|
|
| Linia 1: |
Linia 1: |
| - | [[Category:KURS MATEMATYKI]]
| + | '''W przygotowaniu''' |
| - | Liczba zespolona jest liczbą, która może być wyrażona w postaci
| + | |
| - | | + | |
| - | :<math>z = \alpha + \beta i</math>
| + | |
| - | | + | |
| - | gdzie <math>\alpha</math> i <math>\beta</math> są liczbami rzeczywistymi, zaś <math>i</math> jest jednostką urojoną, która spełnia równanie <math>i^2 = -1</math>. Liczbę <math>\alpha</math> nazywamy częścią rzeczywistą, a liczbę <math>\beta</math> częścią urojoną z liczny zespolonej.
| + | |
| - |
| + | |
| - | :<math>\alpha = Re(z)</math>
| + | |
| - | :<math>\beta = Im(z)</math>
| + | |
| - | | + | |
| - | Gdy <math>\beta=0</math>, wtedy <math>z=\alpha</math> - liczba zespolona jest liczbą rzeczywistą. Możemy zatem powiedzieć, że zbiór liczb rzeczywistych zawiera się z zbiorze liczb zespolonych. Natomiast, jeżeli <math>\alpha=0</math> to wtedy <math>z= \beta i</math> i liczba urojona jest szczególnym przypadekiem liczby zespolonej.
| + | |
| - | == Interpretacja geometryczna ==
| + | |
| - | Liczby zespolone przedstawia się w postaci punktów na płaszczyźnie zespolonej. Liczbę <math>z = \alpha + \beta i</math> przedstawia punkt o odciętej <math>\alpha</math> i rzędnej <math>\beta</math> [[Media:complex1.png|Rys 1]].
| + | |
| - | [[File:complex1.png|thumb|250px|Rys. 1 Interpretacja geometryczna liczby <math>z = \alpha + \beta i</math>]]
| + | |
| - | | + | |
| - | == Równość liczb zespolonych ==
| + | |
| - | Dwie liczby zespolone są równe wtedy i tylko wtedy, gdy zarówno ich części rzeczywiste jak i części urojone są równe:
| + | |
| - | :<math>z_{1} = z_{2} \, \, \Leftrightarrow \, \, ( \operatorname{Re}(z_{1}) = \operatorname{Re}(z_{2}) \, \land \, \operatorname{Im} (z_{1}) = \operatorname{Im} (z_{2}))</math>
| + | |
| - | | + | |
| - | == Postać trygonometryczna liczby zespolonej ==
| + | |
| - | Wyrażenie
| + | |
| - | :<math>z=\alpha +\beta i</math>
| + | |
| - | nazywamy postacią algebraiczną liczby zespolonej. Jeżeli zamiast współrzędnych kartezjańskich punktu reprezentującego liczbę zespoloną wprowadzimy współrzędne biegunowe to otrzymamy postać trygonometryczną liczby zespolonej:
| + | |
| - | :<math>z=\rho (\cos(\phi) +i \sin(\phi))</math>
| + | |
| - | gdzie długość promienia wodzącego <math>\rho</math> nazywa się modułem lub bezwzględna wartością liczby zespolonej i oznacza się symbolem <math>|z|</math>, natomiast <math>\phi</math> to kat między osia biegunową, a promieniem wodzącym i oznacza się symbolem <math>\phi=arg z</math>.
