Liczby zespolone

Z Skrypty dla studentów Ekonofizyki UPGOW

(Różnice między wersjami)
(UWAGA! Zastąpienie treści hasła bardzo krótkim tekstem: „'''W przygotowaniu'''”)
 
Linia 1: Linia 1:
-
'''W przygotowaniu'''
+
[[Category:KURS MATEMATYKI]]
 +
Liczba zespolona jest liczbą, która może być wyrażona w postaci
 +
 
 +
:<math>z = \alpha + \beta i</math>
 +
 
 +
gdzie <math>\alpha</math> i <math>\beta</math> są liczbami rzeczywistymi, zaś <math>i</math> jest jednostką urojoną, która spełnia równanie <math>i^2 = -1</math>. Liczbę <math>\alpha</math> nazywamy częścią rzeczywistą, a liczbę <math>\beta</math> częścią urojoną z liczby zespolonej i oznaczamy
 +
 +
:<math>\alpha = \operatorname{Re}z</math>
 +
:<math>\beta = \operatorname{Im}z</math>
 +
 
 +
Gdy <math>\beta=0</math>, wtedy <math>z=\alpha</math> - liczba zespolona jest liczbą rzeczywistą. Możemy zatem powiedzieć, że zbiór liczb rzeczywistych zawiera się w zbiorze  liczb zespolonych.
 +
Innym szczególnym przypadkiem liczby zespolonej jest liczba czysto urojona postaci <math>z= \beta i</math>
 +
 
 +
 
 +
== Interpretacja geometryczna ==
 +
Liczby zespolone przedstawia się w postaci punktów na płaszczyźnie zespolonej. Liczbę <math>z = \alpha + \beta i</math> przedstawia punkt o odciętej <math>\alpha</math> i rzędnej <math>\beta</math> ([[Media:complex1.png|Rys 1]]).
 +
[[File:complex1.png|thumb|300px|Rys. 1 Interpretacja geometryczna liczby <math>z = \alpha + \beta i</math>]]
 +
 
 +
== Postać trygonometryczna liczby zespolonej ==
 +
Wyrażenie
 +
:<math>z=\alpha +\beta i</math>
 +
nazywamy postacią algebraiczną liczby zespolonej. Jeżeli  zamiast [[Układy współrzędnych#Układ współrzędnych kartezjańskich (prostokątny)|współrzędnych kartezjańskich]] punktu reprezentującego liczbę zespoloną wprowadzimy [[Układy współrzędnych#Układ współrzędnych biegunowych|współrzędne biegunowe]] to otrzymamy postać trygonometryczną liczby zespolonej:
 +
:<math>z=\rho\, (\cos{\varphi} + i \sin{\varphi})\,,</math>
 +
gdzie długość promienia wodzącego <math>\rho</math> nazywa się modułem lub bezwzględną wartością liczby zespolonej i oznacza się symbolem <math>|z|</math>, natomiast <math>0 \le \varphi \lt 2\pi</math> to kąt między osią biegunową, a promieniem wodzącym i oznacza się symbolem <math>\varphi=\arg{z}</math>. Kąt <math>\varphi</math> jest nazywany argumentem liczby zespolonej.
 +
Mamy następujące związki między postaciami algebraiczną i trygonometryczną liczby zespolonej:
 +
:<math>\alpha = \rho \cos{\varphi}\,,\quad\beta = \rho \sin{\varphi}\,;</math>
 +
:<math>\rho = \sqrt{\alpha^2+\beta^2}\,;\qquad
 +
\cos{\varphi}=\frac{\alpha}{\sqrt{\alpha^2+\beta^2}}\,,\quad\sin{\varphi}=\frac{\beta}{\sqrt{\alpha^2+\beta^2}}\,.</math>
 +
 
 +
== Postać wykładnicza liczby zespolonej ==
 +
Korzystając z formuły Eulera
 +
:<math>e^{i\varphi} = \cos\varphi + i\sin\varphi \ </math>
 +
możemy liczbę zespoloną przedstawić w tzw. postać wykładniczej:
 +
:<math>z=\rho\,e^{i\varphi}</math>
 +
 
