|
|
| Linia 1: |
Linia 1: |
| - | [[Category:KURS MATEMATYKI]]
| + | '''W przygotowaniu''' |
| - | == Funkcje - podstawowe własności ==
| + | |
| - | | + | |
| - | Funkcja jest podstawowym pojęciem w analizie matematycznej. W trakcie tego wykładu podamy definicję funkcji, omówimy jej podstawowe własności, podamy przykłady najczęściej używanych funkcji, a zakończymy wprowadzeniem pojęcia granicy i ciągłości funkcji. Będziemy rozważać jedynie funkcje określone i mające wartości w zbiorach liczbowych.
| + | |
| - | | + | |
| - | === Funkcja - definicja ===
| + | |
| - | | + | |
| - | W zbiorze liczbowym <math>X</math> jest określona funkcja <math>f</math> jeżeli każdemu <math>x \in X</math> przyporządkowana jest dokładnie jedna liczba <math>y \in Y</math>. Zbiór <math>X</math> nazywamy dziedziną funkcji, a zbiór <math>Y</math> to zbiór wartości funkcji, nazywany także przeciwdziedziną.<br />
| + | |
| - | | + | |
| - | Jest to definicja funkcji liczbowej jednej zmiennej <math>x</math> i jeżeli nie określimy tego inaczej będziemy rozpatrywać funkcje zmiennej rzeczywistej o wartościach w zbiorze lub podzbiorze liczb rzeczywistych. Poniżej przypomnimy zakończenie wykładu z logiki.<br />
| + | |
| - | | + | |
| - | Funkcją określoną na zbiorze <math>X \ne \oslash</math> o wartościach w zbiorze <math>Y \ne \oslash</math> nazywamy realcję <math>f \subset X \times Y</math> spełniającą następujące dwa warunki:
| + | |
| - | <br>
| + | |
| - | :<math>\bigwedge_{x \in X} \bigwedge_{y_1,y_2 \in Y} ((x,y_1) \in f \land (x,y_2) \in f) \Rightarrow y_1 = y_2,</math>
| + | |
| - | <br>
| + | |
| - | :<math>\bigwedge_{x \in X} \bigvee_{y \in Y} (x,y) \in f.\nonumber</math>
| + | |
| - | <br>
| + | |
| - | Zgodnie z tymi warunkami funkcja jest relacją prawostronnie jednoznaczną, której dziedziną jest zbiór <math>X</math>. Zatem relacja <math>f</math>, czyli funkcja <math>f</math> przyporządkowuje każdemu elementowi ze zbioru <math>X</math> (każdemu elementowi dziedziny funkcji) dokładnie jeden (prawostronna jednoznaczność) element przeciwdziedziny (zbioru wartości funkcji <math>Y</math>). Zwróćmy uwagę, że różnym wartościom <math>x \in X</math> mogą być przyporządkowane takie same wartości <math>y</math>, co znaczy tyle, że dla poprawnego zdefiniowania funkcji nie jest wymagana lewostronna jednoznaczność.<br />
| + | |
| - | | + | |
| - | Prawostronna jednoznaczność jest niezbędnie konieczna aby można było zdefiniować poprawnie funkcję. Widać to dobrze w przypadku funkcji zdefiniowanej następującym przepisem słownym: Godzinie 12:00 przyporządkuj temperaturę zmierzoną w Katowicach (i tak dla kolejnych dni). Ta funkcja jest zdefiniowana poprawnie, ponieważ o godzinie 12-tej zmierzymy jedną (i tylko jedną) wartość temperatury. Oczywiście gdyby wymaganie prawostronnej jednoznaczności nie było spełnione to o godz. 12:00 mielibyśmy np. 3 różne wartości temperatury, co jest "bez sensu", ponieważ na termometrze odczytujemy jedną wartość temperatury. Przykładowy wykres funkcji znajduje sie na rysunku [[Media:c1.jpg|Rys 1]]<br />
| + | |
| - | [[File:c1.jpg|thumb|250px|Rys. 1 Przykład funkcji]]
| + | |
| - | Wykres jest graficznym przestawieniem funkcji <math>f(x)</math> w układzie współrzędnych. Najczęściej stosowanym układem współrzędnych jest układ prostokątny, nazywany też [[Układy_współrzędnych#Układ współrzędnych kartezjańskich (prostokątny)|kartezjańskim]]. Tworzą go dwie osie: pozioma oś odciętych <math>x</math> oraz pionowa oś <math>y</math> (oś rzędnych) narysowane na płaszczyźnie utworzonej przez iloczyn kartezjański dwóch zbiorów liczb rzeczywistych. Wykres funkcji <math>y = f(x)</math> tworzy zbiór punktów <math>(x,y): x \in X, y \in Y</math>.<br />
| + | |
| - | | + | |
| - | Zazwyczaj funkcję określamy przy pomocy wzoru <math>y = f(x)</math>. Np.
| + | |
| - | | + | |
| - | *<math>y = f(x) = x^2</math>, funkcja kwadratowa,
| + | |
| - | *<math>y = sinx</math>, funkcja trygonometryczna <math>sinus</math>.
| + | |
| - | | + | |
| - | W tym wykładzie będziemy używać określenia funkcji wzorem, ale nie zawsze jest to możliwe. W przypadku gdy nie nie można podać funkcji wzorem posługujemy się tabelą lub przepisem słownym. Przyporządkowanie kolejnemu rokowi studiów pierwszego stopnia liczby studentów może być przykładem zdefiniowania funkcji przy pomocy tabeli:
| + | |
| - | | + | |
| - | {| class="wikitable" style="text-align: left;"
| + | |
| - | | <math>x</math> (rok studiów) || 1 || 2 || 3
| + | |
| - | |-
| + | |
| - | | <math>y</math> (liczba studentów) || 86 || 58 || 33
| + | |
| - | |}
| + | |
| - | Zdefiniowaniem funkcji przepisem słownym było przyporządkowanie godzinie 12-tej temperatury zmierzonej w Katowicach. Innym przykładem jest: każdej liczbie naturalnej <math>x</math> przyporządkuj jej odwrotność <math>y</math>. Oczywiście tak zdefiniowana funkcja <math>y(x)</math> może być podana zarówno wzorem <math>y(x)=1/x</math>, jak i przy pomocy tabeli
| + | |
| - | | + | |
| - | {| class="wikitable" style="text-align: left;"
| + | |
| - | | <math>x</math> || 1 || 2 || 3 || 4 || 5 || <math>\ldots</math>
| + | |
| - | |-
| + | |
| - | | <math>y</math> || 1 || <math>\frac{1}{2}</math> || <math>\frac{1}{3}</math> || <math>\frac{1}{4}</math>|| <math>\frac{1}{5}</math> || <math>\ldots</math>
| + | |
| - | |}
| + | |
| - | | + | |
| - | Teraz omówimy ogólne własności funkcji.
