Processing math: 0%
Liczby zespolone

Z Skrypty dla studentów Ekonofizyki UPGOW

Liczba zespoloną jest liczbą, która może być wyrażona w postaci

gdzie \alpha i \beta są liczbami rzeczywistymi, zaś i jest jednostką urojoną, która spełnia równanie i^2 = -1. Ponadto liczbę \alpha nazywamy częścią rzeczywistą i liczbę \beta częścią urojoną z liczny zespolonej.

\alpha = Re(z) \beta = Im(z)

Gdy \beta=0, wtedy z=\alpha - liczba rzeczywista jest szczególnym przypadkiem liczby zespolonej, gdy \alpha=0 wtedy z= \beta i - liczba urojona szczególny przypadek liczby zespolonej.

Spis treści

[ukryj]

Interpretacja geometryczna

Liczby zespolone przedstawia się w postaci punktów na płaszczyźnie. Liczbę z = \alpha + \beta i przedstawia punkt o odciętej \alpha i rzędnej \beta rys 1.

Równość liczb zespolonych

Dwie liczby zespolone są równe wtedy i tylko wtedy, gdy zarówno ich rzeczywista i urojona są równe. Innymi słowy: z_{1} = z_{2} \, \, \leftrightarrow \, \, ( \operatorname{Re}(z_{1}) = \operatorname{Re}(z_{2}) \, \land \, \operatorname{Im} (z_{1}) = \operatorname{Im} (z_{2}))

Postać trygonometryczna liczby zespolonej

Wyrażenie z=\alpha +\beta i nazywamy postacią algebraiczną liczby zespolonej. Jeżeli zamiast współrzędnych kartezjańskich punktu reprezentującego liczbę zespoloną wprowadzimy współrzędne biegunowe to otrzymamy postać trygonometryczną zapisu liczby zespolonej: z=\rho (\cos(\phi) +i \sin(\phi)) gdzie \rho to długość promienia wodzącego, nazywa się modułem lub bezwzględna wartością liczby zespolonej i oznacz się symbolem |z|, natomiast \phi to kat między osia biegunową, a promieniem wodzącym i oznacza się symbolem \phi=arg z Można wyprowadzić następujące związki między współrzędnymi biegunowymi i kartezjańskimi: \alpha = \rho \cos(\phi) \beta = \rho \sin(\phi)

\rho = \sqrt{\alpha^2+\beta^2} \cos(\phi)=\frac{\alpha}{\sqrt{\alpha^2+\beta^2}} \sin(\phi)=\frac{\beta}{\sqrt{\alpha^2+\beta^2}}

Postać wykładnicza liczby zespolonej

W oparciu o formulę Euler'a

e^{ix} = \cos(\phi) + i\sin(\phi) \

możemy liczbę zespolona przedstawić w tzw. postać wykładniczej:

z=e^{i\phi}

Liczby zespolone sprzężone

Dwie liczby zespolone nazywamy sprzężonymi jeżeli mają części rzeczywiste równe, a części urojone różnią się tylko znakiem. Liczby takie oznaczmy: z \text{ } \bar{z} z= \alpha + \beta i = \rho(\cos(\phi)+i\sin(\phi) = \rho e^{i\phi} \bar{z}= \alpha - \beta i = \rho(\cos(\phi)-i\sin(\phi) = \rho e^{-i\phi} Ponadto zachodzi:

\operatorname{Re}\,(z) = \tfrac{1}{2}(z+\bar{z}), \,
\operatorname{Im}\,(z) = \tfrac{1}{2i}(z-\bar{z}). \,

A także:

\overline{z+w} = \bar{z} + \bar{w}, \,
\overline{z-w} = \bar{z} - \bar{w}, \,
\overline{z w} = \bar{z} \bar{w}, \,
\overline{(z/w)} = \bar{z}/\bar{w}. \,
\frac{1}{z}=\frac{\bar{z}}{z \bar{z}}=\frac{\bar{z}}{x^2+y^2}.

