) = 6x^3y,</math> | ||
| + | :<math>f_{yx}^{\prime \prime}(x,y) = \frac{\partial^2f(x,y)}{\partial y \partial x} = \frac{\partial}{\partial x} ( {\partial f(x,y)\over{\partial y}}) = \frac{\partial}{\partial x}(3x^3y^2) = 9x^2y^2,</math> | ||
| + | :<math>f_{xy}^{\prime \prime}(x,y) = \frac{\partial^2f(x,y)}{\partial x \partial y} = \frac{\partial}{\partial y} ( {\partial f(x,y)\over{\partial x}}) = \frac{\partial}{\partial y}(3x^2y^3-4x) = 9x^2y^2.</math> | ||
| + | |||
| + | Jak widzimy pochodne rzędu drugiego ''mieszane'' <math>f_{xy}^{\prime \prime}(x,y)</math> i <math>f_{yx}^{\prime \prime}(x,y)</math> są sobie równe. | ||
== Ekstremum lokalne funkcji dwóch zmiennych == | == Ekstremum lokalne funkcji dwóch zmiennych == | ||
| Linia 51: | Linia 75: | ||
=== Warunek wystarczający istnienia lokalnego ekstremum === | === Warunek wystarczający istnienia lokalnego ekstremum === | ||
| - | Jeżeli spełniony jest warunek konieczny istnienia lokalnego ekstremum oraz | + | Jeżeli spełniony jest warunek konieczny istnienia lokalnego ekstremum oraz wartość w punkcie <math>(x_0, y_0)</math> podanego poniżej wyznacznika jest dodatnia |
:<math> W(x_0,y_0) = | :<math> W(x_0,y_0) = | ||
\begin{vmatrix} | \begin{vmatrix} | ||
| Linia 59: | Linia 83: | ||
>0 | >0 | ||
</math> | </math> | ||
| - | + | to wtedy funkcja <math>f(x,y)</math> ma w punkcie <math>(x_0, y_0)</math> ekstremum lokalne i jest to minimum, jeżeli <math>\frac{\partial^2f(x_0,y_0)}{\partial x^2}>0 \text{ lub } \frac{\partial^2f(x_0,y_0)}{\partial y^2}>0</math> | |
| - | albo maksimum, jeżeli <math>\frac{\partial^2f(x_0,y_0)}{\partial x^2}<0 \text{ lub } \frac{\partial^2f(x_0,y_0)}{\partial y^2}<0</math> | + | albo maksimum, jeżeli <math>\frac{\partial^2f(x_0,y_0)}{\partial x^2}<0 \text{ lub } \frac{\partial^2f(x_0,y_0)}{\partial y^2}<0.</math> |
Ponadto | Ponadto | ||
*Jeżeli <math> W(x_0,y_0) < 0 </math> to funkcja <math>f(x,y)</math> nie ma ekstremum w punkcie <math>(x_0, y_0)</math>, | *Jeżeli <math> W(x_0,y_0) < 0 </math> to funkcja <math>f(x,y)</math> nie ma ekstremum w punkcie <math>(x_0, y_0)</math>, | ||
*Jeżeli <math> W(x_0,y_0) = 0 </math> to nie można wnioskować o istnieniu bądź nie istnieniu ekstremum w punkcie <math>(x_0, y_0)</math>. | *Jeżeli <math> W(x_0,y_0) = 0 </math> to nie można wnioskować o istnieniu bądź nie istnieniu ekstremum w punkcie <math>(x_0, y_0)</math>. | ||
| + | |||
| + | I podobnie jak w przypadku znajdowania ekstremum lokalnego funkcji jednej zmiennej rozwiązaniem układu równań stanowiących warunek konieczny istnienia ekstremum funkcji jest zbiór punktów ''podejrzanych'' o to, że funkcja może mieć w nich ekstremum, ale nie musi. Dopiero większa od zera wartość wyznacznika <math>W</math> (warunek wystarczający istnienia ekstremum lokalnego) w punkcie ''podejrzanym'' przesądza o istnieniu ekstremum. | ||
== Ekstremum warunkowe funkcji dwóch zmiennych == | == Ekstremum warunkowe funkcji dwóch zmiennych == | ||
| Linia 71: | Linia 97: | ||
| - | Warunkiem koniecznym istnienia lokalnego ekstremum warunkowego funkcji <math>f(x,y)</math> przy warunku <math>w(x,y)=0</math> jest | + | Warunkiem koniecznym istnienia lokalnego ekstremum warunkowego funkcji <math>f(x,y)</math> przy warunku <math>w(x,y)=0</math> jest zerowanie się następującego wyznacznika |
:<math>\left| \begin{array}{cc} | :<math>\left| \begin{array}{cc} | ||
| Linia 101: | Linia 127: | ||
