Processing math: 0%
MKZR:Stochastyczne równania różniczkowe

Z Skrypty dla studentów Ekonofizyki UPGOW

Stochastyczne równania różniczkowe

W tym rozdziale zostaną opisane metody numeryczne, które służa do rozwiązywania stochastycznych równań różniczkowych typu:

gdzie F i G to dowolne funkcje, a \Gamma(t) jest procesem losowym. W przypadku gdy rozpatrujemy biały szum Gaussowski to należy zwrócic szczególną uwagę na dylemat Stratonowicza-Ito.



dX(t)= F(X(t), t)dt + G(X(t), t) dW(t)\;


Proces Wienera

Oznacza to, że realizacja staje się funkcją ciągłą (wysokość skoków dąży do zera), ale jednocześnie nigdzie nie jest różniczkowalna (liczba skoków dąży do nieskończoności).

Przyrost W(t_2) - W(t_1) jest zmienna losową gaussowską o zerowej wartości średniej i wariancji = 2D(t_2 - t_1) . Więc jego rozkład prawdopodobieństwa ma postać

\Delta W(t) = W(t+\Delta t) - W(t) \;

i wzór (xx--CrossReference--eqn:11.12b-equation--xx) ma postać


(1)\langle [\Delta W(t)]^2 \rangle = \langle [W(t+\Delta t) - W(t)[^2 \rangle = 2D \Delta t

Schemat Eulera dla równania z szumem addytywnym

Najprostszą metodą aproksymacji numerycznej równania stochastycznego jest podobnie jak w przypadku równań różniczkowych zwyczajnych - schemat Eulera.