Z Skrypty dla studentów Ekonofizyki UPGOW

Przypomnimy zasady działań na potęgach, przy czym naszą powtórkę podzielimy na działania na potęgach o wykładniku całkowitym i działania na potęgach o wykładniku wymiernym. W tym drugim mieści się obliczanie pierwiastka.

Spis treści [ukryj] 1 Potęga o wykładniku całkowitym 1.1 Przykłady 2 Potęga o wykładniku wymiernym 2.1 Przykłady 3 Działania na potęgach 3.1 Przykłady 4 Działania na pierwiastkach 5 Zadania

Potęga o wykładniku całkowitym

Dla dowolnej liczby $a \in R$ i dowolnej liczby $n \in N$ operację potęgowania definiujemy następująco:

$$a^n = a \cdot a \cdot \dots \cdot a$$

przy czym liczba $a$ jest mnożona przez siebie $n$ razy.

Jeśli ponadto założymy, że $a \neq 0$ to:

$$a^0 = 1$$

$$a^{-n} = \frac{1}{a^n}$$

Przykłady

$2^5 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 32$

$3^3 = 27$

$2^{-2} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}$

$5^{-3} = \frac{1}{5^3} = \frac{1}{125}$

Potęga o wykładniku wymiernym

Dla dowolnej liczby $a \in R, a \ge 0$ i dla dowolnej $n \in N, n > 1$ przyjmujemy następujący zapis:

$$a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a}$$

przy czym w przypadku pierwiastka stopnia drugiego (inaczej pierwiastek kwadratowy) zwyczajowo nie pisze się stopnia, czyli

$$a^{\frac{1}{2}} = \sqrt{a}$$

A jeśli ponadto $m \in C$ ($m$ jest dowolną liczbą całkowitą) to:

$$a^{\frac{m}{n}} = (\sqrt[n]{a})^{m}$$

Przykłady

$49^{\frac{1}{2}} = \sqrt{49} = 7$

$32^{\frac{1}{5}} = \sqrt[5]{32} = 2$

$9^{\frac{3}{2}} = (\sqrt{9})^3 = 3^3 = 27$

Działania na potęgach

Następujące wzory określają działania na potęgach $(a \in R, a > 0, b \in R, b > 0$, dowolne $m, n \in R)$:

• iloczyn potęg o tych samych podstawach

$$a^m \cdot a^n = a^{m + n}$$

• iloraz potęg o tych samych podstawach

$$\frac{a^m}{a^n} = a^{m - n}$$

• potęga iloczynu

$$(a \cdot b)^m = a^m \cdot b^m$$

• potęga ilorazu

$$\Big(\frac{a}{b}\Big)^m = \frac{a^m}{b^m}$$

• potęga potęgi

$$(a^m)^n = a^{m \cdot n}$$

Przykłady

$2^3 \cdot 2^4 = 2^{3 + 4} = 2^7 = 128$

$\frac{3^5}{3^2} = 3^{5 - 2} = 3^3 = 27$

$\Big(2^{3}\Big)^2 = 2^{3 \cdot 2} = 2^6 = 64$

$(2 \cdot 5)^3 = 10^3 = 1000 = 2^3 \cdot 5^3 = 8 \cdot 125 = 1000$

$\Big(\frac{5}{3}\Big)^2 = \frac{5^2}{3^2} = \frac{25}{9}$

Działania na pierwiastkach

A teraz podamy dwa prawa działań na pierwiastkach:

$$\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b}$$

$$\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}}$$

Powyższe dwa prawa odnoszą się do pierwiastka iloczynu oraz pierwiastka ilorazu. Należy tutaj zauważyć, że podobnych praw nie ma dla pierwiastka sumy bądź różnicy. I dlatego zazwyczaj (wyjątkiem jest np. $\sqrt[2]{0 + 1} = \sqrt[2]{0} + \sqrt[2]{1} = 0 + 1 = 1$)

$$\sqrt[n]{a \pm b} \neq \sqrt[n]{a} \pm \sqrt[n]{b}$$

a w szczególności:

$$\sqrt{a \pm b} \neq \sqrt{a} \pm \sqrt{b}$$

Zadania

1. Oblicz
   1. $\frac{8^32^6}{4^416^2}$
   2. $\frac{81^23^4}{9^327^3}$
   3. $81^{\frac{3}{2}}$
   4. $\sqrt{5}\sqrt{125}$
   5. $\sqrt[3]{16}\sqrt[3]{64}$
   6. $\frac{2^32^{-2}4^3}{2^7\sqrt{4}2^{-3}}$
   7. $\frac{\sqrt[3]{125}}{\sqrt[3]{5}}$
   8. $3^{12}\cdot 3^{-10}$
   9. $\frac{5^{111}\cdot5^{45}}{5^{158}}$
   10. $\frac{7^{12}\cdot7^{-34}}{7^{62}\cdot7^{86}}$
   11. $\frac{2^{10}:4^3-(\frac{1}{2})^{-5}}{2^4\cdot(\frac{1}{9})^3\cdot3^3}$
   12. $\frac{\sqrt[4]{16}+\sqrt[3]{3\frac{3}{8}}}{(\frac{2}{7})^{-1}}$
   13. $[3^4:0.2^4]:5^4$
   14. $[(2\frac{1}{4})^5\cdot4^5]:3^5$
   15. $(1\frac{1}{2})^3:(2\frac{1}{4})^3\cdot3^3$
   16. $32^{\frac{1}{5}}$
   17. $125^{\frac{2}{3}}$
   18. $(\frac{1}{64})^{-\frac{2}{3}}$
   19. $(\frac{81}{625})^{-0.75}$
   20. $\frac{2-\sqrt{3^3-2\cdot3^2}}{2\cdot \sqrt[3]{2^5}}$
   21. $\frac{(\frac{8}{27})^\frac{1}{3}\cdot((\frac{2}{3})^2)^3}{2^4:3^4}$
   22. $((\frac{1}{9})^{-\frac{1}{2}}:3\frac{1}{9})^{1.125}$