Funkcja dwóch zmiennych

Z Skrypty dla studentów Ekonofizyki UPGOW

(Różnice między wersjami)
(UWAGA! Zastąpienie treści hasła bardzo krótkim tekstem: „'''W przygotowaniu'''”)
Linia 1: Linia 1:
-
[[Category:KURS MATEMATYKI]]
+
'''W przygotowaniu'''
-
== Definicja i wykres funkcji dwóch zmiennych ==
+
-
Funkcją dwóch zmiennych <math>z=f(x,y)</math> będziemy nazywać przyporządkowanie parze liczb rzeczywistych <math>(x,y)</math> dokładnie jednej liczby rzeczywistej <math>z</math>.
+
-
Zatem dziedziną funkcji <math>f(x,y)</math> będzie zbiór <math>D \subset R \times R </math> taki, że dla dowolnej pary <math>(x,y) \in D </math> istnieje <math>z=f(x,y)</math>.
+
-
Dziedzinę można go przedstawiać jako pewien obszar na płaszczyźnie <math>XY</math>.
+
-
:<math>f: R^2 \supset D \ni (x,y) \to f(x,y) \in R</math>
+
-
Wykres funkcji dwóch zmiennych jest powierzchnią i może być przedstawiony w przestrzeni trójwymiarowej <math>XYZ</math> ([[Media:fun2_1.png|Rys. 1]]).
+
-
[[File:fun2_1.png|thumb|250px|Rys. 1 Przykładowy wykres funkcji dwóch zmiennych]]
+
-
 
+
-
 
+
-
=== Przykład ===
+
-
* Obszar zmienności funkcji ([[Media:fun2_2a.png|Rys. 2a]]) i wykres funkcji ([[Media:fun2_2b.png|Rys. 2b]]) <math>z=\sqrt{9-x^2-y^2}</math>
+
-
[[File:fun2_2a.png|thumb|250px|Rys. 2a Obszar zmienności funkcji <math>z=\sqrt{9-x^2-y^2}</math>]]
+
-
[[File:fun2_2b.png|thumb|250px|Rys. 2b Wykres funkcji <math>z=\sqrt{9-x^2-y^2}</math>]]
+
-
* Inne przykłady wykresów funkcji dwóch zmiennych znajdują się na rysunkach [[Media:fun2_2b1.png|Rys. 2c]] (funkcja <math>z=-\sqrt{x^2+y^2}</math>) i [[Media:fun2_2b2.png|Rys. 2d]] (funkcja <math>z=xy</math>)
+
-
[[File:fun2_2b1.png|thumb|250px|Rys. 2c Wykres funkcji <math>z=-\sqrt{x^2+y^2}</math>]]
+
-
[[File:fun2_2b2.png|thumb|250px|Rys. 2d Wykres funkcji <math>z=xy</math>]]
+
-
 
+
-
== Pochodna cząstkowa I-go rzędu funkcji dwóch zmiennych ==
+
-
Pochodna cząstkowa dla danej funkcji dwóch zmiennych jest to pochodna względem jednej z jej zmiennych przy ustaleniu drugiej.
+
-
 
+
-
Symbol pochodnej cząstkowej ∂ to zaokrąglona wersja litery alfabetu greckiego delta. Pochodną cząstkową możemy zapisać w następujący sposób
+
-
: <math>f^\prime_x,\ f_x,\ \partial_x f, \frac{\partial}{\partial x}f, \text{ lub }  \frac{\partial f}{\partial x}</math>
+
-
 
+
-
Niech funkcja <math>f</math> będzie określona przynajmniej na otoczeniu punktu <math>(x_0, y_0)</math>.
+
-
 
+
-
Pochodną cząstkową pierwszego rzędu funkcji <math>f</math> względem zmiennej <math>x</math> w punkcie <math>(x_0, y_0)</math> określamy wzorem
+
-
 
+
-
:<math>\frac{ \partial }{\partial x }f(x_0,y_0) = \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{
+
-
f(x_0 + \Delta x,y_0) - f(x_0,y_0) \over{\Delta x} }</math>
+
-
 
+
-
Pochodną cząstkową pierwszego rzędu funkcji <math>f</math> względem zmiennej <math>y</math> w punkcie <math>(x_0, y_0)</math> określamy wzorem
+
-
 
+
-
:<math>\frac{ \partial }{\partial y }f(x_0,y_0) = \lim_{\Delta y \rightarrow 0}{
+
-
f(x_0,y_0 + \Delta y) - f(x_0,y_0) \over{\Delta y} }</math>
+
-
 
