Z Skrypty dla studentów Ekonofizyki UPGOW
Spis treści |
Próby i schemat Bernoulliego
Próbą Bernoulliego nazywamy dowolne doświadczenie losowe, w którym pytam tylko o dwa możliwe wyniki, będące zdarzeniami przeciwnymi. Prawdopodobieństwo tego, że w schemacie Bernoulliego o n próbach otrzymamy k razy sukces jest jest dane przez rozkład dwumianowy:
\( p_n(k) = {n \choose k} \cdot p^k \cdot q^{n-k} = \frac{n!}{k! (n-k)!} \cdot p^k \cdot q^{n-k} \)
Przeprowadzmy symulację komputerową takiego procesu dla schematu Bernoulliego składającego się z szesciu prób z prawdopodobieństwem sukcesu \(p=0.6\). Dysponując jednorodnym generatorem liczb losowych z przedziału (0,1), łatwo możemy wygenerować rezultat próby Bernouliego. Korzystamy z faktu, że prawdopodobieństwo P zdarzenia że taka liczba losowa z przedziałuy (0,1) jest wieksza od \(0.6\) wynosi dokładnie \(p=0.6\). Ponieważ mamy sześć prób generujemy jednym poleceniem wektor:
rand(6,1)
a następnie wykonujemy na nim operację logiczną
rand(6,1)<0.6
i w wyniku otrzymujemy wektor zer i jedynek, przy czym jedynka odpowiada sukcesowi z prawdopodopieństwem 0.6 w jednej próbie. Eksperyment powtarzamy wiele razy, więc możemy wykorzystać drugi wskaźnik:
octave:87> rand(6,10)<0.5 ans = 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 0 0
Każda kolumna powyższej macierzy odpowiada jednemu eksperymentowi składającemu się z 6 zdarzeń
Chcemy wyliczyć prawdopodobieństwo z jakim sukces zajdzie dokładnie 3 razy, czyli częstość z jaką kolumna powyższej macierzy będzie zawierała dokładnie trzy jedynki. Można to zrobić sumując wszystkie rzędy tej macierzy wektora:
octave:88> sum( rand(6,10)<0.5 ) ans = 1 2 5 1 2 2 0 4 3 2