Z Skrypty dla studentów Ekonofizyki UPGOW
Analiza i wycena instrumentów finansowych
Najważniejszym na rynku jest orientacja w tym, co się dzieje i czy instrumenty, które są w obrocie w danym momencie i których ceny są znane na rynku odzwierciedlają ich rzeczywistą wartość. Wycena instrumentu finansowego to termin odnoszący się do obliczenia wartości tego instrumentu w chwili bieżącej (momencie otwierania lub zamykania przez inwestora pozycji). Wycenę instrumentu pochodnego nazywamy godziwą (sprawiedliwą), jeśli żadna ze stron nie jest uprzywilejowana. Pytanie czy wycena jest godziwa to pytanie o szanse naszego działania. Należy, bowiem wiedzieć, czy cena rynkowa instrumentów jest wyższa lub niższa od ich godziwej wartości. Jeśli cena rynkowa jest inna niż własna wycena inwestora to wie on, jakie działanie podjąć na rynku by pozbyć się przewartościowanych instrumentów biorąc należną premie, nabyć niedowartościowane licząc na zysk w najbliższej przyszłości. Przy próbach wyceny instrumentów finansowych zmuszeni jesteśmy czynić pewne upraszczające założenia dotyczące funkcjonowania rynku. Najczęstsze założenia dotyczą efektywności, płynności i możliwości arbitrażu
Instrumenty rynku pieniężnego
Wartość pieniądza w czasie
Wartość przyszła.
Mając w posiadaniu pewną kwotę pieniędzy stajemy przed następującym wyborem: czy wydać te pieniądze natychmiast i kupić sobie coś, czyli innymi słowy skonsumować je czy też przezornie zachować na późniejszy czas, gdy może będą nam bardziej potrzebne?
Jeśli już nie przeznaczamy ich na konsumpcję, to w dalszym ciągu myślimy jak je przechować do chwili późniejszej. Chwila refleksji podsunie nam dość naturalne pytanie czy trzymanie pieniędzy w portfelu ( czy też innym bezpiecznym miejscu, przykładowa skarpeta czy pod materacem) jest dla naszego stanu posiadania bezpieczne, gdyż to przecież inflacja zmniejszać będzie ich wartość? Możemy te pieniądze zainwestować i spowodować by „pracowały „ dla nas. Inwestowanie to oddanie własnych pieniędzy innym, którzy w zamian za użyczenie naszych pieniędzy na pewien okres zapłacą nam w postaci odsetek od pożyczonego kapitału i zwrócą go nam w tej samej kwocie, co pożyczyli.
Taką inwestycją może być lokata bankowa. Depozyt bankowy jest instrumentem pozwalającym na zwiększenie wartości naszych pieniędzy w czasie trwania depozytu. Wpłacając pewną kwotę P do banku, na rachunek oszczędnościowy. Bank płaci nam rocznie roczne oprocentowanie w wysokości r .
Po roku mamy, więc:
\[\ F= P + Pr = P (1+r)\]
Po 2 latach zaś:
\[\ F=P(1+r) + F (1+r) r = F(1+r)(1+r) = F (1+r)^2 \]
Gdzie:
F = wartość przyszła
P= wartość aktualna ( bieżąca) pieniędzy
r= stopa procentowa( oprocentowanie roczne)
Jak było to już wykazane w rozdziale 3 . wartość naszych pieniądzach po n latach będzie wynosić:
\[\ F = P (1+r)^n\]
Albo inaczej przyjmując bardziej międzynarodowe oznaczenia :
\[\ F_V=P_V(1+r)^n\]
Gdzie :
- \(\ F_V\) nazywa się wartością przyszłą ( future value)
- \(\ P_V\) to wartość bieżąca pieniedzy ( present value)
- n ilość lat
- r- stopa odsetkowa.
Gdyby znaleźć sie w sytuacji, gdy dzisiaj potrzebujemy pieniędzy, które możemy zwrócić dopiero po pewnym czasie to znajdując kogoś, kto dziś posiada pewna nadwyżkę pieniędzy możemy pożyczyć od niego pieniądze. Stajemy przed problemem ile pieniędzy będziemy musieli zwrócić po pewnym czasie. Dzisiaj wiemy ile potrzebujemy więc;
\[\ P_V= \frac{F_V}{(1+r)^n}\]
Taki proces nazywa się dyskontowaniem. Bardziej szczegółowa analiza tego procesu w rozdziale 3.
Rynek pieniądza znajduje się w równowadze i warunki oprocentowania „ komuś „ są takie same jak „od kogoś”, czyli stopa dyskontowa jest równa stopie oprocentowania.
Jak widać stopa procentowa jest „zapłatą „ za niepewność oddania naszych pieniędzy w czyjeś ręce. Jej wielkość wynagradza inflacje i ryzyko pożyczki.
Powyższe rozważania a szczególnie wzory, pozwalają na sformułowanie dwu ważnych praw charakteryzujących zachowania się pieniędzy w czasie.
I.Pieniądz dzisiaj jest więcej wart niż pieniądz w przyszłości.
II.Pieniądz dzisiaj ulokowany w ryzykownej inwestycji jest mniej wart niż pieniądz ulokowany w bezpiecznej inwestycji (mniejsze r).
Wartość bieżąca netto.
Jeśli nabywamy jakiś instrument finansowy to instrument ten generuje przepływy finansowe. Przepływy to : wypływ na nabycie instrumentu oraz wpływy do inwestora w postaci albo odsetek, lub dywidendy albo ( i) końcowej wypłaty pieniężnej ( zwrot zaciągniętej pożyczki albo wpływ ze sprzedaży akcji).
Ponieważ przepływy są odległe od siebie w czasie ich dzisiejsza wartość musi obliczyć w sposób podobny do wcześniej już prezentowanego, czyli uwzgledniajacy zmianę wartości pieniądza w czasie.
Zdyskontowane strumienie pieniężne.
Dyskontowanie przepływów to wyrażanie ich w pieniądzu z okresu bieżącego, czyli wartości aktualnej.
\[\ P_V=\sum\limits_{i=1}^n\ P_V(D_i)\]
gdzie PV(Di) to wartość zaktualizowana przepływu Di
W przypadku stałych wartości płatności w czasie wzór ten przybierze postać:
\[\ P_o=\sum\limits_{i=1}^n\frac{D}{(1+r)^i}\]
Wartość bieżąca netto
Wartość tą wyliczamy odejmując od przyszłych wpływów finansowych dzisiejsze koszty inwestycji np. nabycie instrumentu
\[NPV=\sum_{t=1}^n\frac{D_t}{(1+r)^t}-I_0\]
gdzie:
- \(NPV\) - wartość bieżąca netto,
- \(D_t\) - przepływy gotówkowe w okresie t,
- \(r\) - stopa dyskonta,
- \(I_0\) - nakłady początkowe,
- \(t\) - kolejne okresy (najczęściej lata) inwestycji
Generalnie, wartość bieżąca netto to różnica zdyskontowanych wpływów i wypływów finansowych (przyjmowanych ze znakiem-) generowanych przez inwestycje.
Jeśli NPV jest <0 to inwestycja jest niekorzystna i nie należy jej robić.
IRR czyli wewnętrzna stopa zwrotu
Dla skrajnego przypadku NPV =0 rozwiązujemy powstałe równanie ze względu na r. Takie rozwiązanie wymaga bardziej zaawansowanych metod obliczeń już dla t>1. A ponieważ mamy do czynienia z wielomianem rzędu, więc do rozwiązywania stosujemy metody przybliżone.
Depozyt na rynku pieniężnym
Depozyty rynku pieniężnego to instrumenty stałego oprocentowania, które są zawierane na określony okres czasu i nie mogą być likwidowane przed terminem zapadalności.
Ponieważ są instrumentami rynku pieniężnego ich okres do zapadalności jest mniejszy od jednego roku. Powoduje to potrzebę przeliczania rocznej stopy procentownia na okresy mniejsze od roku.
Sumę odsetek na koniec okresu depozytu wyliczyć można ze wzoru: \[\ R=D d (n/360)\] Gdzie:
- R=suma odsetek
- D=wartość depozytu
- d= oprocentowanie depozytu (annualizowane)
- n= ilość dni pomiędzy początkiem okresu depozytu a jego zapadalnością
Należy zwrócić uwagę, że przyjęto tutaj standard roku liczącego 360 dni. Gdyby standard był inny ( a jest top częsty przypadek) należy uwzględniać inna wartość dni w roku.
Efektywna stopę zwrotu na depozycie można wyliczyć ze wzoru na wartość pieniądza w czasie.
Instrumenty dyskontowe
Są to typowe instrumenty rynku pieniężnego wyceniane na zasadzie dyskonta tzn. są handlowane z dyskontem w stosunku do wartości nominalnej. Najczęściej spotykanymi na rynku przedstawicielami tej grupy są bony skarbowe i dłużne papiery komercyjne. Jak już to było wykazane, ich cena aktualna jest równa
\(P =FV/(1+Y DTM/360)\,\)
gdzie:
P – cena rynkowa
FV – wartość nominalna
Y – rentowność
DTM – ilość dni do wykupu,
Przyjęto standard roku liczącego 360 dni- standard dla Bonów Skarbowych na polskim rynku.
Wycena obligacji
Obligacja jest to papier wartościowy (instrument finansowy), stwierdzający zaciągnięcie przez emitenta obligacji długu wobec posiadacza obligacji – zwanego obligatariuszem i zawierający zobowiązanie, wobec obligatariusza do wykupu obligacji - jako zwrotu zaciągniętego długu oraz wypłacenia odsetek za korzystanie z użyczonych pieniędzy oraz terminowość wypłat. Odsetki mogą być wypłacane w określonych momentach (tzw. kupony) lub w postaci dyskonta w momencie emisji (obligacja zerokuponowa).