+
-
=== Przykład ===
+
-
Pochodna cząstkowa funkcji <math>z=f(x,y)=x^3y^3-2x^2</math>
+
-
*Pochodna względem zmiennej <math>x</math>,
+
-
<math>\frac{ \partial }{\partial x }f(x,y) = 3x^2y^3-4x</math>
+
-
*Pochodna względem zmiennej <math>y</math>,
+
-
<math>\frac{ \partial }{\partial y }f(x,y) = x^3 3y^2</math>
+
-
 
+
-
== Pochodne cząstkowe II-go rzędu  funkcji dwóch zmiennych ==
+
-
Niech funkcja <math>f(x,y)</math> ma pochodne cząstkowe  <math>\frac{\partial f}{\partial x}</math> i <math>\frac{\partial f}{\partial y}</math> przynajmniej w otoczeniu punktu <math>(x_0, y_0)</math>, przy czym przez otoczenie punktu (na płaszczyźnie) rozumiemy każdy okrąg o środku w punkcie <math>(x_0, y_0)</math>. To pochodne cząstkowe drugiego rzędu tej funkcji w punkcie <math>(x_0, y_0)</math> określamy wzorami:
+
-
:<math>\frac{\partial^2f(x_0,y_0)}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x} ( {\partial f(x_0,y_0)\over{\partial x}}) \text{,          }\frac{\partial^2f(x_0,y_0)}{\partial x \partial y} = \frac{\partial}{\partial x} ( {\partial f(x_0,y_0)\over{\partial y}})</math>
+
-
:<math>\frac{\partial^2f(x_0,y_0)}{\partial y^2} = \frac{\partial}{\partial y} ( {\partial f(x_0,y_0)\over{\partial y}})\text{, }\frac{\partial^2f(x_0,y_0)}{\partial y \partial x} = \frac{\partial}{\partial y} ( {\partial f(x_0,y_0)\over{\partial x}})</math>
+
-
 
+
-
Można je oznaczyć np. następującymi symbolami <math>f_{xx}^{\prime \prime}(x_0,y_0),f_{xy}^{\prime \prime}(x_0,y_0),f_{yy}^{\prime \prime}(x_0,y_0),f_{yx}^{\prime \prime}(x_0,y_0)</math>.
+
-
 
+
-
Jeżeli w pewnym otoczeniu punktu <math>(x_0, y_0)</math> istnieją pochodne <math>f_{xy}^{\prime \prime}(x_0,y_0), f_{yx}^{\prime \prime}(x_0,y_0)</math> i są w tym punkcie ciągłe to
+
-
 
+
-
:<math>f_{xy}^{\prime \prime}(x_0,y_0) = f_{yx}^{\prime \prime}(x_0,y_0),</math>
+
-
 
+
-
co oznacza, że w przypadku takich funkcji kolejność różniczkowania nie ma znaczenia.
+
-
 
+
-
=== Przykład ===
+
-
Obliczymy teraz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji <math>z=f(x,y)=x^3y^3-2x^2</math>. Skorzystamy z obliczonych powyżej pochodnych cząstkowych rzędu pierwszego.
+
-
 
+
-
:<math>f_{xx}^{\prime \prime}(x,y) = \frac{\partial^2f(x,y)}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x} ( {\partial f(x,y)\over{\partial x}}) = \frac{\partial}{\partial x}(3x^2y^3-4x) = 6xy^3 - 4,</math>
+
-
:<math>f_{yy}^{\prime \prime}(x,y) = \frac{\partial^2f(x,y)}{\partial y^2} = \frac{\partial}{\partial y} ( {\partial f(x,y)\over{\partial y}}) = \frac{\partial}{\partial y}(3x^3y^2) = 6x^3y,</math>
+
-
:<math>f_{yx}^{\prime \prime}(x,y) = \frac{\partial^2f(x,y)}{\partial y \partial x} = \frac{\partial}{\partial x} ( {\partial f(x,y)\over{\partial y}}) = \frac{\partial}{\partial x}(3x^3y^2) = 9x^2y^2,</math>
+
-
:<math>f_{xy}^{\prime \prime}(x,y) = \frac{\partial^2f(x,y)}{\partial x \partial y} = \frac{\partial}{\partial y} ( {\partial f(x,y)\over{\partial x}}) = \frac{\partial}{\partial y}(3x^2y^3-4x) = 9x^2y^2.</math>
+
-
 
