Z Skrypty dla studentów Ekonofizyki UPGOW

Liczba zespolona jest liczbą, która może być wyrażona w postaci

$$z = \alpha + \beta i$$

gdzie $\alpha$ i $\beta$ są liczbami rzeczywistymi, zaś $i$ jest jednostką urojoną, która spełnia równanie $i^2 = -1$. Liczbę $\alpha$ nazywamy częścią rzeczywistą, a liczbę $\beta$ częścią urojoną z liczny zespolonej.

$$\alpha = Re(z)$$ $$\beta = Im(z)$$

Gdy $\beta=0$, wtedy $z=\alpha$ - liczba zespolona jest liczbą rzeczywistą. Możemy zatem powiedzieć, że zbiór liczb rzeczywistych zawiera się z zbiorze liczb zespolonych. Natomiast, jeżeli $\alpha=0$ to wtedy $z= \beta i$ i liczba urojona jest szczególnym przypadekiem liczby zespolonej.

Spis treści [ukryj] 1 Interpretacja geometryczna 2 Równość liczb zespolonych 3 Postać trygonometryczna liczby zespolonej 4 Postać wykładnicza liczby zespolonej 5 Liczby zespolone sprzężone 6 Podstawowe działania na liczbach zespolonych 6.1 Dodawanie i odejmowanie 6.2 Mnożenie 6.2.1 Mnożenie w postaci trygonometrycznej 6.3 Dzielenie 6.3.1 Dzielenie w postaci trygonometrycznej 6.4 Potęgowanie 6.5 Pierwiastkowanie 6.6 Logarytm naturalny liczby zespolonej 7 Funkcje zmiennej zespolonej 8 Zadania

Interpretacja geometryczna

Liczby zespolone przedstawia się w postaci punktów na płaszczyźnie zespolonej. Liczbę $z = \alpha + \beta i$ przedstawia punkt o odciętej $\alpha$ i rzędnej $\beta$ Rys 1.

Równość liczb zespolonych

Dwie liczby zespolone są równe wtedy i tylko wtedy, gdy zarówno ich części rzeczywiste jak i części urojone są równe: $$z_{1} = z_{2} \, \, \Leftrightarrow \, \, ( \operatorname{Re}(z_{1}) = \operatorname{Re}(z_{2}) \, \land \, \operatorname{Im} (z_{1}) = \operatorname{Im} (z_{2}))$$

Postać trygonometryczna liczby zespolonej

Wyrażenie $$z=\alpha +\beta i$$ nazywamy postacią algebraiczną liczby zespolonej. Jeżeli zamiast współrzędnych kartezjańskich punktu reprezentującego liczbę zespoloną wprowadzimy współrzędne biegunowe to otrzymamy postać trygonometryczną liczby zespolonej: $$z=\rho (\cos(\phi) +i \sin(\phi))$$ gdzie długość promienia wodzącego $\rho$ nazywa się modułem lub bezwzględna wartością liczby zespolonej i oznacza się symbolem $|z|$, natomiast $\phi$ to kat między osia biegunową, a promieniem wodzącym i oznacza się symbolem $\phi=arg z$. Można wyprowadzić następujące związki między postaciami algebraiczną i trygonometryczną liczby zespolonej: $$\alpha = \rho \cos(\phi)$$ $$\beta = \rho \sin(\phi)$$

$$\rho = \sqrt{\alpha^2+\beta^2}$$ $$\cos(\phi)=\frac{\alpha}{\sqrt{\alpha^2+\beta^2}}$$ $$\sin(\phi)=\frac{\beta}{\sqrt{\alpha^2+\beta^2}}$$

Postać wykładnicza liczby zespolonej

Korzystając z formuły Euler'a $$e^{ix} = \cos(\phi) + i\sin(\phi) \ $$ możemy liczbę zespolona przedstawić w tzw. postać wykładniczej: $$z=\rho e^{i\phi}$$

Liczby zespolone sprzężone

Dwie liczby zespolone nazywamy sprzężonymi jeżeli mają części rzeczywiste równe, a części urojone różnią się tylko znakiem. Liczby takie oznaczmy: $z \text{ } \bar{z}$ $$z= \alpha + \beta i = \rho(\cos(\phi)+i\sin(\phi) = \rho e^{i\phi}$$ $$\bar{z}= \alpha - \beta i = \rho(\cos(\phi)-i\sin(\phi) = \rho e^{-i\phi}$$ Ponadto zachodzi: $$\operatorname{Re}\,(z) = \tfrac{1}{2}(z+\bar{z}), \,$$ $$\operatorname{Im}\,(z) = \tfrac{1}{2i}(z-\bar{z}). \,$$ A także: $$\overline{z+w} = \bar{z} + \bar{w}, \,$$ $$\overline{z-w} = \bar{z} - \bar{w}, \,$$ $$\overline{z w} = \bar{z} \bar{w}, \,$$ $$\overline{(z/w)} = \bar{z}/\bar{w}. \,$$ $$\frac{1}{z}=\frac{\bar{z}}{z \bar{z}}=\frac{\bar{z}}{x^2+y^2}.$$