 +
== Liczby zespolone sprzężone ==
 +
Dwie liczby zespolone nazywamy sprzężonymi jeżeli mają części rzeczywiste równe, a części urojone różnią się tylko znakiem. Liczby takie oznaczamy <math> z \text{ i } \bar{z} </math> ([[Media:complex2.png|Rys. 2]])
 +
[[File:complex2.png|thumb|300px|Rys. 2 Liczby zespolone sprzężone]]
 +
:<math> z= \alpha + \beta i = \rho(\cos\varphi+i\sin\varphi) = \rho e^{i\varphi}</math>
 +
:<math> \bar{z}= \alpha - \beta i = \rho(\cos\varphi-i\sin\varphi) = \rho e^{-i\varphi}</math>
 +
<!-- Ponadto zachodzi:
 +
:<math>\operatorname{Re}\,(z) = \tfrac{1}{2}(z+\bar{z}), \,</math>
 +
:<math>\operatorname{Im}\,(z) = \tfrac{1}{2i}(z-\bar{z}). \,</math>
 +
A także:
 +
:<math>\overline{z+w} = \bar{z} + \bar{w}, \,</math>
 +
:<math>\overline{z-w} = \bar{z} - \bar{w}, \,</math>
 +
:<math>\overline{z w} = \bar{z} \bar{w}, \,</math>
 +
:<math>\overline{(z/w)} = \bar{z}/\bar{w}. \,</math>
 +
:<math>\frac{1}{z}=\frac{\bar{z}}{z \bar{z}}=\frac{\bar{z}}{x^2+y^2}.</math>
 +
-->
 +
 
 +
== Równość liczb zespolonych ==
 +
Dwie liczby zespolone są równe wtedy i tylko wtedy, gdy zarówno ich części rzeczywiste jak i części urojone są równe:
 +
:<math>z_{1} = z_{2} \, \, \Leftrightarrow \, \, ( \operatorname{Re} z_{1} = \operatorname{Re} z_{2} \, \land \, \operatorname{Im} z_{1} = \operatorname{Im} z_{2})</math>
 +
 
 +
== Podstawowe działania na liczbach zespolonych ==
 +
=== Dodawanie i odejmowanie ===
 +
Liczby zespolone są dodawane/odejmowane przez dodanie/odjęcie rzeczywistych i urojonych części.
 +
:<math>(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i.\ </math>
 +
:<math>(a+bi) - (c+di) = (a-c) + (b-d)i.\ </math>
 +
Zobacz graficzną prezentację dodawania liczb zespolonych [http://visual.icse.us.edu.pl/wizualizacje/algebra-i-analiza/zobacz/DodawanieLiczbZespolonych/ tutaj]
 +
 
 +
=== Mnożenie ===
 +
Mnożenie dwóch liczb jest zdefiniowane za pomocą następującego wzoru:
 +
:<math>(a+bi) (c+di) = (ac-bd) + (bc+ad)i.\ </math>
 +
Pamiętając, że
 +
:<math>i^2 = -1,\ </math>
 +
wzór na mnożenie dwóch liczb zespolonych da się przedstawić w następujący sposób:
 +
:<math>(a+bi) (c+di) = ac + bci + adi + bidi \ </math>
 +
:::<math> = ac + bidi + bci + adi \ </math>
 +
:::<math> = ac + bdi^2 + (bc+ad)i \ </math>
 +
:::<math> = (ac-bd) + (bc + ad)i \ </math>
 +
==== Mnożenie w postaci trygonometrycznej ====
 +
Opierając się na poniższych wzorach:
 +
:<math> \cos a\cos b - \sin a\sin b  = \cos(a + b)</math>
 +
:<math> \cos a\sin b + \cos b\sin a  = \sin(a + b)</math>
 +
mnożenie dwóch liczb zespolonych  <math>z_1 = \rho_1(\cos \varphi_1 +i \sin\varphi_1)</math> i <math>z_2 = \rho_2(\cos \varphi_2 +i \sin \varphi_2)</math> możemy zapisać w następujący sposób:
 +
:<math>z_1 z_2\ =\ \rho_1 \rho_2\ [\,\cos(\varphi_1 + \varphi_2) + i \sin(\varphi_1 + \varphi_2)\,]\,.</math>
 +
Zobacz graficzną prezentację mnożenia liczb zespolonych [http://visual.icse.us.edu.pl/wizualizacje/algebra-i-analiza/zobacz/MnozenieLiczbZespolonych/ tutaj]
 +
 