| + | |
| - | | + | |
| - | === Różnowartościowość ===
| + | |
| - | | + | |
| - | Funkcja <math>y=f(x)</math> jest różnowartościowa w przedziale <math>(a,b)</math> jeżeli
| + | |
| - | | + | |
| - | :<math>\begin{aligned}
| + | |
| - | \bigwedge_{x_1,x_2 \in (a,b)} (x_1 \neq x_2) \Rightarrow f(x_1) \neq f(x_2).\nonumber\end{aligned}</math>
| + | |
| - | | + | |
| - | Np. funkcja kwadratowa <math>f(x)=x^2</math> jest różnowartościowa dla <math>x \in [0,\infty )</math>, a także dla <math>x \in (-\infty ,0]</math>. Natomiast nie jest różnowartościowa dla <math>x \in (- \infty, \infty)</math>, ponieważ np. dla wartości <math>x_1=2</math> i <math>x_2=-2, (x_1 \neq x_2)</math> otrzymujemy <math>f(x_1) = f(x_2) = 4</math>.
| + | |
| - | | + | |
| - | === Monotoniczność ===
| + | |
| - | | + | |
| - | Znalezienie przedziałów monotoniczności funkcji to inaczej znalezienie przedziałów w których funkcja jest rosnąca ([[Media:c2a.png|Rys 2a]]) bądź malejąca ([[Media:c2b.png|Rys 2b]]). I tak funkcja <math>y = f(x)</math> jest rosnąca (gdy rośnie argument funkcji to i wartości funkcji rosną) w przedziale <math>(a,b)</math> jeżeli
| + | |
| - | | + | |
| - | :<math>\begin{aligned}
| + | |
| - | \bigwedge_{x_1,x_2 \in (a,b)} (x_1 < x_2) \Rightarrow f(x_1) < f(x_2).\nonumber\end{aligned}</math>
| + | |
| - | | + | |
| - | I podobnie (inny znak nierówności) funkcja <math>y = f(x)</math> jest malejąca (gdy argumenty funkcji maleją to wartości funkcji rosną) przedziale <math>(a,b)</math> jezeli
| + | |
| - | | + | |
| - | :<math>\begin{aligned}
| + | |
| - | \bigwedge_{x_1,x_2 \in (a,b)} (x_1 < x_2) \Rightarrow f(x_1) > f(x_2).\nonumber\end{aligned}</math>
| + | |
| - | | + | |
| - | Funkcja <math>y = f(x)</math> jest stała w przedziale <math>(a,b)</math> jeżeli
| + | |
| - | | + | |
| - | :<math>\begin{aligned}
| + | |
| - | \bigwedge_{x \in (a,b)} f(x) =c, \nonumber\end{aligned}</math>
| + | |
| - | | + | |
| - | gdzie <math>c</math> jest wartością stałą, czyli niezależną od <math>x</math> ([[Media:c2c.png|Rys 2c]]).
| + | |
| - | [[File:c2a.png|thumb|250px|Rys. 2a Funkcja rosnąca]] [[File:c2b.png|thumb|250px|Rys. 2b Funkcja malejąca]]
| + | |
| - | [[File:c2c.png|thumb|250px|Rys. 2c Funkcja stała]]
| + | |
| - | | + | |
| - | Jak przekonamy się w dalszej części wykładu, badanie monotoniczności nie jest zadaniem trudnym jeśli wykorzystamy pochodną funkcji.
| + | |
| - | | + | |
| - | === Funkcja odwrotna ===
| + | |
| - | | + | |
| - | Jeżeli funkcja <math>y = f(x)</math> jest różnowartościowa w przedziale <math>[a,b]</math>, a <math>[f(a),f(b)]</math> jest zbiorem wartości funkcji <math>f(x)</math>, wtedy funkcja <math>x = f^{-1}(y)</math> jest funkcją odwrotną do funkcji <math>f(x)</math> jeżeli każdemu <math>y_0 \in [f(a),f(b)]</math> przyporządkowany jest <math>x_0 \in [a,b]</math> taki że <math>y_0 = f(x_0)</math>.
| + | |
| - | | + | |
| - | Zauważmy, że argumentem funkcji odwrotnej <math>x = f^{-1}(y)</math> jest <math>y</math>, który należy do zbioru wartości funkcji <math>f(x)</math>. Funkcja <math>f(x)</math> i funkcja odwrotna <math>f^{-1}(y)</math> mają taki sam wykres, ale w układach współrzędnych w których osie są zamienione miejscami: dla funkcji odwrotnej oś <math>y</math> jest osią odciętych. Rozpatrywanie wykresu w takcih współrzędnych jest kłopotliwe, i dlatego dla wygody dokonujemy zamiany współrzędnych <math>x \leftrightarrow y</math>. Wtedy wykresy obu funkcji, <math>f(x)</math> i <math>f^{-1}(x)</math> mogą być przedstawioen w tym samy układzie współrzędnych z osią odciętych <math>x</math>, a osią symetrii ich wykresów jest prosta <math>y = x</math>.