Podstawowe działania na liczbach zespolonych

Dodawanie i odejmowanie

Liczby zespolone są dodawane/odejmowane przez dodanie/odjęcie rzeczywistych i urojonych części. $$(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i.\ $$ $$(a+bi) - (c+di) = (a-c) + (b-d)i.\ $$ Zobacz graficzną prezentację dodawania tutaj

Mnożenie

Mnożenie dwóch liczb jest zdefiniowane za pomocą następującego wzoru: $$(a+bi) (c+di) = (ac-bd) + (bc+ad)i.\ $$ Należy pamiętać, że: $$i^2 = i \times i = -1.\ $$ Stąd wzór na mnożenie nie dwóch liczb zespolonych da się przedstawić w następujący sposób: $$(a+bi) (c+di) = ac + bci + adi + bidi \ $$

$$= ac + bidi + bci + adi \ $$

$$= ac + bdi^2 + (bc+ad)i \ $$

$$= (ac-bd) + (bc + ad)i \ $$

Mnożenie w postaci trygonometrycznej

Opierając się na poniższych wzorach: $$\cos(a)\cos(b) - \sin(a)\sin(b) = \cos(a + b)$$ $$\cos(a)\sin(b) + \cos(b)\sin(a) = \sin(a + b)$$ Możenie dwóch liczb zespolonych z₁ = r₁(cos φ₁ + i sin φ₁) i z₂ =r₂(cos φ₂ + i sin φ₂) możemy zapisać w następujący sposób: $$z_1 z_2 = r_1 r_2 (\cos(\varphi_1 + \varphi_2) + i \sin(\varphi_1 + \varphi_2)).\,$$ Zobacz graficzną prezentację tutaj

Dzielenie

Dzielenie liczb zespolonych wykonujemy mnożąc licznik i mianownik przez liczbę zespoloną sprzężoną do liczby zepolonej w mianowniku. Otrzymamy wtedy w mianowniku liczbę rzeczywistą. Należy jednak pamiętać o tym, że liczba zespolona w mianowniku musi być różna od zera. $$\,\frac{a + bi}{c + di} = \left({ac + bd \over c^2 + d^2}\right) + \left( {bc - ad \over c^2 + d^2} \right)i.$$

Dzielenie w postaci trygonometrycznej

Dzielenie dwóch liczb zespolonych przedstawionych w postaci trygonometrycznej z₁ = r₁(cos φ₁ + i sin φ₁) i z₂ =r₂(cos φ₂ + i sin φ₂) wykonujemy w następujący sposób: $$\frac{z_1}{ z_2} = \frac{r_1}{ r_2} \left(\cos(\varphi_1 - \varphi_2) + i \sin(\varphi_1 - \varphi_2)\right).$$

Potęgowanie

Podnoszenie liczby zespolonej do potęgi wykonuje się według wzoru de Moivre'a $$z^n=[\rho(\cos(\phi)+i\sin(\phi))]^n=\rho^n(\cos(n\phi)+i\sin(n\phi))$$ Zobacz graficzną prezentację tutaj

Pierwiastkowanie

Wyciągnięcie pierwiastka z liczby zespolonej wykonuje się za pomocą następującego wzoru: $$\sqrt[n]{z} = \sqrt[n]\rho \left( \cos \left(\frac{\phi+2k\pi}{n}\right) + i \sin \left(\frac{\phi+2k\pi}{n}\right)\right), \qquad k=0,1,...,n-1$$ Jak widzimy stosując powyższy wzór otrzymamy $n$ pierwiastków $n-tego$ stopnia liczby zespolonej $z$. Ponadto zachodzi: $$\sqrt[n]{z^n} = z$$ Zobacz graficzną prezentację tutaj

Logarytm naturalny liczby zespolonej

W oparciu o postać trygonometryczną liczby zespolonej $z=\rho (\cos(\phi) +i \sin(\phi))$ można obliczyć logarytm naturalny liczby zepolonej $$\ln(z) = \left\{ \ln(r) + (\varphi + 2\pi k)i \;|\; k \in \mathbb{Z}\right\}$$

