Z Skrypty dla studentów Ekonofizyki UPGOW
Wprowadzimy teraz układy wspórzędnych biegunowych, sferycznych i walcowych, a także podamy wzory na transformacje współrzędnych pomiędzy tymi układami współrzędnych. Przy zamianie współrzednych w całkowaniu funkcji wielu zmiennych trzeba pamiętać o tzw. Jakobianie przejścia. Podamy wartości Jakobianów przejścia pomiędzy współrzędnymi kartezjańskimi, a sferycznymi i walcowymi. Ta część kursu nie zawiera rozwiązań przykładowych zadań - zostawiamy to na zjęcia z fizyki, na których zamiana współrzędnych zostanie zastosowania do rozwiązywania wielu zagadnień z wykorzystaniem ich symetrii.
Spis treści |
Układ współrzędnych
Położenie punktu w przestrzeni można w jednoznaczny sposób okreslić przez podanie jego współrzędnych. W dobrze nam znanej przestrzeni trójwymiarowej można wprowadzić kartezjański (czyli prostokątny) układ wspólrzędnych, a położenie punktu będzie jednoznacznie określone przez trzy współrzędne \( x, y \) i \( z \). Nasze rozważania ograniczymy do przestrzeni trójwymiarowej, która ze zrozumiałych względów ma największe zastosowanie w praktyce.
Układ współrzędnych kartezjańskich (prostokątny)
Prostoliniowy układ współrzędnych to układ o parach prostopadłych osi. Nazwa pochodzi od nazwiska francuskiego matematyka i filozofa Kartezjusza. Układem współrzędnych kartezjańskich nazywa się układ współrzędnych, w którym zadane są:
- punkt zwany początkiem układu współrzędnych, w którym wartości wszystkich współrzędnych są równe zeru,
- zestaw n parami prostopadłych osi liczbowych zwanych osiami układu współrzędnych. Dwie pierwsze osie często oznaczane są jako:
- X (zwana osią odciętych),
- Y (zwana osią rzędnych),
Liczba osi układu współrzędnych wyznacza tzw. wymiar przestrzeni.
W układzie współrzędnych kartezjańskich w przestrzeni trójwymiarowej, w której żyjemy, trzy współrzędne oznaczane są następująco:
- X – odcięta, łac. abscissa,
- Y – rzędna, łac. ordinata,
- Z – kota, łac. applicata.
Układ współrzędnych biegunowych
Jest to układ wyznaczony przez dwie współrzędne: punkt \(0\) (zwany biegunem) oraz półprostą \(OR\) (zwaną osią biegunową), której początek znajduje się w punkcie \(0\). Widzimy, że także w tym układzie współrzędnych można przedstawić punkty na płaszczyźnie. Dowolnemu punktowi \(P\) przypisujemy jego współrzędne biegunowe:
- \(r\) promień wodzący punktu \(P\) (odległość \(|OP|\) od bieguna),
- \(\varphi\) wartość kąta skierowanego pomiędzy półprostą \(OR\) a wektorem \(\overrightarrow{OP}\)), przy czym zakłada się, że \(0\leqslant \varphi<2\pi\)
Przejście do układu kartezjańskiego
Zauważmy, że pomiędzy współrzędnymi kartezjańskimi \(x, y \), a współrzędnymi biegunowymi \(r, \varphi\) zachodzą następujące związki
\(x=r\cdot\cos\varphi\)
\(y=r\cdot\sin\varphi\)
Policzmy teraz nieskończenie małe przyrosty współrzędnych \(x, y\) będące wynikiem nieskończenie małych przyrostów współrzędnych \(r, \varphi\). Wyrażają się one przez odpowiednie różniczki
\(dx = \frac{\partial x}{\partial r}dr + \frac{\partial x}{\partial \varphi}d \varphi, dy = \frac{\partial y}{\partial r}dr + \frac{\partial y}{\partial \varphi}d \varphi. \)
Po obliczeniu pochodnych cząstkowych wynik możemy zapisać w postaci równania macierzowego
\(\left[\begin{array}{cc} dx \\ dy \\ \end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc} \cos\varphi & -r\sin\varphi\\ \sin\varphi & r\cos\varphi\\ \end{array}\right] \left[\begin{array}{cc} dr \\ d \varphi \\ \end{array}\right] \)
Transformacja współrzędnych jest jednoznaczna wtedy gdy wyznacznik macierzy transforamcji (zwany Jakobianem \(J\)), która przeprowadza jedne współrzędne w drugie jest różny od zera. Otrzymujemy
\(J =\left|\begin{array}{ccc} \frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial x}{\partial \varphi} \\ \frac{\partial y}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial \varphi} \\ \end{array}\right| = \left|\begin{array}{ccc} \cos\varphi & -r\sin\varphi\\ \sin\varphi & r\cos\varphi\\ \end{array}\right| = r(\cos^2\varphi + sin^2 \varphi) = r \)
co oznacza, że transformacja jest jednoznaczna wszędzie za wyjątkiem początku układu współrzędnych.