 +
=== Dzielenie ===
 +
Dzielenie liczb zespolonych wykonujemy mnożąc licznik i mianownik przez liczbę zespoloną sprzężoną do liczby zespolonej w mianowniku. Otrzymamy wtedy w mianowniku liczbę rzeczywistą. Należy jednak pamiętać o tym, że liczba zespolona w mianowniku musi być różna od zera.
 +
:<math>\frac{a + bi}{c + di} = \left({ac + bd \over c^2 + d^2}\right) + \left( {bc - ad \over c^2 + d^2} \right)i. </math>
 +
==== Dzielenie w postaci trygonometrycznej ====
 +
Dzielenie dwóch liczb zespolonych przedstawionych w postaci trygonometrycznej <math>z_1 = \rho_1(\cos \varphi_1 +  i  \sin{\varphi_1})</math> i <math>z_2 = \rho_2(\cos \varphi_2 + i \sin{ \varphi_2})</math> wykonujemy w następujący sposób:
 +
:<math>\frac{z_1}{ z_2}\ =\ \frac{\rho_1}{\rho_2} \left[\,\cos(\varphi_1 - \varphi_2) + i \sin(\varphi_1 - \varphi_2)\,\right].</math>
 +
 
 +
=== Potęgowanie ===
 +
Podnoszenie liczby zespolonej do potęgi wykonuje się według wzoru ''de Moivre'a''
 +
:<math> z^n\: =\ [\,\rho\,(\cos\varphi+i\sin\varphi)\,]^n\: =\ \rho^n\,(\cos n\varphi+i\sin n\varphi)</math>
 +
Zobacz graficzną prezentację potęgowania liczb zespolonych [http://visual.icse.us.edu.pl/wizualizacje/algebra-i-analiza/zobacz/PotegowanieLiczbZespolonych/ tutaj]
 +
 
 +
=== Pierwiastkowanie ===
 +
Wyciągnięcie pierwiastka z liczby zespolonej wykonuje się za pomocą następującego wzoru:
 +
:<math>\sqrt[n]{z}\ =\ \sqrt[n]\rho \left( \cos \frac{\varphi+2k\pi}{n} + i \sin \frac{\varphi+2k\pi}{n} \right), \qquad k=0,1,...,n-1</math>
 +
przy czym należy zwrócić uwagę na wieloznaczne użycie oznaczenia pierwiastka <math>n-tego</math> stopnia. Dotyczy zarówno pierwiastka zespolonych (<math>\sqrt[n]{z}</math>) jak i dobrze nam znanego pierwiastka arytmetycznego liczby rzeczywistej nieujemnej (<math>\sqrt[n]{\rho}</math>, gdzie <math>\rho</math> jest modułem liczby zespolonej). Jak widzimy stosując powyższy wzór otrzymany <math>n</math> pierwiastków <math>n-tego</math> stopnia liczby zespolonej <math>z</math>.
 +
<!-- Ponadto zachodzi:
 +
:<math>\sqrt[n]{z^n} = z</math>
 +
-->
 +
Zobacz graficzną prezentację pierwiastkowania liczb zespolonych [http://visual.icse.us.edu.pl/wizualizacje/algebra-i-analiza/zobacz/PierwiastkowanieLiczbZespolonych/ tutaj]
 +
 