+
-
Jak widzimy pochodne rzędu drugiego ''mieszane'' <math>f_{xy}^{\prime \prime}(x,y)</math> i <math>f_{yx}^{\prime \prime}(x,y)</math> są sobie równe.
+
-
 
+
-
== Ekstremum lokalne funkcji dwóch zmiennych ==
+
-
* Funkcja <math>f(x,y)</math> ma w punkcie <math>(x_0, y_0)</math> minimum lokalne, jeżeli istnieje otoczenie tego punktu takie, że dla dowolnego <math>(x, y)</math> z tego otoczenia zachodzi nierówność <math>f(x, y) \ge f(x_0, y_0)</math>.
+
-
 
+
-
* Funkcja <math>f(x,y)</math> ma w punkcie <math>(x_0, y_0)</math> maksimum lokalne, jeżeli istnieje otoczenie tego punktu takie, że dla dowolnego <math>(x, y)</math> z tego otoczenia zachodzi nierówność <math>f(x, y) \le f(x_0, y_0)</math>.
+
-
 
+
-
=== Warunek konieczny istnienia lokalnego ekstremum ===
+
-
Jeżeli funkcja <math>f(x,y)</math> ma ekstremum lokalne w punkcie <math>(x_0, y_0)</math> oraz istnieją pochodne cząstkowe <math> \frac{\partial f(x_0,y_0)}{\partial x}</math> i <math>\frac{\partial f(x_0,y_0)}{\partial y}</math> to
+
-
:<math>\frac{\partial f(x_0,y_0)}{\partial x}=\frac{\partial f(x_0,y_0)}{\partial y}=0</math>
+
-
 
+
-
=== Warunek wystarczający istnienia lokalnego ekstremum ===
+
-
Jeżeli spełniony jest warunek konieczny istnienia lokalnego ekstremum oraz wartość w punkcie <math>(x_0, y_0)</math> podanego poniżej wyznacznika jest dodatnia
+
-
:<math> W(x_0,y_0) =
+
-
\begin{vmatrix}
+
-
\frac{\partial^2f(x_0,y_0)}{\partial x^2} & \frac{\partial^2f(x_0,y_0)}{\partial x \partial y} \\
+
-
\frac{\partial^2f(x_0,y_0)}{\partial y \partial x} & \frac{\partial^2f(x_0,y_0)}{\partial y^2}
+
-
\end{vmatrix}
+
-
>0
+
-
</math>
+
-
to wtedy funkcja <math>f(x,y)</math> ma w punkcie <math>(x_0, y_0)</math> ekstremum lokalne i jest to minimum, jeżeli <math>\frac{\partial^2f(x_0,y_0)}{\partial x^2}>0 \text{ lub }  \frac{\partial^2f(x_0,y_0)}{\partial y^2}>0</math>
+
-
albo maksimum, jeżeli <math>\frac{\partial^2f(x_0,y_0)}{\partial x^2}<0 \text{ lub }  \frac{\partial^2f(x_0,y_0)}{\partial y^2}<0.</math>
+
-
 
+
-
Ponadto
+
-
*Jeżeli <math> W(x_0,y_0) < 0 </math> to funkcja <math>f(x,y)</math> nie ma ekstremum w punkcie <math>(x_0, y_0)</math>,
+
-
*Jeżeli <math> W(x_0,y_0) = 0 </math> to nie można wnioskować o istnieniu bądź nie istnieniu ekstremum w punkcie <math>(x_0, y_0)</math>.
+
-
 
+
-
I podobnie jak w przypadku znajdowania ekstremum lokalnego funkcji jednej zmiennej rozwiązaniem układu równań stanowiących warunek konieczny istnienia ekstremum funkcji jest zbiór punktów ''podejrzanych'' o to, że funkcja może mieć w nich ekstremum, ale nie musi. Dopiero większa od zera wartość wyznacznika <math>W</math> (warunek wystarczający istnienia ekstremum lokalnego) w punkcie ''podejrzanym'' przesądza o istnieniu ekstremum.
+
-
 
+
-
== Ekstremum warunkowe funkcji dwóch zmiennych ==
+
-
 
+
-
Rozważaliśmy już znajdowanie ekstremów lokalnych funkcji dwóch zmiennych <math>f(x,y)</math>. Gdy na ekstremum funkcji <math>f(x,y)</math> w punkcie o współrzędnych <math>(x_0,y_0)</math> nałożymy dodatkowy warunek <math>w(x,y)=0</math>, to otrzymamy ekstremum warunkowe funkcji <math>f(x,y)</math> przy warunku <math>w(x,y)=0</math>. Oczywiście musi zachodzić <math>w(x_0,y_0)=0</math>.<br />
+
-
 
