Z Skrypty dla studentów Ekonofizyki UPGOW
Procesy i zjawiska losowe (przypadkowe, stochastyczne) opisywane są przez teorię prawdopodobieństwa. W odróżnieniu od procesów deterministycznych, nie można jednoznacznie przewidywać ewolucji układu losowego. Losowość opisujemy za pomocą prawdopodobieństwa zajścia określonych zdarzeń.
Spis treści[ukryj] |
Teoria prawdopodobieństwa
Przestrzeń probabilistyczna
podroździał
Teoria prawdopodobieństwa bazuje, jak każda teoria matematyczna, na odpowiedniej przestrzeni.
Dla przykładu, dla teorii funkcji taka przestrzenią jest przestrzeń metryczna. Przestrzeń metryczna jest takim zbiorem , w którym można zdefiniować odległość d(x, y) między dwoma jej elementami x \in X i y \in X . Odleglość jest funkcją dwóch zmiennych x i y oraz posiada kilka charakterystycznych cech, np. odległość nie może byc ujemna. Jeżeli zdefiniujemy odległość w zbiorze X , wówczas możemy w tym zbiorze określić zbieżność ciągów i wprowadzić pojęcie ciągłości funkcji. Możemy też zdefiniować pojęcie pochodnej funkcji i całki oznaczonej. Możemy dokonywać wielu innych operacji na funkcjach. Widać z tego przykładu, że pojęcie metryki jest bardzo użyteczne i zdefiniowanie metryki w jakimś zbiorze niesłychanie wzbogaca ten zbiór. Matematycy lubią definiować przestrzeń metryczna jako parę (X, d), tzn. jest to zbiór X wraz z określoną w niej odległościa, czyli metryką d=d(x, y).
Podobnie jest w teorii prawdopodobieństwa. Przestrzenią, którą bada teoria prawdopodobieństwa, jest zbiór, w którym określone są dodatkowe elementy, analogiczne do metryki. Przestrzeń ta nazywa się przestrzenią probabilistyczną. Dokładniej mówiąc przestrzeń ta nie jest parą jak w przypadku przestrzeni metrycznej, ale trójką (\Omega, {\mathcal F}, P). Rozszyfrujmy poszczególne elementy tej trójki.
(I) \Omega jest zbiorem elementów \omega. Element \omega nazywa się zdarzeniem elementarnym lub inaczej mówiąc możliwym wynikiem doświadczenia. Przykłady:
1. Doświadczenie polega na jednokrotnym rzucie monetą. Są dwa możliwe wyniki: orzeł lub reszka. Wynikowi "orzeł" możemy przyporządkować oznaczenie \omega_1, natomiast wynikowi "reszka" - \omega_2. Tak więc zbiór \Omega =\{\omega_1, \omega_2\}.
2. Doświadczenie polega na dwukrotnym rzucie monetą. Teraz możliwe są cztery wyniki: \omega_1 =(orzeł, orzeł), (orzeł, reszka), (reszka, orzeł) i (reszka, reszka). Jeden wynik to p: orzeł lub reszka. Wynikowi "orzeł" możemy przyporządkować oznaczenie \omega_1, natomiast wynikowi "reszka" - \omega_2. Tak więc zbiór \Omega =\{\omega_1,\omega_2,\omega_3, \omega_4\}.
3. Doświadczenie polega na jednokrotnym rzucie kostką do gry w popularnego "chińczyka". Wynikiem może być jedno oczko, albo dwa oczka, albo trzy oczka, albo cztery oczka, albo pięć oczek, albo sześć oczek. Przyporządkowując liczbie oczek oznaczenie \omega_n dla n=1, 2, 3, 4, 5, 6 otrzymamy zbiór \Omega =\{\omega_1, \omega_2, \omega_3, \omega_4, \omega_5, \omega_6 \}.