 +
Obliczymy <math>\sqrt[3]{1}</math>, przy czym <math>1</math> jest liczbą zespoloną. Aby skorzystać z powyższego wzoru trzeba przedstawić liczbę zespoloną <math>z=1+0i</math> w postaci trygonometrycznej. Mamy <math>\alpha = 1</math> (część rzeczywista liczby zespolonej) oraz <math>\beta = 0</math> (część urojona liczby zespolonej). I stąd
 +
 
 +
:<math>\rho = \sqrt{\alpha^2 + \beta^2} = \sqrt{1^2 + 0^2} = 1, \quad \cos\phi = \frac{1}{1} = 1, \quad \sin\phi = \frac{0}{1} = 0.</math>
 +
 
 +
A zatem <math>\phi = 0</math>, a <math>z = 1 = 1(\cos0 + i\sin0)</math>. Otrzymany trzy pierwiastki (<math>k = 0, 1, 2</math>) liczby  zespolonej <math>z = 1</math>, które obliczamy ze wzoru
 +
:<math>z_k = \sqrt[3]{1}(\cos\frac{0+2k\pi}{3} + i\sin\frac{0+2k\pi}{3}), \quad k = 0, 1, 2.</math>
 +
 
 +
Wstawiając kolejne wartości <math>k</math> dostajemy trzy pierwiastki
 +
:<math>z_0 = 1(\cos0 + i\sin0) = 1,</math>
 +
:<math>z_1 = 1(\cos\frac{2\pi}{3} + i\sin\frac{2\pi}{3}) = -\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2},</math> 
 +
:<math>z_2 = 1(\cos\frac{4\pi}{3} + i\sin\frac{4\pi}{3}) = -\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}.</math>
 +
Zachęcamy czytelnika do sprawdzenia poprawności obliczeń <math>z_1</math> i <math>z_2</math> - wystarczy podnieść je do potęgi trzeciej, korzystając ze wzoru de Moivre'a.   
 +
<!--
 +
=== Logarytm naturalny liczby zespolonej ===
 +
W oparciu o postać trygonometryczną liczby zespolonej <math>z=\rho (\cos(\varphi) +i \sin(\varphi))</math> można obliczyć logarytm naturalny liczby zepolonej
 +
:<math>\ln(z) = \left\{ \ln(r) + (\varphi + 2\pi k)i \;|\; k \in \mathbb{Z}\right\}</math>
 +
-->
 +
 
 +
<!--
 +
== Funkcje zmiennej zespolonej ==
 +
Podobnie do funkcji rzeczywistych zmiennej rzeczywistej możemy rozpatrywać funkcje zespolone zmiennej zespolonej. Jeżeli każdemu punktowi <math>z \in D</math>, gdzie <math>D</math> jest dziedziną funkcji będącą podzbiorem liczb zespolonych, przyporządkujemy liczbę zespoloną <math>t</math> taką, że
 +
 
 +
:<math>t=f(z)</math>
 +
 
 +
to wtedy w dziedzinie funkcji <math>D</math> określamy funkcję zespoloną <math>f(z)</math> zmiennej zespolonej <math>z</math>. W tym wykładzie ograniczymy się do przedstawienia trzech przykładów funkcji zespolonych <math>e^z, \sinz</math> oraz <math>\cosz</math>, które są często używane w fizyce. Funkcje te zachowują większość (chociaż nie wszystkie) własności odpowiadającym im funkcjom zmiennej rzeczywistej.
 +
 
 +
Funkcje <math>e^z, \sinz, \cosz</math> są określone w całym zbiorze liczb zespolonych. Zachodzą między nimi następujące bardzo ważne związki
 +
 
 +
:<math>e^{iz}=\cosz+i\sinz, \qquad e^{-iz}=\cosz-i\sinz,</math>
 +
 
 +
a po prostym przekształceniu (dodanie i odjęcie stronami powyższych wzorów) otrzymujemy wzory Eulera
 +
 
 +
:<math>\cosz = \frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}, \qquad \sinz = \frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}.</math>
 +
 