Cechy charakterystyczne określające obligacje:
- wartość nominalna – jest to wartość zaciągniętego długu, od której nalicza się odsetki, i która jest płacona w momencie wykupu przez emitenta posiadaczowi obligacji;
- termin wykupu – jest to termin, w którym obligatariusz otrzymuje od emitenta kwotę równą wartości nominalnej; w terminie wykupu obligacja podlega wykupowi;
- oprocentowanie – stopa procentowa określająca wielkość odsetek wypłaconych obligatariuszowi;
- terminy płacenia odsetek, – czyli częstotliwość wypłat odsetek. Przykładowo: raz na rok, raz na pól roku, kwartalnie.
- cena emisyjna – to cena, po której obligacja jest sprzedawana jej pierwszemu posiadaczowi w momencie emisji. Cena ta może być zarówno niższa jak i wyższa od ceny nominalnej. Decyzja emitenta zależy w tym przypadku do przewidywanego zainteresowania i oprocentowania obligacji.
W charakterystycznych cechach obligacji wymienione zostały dwie ceny związana z obligacją. Były to cena nominalna i cena emisyjna. W rynkowym obrocie obligacjami używa się jeszcze terminów ceny rynkowej i rozliczeniowej. Cena rynkowa (kurs giełdowy), jest ustalana na codziennych sesjach giełdowych, jako wypadkowa popytu i podaż
Wycena obligacji
Cena godziwa (fair price)
Jeśli mamy obligację, której emitent zobowiązuje się do płacenia odsetek regularnie raz do roku i zamierza zwrócić zaciągnięte zobowiązanie (wartość nominalną) w chwili wykupu, na koniec życia zobowiązania, to godziwa cena takiego instrumentu jest wynikiem zdyskontowanej wartości bieżącej przepływów pieniężnych generowanych przez takie zobowiązanie. Stopa dyskontowa jest określana przez rynek.
\(\ P_o=\sum\limits_{i=1}^n\frac{C}{(1+r)^i} +\frac{P_N}{(1+r)^n},\)
gdzie C – odsetki (ang. coupon)
\(P_o\) – wartość obligacji
\(P_n\) – wartość nominalna
r - stopa dyskontowa
- Przykład
- (obligacja ze stałym kuponem)
Jaka jest wartość obligacji o terminie wykupu przypadającym za dwa lata. Wartość nominalna tej obligacji wynosi 100, oprocentowanie 6%, odsetki płacone są, co rok. Wymagana stopa dochodu określona przez inwestora wynosi 7% w skali roku.
Po podstawieniu do wzoru otrzymujemy:
\(\ P_o=\frac{6}{(1+0,07)^1} +\frac{106}{(1+0,07)^2}.\)
W naszym przypadku:
\(C=0,06x100 = 0,06\)
\(R = 7% = 0,07.\)
(Wartość nominalna wynosi 100 czyli w 2 roku nastąpi wpływ \(\frac{100+6}{(1+0,07)^2} \) )
Dla naszego inwestora wartość tej obligacji wynosi 98, 2 jednostek.
Cena godziwa dla obligacji wieczystych
Obligacje wieczyste zwane konsolami nie są nigdy wykupywane
Więc cena godziwa
\(\ P_o = \frac {C}{r}\ \)
(jest to suma szeregu geometrycznego).
Obligacja zerokuponowa
Obligacje zerokuponowe to typowe instrumenty dyskontowe. Ich cena jest wyznaczana poprzez dyskontowanie ich wartości nominalnej do dnia wyceny. Wzór stosowany dotychczas do wyceny obligacji przybierze postać:
\(\ P_o=\sum\limits_{i=1}^n\frac{C}{(1+r)^i} +\frac{P_N}{(1+r)^n}= \sum\limits_{i=1}^n\frac{0}{(1+r)^i} +\frac{P_N}{(1+r)^n}\ = \frac{P_N}{(1+r)^n}\ \)
Podany wyżej wzór dotyczy obligacji wypłacającej kupon jeden raz na rok. Dla większej ilości okresów odsetkowych aby obliczyć wartość obligacji należy zdyskontować strumienie pieniężne, jakie generuje do czasu wykupu.
Jej wartość można wyrazić następująco:
\(\ P_o=\sum\limits_{i=1}^n\frac{C_i/m}{(1+r/m)^i} +\frac{P_N}{(1+r/m)^n}\)
Gdzie: m – liczba płatności odsetkowych w roku
n – to liczba okresów odsetkowych w roku, n= mT
T - długość życia obligacji w latach
\(P_n\) - wartość nominalna obligacji.
\(C_i\) – wysokość kuponu w i-tym okresie odsetkowym.
i - i-ty okres odsetkowy ( i zawiera się między 1 a n)
r - stopa dyskontowa.
Wycena przy kapitalizacji ciągłej
Powyższe wyliczenia dotyczą kapitalizacje dyskretnej obligacji . Dla ciągłego procesu kapitalizacji i stałego kuponu wartość obligacji będzie opisywana zależnością:
\(\ P_o=\sum\limits_{i=1}^n\ {(C/m)}{exp(-r t_i)} +\ {P_N}{exp(-rt_n)},\)
gdzie:
\(t_i\) - moment wypłaty i–tego kuponu
pozostałe oznaczenia jak wyżej.
Rentowność obligacji
Obligacja jest instrumentem dłużnym. Jeśli inwestor zainwestował pieniądze w czyjś dług spodziewa się sie nagrody za czas, w którym jego pieniędzmi dysponuje ktoś inny. Oczywiście w przypadku obligacji inwestor oprócz kwoty nominalnej pożyczki, której zwrot następuje po zakończeniu życia zobowiązania dostaje regularnie wypłacane, co okres odsetki. Ale obligacja może zmienić właściciela miedzy okresami wypłaty kuponu. Każdy z posiadaczy tej obligacji rości sobie prawo do partycypacji w tym kuponie, gdyż każdy z inwestorów przez określoną ilość dni finansuje dług. Każdy z nich chce udziału w kuponie proporcjonalnie do czasu, w jakim był posiadaczem obligacji w okresie miedzy wypłatą kuponu. Cena rozliczeniowa obligacji to pewna wartość zwana ceną czystą obligacji + należne odsetki za okres posiadania. Zależność jest liniowa.
Tak zdefiniowana cena nazywa się cena „brudna” i po takiej cenie rozliczają się tak naprawdę uczestnicy rynku. Cena brudna, a właściwie jej zachowanie w czasie posiada kształt przypominający zęby piły.
Dodatkowo należy wspomnieć o następującej sytuacji. Kupon jest wypłacany właścicielowi obligacji. Właścicielowi, w dniu naliczania kuponu. Jeśli miedzy dniem naliczenia kuponu a dniem wypłacenia fizycznego pieniędzy obligacja zmieni właściciela to nowy można powiedzieć, że stary właściciel dostaje pieniądze za czas, kiedy obligacja do niego nie należy. W takiej sytuacji nowy właściciel jest „wynagradzany” przez starego właściciela tym, że cena brudna w tym czasie jest niższa od ceny czystej. Rysunek obok modelowo obrazuje taką sytuację i zachowanie się w czasie cen obligacji.
Zgodnie z (David Blake - Fin. Mark. Analysis)( dla roku o 365 dniach) narosłe odsetki są równe
\(\ A_i =d\frac{{N_a}-{N_b}}{365}\,\)
Gdzie :
Ai – należne odsetki
Na- ilość dni miedzy dniem naliczenia odsetek i datą wypłaty kuponu
Nb – liczba dni miedzy data naliczenia kuponu a dniem transakcji
d- wartość płatności kuponu
Stopa zwrotu z obligacji.
Ze względu na często skomplikowane strumienie pieniężne, jakie generują obligacje, trudne jest je (obligacje) porównywać na podstawie ceny, raczej robi się to poprzez porównywania stopy zwrotu. Istnieje kila różnych stóp zwrotu.
Stopa bieżąca
Najprostszym sposobem oceny obligacji jest określenie stopy bieżącej.
Jest ona definiowana, jako stosunek kuponu, czyli oprocentowania obligacji w skali roku do ceny czystej
\(r_c=\frac{d}{P}\)
Gdzie:
Rc- bieżąca stopa P- cena czysta d- oprocentowanie obligacji w skali roku
Właściwszym byłoby, w zasadzie używać ceny brudnej do takiej oceny, gdyż właściwie taką cenę płaci się za obligacje. Jednakże należy pamiętać o jej podobieństwie do piły i stopa bieżąca tez miałby taki charakter.
Stopa zwrotu w terminie do wykupu ( Yield to maturity)
Do tego momentu mówiąc o cenie obligacji używano wzoru:
\(\ P_o=\sum\limits_{i=1}^n\frac{C_i/m}{(1+r/m)^i} +\frac{P_N}{(1+r/m)^n}\)
Wyceniając ciąg płatności zakładaliśmy wartość stopy dyskontowej.
Na rynku mamy sytuacje nieco inną, znamy raczej bieżące, ceny rynkowe obligacji. Aby wiec wycenić jej stopę zwrotu, czyli stopę od chwili nabycia do końca życia instrumentu powinno się za stronę lewą równania wstawić wartość rynkowa obligacji i wyliczyć stopę zwrotu.
Tak wyliczona stopa zwrotu to jest nic innego niż wewnętrzna stopa zwrotu ( IRR) z inwestycji.
Stopa zwrotu w terminie do dnia wykupu ( YTM) liczona przy założeniu reinwestowania kuponów po rentowności YTM.
Stopę tą wylicza się rozwiązując powyższe równanie względem r.
Łatwiej jest napisać rozwiązując niż to zrobić. Nie znamy analitycznej postaci rozwiązania - stosuje się w tym przypadku metody przybliżone.
Rozumienie koncepcji stopy zwrotu w terminie do wykupu.
Takie zdefiniowanie powyższej wielkości ma szereg implikacji i wskazuje na wiele istotnych aspektów.