| + | |
| - | | + | |
| - | Zobaczymy to na przykładzie funkcji <math>y = f(x) = x^2</math>, która jak pamiętamy jest różnowartościowa dla <math>x \in [0,\infty )</math>. Dlatego w tym przedziale argumentów możemy utworzyć funkcję odwrotną <math>x = \sqrt y, y \in [0, \infty )</math>. A po zamianie zmiennych <math>x \leftrightarrow y</math> funkcją odwrotną dla funkcji <math>y = x^2</math> jest funkcja <math>y = \sqrt x</math>. Patrz [[Media:f3.png|Rys. 3]].
| + | |
| - | | + | |
| - | [[File:f3.png|thumb|250px|Rys. 3 Przykład funkcji odwrotnej]]
| + | |
| - | | + | |
| - | Jak widać obie funkcje <math>y = x^2</math> oraz <math>y = \sqrt x</math> są rosnące. I nie jest to przypadek. Można udowodnić, że monotoniczność funkcji i funkcji do niej odwrotnej jest taka sama.
| + | |
| - | | + | |
| - | === Funkcja złożona ===
| + | |
| - | | + | |
| - | Dotychczas rozważaliśmy funkcje, których argumentem była zmienna niezależna <math>x</math>, ale nie zawsze tak musi być. Mówimy wtedy o funkcji złożonej. I tak, jeżeli <math>w = g(x), x \in X, w \in W</math>, a <math>y = h(w), w \in W, y \in Y</math> to funkcje <math>g</math> i <math>h</math> przyporządkowują <math>x \in X</math> dokładnie jeden <math>y \in Y</math> i tym samym określają nową funkcję <math>h(g(x))</math>. Funkcja <math>h</math> jest funkcją złożoną. Funkcję <math>g</math> nazywamy funkcją wewnętrzną, a funkcję <math>h</math> funkcją zewnętrzną. Czasami zamiast oznaczenia <math>h(g(x))</math> można spotkać <math>f \circ g</math>. Ilustrację graficzną funkcji złożonej przedstawia [[Media:f33.png|Rys 4]].
| + | |
| - | | + | |
| - | [[File:f33.png|thumb|250px|Rys. 4 Funkcja złożona]]
| + | |
| - | | + | |
| - | Przykładem funkcji złożonej może być <math>y = sin (x^2)</math>, w której <math>w = g(x) = x^2</math> jest funkcją wewnętrzną ('''podniesienie do kwadratu'''), a <math>h(w) = h(x^2) = sin (x^2)</math> jest funkcją zewnętrzną '''(obliczenie sinusa)'''. Dziedziną tej funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych <math>\Re</math>.
| + | |
| - | | + | |
| - | | + | |
| - | [[File:f34.png|thumb|250px|Rys. 4a Przykład funkcji złożonej <math>y = \sqrt{sin (x^2)}</math> ]]
| + | |
| - | | + | |
| - | Można tworzyć funkcje wielokrotnie złożone, np. <math>y = \sqrt {sin (x^2)}</math> ([[Media:f34.png|Rys 4a]]), gdzie do złożenia dwóch funkcji z poprzedniego przykładu dodaliśmy ''obliczenie pierwiastka''. Natomiast funkcja <math>y = ln\sqrt {sin (x^2)}</math> jest funkcją czterokrotnie złożoną. Oczywiście na kazdym etapie tworzenia funkcji złożonej należy okreslić dziedzinę.
| + | |
| - | | + | |
| - | === Funkcja okresowa ===
| + | |
| - | | + | |
| - | Funkcja <math>y = f(x)</math> jest funkcją okresową jeżeli istnieje liczba <math>k \neq 0 \in \Re</math> taka że (<math>D</math> oznacza dziedzinę funkcji <math>y</math>)
| + | |
| - | | + | |
| - | :<math>\begin{aligned}
| + | |
| - | \bigwedge_{x \in D} f(x) = f(x+k),\nonumber\end{aligned}</math>
| + | |
| - | | + | |
| - | przy czym najmniejszą z dodatnich liczb <math>k</math> nazywamy okresem podstawowym funkcji. Funkcjami okresowymi są funkcje trygonometryczne, które będą omawiane w dalszej części wykładu. Tutaj ograniczymy sie do podania jednego przykładu funkcji okresowej <math>f(x) = sin x</math>, której okresem podstawowym (lub w skrócie okresem) jest <math>k = 2\pi</math>, ponieważ
| + | |
| - | | + | |
| - | :<math>\begin{aligned}
| + | |
| - | \bigwedge_{x \in \Re} sin x = sin (x + 2\pi).\nonumber\end{aligned}</math>
| + | |
| - | | + | |
| - | Przykład fukcji okresowej znajduje się na rysunku [[Media:sin_per.png|Rys 5]]
| + | |
| - | [[File:sin_per.png|thumb|250px|Rys. 5 Przykład funkcji okresowej]]
| + | |
| - | | + | |
| - | === Parzystość funkcji ===
| + | |
| - | | + | |
| - | Funkcja może posiadać własność parzystości lub nieparzystości, które definiujemy następująco:
| + | |
| - | <br>
| + | |
| - | :<math> y = f(x)</math> jest parzysta <math>\Leftrightarrow \bigwedge_{x \in D} f(-x) = f(x)</math>,
| + | |
| - | | + | |
| - | :<math> y = f(x)</math> jest nieparzysta <math>\Leftrightarrow \bigwedge_{x \in D} f(-x) = -f(x)</math>.
| + | |
| - | | + | |
| - | Przykładem funkcji parzystej może być <math>f(x) = x^2</math>, ponieważ <math>f(-x) = (-x)^2 = x^2</math>. Wykres funkcji parzystej ([[Media:c5.png|Rys 6a]]) jest symetryczny względem prostej <math>x = 0</math>. Natomiast funkcja <math>f(x) = x^3</math> jest nieparzysta, bowiem <math>f(-x) = (-x)^3 = -x^3</math>. Wykres funkcji nieparzystej ([[Media:c6.png|Rys 6b]]) jest symetryczny względem początku układu współrzędnych - punkt <math>(0,0)</math>.
