Processing math: 0%
Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych

Z Skrypty dla studentów Ekonofizyki UPGOW

Spis treści

[ukryj]

Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych

W jednym z poprzednich wykładów zajmowaliśmy się układami dwóch i trzech równań liniowych. Teraz uogólnimy nasze rozważania na przypadek układu n równań linowych, przy czym ograniczymy się do przypadku w którym liczba niewiadomych n jest równa liczbie równań. Aby takie uogólnienie było możliwe musimy wprowadzić pojęcie wektora, macierzy i wyznacznika. Rozdział ten zakończymy równaniem charakterystycznym macierzy i dyskusją problemu własnego macierzy. Układy równań liniowych znajdują szerokie zastosowanie w naukach przyrodniczych, technicznych i w ekonomii, co wynika m.in z tego, że zależności liniowe pomimo tego, że najprostsze opisują wiele zjawisk.

Macierze

W wielu przypadkach wygodnie jest użycie tablic liczb, w których poszczególne pozycje w tablicy są określone przez dwa wskaźniki (indeksy), które jednoznacznie definiują położenie danego elementu w tablicy. Takie tablice nazywamy macierzami. Poniższa macierz \mathbf{A} ma n wierszy i m kolumn

\mathbf{A} = \left( \begin{array}{cccccc} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1j} & \ldots & a_{1m} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2j} & \ldots & a_{2m} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{i1} & a_{i2} & \ldots & a_{ij} & \ldots & a_{im} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nj} & \ldots & a_{nm} \end{array} \right)

Macierz \mathbf{A} ma n \times m elementów, a każdy z nich a_{ij} jest opisywany przez dwa wskaźniki, z których pierwszy podaje numer wiersza, a drugi numer kolumny. Co oznacza, że element a_{ij} leży na przecięciu i-tego wiersza i j-tej kolumny. Jeżeli n = m to wtedy macierz \mathbf{A} jest macierzą kwadratową (równa liczba wierszy o kolumn), a jeżeli n \neq m to jest macierzą prostokątną.


Wektor jest szczególnym przypadkiem macierzy jednokolumnowej lub jednowierszowej. Wektor jednokolumnowy \mathbf{X}

\mathbf{x} = \left( \begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{i} \\ \vdots \\ x_{n} \end{array} \right)

ma n składowych.


Inną ważną macierzą jest macierz jednostkowa \mathbf{I}, która jest macierzą kwadratową zawierającą na głównej przekątnej jedynki, a poza główną przekątną zera

\mathbf{I} = \left( \begin{array}{cccccc} 1 & 0 & \ldots & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & 1 & \ldots & 0 & \ldots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \ldots & 1 & \ldots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \ldots & 0 & \ldots & 1 \end{array} \right)

Macierz jednostkowa może być także zapisana przy pomocy delty Kroneckera \delta_{ij}, która jest definiowana w następujący sposób

\delta_{ij}= \begin{cases} 1 & \qquad \textrm{dla i}=\textrm{j} \\ 0 & \qquad \textrm{dla i} \neq \textrm{j} \end{cases}

Niektóre działania algebraiczne mogą być wykonywane na macierzach, a ponadto definiuje się działania na macierzach, które nie mają odpowiedników w działaniach na liczbach. Omówimy je teraz pokrótce.

Dodawanie/odejmowanie macierzy

Aby można wykonać dodawanie/odejmowanie dwóch macierzy \mathbf{A} i \mathbf{B} muszą one mieć takie same wymiary n \times m, a elementy macierzy \mathbf{C} = \mathbf{A} \pm \mathbf{B} są równe

\begin{aligned} c_{ij} = a_{ij} \pm b_{ij}, \qquad i = 1,\ldots,n, \quad j = 1,\ldots,m. \nonumber\end{aligned}

Mnożenie macierzy przez liczbę k

Polega na mnożeniu każdego elementu macierzy \mathbf{A} przez liczbę k. I dlatego element ij macierzy k\mathbf{A} jest równy

\begin{aligned} k a_{ij}, \qquad i = 1,\ldots,n, \quad j = 1,\ldots,m. \nonumber\end{aligned}

Mnożenie macierzy

Ta operacja dla macierzy różni się od mnożenia liczb. Po pierwsze nie każde dwie macierze można pomnożyć. Mnożenie macierzy \mathbf{A} \cdot \mathbf{B} można wykonać jedynie wtedy gdy liczba kolumn macierzy \mathbf{A} jest równa liczbie wierszy macierzy \mathbf{B}. A po drugie elementy macierzy \mathbf{C} = \mathbf{A} \cdot \mathbf{B} nie są prostym iloczynem elementów mnożonych macierzy. I tak w wyniku mnożenia macierzy \mathbf{A} o wymiarach n \times m przez macierz \mathbf{B} o wymiarach m \times l otrzymujemy macierz \mathbf{C} o wymiarze n \times l, której element c_{ik} wyraża się przez następującą sumę

\begin{aligned} c_{ik} = \sum_{j=1}^{m} a_{ij} b_{jk}. \nonumber\end{aligned}

Widzimy, że element c_{ik} powstaje przez pomnożenie wiersza i macierzy \mathbf{A} przez kolumnę k macierzy \mathbf{B}, przy czym pomnożenie oznacza sumowanie iloczynów odpowiednich elementów.