| + | |
| - | Można wyprowadzić następujące związki między postaciami algebraiczną i trygonometryczną liczby zespolonej:
| + | |
| - | :<math>\alpha = \rho \cos(\phi)</math> :<math>\beta = \rho \sin(\phi)</math>
| + | |
| - | | + | |
| - | :<math>\rho = \sqrt{\alpha^2+\beta^2}</math> :<math>\cos(\phi)=\frac{\alpha}{\sqrt{\alpha^2+\beta^2}}</math> :<math>\sin(\phi)=\frac{\beta}{\sqrt{\alpha^2+\beta^2}}</math>
| + | |
| - | | + | |
| - | == Postać wykładnicza liczby zespolonej ==
| + | |
| - | Korzystając z formuły Euler'a
| + | |
| - | :<math>e^{ix} = \cos(\phi) + i\sin(\phi) \ </math>
| + | |
| - | możemy liczbę zespolona przedstawić w tzw. postać wykładniczej:
| + | |
| - | :<math>z=\rho e^{i\phi}</math>
| + | |
| - | | + | |
| - | == Liczby zespolone sprzężone ==
| + | |
| - | Dwie liczby zespolone nazywamy sprzężonymi jeżeli mają części rzeczywiste równe, a części urojone różnią się tylko znakiem. Liczby takie oznaczmy: <math> z \text{ } \bar{z} </math>
| + | |
| - | :<math> z= \alpha + \beta i = \rho(\cos(\phi)+i\sin(\phi) = \rho e^{i\phi}</math>
| + | |
| - | :<math> \bar{z}= \alpha - \beta i = \rho(\cos(\phi)-i\sin(\phi) = \rho e^{-i\phi}</math>
| + | |
| - | Ponadto zachodzi:
| + | |
| - | :<math>\operatorname{Re}\,(z) = \tfrac{1}{2}(z+\bar{z}), \,</math>
| + | |
| - | :<math>\operatorname{Im}\,(z) = \tfrac{1}{2i}(z-\bar{z}). \,</math>
| + | |
| - | A także:
| + | |
| - | :<math>\overline{z+w} = \bar{z} + \bar{w}, \,</math>
| + | |
| - | :<math>\overline{z-w} = \bar{z} - \bar{w}, \,</math>
| + | |
| - | :<math>\overline{z w} = \bar{z} \bar{w}, \,</math>
| + | |
| - | :<math>\overline{(z/w)} = \bar{z}/\bar{w}. \,</math>
| + | |
| - | :<math>\frac{1}{z}=\frac{\bar{z}}{z \bar{z}}=\frac{\bar{z}}{x^2+y^2}.</math>
| + | |
| - | | + | |
| - | == Podstawowe działania na liczbach zespolonych ==
| + | |
| - | === Dodawanie i odejmowanie ===
| + | |
| - | Liczby zespolone są dodawane/odejmowane przez dodanie/odjęcie rzeczywistych i urojonych części.
| + | |
| - | :<math>(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i.\ </math>
| + | |
| - | :<math>(a+bi) - (c+di) = (a-c) + (b-d)i.\ </math>
| + | |
| - | Zobacz graficzną prezentację dodawania [http://visual.icse.us.edu.pl/wizualizacje/algebra-i-analiza/zobacz/DodawanieLiczbZespolonych/ tutaj]
| + | |
| - | | + | |
| - | === Mnożenie ===
| + | |
| - | Mnożenie dwóch liczb jest zdefiniowane za pomocą następującego wzoru:
| + | |
| - | :<math>(a+bi) (c+di) = (ac-bd) + (bc+ad)i.\ </math>
| + | |
| - | Należy pamiętać, że:
| + | |
| - | :<math>i^2 = i \times i = -1.\ </math>
| + | |
| - | Stąd wzór na mnożenie nie dwóch liczb zespolonych da się przedstawić w następujący sposób:
| + | |
| - | :<math>(a+bi) (c+di) = ac + bci + adi + bidi \ </math>
| + | |
| - | :::<math> = ac + bidi + bci + adi \ </math>
| + | |
| - | :::<math> = ac + bdi^2 + (bc+ad)i \ </math>
| + | |
| - | :::<math> = (ac-bd) + (bc + ad)i \ </math>
| + | |
| - | ==== Mnożenie w postaci trygonometrycznej ====
| + | |
| - | Opierając się na poniższych wzorach:
| + | |
| - | :<math> \cos(a)\cos(b) - \sin(a)\sin(b) = \cos(a + b)</math>
| + | |
| - | :<math> \cos(a)\sin(b) + \cos(b)\sin(a) = \sin(a + b)</math>
| + | |
| - | Możenie dwóch liczb zespolonych ''z''<sub>1</sub> = ''r''<sub>1</sub>(cos φ<sub>1</sub> + ''i'' sin φ<sub>1</sub>) i ''z''<sub>2</sub> =''r''<sub>2</sub>(cos φ<sub>2</sub> + ''i'' sin φ<sub>2</sub>) możemy zapisać w następujący sposób:
| + | |
| - | :<math>z_1 z_2 = r_1 r_2 (\cos(\varphi_1 + \varphi_2) + i \sin(\varphi_1 + \varphi_2)).\,</math>
| + | |
| - | Zobacz graficzną prezentację [http://visual.icse.us.edu.pl/wizualizacje/algebra-i-analiza/zobacz/MnozenieLiczbZespolonych/ tutaj]
| + | |
| - | | + | |
| - | === Dzielenie ===
| + | |
| - | Dzielenie liczb zespolonych wykonujemy mnożąc licznik i mianownik przez liczbę zespoloną sprzężoną do liczby zepolonej w mianowniku. Otrzymamy wtedy w mianowniku liczbę rzeczywistą. Należy jednak pamiętać o tym, że liczba zespolona w mianowniku musi być różna od zera.