| + | |
| - | | + | |
| - | [[File:c5.png|thumb|250px|Rys. 6a Przykład funkcji parzystej]]
| + | |
| - | [[File:c6.png|thumb|250px|Rys. 6b Przykład funkcji nieparzystej]]
| + | |
| - | Należy zauważyć, że są funkcje które nie posiadają określonej parzystości bądź nieparzystości.
| + | |
| - | | + | |
| - | == Przegląd najważniejszych funkcji jednej zmiennej rzeczywistej ==
| + | |
| - | | + | |
| - | === Funkcja wielomianowa ===
| + | |
| - | | + | |
| - | Wielomianem <math>W(x)</math> stopnia <math>n</math> nazywamy funkcję postaci
| + | |
| - | | + | |
| - | :<math>\begin{aligned}
| + | |
| - | W(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + ... + a_{n-a} x^{n-1} + a_n x^n,\nonumber\end{aligned}</math>
| + | |
| - | | + | |
| - | gdzie, <math>x \in \Re</math>, <math>a_0,...,a_n \in \Re</math>, <math>a_n \neq 0</math> oraz <math>n \in N \cup {0}</math>.<br />
| + | |
| - | Liczba <math>x_0</math> jest miejscem zerowym wielomianu (inaczej pierwiastkiem wielomianu) <math>W(x)</math> jeżeli <math>W(x_0) = 0</math>. Można udowodnić bardzo ważne twierdzenie: wielomian stopnia <math>n</math> posiada <math>n</math> pierwiastków w zbiorze liczb zespolonych. Nasz wykład dotyczy liczb rzeczywistych i dlatego to ważne twierdzenie musimy nieco zmodyfikować: wielomian stopnia <math>n</math> ma co najwyżej <math>n</math> pierwiastków rzeczywistych.<br />
| + | |
| - | Przykładami wielomianów najniższych rzędów są dobrze nam znane funkcje:
| + | |
| - | | + | |
| - | *<math>n = 0, W(x) = a_0</math>, funkcja stała (<math>y = c</math>),
| + | |
| - | *<math>n = 1, W(x) = a_0 + a_1 x</math>, funkcja liniowa (<math>y = ax + b</math>),
| + | |
| - | *<math>n = 2, W(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2</math>, funkcja kwadratowa (<math>y = ax^2 + bx + c</math>).
| + | |
| - | | + | |
| - | === Funkcja wymierna ===
| + | |
| - | | + | |
| - | W wyniku podzielenia dwóch wielomianów <math>W_1(x)</math> i <math>W_2(x)</math> otrzymujemy funkcję wymierną
| + | |
| - | | + | |
| - | :<math>\begin{aligned}
| + | |
| - | f(x) = \frac{W_1(x)}{W_2(x)}, x \in \Re - \{ \text{pierwiastki }W_2(x) \} \nonumber.\end{aligned}</math>
| + | |
| - | | + | |
| - | Przykładem funkcji wymiernej jest
| + | |
| - | | + | |
| - | :<math>\begin{aligned}
| + | |
| - | f(x) = \frac{4x + 2}{x^2 - 4x - 5}, x \in \Re - \{ -1, 5 \}, \nonumber\end{aligned}</math>
| + | |
| - | | + | |
| - | gdzie -1 oraz 5 są pierwiastkami trójmianu kwadratowego z mianownika funkcji wymiernej.
| + | |
| - | | + | |
| - | === Funkcja wykładnicza ===
| + | |
| - | | + | |
| - | Funkcję postaci
| + | |
| - | | + | |
| - | :<math>\begin{aligned}
| + | |
| - | f(x) = a^x, x \in \Re, a \in \Re_{+}, \nonumber\end{aligned}</math>
| + | |
| - | | + | |
| - | nazywamy funkcją wykładniczą. Zwrócmy uwagę, że inaczej niż w przypadku funkcji wielomianowej, zmienna <math>x</math> znajduje się w wykładniku, a nie w podstawie wyrażenia potęgowego. Zbiorem wartości funkcji wykładniczej jest zbiór liczb rzeczywistych dodatnich <math>\Re_{+}</math>. Monotoniczność funkcji wykładniczej zależy od wartości podstawy <math>a</math>. I tak
| + | |
| - | | + | |
| - | *dla <math>a \in (0,1)</math> funkcja wykładnicza jest malejąca,
| + | |
| - | *dla <math>a = 1</math> funkcja wykładnicza jest funkcją stałą,
| + | |
| - | *dla <math>a \in (1,+\infty)</math> funkcja wykładnicza jest rosnąca.
| + | |
| - | | + | |
| - | Na [[Media:f7.png|Rys. 7]] przedstawiono dwie funkcje wykładnicze <math>f(x) = (\frac{1}{2})^x</math> oraz <math>f(x) = 2^x</math>. Zauważamy, że dla <math>a \neq 1</math> funkcja wykładnicze jest funkcją różnowartościową, co oznacza, że można utworzyć funkcję odwrotną do funkcji wykładniczej - funkcję logarytmiczną.
| + | |
| - | | + | |
| - | [[File:f7.png|thumb|250px|Rys. 7 Przykład funkcji wykładniczej]]
| + | |
| - | | + | |
| - | Widzimy, że wykresy funkcji ([[Media:f7.png|Rys. 7]]) <math>f(x) = (\frac{1}{2})^x</math> oraz <math>f(x) = 2^x</math> są symetryczne względem prostej <math>x = 0</math>.