 +
Rozważane przez nas trzy funkcje zespolone są okresowe. Okresem funkcji <math>\sinz</math> i <math>\cosz</math> jest <math>2k\pi</math>, a funkcji <math>e^z</math> <math>2k\pi i</math>, gdzie <math>k=0,\pm 1,\pm 2,\ldots</math>. Należy zwrócić uwagę na to, że wartości funkcji zespolonych <math>\sinz</math> i <math>\cosz</math> nie są ograniczone do zbioru <math>[-1,1]</math>. I tak np. dla <math>z=i</math> zachodzi
 +
 
 +
:<math>\cos i = \tfrac{1}{2}(e^{-1}+e) \approx 1,543;\qquad</math>
 +
:<math>\sin i = \tfrac{1}{2i}(e^{-1}-e)\approx 1,175i,</math>
 +
 
 +
ale dla <math>z=i</math>, tak jak dla wszystkich wartości argumentu zespolonego <math>z</math> zachodzi tożsamość znana jako jedynka trygonometryczna
 +
 
 +
:<math>\sin^{2}z+\cos^{2}z=1,</math>
 +
 
 +
co można łatwo sprawdzić wykorzystując wzory Eulera.
 +
-->
 +
 
 +
== Zadania ==
 +
#Oblicz, a rozwiązanie napisz w postaci <math>a + bi</math>
 +
##<math>(5 - 6i) + (3 + 2i)</math>
 +
##<math>(4 - 12 i) - (9 + 52i)</math>
 +
##<math>(2 + 5i)(4 - i)</math>
 +
##<math>(1 - 2i)(8 - 3i)</math>
 +
##<math>i^3</math>
 +
##<math>i^{100}</math>
 +
#Oblicz:
 +
## <math>(7 + 2i) + (11 - 6i)</math>
 +
## <math>(8 - 3i) - (6i)</math>
 +
## <math>(9 + 4i)(3 - 16i)</math>
 +
## <math>3i \times 9i</math>
 +
## <math>\frac{i}{2+i}</math>
 +
## <math>\frac{11 + 3i}{\sqrt{3} - 4i}</math>
 +
## <math>{(x + yi)}^{-1}</math>
 +
##<math>\overline{12+7i}</math>
 +
##<math>\overline{2i(\frac{1}{2}i-i)}</math>
 +
##<math>\frac{1+4i}{3+2i}</math>
 +
#Dane są dwie liczby zespolone <math> \begin{matrix} x &=& 3 - 2i \\ y &=& 3 + 2i \end{matrix} </math>
 +
#: Oblicz
 +
##<math> x + y</math>
 +
##<math> x - y</math>
 +
##<math> x^2</math>
 +
##<math>y^2</math>
 +
##<math> xy</math>
 +
##<math> (x + y)(x - y)</math>
 +
#Oblicz
 +
##<math> (3 + 3i)^{\frac{1}{2}}</math>
 +
##<math> (1 + 1i)^{\frac{1}{2}}</math>
 +
##<math> i^{\frac{1}{3}}</math>
 +
# Zapisz wynik działania <math>(\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i)( \frac{1}{2} +\frac{\sqrt{3}}{2}i)</math> w postaci <math>a + bi</math>
 +
#Znajdź odwrotność każdej z następujących liczb:
 +
##<math>-1-i</math>
 +
##<math>3-2i</math>
 +
##<math>i</math>
 +
##<math>-i</math>
 +
##<math>-\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i</math>
 +
#Opierając się na poniższym narysuj liczby
 +
#:[[File:complex3.png|Rys. 3 LIczby ''z, w, v'' w płaszczyźnie zespolonej]]
 +
##<math>z+\bar{z}</math>, <math>w+\bar{w}</math>, <math>v+\bar{v}</math>
 +
##<math>2w + \bar{z} + v</math>
 +
##<math>v - z - w</math>

Aktualna wersja na dzień 09:28, 31 mar 2015

Liczba zespolona jest liczbą, która może być wyrażona w postaci

\[z = \alpha + \beta i\]

gdzie \(\alpha\) i \(\beta\) są liczbami rzeczywistymi, zaś \(i\) jest jednostką urojoną, która spełnia równanie \(i^2 = -1\). Liczbę \(\alpha\) nazywamy częścią rzeczywistą, a liczbę \(\beta\) częścią urojoną z liczby zespolonej i oznaczamy

\[\alpha = \operatorname{Re}z\] \[\beta = \operatorname{Im}z\]