Podstawowe działania

Dodawanie i odejmowanie

Liczby zespolone są dodawane/odejmowane przez dodanie/odjęcie rzeczywistych i urojonych części. (a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i.\ (a+bi) - (c+di) = (a-c) + (b-d)i.\

Mnożenie

Mnożenie dwóch liczb jest zdefiniowane za pomocą następującego wzoru: (a+bi) (c+di) = (ac-bd) + (bc+ad)i.\ Należy pamiętać, że: i^2 = i \times i = -1.\ Stąd wzór na mnożenie nie dwóch liczb zespolonych da się przedstawić w następujący sposób: (a+bi) (c+di) = ac + bci + adi + bidi \

= ac + bidi + bci + adi \
= ac + bdi^2 + (bc+ad)i \
= (ac-bd) + (bc + ad)i \

Mnożenie w postaci trygonometrycznej

Opierając się na poniższych wzorach: \cos(a)\cos(b) - \sin(a)\sin(b) = \cos(a + b) \cos(a)\sin(b) + \cos(b)\sin(a) = \sin(a + b) Możenie dwóch liczb zespolonych z1 = r1(cos φ1 + i sin φ1) i z2 =r2(cos φ2 + i sin φ2) możemy zapisać w następujący sposób: z_1 z_2 = r_1 r_2 (\cos(\varphi_1 + \varphi_2) + i \sin(\varphi_1 + \varphi_2)).\,

Dzielenie

Dzielenie liczb zespolonych jest oparte na ich mnożeniu opisanym wcześniej oraz mnożeniu liczb rzeczywistych. Należy jednak pamiętać, ze choć jedna z liczb występujących w mianowniku musi być różna od zera. \,\frac{a + bi}{c + di} = \left({ac + bd \over c^2 + d^2}\right) + \left( {bc - ad \over c^2 + d^2} \right)i.

Dzielenie w postaci trygonometrycznej

Dzielenie dwóch liczb zespolonych z1 = r1(cos φ1 + i sin φ1) i z2 =r2(cos φ2 + i sin φ2) możemy zapisać w następujący sposób: \frac{z_1}{ z_2} = \frac{r_1}{ r_2} \left(\cos(\varphi_1 - \varphi_2) + i \sin(\varphi_1 - \varphi_2)\right).

Potęgowanie

Podnoszenie liczby zespolonej do potęgi wykonuje się według wzoru de Moivre'a z^n=[\rho(\cos(\phi)+i\sin(\phi))]^n=\rho^n(\cos(n\phi)+i\sin(n\phi))

Pierwiastkowanie

Wyciągnięcie pierwiastka z liczby zespolonej wykonuje się za pomocą następującego wzoru: \sqrt[n]{z} = \sqrt[n]\rho \left( \cos \left(\frac{\phi+2k\pi}{n}\right) + i \sin \left(\frac{\phi+2k\pi}{n}\right)\right) Ponadto zachodzi: \sqrt[n]{z^n} = z

Zadania

  1. Oblicz, a rozwiązanie napisz w postaci a + bi
    1. (5 - 6i) + (3 + 2i)
    2. (4 - 12 i) - (9 + 52i)
    3. (2 + 5i)(4 - i)
    4. (1 - 2i)(8 - 3i)
    5. i^3
    6. i^{100}
  2. Oblicz:
    1. (7 + 2i) + (11 - 6i)
    2. (8 - 3i) - (6i)
    3. (9 + 4i)(3 - 16i)
    4. 3i \times 9i
    5. \frac{i}{2+i}
    6. \frac{11 + 3i}{\sqrt{3} - 4i}
    7. {(x + yi)}^{-1}
    8. \overline{12+7i}
    9. \overline{2i(\frac{1}{2}i-i)}
    10. \frac{1+4i}{3+2i}
  3. Dane są dwie liczby zespolone \begin{matrix} x &=& 3 - 2i \\ y &=& 3 + 2i \end{matrix}
    Oblicz
    1. x + y
    2. x - y
    3. x2
    4. y2
    5. xy
    6. (x + y)(x - y)
  4. Oblicz
    1. (3 + 3i)1/2
    2. (1 + 1i)1/2
    3. i1/3
  5. Znajdź dwie odrębne liczby zespolone z_1 i z_2 takie, że z_j^2=-1 dla j=1 i j=2.
  6. Zapisz wynik działania (\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i)( \frac{1}{2} +\frac{\sqrt{3}}{2}i) w postaci a + bi
  7. Znajdź odwrotność każdej z następujących liczb:
    1. -1-i
    2. 3-2i
    3. i
    4. -i
    5. -\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i
  8. Opierając się na rys 3 narysuj liczby
    Rys. 3 LIczby z, w, v w płaszczyźnie zespolonej
    1. z+\bar{z}, w+\bar{w}, v+\bar{v}
    2. 2w + \bar{z} + v
    3. v - z - w
Źródło „http://172.16.3.1/ekonofizyka/index.php/Liczby_zespolone”