Z Skrypty dla studentów Ekonofizyki UPGOW
Spis treści |
Równanie liniowe
Równaniem liniowym nazywamy równanie postaci
\[\begin{aligned} ax + b = 0 \nonumber\end{aligned}\]
przy czym \(x \in \mathbb{R}\) jest niewiadomą, czyli wielkością którą znajdujemy rozwiązując równanie liniowe. Natomiast wartości współczynników równania \(a \in \mathbb{R}\) i \(b \in \mathbb{R}\) są znane. Rozwiązanie równania polega na znalezieniu \(wszystkich\) liczb, które podstawione w miejsce \(x\) spełnią powyższe równanie. Funkcja
\[\begin{aligned} y = ax + b, \quad x\in \mathbb{R} \nonumber\end{aligned}\]
jest funkcją liniową, a parametr \(a\) jest nazywany współczynnikiem kierunkowym prostej, która jest wykresem funkcji liniowej. Współczynnik kierunkowy jest równy wartości tg\(\,\alpha\), gdzie \(\alpha\) jest kątem pod którym prosta \(y = ax + b\) przecina oś \(OX\) (Rys 1).
Oprócz znalezienia rozwiązania jakiegokolwiek równania istotne jest udzielenie odpowiedzi na następujące dwa pytania: czy równanie ma rozwiązanie?, a jeśli ma to ile jest rozwiązań?. W przypadku równania liniowego \(ax + b = 0\) z jedną niewiadomą \(x\) mamy następujące trzy przypadki:
- jeżeli \(a \neq 0\) to jest jedno rozwiązanie \(x = \frac{-b}{a}\). Funkcja liniowa \(y = ax + b\) reprezentująca równanie \(ax + b = 0\) przecina oś \(OX\) w dokładnie jednym punkcie o współrzędnych \((\frac{-b}{a},0)\).
- jeżeli \(a = 0, b \neq 0\) to wtedy nie ma rozwiązań (\(x \in \emptyset\)), a funkcja liniowa \(y = b\), będąca geometrycznym przedstawieniem tego równania nie ma punktu przecięcia z osią \(OX\), jest do niej równoległa.
- jeżeli \(a = 0\) i \(b = 0\) to wtedy jest nieskończenie wiele rozwiązań (\(x \in \mathbb{R}\)), a będąca rozwiązaniem prosta \(y = 0\) pokrywa się z osią \(OX\).
Układ dwóch równań liniowych
Układ dwóch równań postaci
\[\begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases}\]
nazywamy układem dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi \(x\) i \(y\), przy czym wymagamy aby wartość przynajmniej jednego ze współczynników \(a_1\), \(b_1\) była różna od 0 (i podobnie dla \(a_2\), \(b_2\)). Jeżeli te warunki na współczynniki są spełnione to wtedy każde z dwóch równań przedstawia prostą w układzie współrzędnych \(XY\), a dwie proste na płaszczyźnie mogą mieć zero (są wtedy równoległe), jeden (przecinają się w jednym punkcie) lub nieskończenie wiele (pokrywają się) punktów wspólnych. I dlatego układ dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi może mieć, odpowiednio: 0 rozwiązań (układ sprzeczny), dokładnie jedno rozwiązanie (układ oznaczony), lub nieskończenie wiele rozwiązań (układ nieoznaczony). Ilustracją graficzną tych przypadków są rysunki (Rys 2a, Rys 2b, Rys 2c).
W celu ułatwienia rozwiązania układu równań liniowych można wykonywać pewne operacje, z których najważniejsze to: mnożenie obu stron równania przez tę samą liczbę różną od zera oraz dodawanie bądź odejmowanie równań \(stronami\). Aby rozwiązać układ dwóch równań liniowych najczęściej stosuje się jedną z czterech metod: podstawiania, przeciwnych współczynników, wyznaczników, bądź graficzną. Metodą wyznaczników zajmiemy się w dalszej części zajęć gdy będziemy omawiać podstawowe działania na macierzach, w tym obliczanie wyznaczników. A teraz pokrótce przedstawimy metody podstawiania i przeciwnych współczynników.
Metoda podstawiania
Metoda ta polega na wyznaczeniu, np. z równania \(a_1x + b_1y = c_1\) niewiadomej \(x\) (będzie ona oczywiście wyrażała się przez niewiadomą \(y\)) i wstawienia do drugiego równania. Wtedy drugie z równań będzie równaniem liniowym z jedną niewiadomą \(y\), które rozwiązujemy znanymi już sposobami. Po znalezieniu \(y\) wstawiamy je do równania pierwszego otrzymując równanie liniowe z jedną niewiadomą \(x\).
Rozwiążemy metodą podstawiania układ dwóch równań liniowych
\[\begin{cases} 2x + 3y = 2 \\ 4x - y = 0 \end{cases}\]
Z drugiego równania znajdujemy, że \(y = 4x\) i wstawiamy do pierwszego otrzymując równanie z jedną niewiadomą
\[2x + 3 \cdot 4x = 2 \] \[14x = 2 \]
któego rowiązaniem jest \(x = \frac{1}{7}\). Wstawiając \(x = \frac{1}{7}\) do \(y = 4x\) otrzymujemy \(y = \frac{4}{7}\). Poprawność rozwiązania można łatwo sprawdzić wstawiając otrzymane wartośći \(x\) i \(y\) do układu równań.