| - | Znaleźć ekstremum funkcji <math>f(x,y)=x^2+y^2</math> przy warunku <math>w(x,y)=x+y- | + | Znaleźć ekstremum funkcji <math>f(x,y)=x^2+y^2</math> przy warunku <math>w(x,y)=x+y-2=0</math>.<br /> |
Funkcja pomocnicza Lagrange’a ma postać | Funkcja pomocnicza Lagrange’a ma postać | ||
| - | <math>\begin{aligned} | + | :<math>\begin{aligned} |
| - | P(x,y) = x^2 + y^2 + \lambda (x+y- | + | P(x,y) = x^2 + y^2 + \lambda (x+y-2), \nonumber \end{aligned}</math> |
a układ równań z jej pochodnymi cząstkowymi | a układ równań z jej pochodnymi cząstkowymi | ||
| Linia 120: | Linia 146: | ||
:<math>\left\{ \begin{array}{ccc} | :<math>\left\{ \begin{array}{ccc} | ||
y & = & x \\ | y & = & x \\ | ||
| - | x + y - | + | x + y - 2 & = & 0 \\ |
\end{array} \right.</math> | \end{array} \right.</math> | ||
| - | którego rozwiązaniem jest jeden punkt <math>A(1,1)</math>. Jest to punkt podejrzany o to, że może w nim być ekstremum warunkowe. Albo innymi słowy: jeżeli funkcja <math>f(x,y)=x^2+y^2</math> posiada ekstremum warunkowe to tylko w punkcie <math>A(1,1)</math>. Musimy sprawdzić warunek wystarczający istnienia ekstremum. Z warunku <math>w(x,y)=0</math> otrzymujemy <math>y= | + | którego rozwiązaniem jest jeden punkt <math>A(1,1)</math>. Jest to punkt podejrzany o to, że może w nim być ekstremum warunkowe. Albo innymi słowy: jeżeli funkcja <math>f(x,y)=x^2+y^2</math> posiada ekstremum warunkowe to tylko w punkcie <math>A(1,1)</math>. Musimy sprawdzić warunek wystarczający istnienia ekstremum. Z warunku <math>w(x,y)=0</math> otrzymujemy <math>y=2-x</math>, a funkcja <math>f(x,y)=x^2+y^2=x^2+(2-x)^2=2x^2-4x+4=g(x)</math> staje się funkcją jednej zmiennej (zazwyczaj otrzymujemy tutaj tzw. funkcję uwikłaną i taką funkcją w ogólności trzeba się tutaj zajmować - to jednak wykracza poza zakres naszego kursu). Badając znanymi nam sposobami ekstremum funkcji <math>g(x)</math> znajdujemy, że <math>g'(x)=4x-4</math>, <math>g'(x)=0</math> dla <math> x=1 </math>, a także <math>g''(1)=4>0</math>. Zatem ekstremum warunkowe funkcji <math>f(x,y)=x^2+y^2</math> przy warunku <math>w(x,y)=x+y-2=0</math> znajduje się w punkcie <math>A(1,1)</math>. |
| + | |||
| + | == Definicja funkcji trzech zmiennych == | ||
| + | Funkcją trzech zmiennych <math>w=f(x,y,z)</math> będziemy nazywać przyporządkowanie trzem liczbą rzeczywistym <math>(x,y,z)</math> dokładnie jednej liczby rzeczywistej <math>w</math>. | ||
| + | Zatem dziedziną funkcji <math>f(x,y,z)</math> będzie zbiór <math>D \subset R^3 </math> taki, że dla dowolnych trzech liczb <math>(x,y,z) \in D </math> istnieje <math>w=f(x,y,z)</math>. | ||
| + | Dziedzinę można go przedstawiać jako pewien obszar w przestrzeni trójwymiarowej <math>XYZ</math>. | ||
| + | :<math>f: R^3 \supset D \ni (x,y,z) \to f(x,y,z) \in R</math> | ||
| + | Nie ma prostego przedstawienia wykresu funkcji trzech zmiennych (wykres leży w przestrzeni czterowymiarowej) | ||
== Zadania == | == Zadania == | ||
Wersja z 19:55, 6 mar 2014
Spis treści |
Definicja i wykres funkcji dwóch zmiennych
Funkcją dwóch zmiennych \(z=f(x,y)\) będziemy nazywać przyporządkowanie parze liczb rzeczywistych \((x,y)\) dokładnie jednej liczby rzeczywistej \(z\). Zatem dziedziną funkcji \(f(x,y)\) będzie zbiór \(D \subset R \times R \) taki, że dla dowolnej pary \((x,y) \in D \) istnieje \(z=f(x,y)\). Dziedzinę można go przedstawiać jako pewien obszar na płaszczyźnie \(XY\). \[f: R^2 \supset D \ni (x,y) \to f(x,y) \in R\] Wykres funkcji dwóch zmiennych jest powierzchnią i może być przedstawiony w przestrzeni trójwymiarowej \(XYZ\) (Rys. 1).