Funkcje zmiennej zespolonej

Podobnie do funkcji rzeczywistych zmiennej rzeczywistej możemy rozpatrywać funkcje zespolone zmiennej zespolonej. Jeżeli każdemu punktowi $z \in D$, gdzie $D$ jest dziedziną funkcji będącą podzbiorem liczb zespolonych, przyporządkujemy liczbę zespoloną $t$ taką, że

$$t=f(z)$$

to wtedy w dziedzinie funkcji $D$ określamy funkcję zespoloną $f(z)$ zmiennej zespolonej $z$. W tym wykładzie ograniczymy się do przedstawienia trzech przykładów funkcji zespolonych $e^z, sinz$ oraz $cosz$, które są często używane w fizyce. Funkcje te zachowują większość (chociaż nie wszystkie) własności odpowiadającym im funkcjom zmiennej rzeczywistej.

Funkcje $e^z, sinz, cosz$ są określone w całym zbiorze liczb zespolonych. Zachodzą między nimi następujące bardzo ważne związki

$$e^{iz}=cosz+isinz, \qquad e^{-iz}=cosz-isinz,$$

a po prostym przekształceniu (dodanie i odjęcie stronami powyższych wzorów) otrzymujemy wzory Eulera

$$cosz = \frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}, \qquad sinz = \frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}.$$

Rozważane przez nas trzy funkcje zespolone są okresowe. Okresem funkcji $sinz$ i $cosz$ jest $2k\pi$, a funkcji $e^z$ $2k\pi i$, gdzie $k=0,\pm 1,\pm 2,\ldots$. Należy zwrócić uwagę na to, że wartości funkcji zespolonych $sinz$ i $cosz$ nie są ograniczone do zbioru $[-1,1]$. I tak np. dla $z=i$ zachodzi

$$\cos i = \tfrac{1}{2}(e^{-1}+e) \approx 1,543;\qquad$$ $$\sin i = \tfrac{1}{2i}(e^{-1}-e)\approx 1,175i,$$

ale dla $z=i$, tak jak dla wszystkich wartości argumentu zespolonego $z$ zachodzi tożsamość znana jako jedynka trygonometryczna

$$sin^{2}z+cos^{2}z=1,$$

co można łatwo sprawdzić wykorzystując wzory Eulera.

Zadania

1. Oblicz, a rozwiązanie napisz w postaci $a + bi$
   1. $(5 - 6i) + (3 + 2i)$
   2. $(4 - 12 i) - (9 + 52i)$
   3. $(2 + 5i)(4 - i)$
   4. $(1 - 2i)(8 - 3i)$
   5. $i^3$
   6. $i^{100}$
2. Oblicz:
   1. $(7 + 2i) + (11 - 6i)$
   2. $(8 - 3i) - (6i)$
   3. $(9 + 4i)(3 - 16i)$
   4. $3i \times 9i$
   5. $\frac{i}{2+i}$
   6. $\frac{11 + 3i}{\sqrt{3} - 4i}$
   7. ${(x + yi)}^{-1}$
   8. $\overline{12+7i}$
   9. $\overline{2i(\frac{1}{2}i-i)}$
   10. $\frac{1+4i}{3+2i}$
3. Dane są dwie liczby zespolone $\begin{matrix} x &=& 3 - 2i \\ y &=& 3 + 2i \end{matrix}$

   Oblicz

   1. x + y
   2. x - y
   3. x²
   4. y²
   5. xy
   6. (x + y)(x - y)
4. Oblicz
   1. (3 + 3i)^1/2
   2. (1 + 1i)^1/2
   3. i^1/3
5. Znajdź dwie odrębne liczby zespolone $z_1$ i $z_2$ takie, że $z_j^2=-1$ dla j=1 i j=2.
6. Zapisz wynik działania $(\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i)( \frac{1}{2} +\frac{\sqrt{3}}{2}i)$ w postaci $a + bi$
7. Znajdź odwrotność każdej z następujących liczb:
   1. $-1-i$
   2. $3-2i$
   3. $i$
   4. $-i$
   5. $-\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i$
8. Opierając się na rys 3 narysuj liczby

   

   

   Rys. 3 LIczby z, w, v w płaszczyźnie zespolonej

   1. $z+\bar{z}$, $w+\bar{w}$, $v+\bar{v}$
   2. $2w + \bar{z} + v$
   3. $v - z - w$