| + | |
| - | | + | |
| - | === Funkcja logarytmiczna ===
| + | |
| - | | + | |
| - | Funkcję postaci
| + | |
| - | | + | |
| - | :<math>\begin{aligned}
| + | |
| - | f(x) = log_a x, x \in \Re_{+}, a \in \Re_{+} \land a \neq 1, \nonumber\end{aligned}</math>
| + | |
| - | | + | |
| - | nazywamy funkcją logarytmiczną (logarytm o podstawie <math>a</math>). Jak już wspomnieliśmy w poprzednim rozdziale funkcja logarytmiczna jest funkcją odwrotną dla funkcji wykładniczej. I tak dziedzina funkcji wykładniczej <math>\Re</math> staje się zbiorem wartości funkcji logarytmicznej, a zbiór wartości funkcji wykładniczej <math>\Re_{+}</math> jest równocześnie dziedziną funkcji logarytmicznej. Ponadto monotoniczność funkcji wykładniczej i logarytmicznej jest taka sama: obie są rosnące dla <math>a \in (1,+\infty)</math>, obie są malejące dla <math>a \in (0,1)</math>. Ich wykresy są symetryczne względem prostej <math>y = x</math>, oczywiście dla tej samej wartości podstawy <math>a</math>. Na [[Media:c8.png|Rys 8]] przedstawiono funkcje logarytmiczne <math>f(x) = log_{\frac{1}{2}} x</math>, <math>f(x) = log_2 x</math> oraz funkcję wykładniczą <math>f(x) = 2^x</math>.
| + | |
| - | | + | |
| - |
| + | |
| - | [[File:c8.png|thumb|250px|Rys. 8 Przykład funkcji logarytmicznej]]
| + | |
| - | | + | |
| - | Szczególną i ważną podstawą funkcji logarytmicznej jest liczba niewymierna <math>e = 2.71828...</math>. Taką funkcję oznaczmy <math>f(x) = lnx</math>, a nie <math>f(x) = log_{e} x</math>. Podobnie <math>f(x) = log x</math> (bez podania podstawy) oznacza podstawę 10, czyli logarytm dziesiętny.
| + | |
| - | | + | |
| - | === Funkcje trygonometryczne ===
| + | |
| - | | + | |
| - | Jak pewnie pamiętamy z trygonometrii w trójkącie prostokątnym można zdefiniować funkcje wyrażone stosunkami długości boków. Można utworzyć sześć takich funkcji, z których cztery <math>sinus</math>, <math>cosinus</math>, <math>tangens</math> i <math>cotangens</math> są najczęściej używane. Argumentami tych funkcji są miary kątów wewnętrznych trójkąta prostokątnego. Podamy definicje tych funkcji i ich podstawowe własności, przy czym zdefiniujemy je przy pomocy kąta skierowanego <math>\alpha</math> w prostokątnym układzie współrzędnych, co pozwoli od razu zobaczyć przedziały w których mają wartości dodatnie/ujemne. Przypomnijmy jeszcze, że wartość kąta <math>\alpha</math> może być wyrażona zarówno w mierze kątowej (stopnie), jak i w mierze łukowej (radiany). Kąt pełny, czyli <math>360^0</math> to <math>2\pi</math> radianów, czyli 1 radian to ok. <math>57^0</math>. Argumenty funkcji trygonometrycznych będziemy oznaczali przez <math>\alpha</math> lub <math>x</math> (tak jak dla wszystkich funkcji jednej zmiennej rzeczywistej). Podamy definicje funkcji trygonometrycznych korzystając z oznaczeń na Rys. 9A, a następnie oznaczjąc argument przez <math>x</math> omówimy własności każdej z nich.
| + | |
| - | | + | |
| - | [[File:f_tryg_def.png|thumb|250px|Rys. 9A Funkcje trygonometryczne - definicja]]
| + | |
| - | | + | |
| - | ==== Funkcja <math>f(x)</math> = <math>sin (x)</math> ====
| + | |
| - | | + | |
| - | :<math>\begin{aligned}
| + | |
| - | sin(\alpha) = \frac{b}{r}, \nonumber\end{aligned}</math>
| + | |
| - | | + | |
| - | przy czym dla <math>\alpha < 90^0</math> jest to stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta <math>\alpha</math> do długości przeciwprostokątnej. Dziedziną funkcji <math>sinus</math> jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych <math>\Re</math>, a zbiór wartości funkcji <math>y \in [-1,1]</math>. Jest to funkcja okresowa, a wartość okresu podstawowego wynosi <math>2\pi</math>. Funkcja <math>f(x)</math> = <math>sin x</math> posiada nieskończenie wiele miejsc zerowych (w punktach <math>x = k\pi, k = 0, \pm 1, \pm 2,...</math>), nieskończenie wiele maksimów (w punktach <math>x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi</math>) oraz nieskończenie wiele minimów (w punktach <math>x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi</math>). Jest funkcją nieparzystą. Funkcja <math>f(x)</math> = <math>sin x</math> jest funkcją różnowartościową jedynie w pewnych przedziałach, np. dla <math>x \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]</math> i jest w tym przedziale rosnąca.
| + | |
| - | | + | |
| - | ==== Funkcja <math>f(x)</math> = <math>cos(x)</math> ====
| + | |
| - | | + | |
| - | :<math>\begin{aligned}
| + | |
| - | cos(\alpha) = \frac{a}{r}, \nonumber\end{aligned}</math>
| + | |
| - | | + | |
| - | przy czym dla <math>\alpha < 90^0</math> jest to stosunek długości przyprostokątnej leżącej przy kącie <math>\alpha</math> do długości przeciwprostokątnej. Dziedziną funkcji <math>cosinus</math> jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych <math>\Re</math>, a zbiór wartości funkcji <math>y \in [-1,1]</math>. Jest to funkcja okresowa, a wartość okresu podstawowego wynosi <math>2\pi</math>. Funkcja <math>f(x)</math> = <math>cos x</math> posiada nieskończenie wiele miejsc zerowych (w punktach <math>x = k\frac{\pi}{2}, k = \pm 1, \pm 2,...</math>), nieskończenie wiele maksimów (w punktach <math>x = 2k\pi</math>) oraz nieskończenie wiele minimów (w punktach <math>x = \pi + 2k\pi</math>). Jest funkcją parzystą. Funkcja <math>f(x)</math> = <math>cos x</math> jest funkcją różnowartościową jedynie w pewnych przedziałach, np. dla <math>x \in [0, \pi]</math> i jest w tym przedziale malejąca.