Przykład
- Inne przykłady wykresów funkcji dwóch zmiennych znajdują się na rysunkach Rys. 2c (funkcja \(z=-\sqrt{x^2+y^2}\)) i Rys. 2d (funkcja \(z=xy\))
Pochodna cząstkowa I-go rzędu funkcji dwóch zmiennych
Pochodna cząstkowa dla danej funkcji dwóch zmiennych jest to pochodna względem jednej z jej zmiennych przy ustaleniu drugiej.
Symbol pochodnej cząstkowej ∂ to zaokrąglona wersja litery alfabetu greckiego delta. Pochodną cząstkową możemy zapisać w następujący sposób
- \(f^\prime_x,\ f_x,\ \partial_x f, \frac{\partial}{\partial x}f, \text{ lub } \frac{\partial f}{\partial x}\)
Niech funkcja \(f\) będzie określona przynajmniej na otoczeniu punktu \((x_0, y_0)\).
Pochodną cząstkową pierwszego rzędu funkcji \(f\) względem zmiennej \(x\) w punkcie \((x_0, y_0)\) określamy wzorem
\[\frac{ \partial }{\partial x }f(x_0,y_0) = \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{ f(x_0 + \Delta x,y_0) - f(x_0,y_0) \over{\Delta x} }\]
Pochodną cząstkową pierwszego rzędu funkcji \(f\) względem zmiennej \(y\) w punkcie \((x_0, y_0)\) określamy wzorem
\[\frac{ \partial }{\partial y }f(x_0,y_0) = \lim_{\Delta y \rightarrow 0}{ f(x_0,y_0 + \Delta y) - f(x_0,y_0) \over{\Delta y} }\]
Przykład
Pochodna cząstkowa funkcji \(z=f(x,y)=x^3y^3-2x^2\)
- Pochodna względem zmiennej \(x\),
\(\frac{ \partial }{\partial x }f(x,y) = 3x^2y^3-4x\)
- Pochodna względem zmiennej \(y\),
\(\frac{ \partial }{\partial y }f(x,y) = x^3 3y^2\)
Pochodne cząstkowe II-go rzędu funkcji dwóch zmiennych
Niech funkcja \(f(x,y)\) ma pochodne cząstkowe \(\frac{\partial f}{\partial x}\) i \(\frac{\partial f}{\partial y}\) przynajmniej w otoczeniu punktu \((x_0, y_0)\), przy czym przez otoczenie punktu (na płaszczyźnie) rozumiemy każdy okrąg o środku w punkcie \((x_0, y_0)\). To pochodne cząstkowe drugiego rzędu tej funkcji w punkcie \((x_0, y_0)\) określamy wzorami: \[\frac{\partial^2f(x_0,y_0)}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x} ( {\partial f(x_0,y_0)\over{\partial x}}) \text{, }\frac{\partial^2f(x_0,y_0)}{\partial x \partial y} = \frac{\partial}{\partial x} ( {\partial f(x_0,y_0)\over{\partial y}})\] \[\frac{\partial^2f(x_0,y_0)}{\partial y^2} = \frac{\partial}{\partial y} ( {\partial f(x_0,y_0)\over{\partial y}})\text{, }\frac{\partial^2f(x_0,y_0)}{\partial y \partial x} = \frac{\partial}{\partial y} ( {\partial f(x_0,y_0)\over{\partial x}})\]
Można je oznaczyć np. następującymi symbolami \(f_{xx}^{\prime \prime}(x_0,y_0),f_{xy}^{\prime \prime}(x_0,y_0),f_{yy}^{\prime \prime}(x_0,y_0),f_{yx}^{\prime \prime}(x_0,y_0)\).