Przejście z układu kartezjańskiego
Transformacja odwrotna z układu kartezjańskiego na biegunowy jest zadana przez
\(r = \sqrt{x^2 + y^2}\).
Jeśli \(r\neq 0\), to współrzędna \(\varphi\) punktu jest dana przez
\( \varphi = \begin{cases} \operatorname{arctg}\;(\tfrac{y}{x}), & \mbox{gdy } x > 0 \mbox{ oraz } y \geqslant 0\\ \operatorname{arctg}\;(\tfrac{y}{x}) + 2\pi, & \mbox{gdy } x > 0 \mbox{ oraz } y < 0\\ \operatorname{arctg}\;(\tfrac{y}{x}) + \pi, & \mbox{gdy } x < 0\\ \tfrac{\pi}{2}, & \mbox{gdy } x = 0 \mbox{ oraz } y > 0\\ \tfrac{3\pi}{2}, & \mbox{gdy } x = 0 \mbox{ oraz } y < 0 \end{cases} \)
Układ współrzędnych sferycznych
Dowolnemu punktowi P w przestrzeni trójwymiarowej możemy przypisać współrzędne sferyczne:
- promień wodzący \(r\geqslant 0\) czyli odległość punktu P od początku układu O,
- długość azymutalna \(0\leqslant\phi<2\pi\) czyli miarę kąta między rzutem prostokątnym wektora \(\overrightarrow{OP}\) na płaszczyznę OXY, a dodatnią półosią OX.
- odległość zenitalna \(0\leqslant\theta\leqslant\pi\) czyli miarę kąta między wektorem \(\overrightarrow{OP}\) a dodatnią półosią OZ.
Wszystkie współrzędne sferyczne punktu O są równe 0.
Przejście do układu kartezjańskiego
Transformację współrzędnych z układu sferycznego na współrzędne kartezjańskie x, y, z określają wzory
\(x=x(r,\theta,\phi)=r\, \sin\theta \, \cos\phi,\)
\(y=y(r,\theta,\phi)=r\, \sin\theta \, \sin\phi,\)
\(z=z(r,\theta,\phi)=r\, \cos\theta.\)
a Jakobian przejścia wynosi
\( J =\left|\begin{array}{ccc} \frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial x}{\partial \theta} & \frac{\partial x}{\partial \phi} \\ \frac{\partial y}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial \theta} & \frac{\partial y}{\partial \phi} \\ \frac{\partial z}{\partial r} & \frac{\partial z}{\partial \theta} & \frac{\partial z}{\partial \phi} \end{array}\right|= \left|\begin{array}{ccc} \sin\theta\cos\phi & r\cos\theta\cos\phi & -r\sin\theta\sin\phi\\ \sin\theta\sin\phi & r\cos\theta\sin\phi & r\sin\theta\cos\phi\\ \cos\theta& -r\sin\theta & 0 \end{array}\right|=r^2\sin\theta\ \)
Przejście z układu kartezjańskiego
Transformacja odwrotna, czyli transformacja współrzędnych z układu kartezjańskiego na sferyczny jest dana przez
\(r=\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}\),
\(\theta=\mathrm{arctg} \frac{\sqrt{x^2 + y^2}}{z}=\arccos {\frac{z}{r}}\),
\(\phi=\mathrm{arctg} {\frac{y}{x}}\).