przykład z wykładu,

Transpozycja macierzy

Operacja ta, nie mająca odpowiednika w działanaich na liczbach, polega na zamianie miejscami wierszy i kolumn macierzy. I tak macierz transponowana \mathbf{A^T} do macierzy \mathbf{A}, która ma n wierszy i m kolumn, będzie miała n kolumn i m wierszy, przy czym

\begin{aligned} a_{ij}^T = a_{ji}. \nonumber\end{aligned}

przykład z wykładu

Wyznacznik macierzy

Wyznacznik macierzy kwadratowej jest to liczba przyporządkowana tej macierzy. Wyznaczniki oblicza się jedynie dla macierzy kwadratowych. Stosuje się następujące oznaczenia wyznacznika macierzy \mathbf{A}:

\begin{aligned} det\mathbf{A} = \mid \mathbf{A} \mid. \nonumber\end{aligned}

Metodą rozwinięcia Laplace’a (rozwinięcia względem wiersza lub kolumny) można obliczyć wyznacznik macierzy o dowolnym wymiarze. Metoda ta zostanie omówiona później. Teraz zajmiemy się obliczaniem wyznaczników macierzy kwadratowych o liczbie wierszy/kolumn n \leq 3. I tak dla n = 1 (macierz ma wtedy tylko jeden element a_{11})

\left| \mathbf{A} \right| = a_{11}

Dla n = 2

\left| \begin{array}{cc} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ \end{array} \right| = a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21}

A dla n = 3 stosujemy metodę Sarrusa

\left| \begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\\ \end{array} \right| = a_{11}a_{22}a_{33} + a_{21}a_{32}a_{13} + a_{31}a_{12}a_{23}- a_{13}a_{22}a_{31} - a_{23}a_{32}a_{11} - a_{33}a_{12}a_{21}

Aby wprowadzić metodę rozwinięcia Laplace’a obliczania wyznacznika macierzy \mathbf{A} o wymiarze n \times n musimy wprowadzić dwa pojęcia: minor M_{ij}, czyli podwyznacznik oraz dopełnienie algebraiczne macierzy A_{ij}. Minorem M_{ij} nazywamy wyznacznik macierzy, która powstaje z macierzy \mathbf{A} po wykreśleniu i-tego wiersza i j-tej kolumny (oczywiście otrzymamy wtedy macierz o wymiarach n-1 \times n-1):

M_{ij} = \left| \begin{array}{cccccc} a_{11} & \ldots & a_{1j-1} & a_{1j+1} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & \ldots & a_{2j-1} & a_{2j+1} & \ldots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{i-11} & \ldots & a_{i-1j-1} & a_{i-1j+1} & \ldots & a_{i-1n} \\ a_{i+11} & \ldots & a_{i+1j-1} & a_{i+1j+1} & \ldots & a_{i+1n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{n1} & \ldots & a_{nj-1} & a_{nj+1} & \ldots & a_{nn} \\ \end{array} \right|

Natomiast dopełnienie algebraiczne A_{ij} to minor M_{ij} pomnożony przez czynnik (-1)^{i+j}, czyli

\begin{aligned} A_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij} \nonumber\end{aligned}

I podobnie jak minor dopełnienie algebraiczne jest liczbą. Mając dopełnienie algebraiczne możemy obliczyć wyznacznik macierzy \mathbf{A}:

\begin{aligned} |\mathbf{A}| = \sum_{j=1}^{n} a_{ij} A_{ij} = \sum_{i=1}^{n} a_{ij} A_{ij}. \nonumber\end{aligned}

Można pokazać, że wartość takiego wyrażenia (czyli wartość wyznacznika) nie zależy od tego względem którego wiersza/kolumny dokonamy rozwinięcia. Jak widać wyznacznik otrzymujemy sumując iloczyny elementów macierzy a_{ij} i dopełnień algebraicznych A_{ij}. Jako przykład podamy obliczanie wyznacznika macierzy 4 \times 4 przez rozwinięcie względem pierwszego wiersza

\left| \begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34}\\ a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44},\\ \end{array} \right| = a_{11}A_{22} + a_{12}A_{12} + a_{13}A_{13} + a_{14}A_{14}

gdzie np. dopełnienie algebraiczne A_{11}, którego minor M_{11} powstał z wykreślenia pierwszego wiersza i pierwszej kolumny macierzy \mathbf{A}

A_{11} = \left| \begin{array}{ccc} a_{22} & a_{23} & a_{24}\\ a_{32} & a_{33} & a_{34}\\ a_{42} & a_{43} & a_{44}\\ \end{array} \right| (-1)^{1+1}

można obliczyć stosując metodę Sarrusa.