Po pierwsze stopa zwrotu do wykupu to metoda określenia ceny obligacji. Mając ceną rynkową potrafimy ( bardziej lub mniej dokładnie) wyliczyć stopę zwrotu i odwrotnie, ( co łatwiejsze) mając stopę YTM można wyznaczyć cenę obligacji.
Druga interpretacja to taka, że YTM odpowiada „ekwiwalentnej” stopie procentowej depozytu bankowego. Tzn. że gdyby zdeponować środki na depozycie bankowym oprocentowanym stopą YTM to zachowywać się będzie jak inwestycja w obligacje ( i odwrotnie). Ta analogia ekwiwalentu stopy depozytowej stwarza możliwość używania YTM, jako sposobu porównywania rożnych obligacji o różnych kuponach, czasie życia i różnych cenach rynkowych.
Innymi słowy, przykładowo, daje to inwestorowi łatwy wybór czy ma zainwestować, w które konto czy oprocentowane np. na 6% czy na 5,5% ( oba porównywalnie, co do ryzyka i sposobu naliczania procentu). Jeśli stanie przed takim wyborem z pewnością wybierze konto wyżej oprocentowane.
W przypadku stopy oprocentowania rachunku, która jest jedyną miarą inwestycji, w przypadku YTM nie można powiedzieć, że jest to jedyna i ostateczna wielkość pomiaru wartości inwestycji. W kontekście porównania do rachunku bankowego należy wskazać trzy zasadnicze miejsca gdzie analogia załamuje się.
Pierwszy punkt to, to, że inwestor sam dowolnie decyduje o wypłatach ze swojego konta, ( co do wielkości i terminów).Tak nie jest w przypadku obligacji, którą inwestor nabywa wraz ze specyficznym dla niej realizacją kuponu i datą zapadalności. Ponadto inwestor działa w ramach swoich potrzeb finansowania i pod względem czasu i wielkości i kierunku przepływów środków. W związku z tym nawet mając do wyboru dwie obligacje o tym samym YTM, ale generujących różne czasowo przepływy wybierze tą, której właśnie przepływy będą bardziej mu odpowiadały.
Szukanie podobieństwa zawodzi w przypadku stałości oprocentowania rachunku bankowego. Inwestor nie martwi się o poziom przyszłych stóp procentowych, bo ma jest ustalone. Nie jest tak w przypadku obligacji, gdy wpływy z kuponów są inwestowane na bieżąco w dostępne rynkowo instrumenty, których stopa zwrotu nie musi być równa stopie YTM pierwszego instrumentu.
Dalej, ciągnąc tę myśl i szukajac róznic miedzy obligacją a depozytem, jest to, że wypłata nominału jest związaną z datą zapadalności. Różnica występuje, gdy właściciel nominału zainwestowanego chce go wyciągać przed data zapadalności. Właściciel konta bankowego zna wielkość nominału depozytu w każdym czasie bez względu na poziom stóp procentowych. W przypadku obligacji jedyne, co może zrobić to sprzedać obligacje po cenach rynkowych. Inwestor w obligacje wie jedynie, że rynek obligacji stwarza możliwości i ryzyka związane z jego kapitałem w czasie do zapadalności.
Należy jeszcze zwrócić uwagę na jeden aspekt. YTM, jako stopa procentowa w określeniu wartości przyszłej dzisiejszej inwestycji. W tym miejscu często popełniane są błędy. W określeniu wartości przyszłej stopa procentowa jest stopą, po której zostanie zainwestowany ( reinwestowany) kupon w chwili, kiedy stanie się dostępny. Mimo podobnej konstrukcji matematycznej, YTM nie jest prognozą stopy reinwestycji i nie może( chyba,że przypadkowo) reprezentować stopy wzrostu wartości przyszłej. Tak naprawdę może reprezentować tą stopę tylko wtedy, gdy reinwestycje nastąpią ze stopą równa stopie YTM.
Stopa YTM jest stopą określoną w danym dniu dla danej ceny. Jest niezwykle pomocnym instrumentem przy podejmowaniu decyzji, ale nie jedynym parametrem uzasadniającym decyzje inwestycyjne.
Ryzyko stopy procentowej
Krzywe dochodowości
Związek miedzy stopą zwrotu danej klasy obligacji a czasem życia tych papierów ilustruje krzywa rentowności. Ta zależność jest potocznie zwana czasowa strukturą stóp procentowych.
Są rożne kształty krzywej dochodowości
Krzywa opadająca, stała, rosnąca i z garbem. Najczęściej spotykany w praktyce kształt krzywej to sytuacja , gdy stopy procentowe dla dłuższych okresów są wyższe niż dla krótszych okresów. Wiąże się to z niepewnością odległej przyszłości, trudniejszym do przewidzenia zachowaniem gospodarki i uczestników rynku, nieprzewidzianych zdarzeń, za co jest przewidziana wyższa nagrodą dla odważnych inwestorów. W krótszym okresie wydaję się, że znane są wszystkie kluczowe fakty i łatwiej przewidzieć można to, co może stać się na rynku i jest to już wkalkulowane w cenę ryzyka instrumentu.
Nachylenie krzywej ma też znaczenie. Jeśli krzywa ma dodatnią stromiznę wskazuje to na oczekiwanie przez rynek wzrostu stóp. Jeśli jest stromo ujemna - może to wskazywać na oczekiwanie spadku stóp.
Są trzy teorie wyjaśniające kształty tych krzywych. Każda z tych teorii potrafi wyjaśnić każdy z zaprezentowanych kształtów krzywych, ale wskazując na nieco inne mechanizmy i czynniki, jako źródła kształtu. Są to teorie szalenie ciekawe wskazujące na bardzo złożony charakter procesów kształtowania równowagi miedzy ryzykiem rynkowym a jego ceną. Teorie te:
- Teoria Oczekiwań
- Teoria preferencji płynności
- Teoria segmentacji rynku.
Ryzyka inwestycji w obligacje
Obligacja nie jest instrumentem finansowym wolnym od ryzyka mimo. że popularnie ma opinie instrumentu bezpiecznego. Kryzysy finansowe ostatnich lat nauczyły boleśnie inwestorów o jego istnieniu. Dla lepszego zrozumienia funkcjonowania rynku często przyjmuje się , że obligacje Skarbu Państwa to instrument bez ryzyka. Jest to tylko założenie przyjmowane dla uproszczenia jakim jest omawiany model rynku. Stosowany jest zabieg nazywania ryzyka obligacji - „ryzykiem referencyjnym” czyli ryzykiem odniesienia. Czyli , innymi słowy, ryzyka względem którego porównujemy inne ryzyka, ryzyka innych instrumentów. Tylko i tylko wyłącznie dla potrzeb modelu i potrzeb edukacyjnych przyjmuje się założenie , że jako ryzyko odniesienia ma wartość odniesienia Czyli jest równe zero. Dramat inwestorów posiadających w swych portfelach obligacje np. greckie i możliwość olbrzymich strat z trym związanych szybko staje się dramatem ( a właściwie jest on jednocześnie dramatem) emitenta obligacji. Jeśli tym emitentem jest Państwo, często, dramat ten przenosi się na jego obywateli. Obligacja jest instrumentem finansowym i jako taki instrument jej posiadanie wiąże się z ryzykiem. Właśnie dla tego ryzyka a dokładniej nagrody za te ryzyko inwestor inwestuje w obligacje. Ryzyko inwestycji w obligacji można pogrupować w kilka kategorii.
- Ryzyko kredytowe – ryzyko, że emitent nie dotrzyma terminów spłaty obligacji ( w tym płatności kuponów). Ryzyko to zawiera w sobie sytuacje, w której emitent może nie spłacić zobowiązań – czyli:
- Ryzyko niespłacenia „Default risk”: Ryzyko tego, że emitent nie spłaci części lub całości zobowiązania.
Ryzyko to można poznać albo przez dokładna analizę sytuacji finansowej emitenta wykonaną osobiście albo korzystając z ocen agencji ratingowej. Wykonanie analizy pozwala na dokonanie oceny ryzyka, ale nie usuwa jego istnienia.
- Ryzyko stopy procentowe– ryzyko, że przykładowo stopy wzrosną i w ten sposób obniżą cenę obligacji. (Często nazywane ryzykiem rynkowym).
Jest to główne ryzyko inwestorów w obligacje.
- Ryzyko reinwestycji – czyli ryzyko polegające na tym, że stopa procentowa reinwestowanych odsetek spadnie a co za tym idzie spodziewane przepływy pieniężne będą niższe.
- Ryzyko wcześniejszego wygaśnięcia „ call risk”
- Emitent może umorzyć obligację ( spłacić dług) w terminie krótszym niż pierwotna zapadalność.
- „Credit spread risk”: Ryzyko zmian rynkowych ceny i oprocentowania obligacji (warunków transakcyjnych) związanych z obligacją w wyniku poprawy sytuacji emitenta.( zmniejszenie premii za ryzyko)
- ”Credit deterioration risk”: ryzyko ,ze jakość kredytowa emitenta się obniży.
- Ryzyko płynności– ryzyko sytuacji, że obligacji nie można sprzedać za jej wartość bieżącą (a właściwie bardzo jej bliską). Ryzyko nieistotne dla inwestorów zamierzających trzymać obligacje do jej wykupu.
Płynność określana jest poprzez „Spread-(bid-ask spread)” czyli różnice miedzy ceną kupna a ceną sprzedaży. Im szerszy „spread „ tym mniejsza płynność.
- Ryzyko inflacji– ryzyko polegające na tym, że siła nabywcza strumieni pieniężnych generowanych przez obligacje spadnie.
Obligacje o zmiennym oprocentowaniu mają niższy poziom ryzyka inflacji niż obligacje o stałym kuponie.