| + | |
| - | | + | |
| - | ==== Funkcja <math>f(x)</math> = <math>tg(x)</math> ====
| + | |
| - | | + | |
| - | :<math>\begin{aligned}
| + | |
| - | tg (\alpha) = \frac{b}{a}, \nonumber\end{aligned}</math>
| + | |
| - | | + | |
| - | przy czym dla <math>\alpha < 90^0</math> jest to stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta <math>\alpha</math> do długości drugiej przyprostokątnej. Dziedziną funkcji <math>tangens</math> jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych <math>\Re</math> oprócz <math>x = k\frac{\pi}{2}</math>, a zbiór wartości funkcji <math>y \in [-\infty,+\infty]</math>. Jest to funkcja okresowa, a wartość okresu podstawowego wynosi <math>\pi</math>. Funkcja <math>f(x)</math> = <math>tg x</math> posiada nieskończenie wiele miejsc zerowych (w punktach <math>x = k\pi</math>) oraz nieskończenie wiele asymptot pionowych (w punktach <math>x = k\frac{\pi}{2}</math>). Jest funkcją nieparzystą. Funkcja <math>f(x)</math> = <math>tg x</math> jest funkcją różnowartościową jedynie w pewnych przedziałach, np. dla <math>x \in [-\frac{\pi}{2}, +\frac{\pi}{2}]</math> i jest w tym przedziale rosnąca.
| + | |
| - | | + | |
| - | ==== Funkcja <math>f(x)</math> = <math>ctg (x)</math> ====
| + | |
| - | | + | |
| - | :<math>\begin{aligned}
| + | |
| - | ctg (\alpha) = \frac{a}{b}, \nonumber\end{aligned}</math>
| + | |
| - | | + | |
| - | przy czym dla <math>\alpha < 90^0</math> jest to stosunek długości przyprostokątnej leżącej przy kącie <math>\alpha</math> do długości drugiej przyprostokątnej. Dziedziną funkcji <math>cotangens</math> jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych <math>\Re</math> oprócz <math>x = k\pi</math>, a zbiór wartości funkcji <math>y \in [-\infty,+\infty]</math>. Jest to funkcja okresowa, a wartość okresu podstawowego wynosi <math>\pi</math>. Funkcja <math>f(x)</math> = <math>ctg x</math> posiada nieskończenie wiele miejsc zerowych (w punktach <math>x = k\frac{\pi}{2}</math>) oraz nieskończenie wiele asymptot pionowych (w punktach <math>x = k\pi</math>). Jest funkcją nieparzystą. Funkcja <math>f(x)</math> = <math>ctg x</math> jest funkcją różnowartościową jedynie w pewnych przedziałach, np. dla <math>x \in [0, \pi]</math> i jest w tym przedziale malejąca.
| + | |
| - | | + | |
| - | [[File:c10.png|thumb|250px|Rys. 9B Funkcje trygonometryczne]]
| + | |
| - | | + | |
| - | === Funkcje cyklometryczne (kołowe) ===
| + | |
| - | | + | |
| - | Jak zauważyliśmy funkcje trygonometryczne są różnowartościowe w pewnych przedziałach i w tych przedziałach można dla nich utworzyć funkcje odwrotne. Argumentami tych funkcji są wartości funkcji trygonometrycznych <math>sinus</math>, <math>cosinus</math>, <math>tangens</math> i <math>cotangens</math>), a zbiory wartości funkcji kołowych będą zbiorami kątów. Czyli funkcje kołowe przyporządkowują wartości funkcji trygonometrycznej odpowiednią wartość kąta. Omówimy teraz cztery podstawowe funkcje kołowe, przy czym ich własności wynikają z twierdzeń o funkcjach odwrotnych.
| + | |
| - | | + | |
| - | ==== Funkcja <math>f(x) = arcsin (x)</math> ====
| + | |
| - | | + | |
| - | <math>arcus</math> <math>sinus</math> jest funkcją odwrotną do funkcji <math>sinus</math> rozpatrywanej dla <math>x \in \left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]</math>. W tym przedziale <math>sinus</math> posiada funkcję odwrotną, jest bowiem w tym przedziale funkcją rosnącą (a zatem różnowartościową). Funkcja <math>f(x) = arcsin (x)</math> jest określona w przedziale <math>\left[-1; 1\right]</math>, jej wartości należą do przedziału <math>\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]</math>. I jest w tym przedziale funkcją rosnącą, tak jak funkcja <math>f(x) = sin (x)</math> jest rosnąca dla <math>x \in \left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]</math>.
| + | |
| - | | + | |
| - | Wykres funkcji na rysunku [[Media:f11.png|Rys 10]].
| + | |
| - | | + | |
| - | [[File:f11.png|thumb|250px|Rys. 10 Funkcje sin(x) i arcsin(x)]]
| + | |
| - | | + | |
| - | ==== Funkcja <math>f(x) = arccos (x)</math> ====
| + | |
| - | | + | |
| - | <math>arcus</math> <math>cosinus</math> jest funkcją odwrotną do funkcji <math>cosinus</math> rozpatrywanej dla <math>x \in \left[0,\pi\right]</math>. W tym przedziale <math>cosinus</math> posiada funkcję odwrotną, jest bowiem w tym przedziale funkcją malejącą (a zatem różnowartościową). Funkcja <math>f(x) = arccos (x)</math> jest określona w przedziale <math>\left[-1; 1\right]</math>, jej wartości należą do przedziału <math>\left[\pi, 0\right]</math>. I jest w tym przedziale funkcją malejącą, tak jak funkcja <math>f(x) = cos (x)</math> jest malejącą dla <math>x \in \left[0,\pi\right]</math>.
| + | |
| - | | + | |
| - | Wykres funkcji na rysunku [[Media:f12.png|Rys 11]].