Metoda przeciwnych współczynników
Ta metoda polega na pomnożeniu jednego z dwóch równań przez taką liczbę (oczywiście różną od 0) aby po dodaniu (bądź odjęciu) równań \(stronami\) otrzymać równanie z tylko jedną niewiadomą, \(x\) bądź \(y\), które rozwiązujemy znanymi sposobami.
Rozwiążemy teraz powyższy układ równań metodą przeciwnych współczynników mnożąc pierwsze z równań przez \(-2\)
\[\begin{cases} -2 \cdot 2x + (-2) \cdot 3y = (-2) \cdot 2 \\ 4x - y = 0 \end{cases}\]
tak aby a po dodaniu stronami otrzymać następujące równanie na zmienną \(y\)
\[-7y = -4\]
a po rozwiązaniu \(y = \frac{4}{7}\) i dalej \( x = \frac{1}{7}\) po wstawieniu rozwiąznia \(y\) do z drugiego z równań.
Układ trzech równań liniowych
Układ trzech równań postaci
\[\begin{cases} a_1x + b_1y + c_1z = d_1 \\ a_2x + b_2y + c_2z = d_2 \\ a_3x + b_3y + c_3z = d_3 \end{cases}\]
nazywamy układem trzech równań liniowych z trzema niewiadomymi \(x\), \(y\) i \(z\). Układ trzech równań z trzema niewiadomymi można rozwiązać stosując metody podstawiania lub przeciwnych współczynników.
Przykład
Rozwiązać układ trzech równań: \[ \begin{cases} 3x - 3y - 3z = -3 & (1)\\ 2x + y + 2z = 6 & (2) \\ -x + 2y + 2z = 4 & (3) \end{cases} \] Układ równań możemy rozwiązać na wiele sposobów. Jednym ze sposobów jest wyznaczenie np. z któregoś równania \(x\) i podstawianie wyznaczonego \(x\) do pozostałych równań otrzymując układ dwóch równań liniowych. Na przykład z równania \((1)\) otrzymujemy: \[ \begin{align} 3x - 3y - 3z &= -3\\ 3x &= -3 + 3y + 3z\quad\Big/{:}\ 3\\ x &= y + z - 1 \end{align} \] Teraz wyznaczony \(x\) podstawiamy do \((2)\) \[ \begin{align} 2(y + z - 1)+ y + 2z &= 6 \\ 2y+2z-2+y+2z &=6 \\ 3y+4z &= 8 \end{align} \] Podobnie wyznaczony \(x\) podstawiamy do \((3)\) \[ \begin{align} -(y + z - 1) + 2y + 2z &= 4 \\ -y-z+1+2y+2z &=4 \\ y+z&=3 \end{align} \] Łącząc otrzymane dwa równania \((2)\) i \((3)\), otrzymujemy układ dwóch równań liniowych z dwoma niewiadomymi \[ \begin{cases} 3y+4z &= 8 \\ y+z&=3 \end{cases} \] Do rozwiązania tego układu można dalej stosować metodę podstawiania. Z równania drugiego obliczamy np. \(y=3-z\) i podstawiamy do równania pierwszego \[ \begin{align} 3(3-z)+4z=8 \\ 9-3z+4z=8 \\ z=-1 \end{align} \] Ostatecznie \[ \begin{align} y&=3-z \\ y&=3-(-1) \\ y&=4 \end{align} \] oraz \[ \begin{align} x&=y + z - 1 \\ x&=4 -1 -1 \\ x&=2 \end{align} \] Czyli rozwiązanie będzie postaci: \[ \begin{cases} x &= 2 \\ y &= 4 \\ z &= -1 \end{cases} \]
Układ \(n\) równań liniowych z \(n\) niewiadomymi
Metodę rozwiązywania układów równań liniowych dla których liczba równań jest równa liczbie niewiadomych - układy \(n\) równań liniowych z \(n\) niewiadomymi jest przedstawiona w rozdziale poświęconym macierzom i wyznacznikom.
Zadania
Stosując metodę podstawienia rozwiązać układy równań:
- \(\begin{cases} 3x + 4y = 5 \\ 2x - 5y = 0 \end{cases}\)
- \(\begin{cases} a + 3b = 7 \\ 5a - 4b = 1 \end{cases}\)
Stosując metodę przeciwnych współczynników rozwiązać układy równań:
- \(\begin{cases} x + 4y = 2 \\ 2x - 4y = 3 \end{cases}\)
- \(\begin{cases} 3a - b = 12,5 \\ 6a + 5b = 25 \end{cases}\)
Rozwiązać układy równań metodą graficzną:
- \(\begin{cases} x - y = 2 \\ 2x - 2y = 4 \end{cases}\)
- \(\begin{cases} x + 3y = 7 \\ 5x - 4y = 1 \end{cases}\)
Rozwiązać układy równań:
- \(\begin{cases} x - 4y +z = 15 \\ 2x - 5y - 3z = 0 \\ -3x + y = 2 \end{cases}\)
- \(\begin{cases} x + z = 0 \\ 5y - 4z = 11 \\ x + y + z = 0 \end{cases}\)