| + | |
| - | :<math>\,\frac{a + bi}{c + di} = \left({ac + bd \over c^2 + d^2}\right) + \left( {bc - ad \over c^2 + d^2} \right)i. </math>
| + | |
| - | ==== Dzielenie w postaci trygonometrycznej ====
| + | |
| - | Dzielenie dwóch liczb zespolonych przedstawionych w postaci trygonometrycznej ''z''<sub>1</sub> = ''r''<sub>1</sub>(cos φ<sub>1</sub> + ''i'' sin φ<sub>1</sub>) i ''z''<sub>2</sub> =''r''<sub>2</sub>(cos φ<sub>2</sub> + ''i'' sin φ<sub>2</sub>) wykonujemy w następujący sposób:
| + | |
| - | :<math>\frac{z_1}{ z_2} = \frac{r_1}{ r_2} \left(\cos(\varphi_1 - \varphi_2) + i \sin(\varphi_1 - \varphi_2)\right).</math>
| + | |
| - | | + | |
| - | === Potęgowanie ===
| + | |
| - | Podnoszenie liczby zespolonej do potęgi wykonuje się według wzoru ''de Moivre'a''
| + | |
| - | :<math> z^n=[\rho(\cos(\phi)+i\sin(\phi))]^n=\rho^n(\cos(n\phi)+i\sin(n\phi))</math>
| + | |
| - | Zobacz graficzną prezentację [http://visual.icse.us.edu.pl/wizualizacje/algebra-i-analiza/zobacz/PotegowanieLiczbZespolonych/ tutaj]
| + | |
| - | | + | |
| - | === Pierwiastkowanie ===
| + | |
| - | Wyciągnięcie pierwiastka z liczby zespolonej wykonuje się za pomocą następującego wzoru:
| + | |
| - | :<math>\sqrt[n]{z} = \sqrt[n]\rho \left( \cos \left(\frac{\phi+2k\pi}{n}\right) + i \sin \left(\frac{\phi+2k\pi}{n}\right)\right), \qquad k=0,1,...,n-1</math>
| + | |
| - | Jak widzimy stosując powyższy wzór otrzymamy <math>n</math> pierwiastków <math>n-tego</math> stopnia liczby zespolonej <math>z</math>. Ponadto zachodzi:
| + | |
| - | :<math>\sqrt[n]{z^n} = z</math>
| + | |
| - | Zobacz graficzną prezentację [http://visual.icse.us.edu.pl/wizualizacje/algebra-i-analiza/zobacz/PierwiastkowanieLiczbZespolonych/ tutaj]
| + | |
| - | | + | |
| - | === Logarytm naturalny liczby zespolonej ===
| + | |
| - | W oparciu o postać trygonometryczną liczby zespolonej <math>z=\rho (\cos(\phi) +i \sin(\phi))</math> można obliczyć logarytm naturalny liczby zepolonej | + | |
| - | :<math>\ln(z) = \left\{ \ln(r) + (\varphi + 2\pi k)i \;|\; k \in \mathbb{Z}\right\}</math>
| + | |
| - | | + | |
| - | == Funkcje zmiennej zespolonej ==
| + | |
| - | Podobnie do funkcji rzeczywistych zmiennej rzeczywistej możemy rozpatrywać funkcje zespolone zmiennej zespolonej. Jeżeli każdemu punktowi <math>z \in D</math>, gdzie <math>D</math> jest dziedziną funkcji będącą podzbiorem liczb zespolonych, przyporządkujemy liczbę zespoloną <math>t</math> taką, że
| + | |
| - | | + | |
| - | :<math>t=f(z)</math>
| + | |
| - | | + | |
| - | to wtedy w dziedzinie funkcji <math>D</math> określamy funkcję zespoloną <math>f(z)</math> zmiennej zespolonej <math>z</math>. W tym wykładzie ograniczymy się do przedstawienia trzech przykładów funkcji zespolonych <math>e^z, sinz</math> oraz <math>cosz</math>, które są często używane w fizyce. Funkcje te zachowują większość (chociaż nie wszystkie) własności odpowiadającym im funkcjom zmiennej rzeczywistej.