- Ryzyko kursowe– jeśli obligacja jest denominowana w obcej walucie to wartość strumieni pieniężnych w PLN jest niepewna
Ryzyko zmian stóp procentowych wiążę się z obiektywnie istniejącymi na rynku pieniężnym zmianami cen instrumentów. Rynek finansowy podlega szeregowi wpływów a ceny obligacji, podobnie jak każdego instrumentu wycenianego przez rynek, reagują na każdą istotna informacje gospodarczą. Nawet intuicyjnie widać, że ryzyko zmiany stóp procentowych dla obligacji jest większe im dłuższy jest czas życia tego instrumentu. Różne rodzaje obligacji są narażone na tego typu ryzyko w różnym stopniu. Najbardziej wrażliwe są ceny obligacji o stałym oprocentowaniu oraz obligacje o najdłuższych terminach do wykupu. Ryzyko wiąże się z niepewnością, co do wielkości dochodu z obligacji w przyszłości, jak i możliwością niekorzystnej zmiany ich ceny. Ceny obligacji o stałym oprocentowaniu (w tym zerokuponowych) spadają, gdy rosną oficjalne i rynkowe stopy procentowe. Przy spadających stopach procentowych rosnąć będą ceny tych obligacji, ale także tych o zmiennym oprocentowaniu, które zapewniają odsetki wyższe niż nowo emitowane papiery.
Aby zilustrować mechanizm zmiany ceny obligacji przy zmianie stóp procentowych zanalizujmy poniższy przykład: Inwestor zakupił 10 letnią obligację oprocentowaną na 8% rocznie zajej wartość nominalną. Oznacza to tyle, że przez najbliższe 10 lat będzie otrzymywał roczne odsetki w wysokości 8 zł. To gwarantuje mu zakupiona obligacja, bez względu na poziom stóp procentowych na rynku. Niech wartość nominalna obligacji wynosi 100 PLN. Jednakże stopy procentowe zostały np. decyzją Rady Polityki Pieniężnej, podniesione. Zaraz po tej decyzji emitent wypuścił nową obligację oprocentowaną na 10%rocznie. Inwestor widzi, że jego inwestycja nie jest tak dobra jak byłaby nowa inwestycja w nową obligacje. Rozsądnie postępując powinien on sprzedać „starą” obligacje i kupić nową, bardziej dochodową obligację. Ale jak sprzedać starą nisko oprocentowaną, gdy na rynku dostępne są obligacje o wyższej rentowności? Aby sprzedać Inwestor musi obniżyć cenę posiadanej obligacji tak by nowa cena kompensowała nabywcy niższe odsetki. Jest to możliwe, gdy zaoferuje posiadaną obligację ( o wartości nominalnej 100PLN) za 80 PLN. Przy takiej cenie nowy inwestor widzi, że może kupić albo „starą „ obligację za 80 PLN od Inwestora i przynoszącą 8 PLN rocznie, ( czyli 10%) albo nową obligację z rynku o wartości 100 zł przynoszącą 10 zł zysku. W każdym przypadku zarobi 10 procent. Czyli, przy takiej cenie obligacji może brać pod uwagę propozycje sprzedaży Inwestora.
Inwestor doznał konsekwencji efektu ryzyka zmiany stopy procentowej i przy jej wzroście poniósł stratę na swojej inwestycji.
W świecie realnym rynku znamy zmieniającą się cenę obligacji. Jej zmienność uzależniona jest od wielu czynników. Z obserwacji rynkowej możemy zauważyć że: obserwacja rynkowa to dokładniejsze spojrzenie na wcześniej zamieszczony YTM
Związek między ceną obligacji a jej rentownością przypomina krzywa na rysunku obok. Jej zamieszczenie ma na celu pokazanie, że związek miedzy ceną a rentownością nie jest liniowy, gdyż, aby podać jej cenę należy wyliczyć jej Po czyli wartość aktualną ze wzoru przytaczanego wcześniej gdzie stopa procentowa występuje w mianowniku ułamka dyskontującego. Kształt tej krzywej jest różny dla różnego czasu życia obligacji( w wyliczeniach należy wtedy brać pod uwagę więcej okresów kuponowych, czyli sumować więcej wyrazów, w których stopa procentowa występować będzie w wyższych potęgach. Innymi słowy obligacje o długim okresie zapadalności mają bardziej stromą krzywą rentowność/ cena niż obligacje o krótkim okresie życia. Zatem są bardziej wrażliwe na zmiany rynkowych stóp procentowych niż te o krótszym życiu . Zatem czas do zapadalności nie jest najlepszą miarą wrażliwości obligacji.
Ponadto łatwo zauważyć, że jeśli stopa procentowa obligacji wzrośnie o.. powiedzmy 0,1 % to zmiana ceny obligacji ( wielkość tej zmiany) nie będzie równa zmianie ceny przy zmaleniu stopy procentowej o tą samą wartość co w przypadku wzrostu.
Aby ocenić ryzyko zmiany stóp procentowych w przypadku obligacji można użyć kilku metod.
Tak więc aby określić wielkość najlepiej pozwalającą na wycenę ryzyka należy zanalizować strumienie pieniężne generowane przez obligację. Dyskontując płatności generowane przez obligacje widzimy, że wartość aktualna ( present) tych przepływów zachowuje się podobnie do schematu przedstawionego na rysunku. Ostatnie płatności to kupon wraz z nominałem.
Duration (D) instrumentu o stałym dochodzie możemy zdefiniować, jako średnią ważoną chwil czasowych, w których dokonywane są płatności gotówkowe. Wagami są wartości aktualne ( present) poszczególnych przepływów gotówkowych.
Przypuśćmy, że przepływy gotówkowe otrzymywane są w chwilach \(t1, t2, . . . , t_n\). Wtedy duration takiego strumienia płatności dane jest następująco:
\(D=\frac{PV(t_1)t_1+PV(t_2)t_2 + … PV(t_N)t_N}{P_o}\)
Gdzie :
\(\ P_o\) to wartość aktualna strumienia płatności czyli wartość obligacji
\(\ PV(t_i)\)- to wartość aktualna i- tej płatności kuponu w chwili \(t_i\)
Tak zdefiniowane duration (D) to średnia czasu wpłat ważonych ich wielkością. Zatem D będzie mieścić się miedzy pierwszą a ostatnią płatnością. Jest to średni ważony termin wykupu.
Będzie to czas przypadający miedzy pierwszą a ostatnią płatnością. Dla obligacji zero kuponowej jest on równy czasowi życia czyli czasowi do zapadalności. Obligacja kuponowa będzie miała duration krótsze od czasu do zapadalności.
Innymi słowy , w przypadku obligacji w tym przypadku, „punkt podparcia równowagi strumienie płatności” przypada w momencie wypłaty czyli w czasie zapadalności instrumentu.
Ostatnie dwa obrazki maja służyć ilustracji sensu „ duration” jako punktu równowagi strumieni pieniężnych generowanych przez obligacje. Ilustracja ta jednak nie pokazuje znanego dobrze efektu zmiany wartości pieniądza w czasie.
Duration według Macaulay’a - Duration obligacji przy kapitalizacji dyskretnej
Cena obligacji jako aktualna wartość płatności generowanych przez obligacje opisana jest wzorem:
\(\ P_o=\sum\limits_{i=1}^n\frac{C_i/m}{(1+r/m)^i} +\frac{P_N}{(1+r/m)^n}\)
Jeśli policzymy pierwszą pochodną ceny względem stopy to otrzymamy:
\(\ dp/dr=\sum\limits_{i=1}^n\frac{(-i/m)C_i/m}{(1+r/m)^i+1} +\frac{P_N}{(1+r/m)^n+1}\)
Wyłączając czynnik 1/ 1+y/m przed nawias a następnie dzieląc obie strony przez cenę obligacji
możemy przekształcić wzór do postaci:
\(\ ( dp/dr)1/P=\sum\limits_{i=1}^n\frac{(-i/m)C/m}{(1+r/m)^i} 1/P+\frac{P_N}{(1+r/m)^n}1/P\)
Patrząc na wyrażenie po prawej stronie równania widać, że jest to nic inne jak Duration D zdefiniowana już poprzednio jako średni ważony okres do zapadalności. Czyli, z dokładnością do znaku,
\((dp/dr)1/P=D\frac{1}{1+r}\)
Lewa strona równania określa elastyczność ceny względem zmiany stopy procentowej.
Rysunek obok ilustruje sens duration na wykresie lnP w zależności od ln stopy procentowej ( YTM)
Duration ilustruje stromość, nachylenie krzywej w punkcie r.
Zmodyfikowane duration \(M_D\)
Zmodyfikowane duration jest zdefiniowane jako:
\(\ M_D = \frac{D}{(1+r)}\)
Znaczy to, ze między ceną obligacji a zmodyfikowaną duration zachodzi związek :
\(\ \Delta P = -P M_D \Delta r \)
Wypukłość
O ile duration jest miarą pierwszego rzędu stopy procentowej bo mierzy nachylenie krzywej wartości bieżącej dla danej stopy YTM, to wypukłość jest miarą drugiego rzędu. Mierzy ona krzywiznę krzywej wartości bieżącej stopy procentowej. Duration służy do oceny ryzyka stopy procentowej. Lepszą ocenę ryzyka można jednak uzyskać dodając wyraz drugiego rzędu rozwinięcia funkcji ceny obligacji P w szereg Taylora. Wyraz drugiego rzędu w tym rozwinięciu związany jest z wypukłością (convexity) obligacji i odpowiada za stopień krzywizny relacji ceny od wartości YTM.
Pojęcie wypukłości jest niezwykle przydatne przy omawianiu metod zarządzania portfelem obligacji.
