Z Skrypty dla studentów Ekonofizyki UPGOW
Spis treści[ukryj] |
Wstęp
Literatura
Obiekt zainteresowań, czyli o czym się tu gada
Opcje
Wraz z postępującym rozwojem rynków finansowych, ich pomysłowi uczestnicy uczestnicy wymyślali coraz bardziej pomysłowe 'towary' warte obrotu. Wyobrażmy sobie bardzo realną sytuację: jesienią chciałbym kupić 100 kg ziemniaków (czyli kwintal lub tzw. 'meter'). Umawiam się więc z plantatorem, panem Zenkiem, że 30 września kupię od niego wspomniany kwintal za cenę K. Pan Zenek, wiedząc o tym, zasadzi dodatkowe dwa rządki na swoim zagonie z myślą o moim zamówieniu. Jeśli jednak znajdzie się ktoś chętny kupić ode mnie prawo zakupu za satysfakcjonującą ceną, nic nie stoi na przeszkodzie, abym sprzedał mu prawo zakupu ziemniaków pana Zenka. Z drugiej strony, czy pan Zenek koniecznie musi zasadzić dwa dodatkowe rządki ziemniaków, gdy umawia się ze mną? A może, w razie czago, opłaci mu się kupić te ziemniaki od innego plantatora? Okazuje się, że w tym procederze nie muszą pojawiać się żadne ziemniaki! Obiektem obrotu, handlu i spekulacji może być prawo zakupu lub zobowiązanie sprzedaży. Tytaj dochodzimy do intuicyjnego sedna pojęcia instrumentu pochodnego i jego relacji do instumentu podstawowego (ziemniaka).
Opcje: definicja
Opcja jest kontraktem dającym posiadaczowi prawo (nie obowiązek!) kupić (opcje typu CALL) lub sprzedać (opcje typu PUT) instrument finansowy w chwili T za cenę K
T: czas wykonania, wygaśnięcia, dojrzałości K: cena wykonania
Jeśli opcja może być wykonana jedynie w chwili T mówimy o opcji europejskiej. Ten typ opcji będzie znajdował się w centrum naszych zainteresowań. Jeśli wykonanie opcji może nastąpić w dowolnej chwili to jest to opcja amerykańska. Zaprezentowana klasyfikacja nie wyczerpuje wszystkich typów opcji. W istocie wymienione zostały dwa najbardziej podstawowe rodzaje. Konstrukcją skomplikowanych i bardzo chytrych instrumentów pochodnych jest przedmiotem szeroko rozumianej inżynierii finansowej i pozostaje poza tematyką tego skryptu.
C(T,S(T))=\left\{ \begin{array}{cc} S(T)-K & S(T)>K \\ 0 & S(T)<K \end{array}\right.
\frac{dS(t)}{dt}=\phi S(t)+\sigma S(t)R(t)
gdzie E[R(t)]=0 E[R(t),R(t')]=\delta(t-t')
\Pi=C-\frac{\partial C}{\partial S}S
\frac{d\Pi}{dt}=\frac{dC}{dt}=\frac{\partial C}{\partial S}\frac{dS}{dt}=\frac{\partial C}{\partial t}+\frac{1}{2}\sigma^2S^2\frac{\partial^2C}{\partial S^2} \frac{d\Pi}{dt}=r\Pi
rC= \frac{\partial C}{\partial t}+rS\frac{\partial C}{\partial S}+\frac{1}{2}\sigma^2S^2\frac{\partial^2C}{\partial S^2}
Zmienność stochastyczna
\sigma^2=V, \,\,\, \frac{dV}{dt}=\lambda+\mu V+\xi V^{\alpha}Q przy czym dobór parametrów gwarantuje V>0
Ogólnie \frac{dS}{dt}=\phi S + S\sqrt{V} R_1 \frac{dV}{dt}=\lambda+\mu V+\xi V^{\alpha}R_2 gdzie, dla korelacji \rho\in[-1,1] \frac{1}{\rho}E[R_1(t),R_2(t')]=\delta(t-t')