| + | |
| - | | + | |
| - | [[File:f12.png|thumb|250px|Rys. 11 Funkcje cos(x) i arccos(x)]]
| + | |
| - | | + | |
| - | ==== Funkcja <math>f(x) = arctg (x)</math> ====
| + | |
| - | | + | |
| - | <math>arcus</math> <math>tangens</math> jest funkcją odwrotną do funkcji <math>tangens</math> rozpatrywanej dla <math>x \in \left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]</math>. W tym przedziale <math>tangens</math> posiada funkcję odwrotną, jest bowiem w tym przedziale funkcją rosnącą (a zatem różnowartościową). Funkcja <math>f(x) = arctg (x)</math> jest określona w przedziale <math>\left[-\infty, +\infty\right]</math>, jej wartości należą do przedziału <math>\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]</math>. I jest w tym przedziale funkcją rosnącą, tak jak funkcja <math>f(x) = tg (x)</math> jest rosnąca dla <math>x \in \left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]</math>. Zauważmy ciekawą własność funkcji <math>f(x) = arctg (x)</math> <math>-</math> odwzorowuje ona zbiór liczb rzeczywistych <math>\Re</math> na zbiór <math>x \in \left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]</math>.
| + | |
| - | | + | |
| - | Wykres funkcji na rysunku [[Media:f8.png|Rys 12]].
| + | |
| - | | + | |
| - | [[File:f8.png|thumb|250px|Rys. 12 Funkcje tg(x) i arctg(x)]]
| + | |
| - | | + | |
| - | ==== Funkcja <math>f(x) = arcctg (x)</math> ====
| + | |
| - | | + | |
| - | <math>arcus</math> <math>cotangens</math> jest funkcją odwrotną do funkcji <math>cotangens</math> rozpatrywanej dla <math>x \in \left[0,\pi\right]</math>. W tym przedziale <math>cotangens</math> posiada funkcję odwrotną, jest bowiem w tym przedziale funkcją malejącą (a zatem różnowartościową). Funkcja <math>f(x) = arcctg (x)</math> jest określona w przedziale <math>\left[-\infty; +\infty\right]</math>, jej wartości należą do przedziału <math>\left[\pi, 0\right]</math>. I jest w tym przedziale funkcją malejącą, tak jak funkcja <math>f(x) = ctg (x)</math> jest malejącą dla <math>x \in \left[0,\pi\right]</math>.
| + | |
| - | | + | |
| - | === Granica funkcji ===
| + | |
| - | | + | |
| - | Zdefiniujemy granicę lewostronną i prawostronną funkcji w punkcie <math>x_0</math>. Powiemy, że liczba <math>g</math> jest granicą lewostronną (<math>x \rightarrow x_0^-</math>)funkcji <math>y = f(x)</math> wtedy i tylko wtedy gdy:
| + | |
| - | | + | |
| - | :<math>\begin{aligned}
| + | |
| - | \lim_{x \rightarrow x_0^-} f(x) = g \Leftrightarrow \bigwedge_{\epsilon > 0} \bigvee_{\delta > 0} \bigwedge_{x \in (x_0 - \delta, x_0)} \mid f(x) - g \mid < \epsilon.\nonumber\end{aligned}</math>
| + | |
| - | | + | |
| - | I podobnie liczba <math>g</math> jest granicą prawostronną (<math>x \rightarrow x_0^+</math>) funkcji <math>y = f(x)</math> wtedy i tylko wtedy gdy:
| + | |
| - | | + | |
| - | :<math>\begin{aligned}
| + | |
| - | \lim_{x \rightarrow x_0^+} f(x) = g \Leftrightarrow \bigwedge_{\epsilon > 0} \bigvee_{\delta > 0} \bigwedge_{x \in (x_0, x_0 + \delta}) \mid f(x) - g \mid < \epsilon.\nonumber\end{aligned}</math>
| + | |
| - | | + | |
| - | Zauważmy, że liczba <math>g</math> będąca granicą prawostronną (lewostronna) nie musi należeć do dziedziny funkcji <math>y = f(x)</math>. Jeżeli obie granice, lewostronna i prawostronna istnieją w punkcie <math>x = x_0</math> i są sobie równe to mówimy, że funkcja <math>y = f(x)</math> ma granicę <math>g</math> dla <math>x = x_0</math>
| + | |
| - | | + | |
| - | Możemy również definiować tzw. granice niewłaściwe funkcji <math>y = f(x)</math>, czyli granice dla <math>x \rightarrow - \infty</math>, <math>x \rightarrow +\infty</math>, a także granice dla <math>x \rightarrow x_0</math> równe <math>- \infty</math> lub +<math>\infty</math>. I tak niewłaściwa granica lewostronna <math>+\infty</math> funkcji jest definowana następująco
| + | |
| - | | + | |
| - | :<math>\begin{aligned}
| + | |
| - | \lim_{x \rightarrow x_0^-} f(x) = +\infty \Leftrightarrow \bigwedge_{M > 0} \bigvee_{\delta > 0} \bigwedge_{x \in (x_0 - \delta, x_0)} f(x) > M,\nonumber\end{aligned}</math>
| + | |
| - | | + | |
| - | a lewostronna granica niewłaściwa <math>-\infty</math>
| + | |
| - | | + | |
| - | :<math>\begin{aligned}
| + | |
| - | \lim_{x \rightarrow x_0^-} f(x) = -\infty \Leftrightarrow \bigwedge_{M > 0} \bigvee_{\delta > 0} \bigwedge_{x \in (x_0 - \delta, x_0)} f(x) < -M. \nonumber\end{aligned}</math>
| + | |
| - | | + | |
| - | Oczywiście, zastępując w powyższych wyrażeniach <math>x_0^-</math> przez <math>x_0^+</math> oraz <math>x \in (x_0 - \delta, x_0)</math> przez <math>x \in (x_0, x_0 + \delta)</math> otrzymujemy definicje granic prawostronnych funkcji <math>f(x)</math>.