Cena obligacji zależy od stopy procentowej, terminu zapadalności. Różniczkując dwukrotnie funkcje ceny obligacji względem r czyli
\(\ P_o=\sum\limits_{i=1}^n\frac{C_i/m}{(1+r/m)^i} +\frac{P_N}{(1+r/m)^n}\)
Rozwijając funkcje w szereg Taylora i ograniczając się do drugiego wyrazu rozwinięcia czyli
Można wykazać istnienie równości
\(\ F(x + \Delta x) = \ f(x) +\Delta x\frac{\delta f}{\delta x} + 1/2! \frac{\delta^2 f(x)}{\delta x^2}(\Delta x)^2\)
Gdy za funkcje f(x) użyjemy ceny obligacji, możemy rozwinięcie tej funkcji doprowadzić do postaci zapisu:
\(\ \Delta P_d =-M_D P_d ( \Delta r) + (C/2)P_d ( \Delta r)^2\)
Gdzie C – jest wypukłością obligacji.
Można wykazać, że wypukłość wzrasta z kwadratem zapadalności. Maleje ze wzrostem wartości kuponu i rentowności.
Rysunek obok pokazuje cechy tej miary ryzyka stopy procentowej na przykładzie dwu obligacji, obligacji A i obligacji B.
Obligacje te są na rynku w tej samej cenie i maja taką samą rentowność do zapadalności ( YTM) i maja taka samą „duration”. Obligacja B jest bardziej wypukła niż obligacja A. Obligacja B jest bardziej pożądana przez inwestorów w porównaniu z A. Dlatego, że będzie zawsze generować lepsze wyniki inwestycji bez względu na to co stanie się ze stopami na rynku. Jeśli, przykładowo stopy wzrastają, cena B spadnie mniej niż cena A, a jeśli stopy spadają, cena B rośnie więcej niż wzrasta cena A.
Wysoka wypukłość to niezwykle pożądana cecha obligacji.
Szacowanie ceny akcji
Akcje jako papiery wartościowe zostały omówione szerzej w „ Wprowadzeniu do funkcjonowania rynków finansowych”. Ze wspomnianego omówienia wynika m.in. że akcje jako papier wartościowy są dokumentem uprawniającym posiadacza do czerpania praw z bycia Akcjonariuszem spółki akcyjnej, w tym prawa do udziału w potencjalnych zyskach spółki wypłacanych jako dywidenda.
Dla posiadacza akcji a szczególnie dla inwestora zamierzającego wejść w posiadanie akcji ważnym jest rozumienie finansowej struktury spółki zanim jeszcze weźmie pod uwagę cenę akcji. To rozumienie jest istotne albowiem akcjonariusz ma prawa do udziału w wartości spółki. Posiadacze papierów dłużnych mają prawo roszczenia do majątku spółki ( spłata zaciągniętych przez spółkę zobowiązań, lub tez zaspokojenie roszczeń jeśli spółka nie jest w stanie spłacić długu) przed posiadaczami akcji. Posiadaczy zobowiązań dłużnych struktura finansowa spółki interesuje o ile ma wpływ na ryzyko posiadanego instrumentu. Akcjonariusze jako właściciele spółki są zainteresowani we wzroście jej wartości i taki cel wyznaczają zazwyczaj zarządzającym spółka. Akcjonariusze chcą mieć pewność, że wartość spółki wzrośnie. Dlatego ich zainteresowanie spółką i jej finansami jest dużo większe niż posiadaczy wierzytelności dłużnych.
O ile posiadacz obligacji może łatwo porównać dwa papiery dłużne i jeśli posiadają ta sama wartość nominalną i taki sam sposób wypłacania odsetek i ten sam czas zapadalności to wie, że przepływy pieniężne wynikające z jednego z tych instrumentów będą takie same jak przepływy z drugiego. Jeśli z jednych przepływów potrafi wyznaczyć stopę dyskonta to może ją zastosować do drugiego instrumentu.
Posiadacze akcji mają bardziej skomplikowaną sytuacje. Jeśli nawet dwie spółki maja taki sam zysk albo nawet taki sam rachunek przepływów pieniężnych to parametry wyliczone z dla jednej spółki nie bardzo nadają się do aproksymacji wyniku finansowego w drugiej spółce. Powodem tego jest inne zdefiniowanie planu kont i przyjętego sposobu księgowania zdarzeń finansowych. W przypadku akcji, do ich oceny wymagana jest znacznie głębsza znajomość operacji finansowych spółki.
Cena godziwa akcji.
Celem analizy fundamentalnej jest określenie godziwej ceny akcji. Jeśli jest znana, można ją porównać z ceną rynkową i ocenić czy bieżąca cena rynkowa jest:
- niższa ( akcja niedoceniona, warto kupić bo cena jej powinna wzrosnąć i można zarobić na różnicy miedzy dzisiejsza ceną kupna i przyszłą ceną sprzedaży)
- rynek ceni akcję wyżej niż jej wartość godziwa, więc cena jej spadnie w przyszłości. W takim razie albo jej nie kupujemy albo, jeśli ją posiadamy, należy się jej pozbyć dziś bo w przyszłości jej cena będzie niższa.
Oczywiście jeśli właściwie wyceni się wartość godziwą biorąc pod uwagę istotne dla jej zachowania czynniki.
Generalnie przyjmuje się dwa sposoby podejścia do znalezienia ceny godziwej. Jedno podejście to ocena biorąc pod uwagę oczekiwaną dywidendę a drugie bierze pod uwagę oczekiwane zyski.
Model dyskontowania dywidendy
Wycena w oparciu o oczekiwaną dywidendę. ( jeden okres)
Inwestor kupuje akcje firmy na okres jednego roku. Kupując liczy na zysk w postaci dywidendy i wzrostu ceny akcji spółki. Analizując taką inwestycję przy założeniu, że wielkość stopy dyskontowej (lub koszt kapitału albo oczekiwana stopa zwrotu) dla inwestora jest r, to cena dzisiejsza akcji będzie spełniać równanie:
\(\ P_o =\frac{(Di_1+P_1)}{1+r}\)
Gdzie
\(\ Di_1\) - to dywidenda wypłacona w pierwszym roku posiadania akcji
\(\ P_1\) - cena akcji po pierwszym roku
r – stopa dyskontowa( oczekiwana stopa zwrotu) dla inwestora.
Gdyby z tego równania wyliczyć stopę r to:
\(\ r = \frac{Di_1}{P_o}+ \frac{(P_1-P_o)}{ P_o}\)
Powyższe równanie wskazuje, że całkowita stopa zwrotu Inwestora składa się z dwu składników . Pierwszego oczekiwanego stopy zwrotu z dywidendy i z oczekiwanej stopy zwrotu z inwestycji kapitałowej.
Przykład:
Inwestor spodziewa się wypłaty dywidendy w roku bieżącym w wysokości 1,80PLN za akcję, której wartość pod koniec roku osiagnie36 PLN, żądając od inwestycji stopy zwrotu 10%. Cena godziwa akcji to:
\(\ P_o = \frac {1,8+36}{1,1}= 34,4\)
Wycena w przypadku wieli okresów
Równanie ceny \(\ P_o = \frac {Di_1+P_1}{1+r}\) można przepisać w nieco innej równoważnej formie.
\(\ P_o = \frac {Di_1}{(1+r)}+ \frac{P_1}{(1+r)}\)
Jeśli inwestor zamierza zatrzymać akcje kolejny rok wtedy wyceniając jej cenę otrzyma
\(\ P_1 = \frac {Di_2}{(1+r)}+ \frac{P_2}{(1+r)}\)
Wstawiając drugie równanie do pierwszego otrzymamy:
\(\ P_o = \frac {Di_1}{(1+r)}+ \frac{Di_2}{(1+r)^2} + \frac{P_2}{(1+r)^2} \)
Postępując podobnie kolejne razy otrzymamy ogólny wzór:
\(\ P_o=\sum\limits_{i=1}^n\frac{Di_i }{(1+r)^i} +\frac{P_N}{(1+r)^n}\)
Należy pamiętać, że jeśli akcje kupujemy na nieznany okres to należy traktować spółkę jako źródło dywidendy na okres nieskończony. Spółka bowiem nie ma zdefiniowanego czasu życia (no, może w szczególnym przypadku, który nie jest istotny dla istoty tej analizy).
Jeśli tak to w tym przypadku n= \(\infty\) to dla skończonej ceny w nieskończoności
Otrzymujemy
\(\ P_o=\sum\limits_{i=1}^n\frac{Di_i }{(1+r)^i} \)
Model powyższy określania ceny godziwej akcji jest zwany modelem dyskontowanej dywidendy.
Należy podkreślić w tym miejscu kilka aspektów stosowania modeli. Pierwszy aspekt, należy pamiętać, że jest to model. Założenie nieskończonego życia spółki powoduje, że wycena dzisiejszej wartości spółki nie wymaga znajomości przyszłej ceny akcji. Model ten wskazuje, że w cenie aktualnej akcji jest „zawarty” nieskończony ciąg przyszłych dywidend.
Wycena w oparciu o oczekiwany wzrost
Jeśli w tytule wyczuwa się problem „wzrostu czego” to powód tego jest następujący.
Jeśli weźmie się do analizy zyski firmy to uwaga, że firma niezwykle rzadko przeznacza cały zysk na dywidendę jest niezwykle trafna uwagą. Konsekwencją takiego myślenia jest, że cena wyliczona z dywidend, które zazwyczaj są mniejsze niż zyski firmy może dać wartość mniejsza niż w oparciu o wzrost zysków. Ale dla tego modelu przyjmuje się jeszcze jedno założenie- jeśli zyski firmy rosną, to dywidenda też powinna rosnąc w tym samym tempie.
Przypadek stałego wzrostu. Wzrost zerowy dywidendy.
Załóżmy, że spółka płaci stałą dywidendę nie ma szans na jej wzrost w rozsądnej przyszłości.
Czyli
\(\ Di_1\) = \(\ Di_2\)=.....=\(\ Di\)
Stąd stały strumień pieniądza generowany przez wypłatę dywidend do nieskończoności jako sumy szeregu nieskończonego daje wynik:
\(\ P_o = \frac {Di}{r}\)
Czyli , jak widać, jest to renta wieczysta.