+
-
 
+
-
Warunkiem koniecznym istnienia lokalnego ekstremum warunkowego funkcji <math>f(x,y)</math> przy warunku <math>w(x,y)=0</math> jest zerowanie się następującego wyznacznika
+
-
 
+
-
:<math>\left| \begin{array}{cc}
+
-
\frac{\delta f}{\delta x}(x_0,y_0) & \frac{\delta f}{\delta y}(x_0,y_0) \\
+
-
\frac{\delta w}{\delta x}(x_0,y_0) & \frac{\delta w}{\delta y}(x_0,y_0) \\
+
-
\end{array} \right| = 0</math>
+
-
 
+
-
Oznacza to, że rozwiązując następujący układ równań:
+
-
 
+
-
:<math>w(x,y) = 0, \quad
+
-
\left| \begin{array}{cc}
+
-
\frac{\delta f}{\delta x} & \frac{\delta f}{\delta y} \\
+
-
\frac{\delta w}{\delta x} & \frac{\delta w}{\delta y} \\
+
-
\end{array} \right| = 0</math>
+
-
 
+
-
dostaniemy zbiór punktów <math>(x,y)</math>, w których może być ekstremum. Jest to jedynie warunek konieczny, co oznacza, że w każdym z otrzymanych punktów należy zbadać, czy funkcja <math>f(x,y)</math> ma ekstremum. Do znajdowania ekstremum warunkowego funkcji dwóch zmiennych <math>f(x,y)</math> przy warunku <math>w(x,y)=0</math> najczęściej stosuje się metodę czynników nieoznaczonych Lagrange’a, w której tworzymy tzw. funkcję pomocniczą Lagrange’a
+
-
 
+
-
:<math>\begin{aligned}
+
-
P(x,y) = f(x,y) + \lambda w(x,y), \nonumber \end{aligned}</math>
+
-
 
+
-
gdzie <math>\lambda</math> jest czynnikiem nieoznaczonym. Kolejnym krokiem jest utworzenie układu równań z pochodnymi cząstkowymi funkcji <math>P(x,y)</math>
+
-
 
+
-
:<math>\left\{ \begin{array}{ccc}
+
-
\frac{\delta P}{\delta x} & = & 0 \\
+
-
\frac{\delta P}{\delta y} & = & 0 \\
+
-
\end{array} \right.</math>
+
-
 
+
-
a po wyeliminowaniu z niego czynnika nieoznaczonego <math>\lambda</math>, do rozwiązania dołączamy warunek <math>w(x,y)=0</math> i po rozwiązaniu otrzymanego układu równań dostajemy zbiór punktów, w których funkcja <math>f(x,y)</math> może mieć ekstremum przy warunku <math>w(x,y)</math>. I jak zwykle, na przykładzie pokażemy jak stosować metodę czynników nieoznaczonych Lagrange’a.<br />
+
-
 
+
-
 
+
-
Znaleźć ekstremum funkcji <math>f(x,y)=x^2+y^2</math> przy warunku <math>w(x,y)=x+y-2=0</math>.<br />
+
-
 
+
-
 
+
-
Funkcja pomocnicza Lagrange’a ma postać
+
-
 
+
-
:<math>\begin{aligned}
+
-
P(x,y) = x^2 + y^2 + \lambda (x+y-2), \nonumber \end{aligned}</math>
+
-
 
+
-
a układ równań z jej pochodnymi cząstkowymi
+
-
 
+
-
:<math>\left\{ \begin{array}{cccc}
+
-
\frac{\delta P}{\delta x} & = 2x + \lambda & = & 0 \\
+
-
\frac{\delta P}{\delta y} & = 2y + \lambda & = & 0 \\
+
-
\end{array} \right.</math>
+
-
 
+
-
po wyeliminowaniu czynnika <math>\lambda</math> ma rozwiązanie <math>y=x</math>. Do rozwiązania pozostaje układ równań
+
-
 
+
-
:<math>\left\{ \begin{array}{ccc}
+
-
y & = & x \\
+
-
x + y - 2 & = & 0 \\
+
-
\end{array} \right.</math>
+
-
 