Jeżeli w pewnym otoczeniu punktu \((x_0, y_0)\) istnieją pochodne \(f_{xy}^{\prime \prime}(x_0,y_0), f_{yx}^{\prime \prime}(x_0,y_0)\) i są w tym punkcie ciągłe to
\[f_{xy}^{\prime \prime}(x_0,y_0) = f_{yx}^{\prime \prime}(x_0,y_0),\]
co oznacza, że w przypadku takich funkcji kolejność różniczkowania nie ma znaczenia.
Przykład
Obliczymy teraz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji \(z=f(x,y)=x^3y^3-2x^2\). Skorzystamy z obliczonych powyżej pochodnych cząstkowych rzędu pierwszego.
\[f_{xx}^{\prime \prime}(x,y) = \frac{\partial^2f(x,y)}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x} ( {\partial f(x,y)\over{\partial x}}) = \frac{\partial}{\partial x}(3x^2y^3-4x) = 6xy^3 - 4,\] \[f_{yy}^{\prime \prime}(x,y) = \frac{\partial^2f(x,y)}{\partial y^2} = \frac{\partial}{\partial y} ( {\partial f(x,y)\over{\partial y}}) = \frac{\partial}{\partial y}(3x^3y^2) = 6x^3y,\] \[f_{yx}^{\prime \prime}(x,y) = \frac{\partial^2f(x,y)}{\partial y \partial x} = \frac{\partial}{\partial x} ( {\partial f(x,y)\over{\partial y}}) = \frac{\partial}{\partial x}(3x^3y^2) = 9x^2y^2,\] \[f_{xy}^{\prime \prime}(x,y) = \frac{\partial^2f(x,y)}{\partial x \partial y} = \frac{\partial}{\partial y} ( {\partial f(x,y)\over{\partial x}}) = \frac{\partial}{\partial y}(3x^2y^3-4x) = 9x^2y^2.\]
Jak widzimy pochodne rzędu drugiego mieszane \(f_{xy}^{\prime \prime}(x,y)\) i \(f_{yx}^{\prime \prime}(x,y)\) są sobie równe.
Ekstremum lokalne funkcji dwóch zmiennych
- Funkcja \(f(x,y)\) ma w punkcie \((x_0, y_0)\) minimum lokalne, jeżeli istnieje otoczenie tego punktu takie, że dla dowolnego \((x, y)\) z tego otoczenia zachodzi nierówność \(f(x, y) \ge f(x_0, y_0)\).
- Funkcja \(f(x,y)\) ma w punkcie \((x_0, y_0)\) maksimum lokalne, jeżeli istnieje otoczenie tego punktu takie, że dla dowolnego \((x, y)\) z tego otoczenia zachodzi nierówność \(f(x, y) \le f(x_0, y_0)\).
Warunek konieczny istnienia lokalnego ekstremum
Jeżeli funkcja \(f(x,y)\) ma ekstremum lokalne w punkcie \((x_0, y_0)\) oraz istnieją pochodne cząstkowe \( \frac{\partial f(x_0,y_0)}{\partial x}\) i \(\frac{\partial f(x_0,y_0)}{\partial y}\) to \[\frac{\partial f(x_0,y_0)}{\partial x}=\frac{\partial f(x_0,y_0)}{\partial y}=0\]
Warunek wystarczający istnienia lokalnego ekstremum
Jeżeli spełniony jest warunek konieczny istnienia lokalnego ekstremum oraz wartość w punkcie \((x_0, y_0)\) podanego poniżej wyznacznika jest dodatnia \[ W(x_0,y_0) = \begin{vmatrix} \frac{\partial^2f(x_0,y_0)}{\partial x^2} & \frac{\partial^2f(x_0,y_0)}{\partial x \partial y} \\ \frac{\partial^2f(x_0,y_0)}{\partial y \partial x} & \frac{\partial^2f(x_0,y_0)}{\partial y^2} \end{vmatrix} >0 \] to wtedy funkcja \(f(x,y)\) ma w punkcie \((x_0, y_0)\) ekstremum lokalne i jest to minimum, jeżeli \(\frac{\partial^2f(x_0,y_0)}{\partial x^2}>0 \text{ lub } \frac{\partial^2f(x_0,y_0)}{\partial y^2}>0\) albo maksimum, jeżeli \(\frac{\partial^2f(x_0,y_0)}{\partial x^2}<0 \text{ lub } \frac{\partial^2f(x_0,y_0)}{\partial y^2}<0.\)
Ponadto
- Jeżeli \( W(x_0,y_0) < 0 \) to funkcja \(f(x,y)\) nie ma ekstremum w punkcie \((x_0, y_0)\),
- Jeżeli \( W(x_0,y_0) = 0 \) to nie można wnioskować o istnieniu bądź nie istnieniu ekstremum w punkcie \((x_0, y_0)\).