Innymi słowy, cena akcji jest równa wartości wieczystej dywidendy dzielonej przez stopę dyskontową. Jeśli stopa dyskontowa jest stopą rynkową dyskonta ( właściwą dla ryzyka inwestycji w tą akcje) to tak uzyskana cena jest ceną rynkową. Chociaż liczba firm wypłacających w nieskończoność stałą dywidendę jest praktycznie raczej niewielka, to ten model jest przydatny do wyceny jeśli aktualnie wypłacane dywidendy nie zmieniają się od pewnego czasu. Z pewnością równanie takie można stosować dla wyceny akcji uprzywilejowanych ( co do wielkości wypłaty dywidendy).
Stały wzrostu. Wzrost większy od zera.
Powtarzając sposób myślenia zaprezentowany przez „David Blake- Financial Market Analysis -Mc Graw-Hill Book Company 1990str.135. Przyjmujemy, że dywidenda wzrasta z roku na rok o czynnik g.
Cena z modelu dyskontowego dywidendy jest
\(\ P_o=\sum\limits_{i=1}^n\frac{Di_i }{(1+r)^i} \)
Jeśli wzrost dywidendy jest stały, możemy kolejne dywidendy zapisać korzystając z dywidendy okresu poprzedniego i czynnika wzrostu
\(\ Di_1=(Di_o )(1+g) \)
Gdzie
g - jest procentowym wzrostem dywidendy ( zysków)
W kolejnym roku
\(\ Di_2=(Di_1 )(1+g) \)
Czyli
\(\ Di_2=(Di_o )(1+g)^2 \)
Dla i- tego roku
\(\ Di_i=(Di_o )(1+g)^i \)
Wstawiając tak wyliczoną i- tą dywidendę do wzoru na cenę akcji w modelu dyskontowania dywidendy otrzymamy:
\(\ P_o=\sum\limits_{i=1}^n\frac{Di_o (1+g)^i}{(1+r)^i} \)
Niech
\(\ (1+h)=\frac{(1+g)}{(1+r)} \)
Czyli
\(\ \sum\limits_{i=1}^n(1+h)^i \)
Dla n= \(\infty\) i jeśli stopa wzrostu czyli współczynnik g jest mniejszy od stopy dyskonta.
Otrzymujemy sumę ciągu geometrycznego
\(\ \sum\limits_{i=1}^n(1+h)^i=-\frac{(1+h)}{h}= \frac{(1+g)}{(r-g)} \)
Wstawiając ten wynik do wzoru na cenę akcji uzyskujemy:
\(\ P_o=\frac{Di_o (1+g)}{(r-g)}= \frac{Di_1}{(r-g)} \)
To ostatnie równanie jest zwane równaniem modelu Gordona i jest najczęściej stosowanym równaniem dla dywidendowej wyceny. Nazwa równanie Gordona jest przyjęte w literaturze mimo, że kilka lat wcześniej równoważny model został zaprezentowany przez J.B.Williams’a w „Theory of Investment Value”( Cambridge, MA: Harvard University Press, 1938).
Na pytanie co w przypadku gdy g jest większe od r??? odsyłamy do rozważań przedstawionych w pozycjach:
Wycena kontraktów terminowych
Jak było już wspomniane w części dotyczącej funkcjonowania rynków finansowych, kontrakt terminowy to kontrakt zawarty dziś na dostawę dobra w przyszłości. Przypomnijmy, że kontrakt futures tym różni się od kontraktu forward, że futures jest kontraktem standardowym (standardem jest również data dostawy) notowanym na giełdzie. Kontrakt forward z kolei jest kontraktem sprzedawanym na rynku OTC a data dostawy jest specyficzną cechą każdego indywidualnego kontraktu. Różnice te powodują to, że, z nielicznymi wyjątkami, tylko kontrakt futures jest instrumentem płynnym. Wyjątkiem od tej zasady jest sytuacja gdy notowania giełdowe zostają zawieszone. Wtedy kontrakt futures jest niepłynny.
Ceny na rynku fizycznym dobra i ceny tego dobra na rynku terminowym są ze sobą związane. Kontrakt futures jest przecież instrumentem pochodnym i cena jego zależy od ceny dobra podstawowego. Szczególnie widać ten związek w dniu dostawy kontraktu terminowego
\(\ Baza = cena futures-cena spot\, .\)
(Niektórzy autorzy definiują bazę jako różnicę miedzy ceną spot a ceną futures.)
Jeśli cena futures jest wyższa niż cena spot, baza jest dodatnia (sytuacja taka nazywana jest contango). Ceny futures w tym przypadku maleją w kierunku ceny spot, do dnia dostawy, gdy baza staje się równa zero. Jeśli cena futures jest niższa niż cena spot, baza jest ujemna (sytuacja taka nazywana jest backwardation). W tym przypadku cena futures rośnie w czasie by w dniu dostawy zrównać się z ceną spot.
Istotną cechą rynku terminowego futures jest dostawa albo rozliczenie kontraktu. Ma on miejsce wtedy gdy kontrakt nie zostanie zlikwidowany (poprzez zawarcie kontraktu przeciwnego) przed dniem dostawy. Proces ten jest zwykle szczegółowo opisany w regulaminie giełdy składa się z sekwencji działań jakie należy podjąć określonym porządku. Izby Rozliczeniowe jako, że są stroną każdego kontraktu są również włączone w ten proces. Generalnie Izba czuwa by strona „short” transakcji dostarczyła stronie „long” godziwe dobro z rynku fizycznego. Czasem rozliczenie może być robione w formie rozliczenia pieniężnego. Jeśli na rynku fizycznym są różne dobra spełniające specyfikę kontraktu dostarczający (short) ma prawo wybrać to, które jest „najtańsze do dostarczenia” ( cheapest to deliver). Przykładowo ma to miejsce gdy rozliczenie wymaga dostarczenia portfela obligacji o określonym terminie do zapadalności. Takich obligacji na rynku może być bardzo wiele, ale dostarczający ma prawo wybrać portfel takich, które dają największą implikowana stopę repo dla strony short z transakcji „cost of carry” tzn. strategii zakupu obligacji (za pożyczone środki) na rynku kasowym i sprzedanie ich na rynku futures.
Do tego miejsca kontrakty terminowe futures były omawiane bardzo ogólnie i odnosiły się do kontraktów opiewających na dostawę w przyszłości określonego ”dobra”. Taki sposób dobrze opisuje rynek transakcji towarowych (commodities) takich jak określone metale, określone płody rolne, ropę itd. Posiadanie czegoś, jakiegoś dobra , tak by móc go dostarczyć w przyszłości wiąże się z kosztami jego przechowywania. W przypadku kontraktów terminowych futures, gdzie kontrakty oparte są o rożne aktywa począwszy od surowców, poprzez aktywa finansowe, koszty przechowywania mają dużo szersze znaczenie. Koszty przechowania to finansowanie nabycia aktywów (odsetki od kredytu zaciągniętego na nabycie aktywów) lub koszt zamrożenia kapitału, na które składają się magazynowanie, ubezpieczenie, zabezpieczenie (towary fizyczne), transport. W ich skład może również wchodzić prowizja depozytariusza jeśli kontrakt dotyczy papierów wartościowych. Bardzo ciekawa sytuacja następuje w przypadku kontraktów futures związanych z instrumentami finansowymi.
Wycena godziwa kontraktów futures
Przypadek braku niepewności
Jeśli na rynku nie ma niepewności, cena godziwa kontraktu futures jest łatwa do określenia. Załóżmy, że inwestor chce zainwestować w jeden z dwu sposobów: na rynku spot (kasowym, transakcji natychmiastowych) lub na rynku futures. Może on pożyczyć pieniądze na rynku spot, by kupić aktywa, utrzymywać inwestycje przez T lat (zyskując odsetki, ale ponosząc koszty, wliczając w nie płacenie odsetek od pożyczonego kapitału, następnie sprzedać aktywa na rynku kasowym i zapłacić odsetki od pożyczonego kapitału. Może on jednak, jako alternatywa, sprzedać kontrakt futures za aktualna cenę na rynku futures i pod koniec roku T kupić aktywa na rynku kasowym i dostarczyć go na rynku futures by wywiązać się ze zobowiązania inwestycji. Zysk z tej drugiej inwestycji wynosi
\(\ P2 = P_f- P_s(T), \)
gdzie
\(P_f\)= aktualna cena na rynku futures
\(P_s(T)\)= cena spot w roku T.
Jasnym jest, że w przypadku całkowitej pewności \( P_f=P_s(T)\) czyli, że ceny futures muszą być równe aktualnej przyszłej cenie rynku spot. Należy w tym miejscu przypomnieć sobie to, co było mówione o zachowaniu przyszłych kursów wymiany w stosunku do dzisiejszych kursów wymiany, w Rynkach Finansowych. Tak więc zysk z takiej transakcji będzie równy zero. Należy zauważyć, że z powodu pełnej pewności nie ma potrzeby na pobieranie „initial margin” czyli depozytu zabezpieczającego ani depozyt ten nie będzie się zmieniał. Czyli w strategii 2 nie wystąpią żadne wypływy pieniężne ani wpływy w czasie życia inwestycji. Również koszty przechowywania nie występują w kontrakcie futures - całkowite koszty przechowywania są związane z transakcja na rynku kasowym i nie wystąpią do końca okresu.
W przypadku strategii 1 zysk wynosi:
\(\ P1 = P_s(T)- P_s(1+rT) + dP_sT = P_s(T)- P_s-(r-d)P_sT,\)
gdzie
\(P_s\) = aktualna cena spot (kasowa)
P_s(T) = cena spot w roku T
r = roczny koszty przechowywania (Carry costs) (włączając koszty oprocentowania pożyczki (odpowiednio do czasu)
d = roczny zwrot z posiadania aktywa
W ostatnim wzorze został użyty procent prosty, a nie procent składany. Jeśli by użyć procentu składanego wtedy należałoby użyć formuły \(\ (1+r)^T\) a koszty przechowywania na rynku kasowym byłyby proporcjonalne do ceny. „Cost of carry” są równe przychodom pomniejszonym o wydatki czyli (r-d) i mogą być, jak wiemy ujemne albo dodatnie.