| + | |
| - | | + | |
| - | A teraz definicja granicy niewłaściwej (dla <math> x \rightarrow +\infty</math>) funkcji <math>f(x)</math>
| + | |
| - | | + | |
| - | :<math>\begin{aligned}
| + | |
| - | \lim_{x \rightarrow +\infty} f(x) = g \Leftrightarrow \bigwedge_{\epsilon > 0} \bigvee_{M > 0} \bigwedge_{x > M} \mid f(x) - g \mid < \epsilon,\nonumber\end{aligned}</math>
| + | |
| - | | + | |
| - | i podobnie w przypadku granicy niewłaściwej dla <math> x \rightarrow -\infty</math>
| + | |
| - | | + | |
| - | :<math>\begin{aligned}
| + | |
| - | \lim_{x \rightarrow -\infty} f(x) = g \Leftrightarrow \bigwedge_{\epsilon > 0} \bigvee_{M < 0} \bigwedge_{x < M} \mid f(x) - g \mid < \epsilon.\nonumber\end{aligned}</math>
| + | |
| - | | + | |
| - | Dla przykładu pokażemy teraz, na podstawie definicji, że granica funkcji <math>f(x) = 2/x</math> dla <math> x \rightarrow +\infty</math> wynosi <math>g = 0</math>. Wybierzmy np. <math>\epsilon = 1/100</math> <math>-</math> pamiętamy, że zgodnie z definicją <math>\epsilon</math> jest dowolne. I dla dowolnej wartości <math>\epsilon</math> musimy znaleźć taką wartość liczby <math>M</math> dla której zachodzi
| + | |
| - | | + | |
| - | :<math>\begin{aligned}
| + | |
| - | \mid f(x) - g \mid < \epsilon, \mid 2/x - 0 \mid < 1/100. \nonumber\end{aligned}</math>
| + | |
| - | | + | |
| - | Rozwiązując powyższą nierówność otrzymujemy <math>M > 200</math>. Gdybyśmy np. wybrali <math>\epsilon = 1/200</math> to <math>M > 400</math>. Zatem widać, że dla dowolnej wartości <math>\epsilon</math> wystarczy aby <math>M > 2/\epsilon</math>.
| + | |
| - | | + | |
| - | === Ciągłość funkcji ===
| + | |
| - | | + | |
| - | Funkcja <math>y = f(x)</math> jest ciągła w punkcie <math>x_0 \in D</math> (<math>D</math> oznacza dziedzinę funkcji) wtedy i tylko wtedy gdy granica funkcji dla <math>x = x_0</math> jest równa wartości funkcji w tym punkcie <math>f(x_0)</math>
| + | |
| - | | + | |
| - | :<math>\begin{aligned}
| + | |
| - | \lim_{x \rightarrow x_0} f(x) = f(x_0).\nonumber\end{aligned}</math>
| + | |
| - | | + | |
| - | Jeśli funkcja <math>f(x)</math> jest ciągła dla wszystkich wartości <math>x \in (a,b)</math> to mówimy, że funkcja <math>f(x)</math> jest ciągła w przedziale <math>(a,b)</math>.
| + | |
| - | | + | |
| - | Funkcje: wielomianowa, wykładnicza oraz funkcje <math>sinus</math> i <math>cosinus</math> są ciągłe dla <math>x \in \Re</math>, a funkcja logarytmiczna dla <math>x \in \Re_+</math>. Natomiast funkcja wymierna może posiadać punkty nieciągłości jeżeli jej mianownik ma miejsca zerowe. A funkcje <math>\text{tangens}</math> i <math>\text{cotangens}</math> mają nieskończenie wiele punktów nieciągłości <math>-</math> są to punkty w których te funkcje nie są określone, czyli <math>x = \pi/2 + k\pi</math> dla funkcji <math>\text{tangens}</math> oraz <math>x = k\pi</math> dla funkcji <math>\text{cotangens}</math> (<math>k</math> jest liczbą całkowitą).<br />
| + | |
| - | | + | |
| - | Potocznie (i praktycznie) możemy powiedzieć, że wykres funkcji ciągłej w przedziale <math>(a,b)</math> możemy narysować jednym pociągnięciem ołówka, czyli bez odrywania go od kartki papieru. Natomiast jeśli w przedziale <math>(a,b)</math> funkcja <math>f(x)</math> ma punkty nieciągłości to rysując wykres funkcji w tych punktach będziemy musieli oderwać ołówek od kartki papieru.
| + | |
| - | | + | |
| - | Przykład funkcji cigłej i nieciągłej na rysunku [[Media:f13.png|Rys 13]].
| + | |
| - | | + | |
| - | [[File:f13.png|thumb|250px|Rys. 13 Funkcje ciągła i nieciągła]]
| + | |
| - | | + | |
| - | == Zadania ==
| + | |
| - | | + | |
| - | # Narysuj wykres funkcji.
| + | |
| - | ## <math> y = -x </math>
| + | |
| - | ## <math> y = 2x+1 </math>
| + | |
| - | ## <math> y = -3x + 4 </math>
| + | |
| - | ## <math> y = sin(2x) </math>
| + | |
| - | ## <math> y = log_3{x} </math>
| + | |
| - | #Wyznacz dziedzinę funkcji danej wzorem:
| + | |
| - | ## <math> y = (x-5)(2-x) </math>
| + | |
| - | ## <math> y = \frac{x+3}{x}+\frac{2x-3}{x+7} </math>
| + | |
| - | ## <math> y = \sqrt{x-7} </math>
| + | |
| - | ## <math> y = \sqrt{x-1}+\sqrt{x} </math>
| + | |
| - | #Wyznacz zbiór wartości funkcji
| + | |
| - | ## <math> y = \frac{1}{2}x^2</math> dla <math> x \in\{-2,-1,0,1,2\} </math>
| + | |
| - | ## <math> y = x-3 </math> dla <math> x \in <0;2) </math>
| + | |
| - | ## <math> y =|x| </math> dla <math> x \in <-3;3)</math>
| + | |
| - | # O funkcji <math>f</math> wiadomo, że <math>f(1)=2</math> oraz, że do wykresu należy punkt <math>P=\{-2,3\}</math>. Wyznacz wzór funkcji <math>f</math>
| + | |
| - | # Oblicz najmniejszą wartośc funkcji kwadratowej <math>f(x)=x^2</math> w przedziale <math><0;1></math>
| + | |
| - | # Oblicz największą i najmniejszą wartość funkcji <math>f(x)=2x^2-4x+11</math> przedziale <math>A=<0;4></math>
| + | |