+
-
którego rozwiązaniem jest jeden punkt <math>A(1,1)</math>. Jest to punkt podejrzany o to, że może w nim być ekstremum warunkowe. Albo innymi słowy: jeżeli funkcja <math>f(x,y)=x^2+y^2</math> posiada ekstremum warunkowe to tylko w punkcie <math>A(1,1)</math>. Musimy sprawdzić warunek wystarczający istnienia ekstremum. Z warunku <math>w(x,y)=0</math> otrzymujemy <math>y=2-x</math>, a funkcja <math>f(x,y)=x^2+y^2=x^2+(2-x)^2=2x^2-4x+4=g(x)</math> staje się funkcją jednej zmiennej (zazwyczaj otrzymujemy tutaj tzw. funkcję uwikłaną i taką funkcją w ogólności trzeba się tutaj zajmować - to jednak wykracza poza zakres naszego kursu). Badając znanymi nam sposobami ekstremum funkcji <math>g(x)</math> znajdujemy, że <math>g'(x)=4x-4</math>, <math>g'(x)=0</math> dla <math> x=1 </math>, a także <math>g''(1)=4>0</math>. Zatem ekstremum warunkowe funkcji <math>f(x,y)=x^2+y^2</math> przy warunku <math>w(x,y)=x+y-2=0</math> znajduje się w punkcie <math>A(1,1)</math>.
+
-
 
+
-
== Definicja funkcji trzech zmiennych ==
+
-
Funkcją trzech zmiennych <math>w=f(x,y,z)</math> będziemy nazywać przyporządkowanie trzem liczbą rzeczywistym <math>(x,y,z)</math> dokładnie jednej liczby rzeczywistej <math>w</math>.
+
-
Zatem dziedziną funkcji <math>f(x,y,z)</math> będzie zbiór <math>D \subset R^3 </math> taki, że dla dowolnych trzech liczb <math>(x,y,z) \in D </math> istnieje <math>w=f(x,y,z)</math>.
+
-
Dziedzinę można go przedstawiać jako pewien obszar w przestrzeni trójwymiarowej <math>XYZ</math>.
+
-
:<math>f: R^3 \supset D \ni (x,y,z) \to f(x,y,z) \in R</math>
+
-
Nie ma prostego przedstawienia wykresu funkcji trzech zmiennych (wykres leży w przestrzeni czterowymiarowej)
+
-
 
+
-
== Zadania ==
+
-
#Wyznacz dziedzinę następujących funkcji:
+
-
## <math>f(x,y)={3x+5 \over{x^2+(y-1)^2}}</math>
+
-
## <math>f(x,y)=\ln(x^2+y^2+6x+8y)-10x+\sqrt{3}</math>
+
-
## <math>f(x,y)=\sqrt[4]{6-3x^2-3y^2}+{1 \over{2x+y}}</math>
+
-
#Obliczyć pochodne cząstkowe funkcji
+
-
## <math>f(x,y)=x^{\frac{2}{y}}-\log_{10}(xy^2) \text{ dla } x>0 \text{ i } y \ne 0 </math>
+
-
## <math> f(x,y) =
+
-
\begin{cases}
+
-
{\sin(x^2y) \over{x^2+y^2}} & \text{ dla } & (x,y) \ne (0,0) \\
+
-
0 &  \text{ dla } & (x,y)=(0,0)
+
-
\end{cases}
+
-
</math>
+
-
## <math> f(x,y) =
+
-
\begin{cases}
+
-
{x^2-y+1) \over{\sqrt{x^2+(y-1)^2}}} & \text{ dla } & (x,y) \ne (0,1) \\
+
-
0 &  \text{ dla } & (x,y)=(0,1)
+
-
\end{cases}
+
-
</math>
+
-
# Wyznaczyć pochodne cząstkowe rzędu drugiego dla:
+
-
## <math>f(x,y)=\sqrt{5x^4+y^8}</math>
+
-
## <math>f(x,y)=\arctan{\frac{y^2}{x}} \text{ dla } x \ne 0</math>
+
-
#Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji
+
-
##<math>f(x,y)=e^{3x-2y}(3x^2-y^2)</math>
+
-
##<math>f(x,y)=-8x^3+y^3-24xy-4</math>
+
-
##<math>f(x,y)=3x^8+3y^8+8x^3y^3</math>
+
-
##<math>f(x,y)=y^2-3x^2y-x^3y</math>
+
-
##<math>f(x,y)=24xy-2x^3y-4xy^2</math>
+

Wersja z 08:27, 17 mar 2014

W przygotowaniu

Źródło „http://172.16.3.1/ekonofizyka/index.php/Funkcja_dw%C3%B3ch_zmiennych”