Obie strategie dają ten sam wynik czyli sprzedaż aktywa w roku T. Obydwie nie wymagają zaangażowania czyjegoś kapitału i obie wolne są od ryzyka. Dwie identyczne strategie niezużywające kapitału, odbywające się bez ryzyka ( takie dwie transakcje zwane są arbitrażem)w warunkach równowagi powinny generować ten sam zysk, a zysk ten powinien być równy zero. Jeśli wiemy, ze strategia 2 generuje zysk zero to strategia 1 tez powinna generować zysk równy zero. Porównując te równania można wyliczyć cenę godziwą kontraktu futures \(\ Pf_o\).
\(\ Pf_o={1+(r-d)T}P_s = P_s+(r-d)P_sT.\)
Czyli godziwa cena futures jest równa aktualnej cenie spot + „cost of Carry” – kosztom przechowywania. Biorąc pod uwagę definicję bazy i wstawiając ja do ostatniego równania widzimy, ze cost of carry jest równy bazie.
\(\ Baza= Pf_o- P_s+(r-d)P_s(T)= cost-of-carry\)
Baza jest dodatnia (contango) jeśli koszty przechowywania są dodatnie i jest ujemna (backwardation) jeśli koszty przechowywania są ujemne.
Podobne równania zachodzą miedzy cenami kontraktów futures na różne terminy dostawy.
\(\ Pf_2=Pf_1+(r-d)Pf_1(T_2-T_1),\)
gdzie:
\(Pf_1\) = aktualna cena kontraktu futures z terminem dostawy \(T_1\)
\(Pf_2\) = aktualna cena kontraktu futures z terminem dostawy \(T_2(T_1<T_2)\)
Różnica między cenami dwu kontraktów futures nazywa się spread i widać, że spread jest równy „cost-of-carry”.
\(\ Spread=Pf_2- Pf_1=(r-d)Pf_1(T_2-T_1)= cost of carry\)
Jeśli cost of carry (i tym samym spread) jest dodatni to \(Pf_2>Pf_1\) (contango), a jeśli te wielkości są ujemne to \(\ Pf_2<Pf_1\) (backwardation).
Z arbitrażem (bez ryzyka) możemy mieć do czynienia jeśli cena \(\ Pf_2\) jest większa niż lewa strona równania
\(\ Pf_2=Pf_1+(r-d)Pf_1(T_2-T_1)\)
Wtedy mając kontrakt long do czasu dostawy w \(\ T_1\) a kontrakt short do czasu dostawy \(\ T_2\) byłoby możliwe przyjąć dostawę w \(T_1\) za \( Pf_1\) i trzymać aktywa, aby dostarczyć go w chwili \( T_2\) za cenę \( Pf_2\) i wygenerować zysk dla siebie. Jednakże, jeśli kontrakty futures są wycenione godziwie taka sytuacja nie może się zdarzyć.
Przypadek1. Wycena kontraktu futures - krótkoterminowy instrument zero kuponowy.
Przyjmijmy, że będzie to bon skarbowy, powiedzmy 360 dniowy bon skarbowy. Przyjmijmy, ze wyceniamy kontrakt futures na bony skarbowe US Treasury. Można wiec przyjąć, że w stopie futures nie ma premii za ryzyko. Rozważania w przypadku polskich Bonów Skarbowych będą wyglądać tak samo, jednak w praktyce rynek futures dla US Treasury realnie istnieje i jest dość duży znacznie większy niz. rynek polskich instrumentów.
Ponieważ instrument nie generuje płatności kuponowych korzystając ze wzoru
\(\ Pf_o={1+(r-d)T}P_s\)
Dla \( d = 0\) i dla czasu n dni otrzymujemy:
\(\ Pf_o=[1+r(\frac{n}{360}]P_s.\)
Przypomnieć należy, że:
\( Pf_o \) to cena kontraktu futures
n = ilość dni do dostawy kontraktu.
\(P_s\) = cena spot aktywa bazowego ( obecna cena instrumentu bazowego)
r = stopa procentowa odpowiadająca terminowi realizacji kontraktu.
Przypadek 2. Kontrakt walutowy, czyli np. konieczność wyceny przyszłego kursu wymiany
Załóżmy, że jesteśmy już w strefie EURO i celem jest pozyskanie USD w terminie za rok. Podobnie jak to było omawiane przy wycenie kontraktu forward na kurs wymiany inwestor ma do wybory dwa postępowania. Albo potrzebną kwotę dolarów otrzymujemy dzisiaj kupując dolary za euro i lokujemy je na depozycie dolarowym na rok. Albo, kwotę w euro deponujemy na depozycie euro na rok i za rok dokonujemy wymiany na dolary. Zakładając brak arbitrażu kwoty na depozytach po roku powinny być równoważne. Założenie jest w pełni uzasadnione co wykazano w rozdziale o kursach walutowych ( hipoteza oczekiwania w przypadku stóp procentowych). Innymi słowy, są dwie możliwe strategie. Kupić dziś kontrakt terminowy. Kupno kontraktu terminowego za cenę \(P_f\) oznacza, że za rok od dziś posiadacz kontraktu zamieni \(P_f\) euro na jednego dolara. Druga strategia polega na tym, że pożyczamy euro na początku okresu po stopie \(r_e\), wymieniamy je na dolary po cenie spot i inwestujemy na rynku depozytów dolarowych przy stopie \(r_d\). Pod koniec roku z dochodów dolarowych spłacamy zadłużenie w euro. Każdy z depozytów w ciągu roku przyrósł \((1+r)\) razy. Czyli depozyt euro przyrósł \((1+r_e)\) razy, a depozyt dolarowy \((1+r_d)\) razy. Łatwo wykazać, że :
\(\ ( \frac{1+r_e}{1+r_d})P_s = P_f,\)
gdzie:
\(r_d\) - stopa oprocentowania dolarowego
\(r_e\) - stopa oprocentowania euro
\(P_s\) - cena spot wymiany
\(P_f\) - cena futures.
Po odpowiednim przekształceniu i odrzuceniu nieznaczących wyrazów wyższych rzędów, otrzymać można znajomo wyglądający wzór.
\(\ P_fo= P_s+(r_e-r_d)P_s\)
Czyli ponownie widać, że cena futures jest równa cenie spot powiększonej o „cost of carry, czyli różnicy stóp procentowych rynku euro i rynku dolarowego.
Ten wzór można przekształcić do bardziej przydatnej formy:
\(\ \frac{P_fo-P_s}{P_s}=r_e-r_d\)
Jest to tzw. równanie parytetu stóp procentowych. Mówi ono, że wzrost terminowego kurs wymiany jest równy różnicy stóp procentowych rynków walut wymienianych. Innymi słowy równanie pozwala oceniać jak rynek terminowy ocenia aprecjację jednej waluty względem drugiej.
Przykład 3.
Cena godziwa futures na akcje lub indeks rynku akcji.
Cenę na kontrakt futures na akcje można obliczyć w następujący sposób. Uproszczenie - kontrakt futures na 1 rok i trzymamy jest do terminu dostawy.
Strategia 1. Na początku roku kupujemy odpowiednią dla warunku kontraktu ilość akcji. Na koniec roku sprzedajemy. To co zyskujemy to różnica cen akcji i dywidenda wypłacona w czasie roku. Czyli
\( \ Zwrot_1= (Ps_1-Ps)+dPs\)
Gdzie
\(Ps\)- cena akcji na początku roku
\(PS_1\) cena akcji na końcu roku
d - dywidenda (liczona jako procent ceny akcji)
Strategia 2.
Kupujemy kontrakt futures na akcje. Dodatkowo kwota równa cenie odpowiedniej do warunków kontraktu ilości akcji zostaje zainwestowana na rynku pieniężnym na okres roku. Zysk z tych transakcji to Oprocentowanie uzyskane na rynku pieniężnym, - cena kontraktu futures plus różnica miedzy ceną akcji na końcu roku i na początku roku( to co daje kontrakt futures).
Czyli
\(\ Zwrot_2= (Ps_1-Pf)+(1+r)Ps- Ps,\)
gdzie
r - stopa procentowa oprocentowani na rynku pieniężnym inne oznaczenia jak wyżej.
Obie strategie powinny odbywać się w tych samych warunkach ryzyka i są tak samo wyceniane więc wynik muszą przynieść identyczny. Jeśli tak, to równając zyski z sobą otrzymujemy.
\(\ Pf_o = Ps = (r-d)Ps\)
Czyli znów cena futures równa się cenie spot plus “cost of carry” .
Proszę zauważyć, że robienie depozytu obrazuje w praktyce kredytowanie całej transakcji na rynku pieniężnym i jest kosztem inwestycji. Jeśli transakcje przeprowadzamy na okres krótszy niż rok, to wzór ten należy zapisać w poniższej formie:
\(\ Pf_o=Ps+(r-d)\frac{n}{360}Ps,\)
gdzie :
n - liczba dni w których trwa inwestycja pozostałe oznaczenia jak wyżej.
Rok obrachunkowy 360 dniowy.
Przykład 3a. Cena futures na indeks rynku akcji.
Rozumowanie przebiega tak samo jak w przypadku akcji. Tylko że cena zakupu indeksu to cena zakupu takiej ilości akcji i z taką wagą jak opisane jest w indeksie i zasadach kontraktu futures,
Skoro rozumowanie jest takie samo więc cena kontaktu futures na indeks wynosi:
\(\ Pf_o = Ps = (r-d)Ps,\)
gdzie:
Ps - Cena-( wartość kasowa akcji wchodzących w skład indeksu) na początku roku.