Układ współrzędnych walcowych
Każdemu punktowi P w przestrzeni trójwymiarowej można przyporządkować trzy współrzędne walcowe \((\rho,\phi,z)\), gdzie poszczególne składowe są definiowane następująco:
- \(\rho\,\) — odległość od osi OZ rzutu punktu P na płaszczyznę OXY,
- \(\phi\,\) — kąt pomiędzy osią dodatnią OX a odcinkiem łączącym rzut punktu P na płaszczyznę OXY z początkiem układu współrzędnych,
- \(z\,\) — odległość rzutu punktu P na oś OZ od początku układu współrzędnych.
Przejście do układu kartezjańskiego
Transformację współrzędnych z układu walcowego na współrzędne kartezjańskie x, y, z określają wzory
\(x=\rho\cos\phi\,\)
\(y=\rho\sin\phi\,\)
\(z=z\,\)
a Jakobian przejścia wynosi
\(J= \begin{vmatrix} {{\partial x}\over{\partial \rho}}&{{\partial x}\over{\partial \phi}}&{{\partial x}\over{\partial z}}\\ {{\partial y}\over{\partial \rho}}&{{\partial y}\over{\partial \phi}}&{{\partial y}\over{\partial z}}\\ {{\partial z}\over{\partial \rho}}&{{\partial z}\over{\partial \phi}}&{{\partial z}\over{\partial z}} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} \cos\phi&-\rho\sin\phi&0\\ \sin\phi&\rho\cos\phi&0\\ 0&0&1 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} \cos\phi&-\rho\sin\phi\\ \sin\phi&\rho\cos\phi \end{vmatrix} =\rho\cos^2\phi+\rho\sin^2\phi=\rho(\cos^2\phi+\sin^2\phi)=\rho\;\)
Przejście z układu kartezjańskiego
Transformacja odwrotna, czyli transformacja współrzędnych z układu kartezjańskiego do układu współrzędnych walcowych jest dana przez \(\rho=\sqrt{x^2+y^2}\)
\(\varphi = \begin{cases} 0 & \mbox{gdy } x = 0 \mbox{ ∧ } y = 0\\ \arcsin(\frac{y}{\rho}) & \mbox{gdy } x \geq 0 \\ -\arcsin(\frac{y}{\rho}) + \pi & \mbox{gdy } x < 0\\ \end{cases} \)
Przykład wykorzystania Jakobianu
Bardzo czesto Jakobian przejscia między róznymi układami współrzednych jest wykorzystywany do uproszczenia przeprowadzanych obliczeń.
Załóżmy, że mamy do obliczenia pewna objętość daną całką potrójną \[\int\!\!\!\int\!\!\!\int_{E}\sqrt{x^2+y^2}dxdydz\] gdzie \(E\) jest obszarem leżącym wewnątrz walca utorzonego przez koło o rówaniu \(x^2+y^2=16\) i ograniczonego przez dwie płaszczyzny \(z=-5\) i \(z=4\) Całka ta w karteziańskim układzie współrzędnych ma skomplikowane granice całkowania i nie jest prosta w obliczeniu. Obliczenia te można jednak uprościć wykorzystując Jakobian przejscia między układami odniesienia (w tym przypadku karteziańskim i walcowym) \[\int\!\!\!\int\!\!\!\int_{E} f(x,y,z)dxdydz = \int\!\!\!\int\!\!\!\int_{E} f(x(\rho,\phi,z),y(\rho,\phi,z),z(\rho,\phi,z)) J d\rho d\phi dz=\] \[=\int\!\!\!\int\!\!\!\int_{E} f(x(\rho,\phi,z),y(\rho,\phi,z),z(\rho,\phi,z)) \rho d\rho d\phi dz\] Oczywiście podczas przejscia do innego układu odniesienia należy zmienić granice całkowania. \[0 \le \phi \le 2\pi\] \[0 \le \rho \le 4\] \[-5 \le z \le 4\] Stąd \[\int\!\!\!\int\!\!\!\int_{E}\sqrt{x^2+y^2}dxdydz=\int\!\!\!\int\!\!\!\int_{E}\sqrt{\rho^{2}} \rho d\rho d\phi dz=\] \[=\int_{0}^{4}\int_{0}^{2\pi}\int_{-5}^{4} \rho^2 d\rho d\phi dz=\frac{64}{3} 2\pi (4+5) = 384 \pi\]