I podobnie jak w przypadku znajdowania ekstremum lokalnego funkcji jednej zmiennej rozwiązaniem układu równań stanowiących warunek konieczny istnienia ekstremum funkcji jest zbiór punktów podejrzanych o to, że funkcja może mieć w nich ekstremum, ale nie musi. Dopiero większa od zera wartość wyznacznika \(W\) (warunek wystarczający istnienia ekstremum lokalnego) w punkcie podejrzanym przesądza o istnieniu ekstremum.
Ekstremum warunkowe funkcji dwóch zmiennych
Rozważaliśmy już znajdowanie ekstremów lokalnych funkcji dwóch zmiennych \(f(x,y)\). Gdy na ekstremum funkcji \(f(x,y)\) w punkcie o współrzędnych \((x_0,y_0)\) nałożymy dodatkowy warunek \(w(x,y)=0\), to otrzymamy ekstremum warunkowe funkcji \(f(x,y)\) przy warunku \(w(x,y)=0\). Oczywiście musi zachodzić \(w(x_0,y_0)=0\).
Warunkiem koniecznym istnienia lokalnego ekstremum warunkowego funkcji \(f(x,y)\) przy warunku \(w(x,y)=0\) jest zerowanie się następującego wyznacznika
\[\left| \begin{array}{cc} \frac{\delta f}{\delta x}(x_0,y_0) & \frac{\delta f}{\delta y}(x_0,y_0) \\ \frac{\delta w}{\delta x}(x_0,y_0) & \frac{\delta w}{\delta y}(x_0,y_0) \\ \end{array} \right| = 0\]
Oznacza to, że rozwiązując następujący układ równań:
\[w(x,y) = 0, \quad \left| \begin{array}{cc} \frac{\delta f}{\delta x} & \frac{\delta f}{\delta y} \\ \frac{\delta w}{\delta x} & \frac{\delta w}{\delta y} \\ \end{array} \right| = 0\]
dostaniemy zbiór punktów \((x,y)\), w których może być ekstremum. Jest to jedynie warunek konieczny, co oznacza, że w każdym z otrzymanych punktów należy zbadać, czy funkcja \(f(x,y)\) ma ekstremum. Do znajdowania ekstremum warunkowego funkcji dwóch zmiennych \(f(x,y)\) przy warunku \(w(x,y)=0\) najczęściej stosuje się metodę czynników nieoznaczonych Lagrange’a, w której tworzymy tzw. funkcję pomocniczą Lagrange’a
\[\begin{aligned} P(x,y) = f(x,y) + \lambda w(x,y), \nonumber \end{aligned}\]
gdzie \(\lambda\) jest czynnikiem nieoznaczonym. Kolejnym krokiem jest utworzenie układu równań z pochodnymi cząstkowymi funkcji \(P(x,y)\)
\[\left\{ \begin{array}{ccc} \frac{\delta P}{\delta x} & = & 0 \\ \frac{\delta P}{\delta y} & = & 0 \\ \end{array} \right.\]
a po wyeliminowaniu z niego czynnika nieoznaczonego \(\lambda\), do rozwiązania dołączamy warunek \(w(x,y)=0\) i po rozwiązaniu otrzymanego układu równań dostajemy zbiór punktów, w których funkcja \(f(x,y)\) może mieć ekstremum przy warunku \(w(x,y)\). I jak zwykle, na przykładzie pokażemy jak stosować metodę czynników nieoznaczonych Lagrange’a.
Znaleźć ekstremum funkcji \(f(x,y)=x^2+y^2\) przy warunku \(w(x,y)=x+y-2=0\).