Pf_o – cena kontraktu futures
r - stopa procentowa rynku pieniężnego.
d - współczynnik dywidendy (czyli dywidenda do ceny akcji)
Jeśli inwestycja dotyczy innego okresu niż równo jeden rok to wzór na cenę godziwą kontraktu futures wynosi:
\(\ Pf_o=Ps+(r-d) \frac{n}{360}Ps,\)
gdzie : n - liczba dni, w których trwa inwestycja pozostałe oznaczenia jak wyżej.
Wycena opcji
Jak pisaliśmy wcześniej, wycena instrumentu finansowego to termin odnoszący się do obliczenia wartości tego instrumentu w chwili bieżącej. W przypadku instrumentu pochodnego jest to zadanie niezwykle trudne, gdyż trzeba uwzględniać wiele specyficznych warunków definiujących ten instrument oraz oszacować prawdopodobieństwo przyszłego zachowania się instrumentu bazowego, stóp procentowych itp. Na ogół nie jest możliwe uzyskanie zwartych analitycznych formuł i trzeba zadowolić się pewnymi uproszczonymi modelami. Zilustrujemy to ma przykładzie opcji europejskiej na akcję nieprzynoszącą dywidendy. Czytelnika zainteresowanego wyceną "bardziej skomplikowanych" instrumentów jesteśmy zmuszeni odesłać do literatury specjalistycznej (ostrzegamy, że w wielu przypadkach nie jest znane rozwiązanie problemu). Modele wyceny opcji można podzielić na dwie kategorie:
- modele z czasem dyskretnym
- modele z czasem ciągłym.
W modelach z czasem dyskretnym przyjmuje się, że cena instrumentu bazowego "sprawdzana" jest w pewnych odstępach czasu określanych poprzez podział czasu życia opcji na skończoną liczbę podokresów (n)
Z modeli z czasem ciągłym, najsłynniejszy jest model Blacka-Scholesa. W podejściu tym analizuje się ewolucję ceny opcji europejskiej na akcję w całym okresie jej ważności, \([0,T]\). Podstawowym założeniem jest przyjęcie, że ewolucja ceny instrumentu jest pewnym procesem losowym z jedną zmienną losową - ceną spot \(S_t\) instrumentu bazowego. Dostajemy wtedy tzw. równanie stochastyczne, które w pewnych przypadkach można rozwiązać. Dokładniej, załóżmy, że interesuje nas cena \(P(S, t)\) opcji kupna na akcje S, o terminie wygaśnięcia \(T\) i cenie wykonania. Zakłada się w tym modelu \(K\), że cena akcji \(S_t\) ewoluuje zgodnie z tak zwanym geometrycznym ruchem Browna przy ciągłej kapitalizacji z roczną stopą procentową r:
\(d S_t = S_t [\mu dt + \sigma d W_t]\,\), \(S_0 > 0\;\),
gdzie parametry \(\mu\) (tzw dryft) i \( \sigma\) (współczynnik zmienności ceny instrumentu bazowego (volatility)) szacujemy na podstawie danych historycznych. Proces losowy \(W_t\) jest tzw. białym szumem. Przy tych założeniach równanie na \(P(S,t)\) przyjmuje formę:
\(dP(S,t)=\frac{\partial P}{\partial t}(S,t)dt+\frac{\partial P}{\partial P}(S,t)dS+\frac{1}{2}\frac{\partial P}{\partial S^2}(S,t)dS^{2}.\)
To nietrywialne równanie można w pewnych przypadkach rozwiązać dokładnie. W przypadku logarytmiczno-normalnego rozkładu zmiennej losowej \(S_T\) otrzymuje się wtedy słynna formułę Blacka-Scholesa dla ceny opcji kupna na europejska akcję bez dywidendy
\(P(S,t) = S N\left( \frac{\ln\frac{S}{K} + \left(r+\frac{\sigma^2}{2}\right)T}{\sigma \sqrt T} \right) - K e^{-rT} N\left( \frac{\ln\frac{S}{K} + \left(r-\frac{\sigma^2}{2}\right)T}{\sigma \sqrt T} \right),\)
gdzie
\(S\) - aktualna cena instrumentu bazowego
\(K\) - cena rozliczenia opcji
\(r\) - wysokość rocznej stopy procentowej wolnej od ryzyka dla terminu wygaśnięcia opcji
\(N(x)\) - kumulatywna dystrybuanta standardowego rozkładu normalnego: \(\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int^{x}_{-\infty}\exp{(-s^{2}/2)}ds\),
a termin wygaśnięcia opcji \(T\) jest liczony w latach. W takim (uproszczonym) modelu dryft i volatility estymujemy z danych historycznych (nie jest to łatwe zadanie):
\(\mu = t^{-1}ln (E(\frac{S_t}{S_0}))\,\)
\(\sigma^{2} =t^{-1}var(\int_{0}^{t}\frac{dS_x}{S_x})\)
Model ten można rozszerzyć na wiele innych przypadków, ale nie jest to celem naszego, krótkiego wprowadzenia do zagadnienia
Przypisy
- ↑ Musimy też wyeliminować z rozważań sytuacje patologiczne, na przykład strategie typu strategii podwajania stawki wynikające z faktu, że \(1+2+...+2^n=2^{n+1}-1\). Na przykład, gdy w grze polegającej na rzucie monetą za wygraną wypłata jest równa podwojonej stawce, a przegrana polega na utracie stawki, strategia podwajania stawki daje nam wygraną z prawdopodobieństwem 1, gdy możemy się wycofać z gry w dowolnym momencie (po wygranej). Zwykle pomija się również koszty transakcyjne. Stosowanie strategii tego typu często muszą uniemożliwić kasyna.
- ↑ Matematyczna reprezentacja wartości jest to bardzo nietrywialnym zagadnienie, które nie ma powszechnie akceptowanego rozwiązania. Jest jednak wygodne w wielu analizach teoretycznych i praktycznych (sprawiedliwy podział dóbr).
- ↑ Instrumenty kuponowe generują dodatkowe strumienie przepływów przed terminem zapadalności, które trzeba uwzględniać.
- ↑ Przypomnijmy, że zdefiniowaliśmy osiągalność instrumentu finansowego poprzez istnienie takiego portfela.
- ↑ Oczywiście dotyczy to obligacji dopuszczonych do obrotu publicznego i notowanych na giełdzie
- ↑ polecana literatura poszerzająca , objaśniająca ten rozdział to: Joanna Place- "Basic Bond Analysis"- Handbook in Central banking- nr.20- Bank of England,2000; raz pozycja autorstwa Jerzego Dzieży - 'Instrumenty stałego dochodu- AGH- dostepne w sieci Internet, oraz David Blake - Financial Market Analysis- Mcgraw- Hll
- ↑ pierwsze tego typu obligacje wyemitował rząd brytyjski by finansować nimi działania wojenne przeciw Napoleonowi Bonaparte
- ↑ s.Homer i L.Leibowitz- Inside yield curve-N.Y Insitute of Finance.
- ↑ Rysunek z pracy Marek Świętoń- Terminowa struktura dochodowości skarbowych papierów wartościowych w Polsce..." Narodowy Bank Polski- Materiały i Studia- Zeszyt 150 -Warszawa 2002
- ↑ bardzo ciekawe opracowanie zawiera http://home.agh.edu.pl/~dzieza/fixed_income/tp_not_agh.pdf. Opracowanie to było inspirujące również przy pisaniu niniejszego tekstu
- ↑ Ramesh Rao „Financial Management” –Uniwersity of TexasSoth Western College Publishing1995i
- ↑ lub R.A.Brealey, S.T.Myers-„ Principle of corporate Finance” McGraw HillComp-1996.
- ↑ Przed skorzystaniem z pokusy arbitrażowej należy dokładnie zaznajomić się ze szczegółami notowań na ostatniej sesji przed wygaśnięciem kontraktu. Ceną rozliczeniową zwykle nie jest ostatnie notowanie lecz pewna średnia z notowań, np. z ostatniej godziny.
- ↑ M.D. Fitzgerald- „Financial Futures”- Euromoney Books 1993
- ↑ P. Saługa,Z. Grudziński-Polityka Energetyczna. Tom 12 Zeszyt 2/2 str.525-540. rok 2009 używają na określenie contango i backwardation nazw reportu i deportu. Jednak uczestnicy rynku terminowego używają nazw angielskich.
- ↑ D.Blake- Financial Market Analysis- Mc Graw- Hill company1990).
- ↑ Implikowana stopa repo to rentowność z transakcji repo dla odstępu czasu od chwili aktualnej (bieżącej) do terminu realizacji kontraktu - przyp. autorów
- ↑ D.Blake- Financial Market analysis
- ↑ Rozumowanie przeprowadzone dla kontraktu futures nie będzie się różnić od rozważań przeprowadzonych dla wyceny kontraktu forward dla kursów wymiany przeprowadzonych w we Wprowadzeniu do funkcjonowania Rynków Finansowych autorstwa M. Łukaszewski i J. Sładkowski. Ma jednak w tym miejscu cel wykazania, że przyjęta i omawiana zasada wyceny kontraktów futures obowiązuje. Jest to również przykład ilustrujący funkcjonowanie tej zasady.
- ↑ Oczywiście w taki sposób możemy analizować i inne zjawiska rynkowe.
- ↑ Oczywiście w analogiczny sposób można analizować i inne instrumenty finansowe
- ↑ Oczywiście zakładamy, że u>1 a 0<d<1.
- ↑ Na przykład, jeśli opcja opiewa na 1000 akcji, to \(f(S_n)=1000S_n\)
- ↑ Ten sam wzór opisuje również amerykańską opcję kupna. W przypadku opcji sprzedaży występują już różnice.
- ↑ Nie zawsze trzeba rozwiązywać równania stochastyczne. Na przykład, cenę opcji sprzedaży można wyznaczyć opierając się o tzw. parytet kupna-sprzedaży dla opcji europejskiej (cena opcji kupna powiększona o aktualną wartość ceny wykonania musi być równa cenie opcji sprzedaży powiększonej o cenę akcji).