Wyznaczniki mają wiele pożytecznych własności, z których najważniejsze to:

  • wartość wyznacznika się nie zmienia gdy elementy dowolnego wiersza/kolumny dodamy bądź odejmiemy od elementów innego wiersza/kolumny,
  • wartość wyznacznika się nie zmieni gdy dowolny wiersz/kolumnę pomnożymy przez liczbę różną od zero,
  • wartość wyznacznika jest równa zero gdy jego dwa wiersze, bądź dwie kolumny są identyczne,
  • wartość wyznacznika jest równa zero jeżeli jeden jego wiersz (lub jedna kolumna) zawiera same zera,
  • przestawienie dwóch wierszy/kolumn wyznacznika powoduje pomnożenie jego wartości przez -1.

Wykorzystamy teraz wyznaczniki do rozwiązywania układów równań liniowych, przy czym będziemy rozważali układy w których liczba równań jest równa liczbie niewiadomych.

Układ n równań liniowych z n niewiadomymi

Jest to układ równań w którym n niewiadomych tworzących wektor niewiadomych \mathbf{X}

\mathbf{X} = \left( \begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{i} \\ \vdots \\ x_{n} \end{array} \right)

pomnożony przez macierz \mathbf{A} znanych współczynników

\mathbf{A} = \left( \begin{array}{cccccc} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1j} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2j} & \ldots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{i1} & a_{i2} & \ldots & a_{ij} & \ldots & a_{in} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nj} & \ldots & a_{nn} \end{array} \right)

jest równy znanemu wektorowi \mathbf{b} tzw. wyrazów wolnych

\mathbf{b} = \left( \begin{array}{c} b_{1} \\ b_{2} \\ \vdots \\ b_{i} \\ \vdots \\ b_{n} \end{array} \right)

W zapisie skróconym otrzymujemy

\begin{aligned} \mathbf{A} \mathbf{X} = \mathbf{b} \nonumber\end{aligned}

a w zapisie nieskróconym

\left( \begin{array}{cccccc} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1j} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2j} & \ldots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{i1} & a_{i2} & \ldots & a_{ij} & \ldots & a_{in} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nj} & \ldots & a_{nn} \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{i} \\ \vdots \\ x_{n} \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} b_{1} \\ b_{2} \\ \vdots \\ b_{i} \\ \vdots \\ b_{n} \end{array} \right)

Powyższe mnożenie macierzy (pamiętamy, że wektor jest szczególnym przypadkiem macierzy) i przyrównanie do siebie wektorów odpowiada następującemu układowi równań liniowych

\begin{array}{ccccccccc} a_{11}x_1 & + & a_{12}x_2 & + & \ldots & + & a_{1n}x_n & = & b_1 \\ a_{21}x_1 & + & a_{22}x_2 & + & \ldots & + & a_{2n}x_n & = & b_2 \\ \vdots & + & \vdots & + & \vdots & + & \vdots & = & \vdots \\ a_{n1}x_1 & + & a_{n2}x_2 & + & \ldots & + & a_{nn}x_n & = & b_n \\ \end{array}

Aby rozwiązać powyższy układ n równań liniowych należy obliczyć wyznacznik główny W, który zawiera współczynniki układu równań

W = \left| \begin{array}{cccccc} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1j} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2j} & \ldots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{i1} & a_{i2} & \ldots & a_{ij} & \ldots & a_{in} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nj} & \ldots & a_{nn} \end{array} \right|

a także n wyznaczników W_i, i = 1,2,...,n, w których wektor wyrazów wolnych \mathbf{b} zastępuje i-ta kolumnę w wyznaczniku W

W_i = \left| \begin{array}{cccccccc} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1i-1} & b_1 & a_{1i+1} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2i-1} & b_2 & a_{2i+2} & \ldots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots\\ a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{ni-1} & b_n & a_{ni+1} & \ldots & a_{nn} \end{array} \right|

W zależności od wartości wyznacznika głównego W i wyznaczników W_i rozważany układ równań liniowych posiada bądź nie posiada rozwiązania. Możliwe są trzy przypadki:

  1. W \neq 0. Wtedy układ równań liniowych jest układem oznaczonym i posiada dokładnie jedno rozwiązanie dane przez wzory Cramera:

    \begin{aligned} x_1 = \frac{W_1}{W}, \quad x_2 = \frac{W_2}{W}, \quad \ldots, \quad x_n = \frac{W_n}{W}. \nonumber\end{aligned}

  2. W = 0 i przynajmniej jeden z wyznaczników W_i \neq 0. Wtedy układ równań jest układem sprzecznym i nie posiada rozwiązania.