| + | |
| - | | + | |
| - | Funkcje <math>e^z, sinz, cosz</math> są określone w całym zbiorze liczb zespolonych. Zachodzą między nimi następujące bardzo ważne związki
| + | |
| - | | + | |
| - | :<math>e^{iz}=cosz+isinz, \qquad e^{-iz}=cosz-isinz,</math>
| + | |
| - | | + | |
| - | a po prostym przekształceniu (dodanie i odjęcie stronami powyższych wzorów) otrzymujemy wzory Eulera
| + | |
| - | | + | |
| - | :<math>cosz = \frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}, \qquad sinz = \frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}.</math>
| + | |
| - | | + | |
| - | Rozważane przez nas trzy funkcje zespolone są okresowe. Okresem funkcji <math>sinz</math> i <math>cosz</math> jest <math>2k\pi</math>, a funkcji <math>e^z</math> <math>2k\pi i</math>, gdzie <math>k=0,\pm 1,\pm 2,\ldots</math>. Należy zwrócić uwagę na to, że wartości funkcji zespolonych <math>sinz</math> i <math>cosz</math> nie są ograniczone do zbioru <math>[-1,1]</math>. I tak np. dla <math>z=i</math> zachodzi
| + | |
| - | | + | |
| - | :<math>\cos i = \tfrac{1}{2}(e^{-1}+e) \approx 1,543;\qquad</math>
| + | |
| - | :<math>\sin i = \tfrac{1}{2i}(e^{-1}-e)\approx 1,175i,</math>
| + | |
| - | | + | |
| - | ale dla <math>z=i</math>, tak jak dla wszystkich wartości argumentu zespolonego <math>z</math> zachodzi tożsamość znana jako jedynka trygonometryczna
| + | |
| - | | + | |
| - | :<math>sin^{2}z+cos^{2}z=1,</math>
| + | |
| - | | + | |
| - | co można łatwo sprawdzić wykorzystując wzory Eulera.
| + | |
| - | | + | |
| - | == Zadania ==
| + | |
| - | #Oblicz, a rozwiązanie napisz w postaci <math>a + bi</math>
| + | |
| - | ##<math>(5 - 6i) + (3 + 2i)</math>
| + | |
| - | ##<math>(4 - 12 i) - (9 + 52i)</math>
| + | |
| - | ##<math>(2 + 5i)(4 - i)</math>
| + | |
| - | ##<math>(1 - 2i)(8 - 3i)</math>
| + | |
| - | ##<math>i^3</math>
| + | |
| - | ##<math>i^{100}</math>
| + | |
| - | #Oblicz:
| + | |
| - | ## <math>(7 + 2i) + (11 - 6i)</math>
| + | |
| - | ## <math>(8 - 3i) - (6i)</math>
| + | |
| - | ## <math>(9 + 4i)(3 - 16i)</math>
| + | |
| - | ## <math>3i \times 9i</math>
| + | |
| - | ## <math>\frac{i}{2+i}</math>
| + | |
| - | ## <math>\frac{11 + 3i}{\sqrt{3} - 4i}</math>
| + | |
| - | ## <math>{(x + yi)}^{-1}</math>
| + | |
| - | ##<math>\overline{12+7i}</math>
| + | |
| - | ##<math>\overline{2i(\frac{1}{2}i-i)}</math>
| + | |
| - | ##<math>\frac{1+4i}{3+2i}</math>
| + | |
| - | #Dane są dwie liczby zespolone <math> \begin{matrix} x &=& 3 - 2i \\ y &=& 3 + 2i \end{matrix} </math>
| + | |
| - | #: Oblicz
| + | |
| - | ## x + y
| + | |
| - | ## x - y
| + | |
| - | ## x<sup>2</sup>
| + | |
| - | ## y<sup>2</sup>
| + | |
| - | ## xy
| + | |
| - | ## (x + y)(x - y)
| + | |
| - | #Oblicz
| + | |
| - | ## (3 + 3i)<sup>1/2</sup>
| + | |
| - | ## (1 + 1i)<sup>1/2</sup>
| + | |
| - | ## i<sup>1/3</sup>
| + | |
| - | # Znajdź dwie odrębne liczby zespolone <math>z_1</math> i <math>z_2</math> takie, że <math>z_j^2=-1</math> dla j=1 i j=2.
| + | |
| - | # Zapisz wynik działania <math>(\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i)( \frac{1}{2} +\frac{\sqrt{3}}{2}i)</math> w postaci <math>a + bi</math>
| + | |
| - | #Znajdź odwrotność każdej z następujących liczb:
| + | |
| - | ##<math>-1-i</math>
| + | |
| - | ##<math>3-2i</math>
| + | |
| - | ##<math>i</math>
| + | |
| - | ##<math>-i</math>
| + | |
| - | ##<math>-\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i</math>
| + | |
| - | #Opierając się na rys 3 narysuj liczby
| + | |
| - | #:[[File:complex3.png|thumb|Rys. 3 LIczby ''z, w, v'' w płaszczyźnie zespolonej]]
| + | |
| - | ##<math>z+\bar{z}</math>, <math>w+\bar{w}</math>, <math>v+\bar{v}</math>
| + | |
| - | ##<math>2w + \bar{z} + v</math>
| + | |
| - | ##<math>v - z - w</math>
| + | |