Funkcja pomocnicza Lagrange’a ma postać
\[\begin{aligned} P(x,y) = x^2 + y^2 + \lambda (x+y-2), \nonumber \end{aligned}\]
a układ równań z jej pochodnymi cząstkowymi
\[\left\{ \begin{array}{cccc} \frac{\delta P}{\delta x} & = 2x + \lambda & = & 0 \\ \frac{\delta P}{\delta y} & = 2y + \lambda & = & 0 \\ \end{array} \right.\]
po wyeliminowaniu czynnika \(\lambda\) ma rozwiązanie \(y=x\). Do rozwiązania pozostaje układ równań
\[\left\{ \begin{array}{ccc} y & = & x \\ x + y - 2 & = & 0 \\ \end{array} \right.\]
którego rozwiązaniem jest jeden punkt \(A(1,1)\). Jest to punkt podejrzany o to, że może w nim być ekstremum warunkowe. Albo innymi słowy: jeżeli funkcja \(f(x,y)=x^2+y^2\) posiada ekstremum warunkowe to tylko w punkcie \(A(1,1)\). Musimy sprawdzić warunek wystarczający istnienia ekstremum. Z warunku \(w(x,y)=0\) otrzymujemy \(y=2-x\), a funkcja \(f(x,y)=x^2+y^2=x^2+(2-x)^2=2x^2-4x+4=g(x)\) staje się funkcją jednej zmiennej (zazwyczaj otrzymujemy tutaj tzw. funkcję uwikłaną i taką funkcją w ogólności trzeba się tutaj zajmować - to jednak wykracza poza zakres naszego kursu). Badając znanymi nam sposobami ekstremum funkcji \(g(x)\) znajdujemy, że \(g'(x)=4x-4\), \(g'(x)=0\) dla \( x=1 \), a także \(g''(1)=4>0\). Zatem ekstremum warunkowe funkcji \(f(x,y)=x^2+y^2\) przy warunku \(w(x,y)=x+y-2=0\) znajduje się w punkcie \(A(1,1)\).
Definicja funkcji trzech zmiennych
Funkcją trzech zmiennych \(w=f(x,y,z)\) będziemy nazywać przyporządkowanie trzem liczbą rzeczywistym \((x,y,z)\) dokładnie jednej liczby rzeczywistej \(w\). Zatem dziedziną funkcji \(f(x,y,z)\) będzie zbiór \(D \subset R^3 \) taki, że dla dowolnych trzech liczb \((x,y,z) \in D \) istnieje \(w=f(x,y,z)\). Dziedzinę można go przedstawiać jako pewien obszar w przestrzeni trójwymiarowej \(XYZ\). \[f: R^3 \supset D \ni (x,y,z) \to f(x,y,z) \in R\] Nie ma prostego przedstawienia wykresu funkcji trzech zmiennych (wykres leży w przestrzeni czterowymiarowej)
Zadania
- Wyznacz dziedzinę następujących funkcji:
- \(f(x,y)={3x+5 \over{x^2+(y-1)^2}}\)
- \(f(x,y)=\ln(x^2+y^2+6x+8y)-10x+\sqrt{3}\)
- \(f(x,y)=\sqrt[4]{6-3x^2-3y^2}+{1 \over{2x+y}}\)
- Obliczyć pochodne cząstkowe funkcji
- \(f(x,y)=x^{\frac{2}{y}}-\log_{10}(xy^2) \text{ dla } x>0 \text{ i } y \ne 0 \)
- \( f(x,y) = \begin{cases} {\sin(x^2y) \over{x^2+y^2}} & \text{ dla } & (x,y) \ne (0,0) \\ 0 & \text{ dla } & (x,y)=(0,0) \end{cases} \)
- \( f(x,y) = \begin{cases} {x^2-y+1) \over{\sqrt{x^2+(y-1)^2}}} & \text{ dla } & (x,y) \ne (0,1) \\ 0 & \text{ dla } & (x,y)=(0,1) \end{cases} \)
- Wyznaczyć pochodne cząstkowe rzędu drugiego dla:
- \(f(x,y)=\sqrt{5x^4+y^8}\)
- \(f(x,y)=\arctan{\frac{y^2}{x}} \text{ dla } x \ne 0\)
- Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji
- \(f(x,y)=e^{3x-2y}(3x^2-y^2)\)
- \(f(x,y)=-8x^3+y^3-24xy-4\)
- \(f(x,y)=3x^8+3y^8+8x^3y^3\)
- \(f(x,y)=y^2-3x^2y-x^3y\)
- \(f(x,y)=24xy-2x^3y-4xy^2\)