Gdy \(\beta=0\), wtedy \(z=\alpha\) - liczba zespolona jest liczbą rzeczywistą. Możemy zatem powiedzieć, że zbiór liczb rzeczywistych zawiera się w zbiorze liczb zespolonych. Innym szczególnym przypadkiem liczby zespolonej jest liczba czysto urojona postaci \(z= \beta i\)


Spis treści

Interpretacja geometryczna

Liczby zespolone przedstawia się w postaci punktów na płaszczyźnie zespolonej. Liczbę \(z = \alpha + \beta i\) przedstawia punkt o odciętej \(\alpha\) i rzędnej \(\beta\) (Rys 1).

Rys. 1 Interpretacja geometryczna liczby \(z = \alpha + \beta i\)

Postać trygonometryczna liczby zespolonej

Wyrażenie \[z=\alpha +\beta i\] nazywamy postacią algebraiczną liczby zespolonej. Jeżeli zamiast współrzędnych kartezjańskich punktu reprezentującego liczbę zespoloną wprowadzimy współrzędne biegunowe to otrzymamy postać trygonometryczną liczby zespolonej: \[z=\rho\, (\cos{\varphi} + i \sin{\varphi})\,,\] gdzie długość promienia wodzącego \(\rho\) nazywa się modułem lub bezwzględną wartością liczby zespolonej i oznacza się symbolem \(|z|\), natomiast \(0 \le \varphi \lt 2\pi\) to kąt między osią biegunową, a promieniem wodzącym i oznacza się symbolem \(\varphi=\arg{z}\). Kąt \(\varphi\) jest nazywany argumentem liczby zespolonej. Mamy następujące związki między postaciami algebraiczną i trygonometryczną liczby zespolonej: \[\alpha = \rho \cos{\varphi}\,,\quad\beta = \rho \sin{\varphi}\,;\] \[\rho = \sqrt{\alpha^2+\beta^2}\,;\qquad \cos{\varphi}=\frac{\alpha}{\sqrt{\alpha^2+\beta^2}}\,,\quad\sin{\varphi}=\frac{\beta}{\sqrt{\alpha^2+\beta^2}}\,.\]

Postać wykładnicza liczby zespolonej

Korzystając z formuły Eulera \[e^{i\varphi} = \cos\varphi + i\sin\varphi \ \] możemy liczbę zespoloną przedstawić w tzw. postać wykładniczej: \[z=\rho\,e^{i\varphi}\]

Liczby zespolone sprzężone

Dwie liczby zespolone nazywamy sprzężonymi jeżeli mają części rzeczywiste równe, a części urojone różnią się tylko znakiem. Liczby takie oznaczamy \( z \text{ i } \bar{z} \) (Rys. 2)

Rys. 2 Liczby zespolone sprzężone

\[ z= \alpha + \beta i = \rho(\cos\varphi+i\sin\varphi) = \rho e^{i\varphi}\] \[ \bar{z}= \alpha - \beta i = \rho(\cos\varphi-i\sin\varphi) = \rho e^{-i\varphi}\]

Równość liczb zespolonych

Dwie liczby zespolone są równe wtedy i tylko wtedy, gdy zarówno ich części rzeczywiste jak i części urojone są równe: \[z_{1} = z_{2} \, \, \Leftrightarrow \, \, ( \operatorname{Re} z_{1} = \operatorname{Re} z_{2} \, \land \, \operatorname{Im} z_{1} = \operatorname{Im} z_{2})\]

Podstawowe działania na liczbach zespolonych

Dodawanie i odejmowanie

Liczby zespolone są dodawane/odejmowane przez dodanie/odjęcie rzeczywistych i urojonych części. \[(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i.\ \] \[(a+bi) - (c+di) = (a-c) + (b-d)i.\ \] Zobacz graficzną prezentację dodawania liczb zespolonych tutaj