  3. W = W_1 = W_2 = \ldots = W_n = 0. Wtedy przynajmniej jedno z równań wynika z pozostałych, czyli jest mniej równań niż niewiadomych, a układ równań liniowych jest układem nieoznaczonym lub sprzecznym.

Równanie charakterystyczne (wiekowe) macierzy

Jeżeli od elementów diagonalnych macierzy kwadratowej \mathbf{A}

\mathbf{A} = \left( \begin{array}{cccccc} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1j} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2j} & \ldots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{i1} & a_{i2} & \ldots & a_{ij} & \ldots & a_{in} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nj} & \ldots & a_{nn} \end{array} \right)

odejmiemy tę samą zmienną \lambda to otrzymamy nastepującą macierz kwadratową

\left( \begin{array}{cccccc} a_{11} - \lambda & a_{12} & \ldots & a_{1j} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} - \lambda & \ldots & a_{2j} & \ldots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{i1} & a_{i2} & \ldots & a_{ii} - \lambda & \ldots & a_{in} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nj} & \ldots & a_{nn} - \lambda \end{array} \right)

Przyrównując do zera wyznacznik tej macierzy

\left| \begin{array}{cccccc} a_{11} - \lambda & a_{12} & \ldots & a_{1j} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} - \lambda & \ldots & a_{2j} & \ldots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{i1} & a_{i2} & \ldots & a_{ii} - \lambda & \ldots & a_{in} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nj} & \ldots & a_{nn} - \lambda \end{array} \right| = 0

otrzymamy równanie stopnia n ze względu na \lambda. Jest to równanie charakterystyczne, albo wiekowe macierzy \mathbf{A}. Równanie to można rozwiązać, a jego pierwiastki czyli wartości \lambda_i, i=1,2,\ldots,n nazywamy wartościami własnymi macierzy \mathbf{A}. Mając wartości własne \lambda_i można znaleźć odpowiadające im wektory własne |\psi_i> spełniające następujące równania

\begin{aligned} (\mathbf{A} - \lambda_i\mathbf{I})|\psi_i> = 0, \nonumber\end{aligned}

gdzie \mathbf{I} jest macierzą jednostkową o wymiarze takim jak wymiar macierzy \mathbf{A}. Znajdowanie wartości własnych i wektorów własnych jest centralnym zagadnieniem mechaniki kwantowej, która z powodzeniem opisuje mikroświat - atomy, cząsteczki, ...

Zadania

  1. Mnożenie macierzy:
    1. \begin{pmatrix}1&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}
    2. \begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&2\end{pmatrix}
    3. \begin{pmatrix}\frac{1}{8}&9\end{pmatrix}\begin{pmatrix}16\\2\end{pmatrix}
    4. \begin{pmatrix}a&b\end{pmatrix}\begin{pmatrix}d\\e\end{pmatrix}
    5. \begin{pmatrix}6 + 6b&3 - b\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}
    6. \begin{pmatrix}0&abc\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a\\0\end{pmatrix}
  2. Wyznacz "wymiar" macierzy C
    1. C = An×pBp×m
    2. C = \begin{pmatrix} 10^{10}&20\\ 5000&0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1&2&3&4\\ 2&5&6&6 \end{pmatrix}
  3. Oblicz. Pamiętaj (AB)C = A(BC)
    1. \begin{pmatrix} 1&1\\ 0&1\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1&1\\ 0&1\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1&1\\ 0&1\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1\\ 1\\ \end{pmatrix}
    2. \begin{pmatrix} 3&1\\ 2&8\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1&1\\ 0&2\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1&1\\ 0&1\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1\\ 1\\ \end{pmatrix}
  4. Oblicz
    1. C = \begin{pmatrix} 1&2\\ 4&5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1&0\\ 0&1\\ \end{pmatrix}
    2. D = \begin{pmatrix} 1&0\\ 0&1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1&2\\ 4&5\\ \end{pmatrix}
  5. Znajdź wyznacznik macierzy:

A = \begin{pmatrix}\frac{2}{5}&\frac{2}{3}\\ \\ \frac{3}{2}& \frac{5}{2}\end{pmatrix}. Używając wyznacznika macierzy A, zdecyduj czy jest unikatowe roziwąznie następujących równań: \begin{matrix} \frac{2}{5}x + \frac{2}{3}y = 0\\ \frac{3}{2}x + \frac{5}{2}y = 0 \end{matrix}

  1. Zakładając C = AB pokaż, że det(C) = det(A)det(B) dla macierzy 2 × 2.
  2. Pokaż, że jeżeli zamienisz rządy w macierzy A i dostaniesz A' , wtedy det(A) = -det(A' )