Mnożenie

Mnożenie dwóch liczb jest zdefiniowane za pomocą następującego wzoru: \[(a+bi) (c+di) = (ac-bd) + (bc+ad)i.\ \] Pamiętając, że \[i^2 = -1,\ \] wzór na mnożenie dwóch liczb zespolonych da się przedstawić w następujący sposób: \[(a+bi) (c+di) = ac + bci + adi + bidi \ \]

\[ = ac + bidi + bci + adi \ \]
\[ = ac + bdi^2 + (bc+ad)i \ \]
\[ = (ac-bd) + (bc + ad)i \ \]

Mnożenie w postaci trygonometrycznej

Opierając się na poniższych wzorach: \[ \cos a\cos b - \sin a\sin b = \cos(a + b)\] \[ \cos a\sin b + \cos b\sin a = \sin(a + b)\] mnożenie dwóch liczb zespolonych \(z_1 = \rho_1(\cos \varphi_1 +i \sin\varphi_1)\) i \(z_2 = \rho_2(\cos \varphi_2 +i \sin \varphi_2)\) możemy zapisać w następujący sposób: \[z_1 z_2\ =\ \rho_1 \rho_2\ [\,\cos(\varphi_1 + \varphi_2) + i \sin(\varphi_1 + \varphi_2)\,]\,.\] Zobacz graficzną prezentację mnożenia liczb zespolonych tutaj

Dzielenie

Dzielenie liczb zespolonych wykonujemy mnożąc licznik i mianownik przez liczbę zespoloną sprzężoną do liczby zespolonej w mianowniku. Otrzymamy wtedy w mianowniku liczbę rzeczywistą. Należy jednak pamiętać o tym, że liczba zespolona w mianowniku musi być różna od zera. \[\frac{a + bi}{c + di} = \left({ac + bd \over c^2 + d^2}\right) + \left( {bc - ad \over c^2 + d^2} \right)i. \]

Dzielenie w postaci trygonometrycznej

Dzielenie dwóch liczb zespolonych przedstawionych w postaci trygonometrycznej \(z_1 = \rho_1(\cos \varphi_1 + i  \sin{\varphi_1})\) i \(z_2 = \rho_2(\cos \varphi_2 + i \sin{ \varphi_2})\) wykonujemy w następujący sposób: \[\frac{z_1}{ z_2}\ =\ \frac{\rho_1}{\rho_2} \left[\,\cos(\varphi_1 - \varphi_2) + i \sin(\varphi_1 - \varphi_2)\,\right].\]

Potęgowanie

Podnoszenie liczby zespolonej do potęgi wykonuje się według wzoru de Moivre'a \[ z^n\: =\ [\,\rho\,(\cos\varphi+i\sin\varphi)\,]^n\: =\ \rho^n\,(\cos n\varphi+i\sin n\varphi)\] Zobacz graficzną prezentację potęgowania liczb zespolonych tutaj

Pierwiastkowanie

Wyciągnięcie pierwiastka z liczby zespolonej wykonuje się za pomocą następującego wzoru: \[\sqrt[n]{z}\ =\ \sqrt[n]\rho \left( \cos \frac{\varphi+2k\pi}{n} + i \sin \frac{\varphi+2k\pi}{n} \right), \qquad k=0,1,...,n-1\] przy czym należy zwrócić uwagę na wieloznaczne użycie oznaczenia pierwiastka \(n-tego\) stopnia. Dotyczy zarówno pierwiastka zespolonych (\(\sqrt[n]{z}\)) jak i dobrze nam znanego pierwiastka arytmetycznego liczby rzeczywistej nieujemnej (\(\sqrt[n]{\rho}\), gdzie \(\rho\) jest modułem liczby zespolonej). Jak widzimy stosując powyższy wzór otrzymany \(n\) pierwiastków \(n-tego\) stopnia liczby zespolonej \(z\). Zobacz graficzną prezentację pierwiastkowania liczb zespolonych tutaj

Obliczymy \(\sqrt[3]{1}\), przy czym \(1\) jest liczbą zespoloną. Aby skorzystać z powyższego wzoru trzeba przedstawić liczbę zespoloną \(z=1+0i\) w postaci trygonometrycznej. Mamy \(\alpha = 1\) (część rzeczywista liczby zespolonej) oraz \(\beta = 0\) (część urojona liczby zespolonej). I stąd

\[\rho = \sqrt{\alpha^2 + \beta^2} = \sqrt{1^2 + 0^2} = 1, \quad \cos\phi = \frac{1}{1} = 1, \quad \sin\phi = \frac{0}{1} = 0.\]

A zatem \(\phi = 0\), a \(z = 1 = 1(\cos0 + i\sin0)\). Otrzymany trzy pierwiastki (\(k = 0, 1, 2\)) liczby zespolonej \(z = 1\), które obliczamy ze wzoru \[z_k = \sqrt[3]{1}(\cos\frac{0+2k\pi}{3} + i\sin\frac{0+2k\pi}{3}), \quad k = 0, 1, 2.\]

Wstawiając kolejne wartości \(k\) dostajemy trzy pierwiastki \[z_0 = 1(\cos0 + i\sin0) = 1,\] \[z_1 = 1(\cos\frac{2\pi}{3} + i\sin\frac{2\pi}{3}) = -\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2},\] \[z_2 = 1(\cos\frac{4\pi}{3} + i\sin\frac{4\pi}{3}) = -\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}.\] Zachęcamy czytelnika do sprawdzenia poprawności obliczeń \(z_1\) i \(z_2\) - wystarczy podnieść je do potęgi trzeciej, korzystając ze wzoru de Moivre'a.


Zadania

  1. Oblicz, a rozwiązanie napisz w postaci \(a + bi\)
    1. \((5 - 6i) + (3 + 2i)\)
    2. \((4 - 12 i) - (9 + 52i)\)
    3. \((2 + 5i)(4 - i)\)
    4. \((1 - 2i)(8 - 3i)\)
    5. \(i^3\)
    6. \(i^{100}\)
  2. Oblicz:
    1. \((7 + 2i) + (11 - 6i)\)
    2. \((8 - 3i) - (6i)\)
    3. \((9 + 4i)(3 - 16i)\)
    4. \(3i \times 9i\)
    5. \(\frac{i}{2+i}\)
    6. \(\frac{11 + 3i}{\sqrt{3} - 4i}\)
    7. \({(x + yi)}^{-1}\)
    8. \(\overline{12+7i}\)
    9. \(\overline{2i(\frac{1}{2}i-i)}\)
    10. \(\frac{1+4i}{3+2i}\)
  3. Dane są dwie liczby zespolone \( \begin{matrix} x &=& 3 - 2i \\ y &=& 3 + 2i \end{matrix} \)
    Oblicz
    1. \( x + y\)
    2. \( x - y\)
    3. \( x^2\)
    4. \(y^2\)
    5. \( xy\)
    6. \( (x + y)(x - y)\)
  4. Oblicz
    1. \( (3 + 3i)^{\frac{1}{2}}\)
    2. \( (1 + 1i)^{\frac{1}{2}}\)
    3. \( i^{\frac{1}{3}}\)
  5. Zapisz wynik działania \((\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i)( \frac{1}{2} +\frac{\sqrt{3}}{2}i)\) w postaci \(a + bi\)
  6. Znajdź odwrotność każdej z następujących liczb:
    1. \(-1-i\)
    2. \(3-2i\)
    3. \(i\)
    4. \(-i\)
    5. \(-\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i\)
  7. Opierając się na poniższym narysuj liczby
    Rys. 3 LIczby z, w, v w płaszczyźnie zespolonej
    1. \(z+\bar{z}\), \(w+\bar{w}\), \(v+\bar{v}\)
    2. \(2w + \bar{z} + v\)
    3. \(v - z - w\)
Źródło „http://172.16.3.1/ekonofizyka/index.php/Liczby_zespolone”