Z Skrypty dla studentów Ekonofizyki UPGOW

Spis treści [ukryj] 1 Operator różniczkowy - definicja 2 Nabla 2.1 Gradient 2.2 Dywergencja 2.3 Rotacja 2.4 Laplasjan 3 Złożenia operatorów różniczkowych 3.1 Związki między operatorami różniczkowymi

Operator różniczkowy - definicja

Operator określony na przestrzeni funkcji różniczkowalnych wykorzystujący pojęcie pochodnej bądź różniczki funkcji. Operatory różniczkowe mogą działać zarówno na funkcje jednej jak i wielu zmiennych, na funkcje skalarne i wektorowe.

Nabla

W rachunku wektorowym konwencja notacyjna ułaskawiając zapis różnorodnych operatorów różniczkowych: gradientu, dywergencji, rotacji i laplasjanu. Oznaczana jako $\nabla$

Nablę definiuje się za pomocą pochodnych cząstkowych wzorem (układ współrzędnych kartezjańskich)

$$\nabla = \left(\frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z}\right) = \mathbf i \frac{\partial}{\partial x} + \mathbf j \frac{\partial}{\partial y} + \mathbf k \frac{\partial}{\partial z},$$

gdzie $\scriptstyle \mathbf i,\; \mathbf j,\; \mathbf k$oznaczają wektory jednostkowe osi (patrz Wektory, działania na wektorach)

Gradient

Jeśli $\scriptstyle \varphi\colon \mathbb R^3 \to \mathbb R$ jest polem skalarnym, to potraktowanie nabli jako funkcji pola skalarnego daje pole wektorowe nazywane gradientem $$\mathrm{grad}\; \varphi = \left(\frac{\partial \varphi}{\partial x}, \frac{\partial \varphi}{\partial y}, \frac{\partial \varphi}{\partial z}\right) = \mathbf i \frac{\partial \varphi}{\partial x} + \mathbf j \frac{\partial \varphi}{\partial y} + \mathbf k \frac{\partial \varphi}{\partial z} = \nabla \varphi;$$

Zapis ten można traktować jako mnożenie „wektora nabla” przez „skalar” dające w wyniku „wektor”.

Dywergencja

Jeżeli $\mathbf f\colon \mathbb R^3 \to \mathbb R^3$ jest polem wektorowym $(f_x, f_y, f_z)$ zmiennych $(x, y, z)$, to dywergencję $\mathbf f$ będącą polem skalarnym można wyrazić za pomocą iloczynu skalarnego nabli przez $\mathbf f$,

$$\mathrm{div}\; \mathbf f = \frac{\partial f_x}{\partial x} + \frac{\partial f_y}{\partial y} + \frac{\partial f_z}{\partial z} = \nabla \cdot \mathbf f;$$

„Wektor nabla” jest mnożony przez „wektor” dając w wyniku „skalar”.

Rotacja

Zamiana iloczynu skalarnego na iloczyn wektorowy dla danego pola wektorowego $\mathbf f$ w powyższym przypadku umożliwia zwarty sposób zapisu rotacji: $$\begin{align} \mathrm{rot}\; \mathbf f & = \left(\frac{\partial f_z}{\partial y} - \frac{\partial f_y}{\partial z},\ \frac{\partial f_x}{\partial z} - \frac{\partial f_z}{\partial x},\ \frac{\partial f_y}{\partial x} - \frac{\partial f_x}{\partial y}\right) = \\ & = \left(\frac{\partial f_z}{\partial y} - \frac{\partial f_y}{\partial z}\right) \mathbf i + \left( \frac{\partial f_x}{\partial z} - \frac{\partial f_z}{\partial x}\right) \mathbf j + \left(\frac{\partial f_y}{\partial x} - \frac{\partial f_x}{\partial y}\right) \mathbf k = \nabla \times \mathbf f;\end{align}$$

„Wektor nabla” mnożony wektorowo przez „wektor” daje inny „wektor”.

Notacja macierzowa rotacji:

$$\nabla \times \mathbf f = \det \begin{bmatrix} \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ f_x & f_y & f_z \\ \mathbf i & \mathbf j & \mathbf k \end{bmatrix}$$

Laplasjan

Operator Laplace'a, jest operatorem skalarnym działającym na pole skalarne danym jako $$\Delta = \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2} = \nabla \cdot \nabla = \nabla^2$$

Złożenia operatorów różniczkowych

• Trzech operacje na polu wektorowym -> gradient pola skalarnego,

$\mathrm{div}\;(\mathrm{grad}\; \varphi) = \nabla \cdot (\nabla \varphi)$,

$\mathrm{rot}\;(\mathrm{grad}\; \varphi) = \nabla \times (\nabla \varphi)$,

$\Delta \varphi = \nabla^2 \varphi$,

• Operacje na polu skalarnym -> dywergencja pola wektorowego,

$\mathrm{grad}\;(\mathrm{div}\; \mathbf f) = \nabla (\nabla \cdot \mathbf f)$,

• Dwóch operacji na polu wektorowym -> rotacja pola wektorowego,

$\mathrm{div}\;(\mathrm{rot}\; \mathbf f) = \nabla \cdot (\nabla \times \mathbf f)$,

$\mathrm{rot}\;(\mathrm{rot}\; \mathbf f) = \nabla \times (\nabla \times \mathbf f)$,

• Operacja laplasjanu wektorowego,

$\Delta \mathbf f = \nabla^2 \mathbf f$,

Związki między operatorami różniczkowymi

• $\mathrm{div}\;(\mathrm{grad}\; \varphi) = \nabla \cdot (\nabla \varphi) = \nabla^2 \varphi = \Delta \varphi$,
• $\mathrm{rot}\;(\mathrm{grad}\; \varphi) = \nabla \times (\nabla \varphi) = 0$,
• $\mathrm{div}\;(\mathrm{rot}\; \mathbf f) = \nabla \cdot (\nabla \times \mathbf f) = 0$.
• $\nabla \times (\nabla \times \mathbf f) = \nabla (\nabla \cdot \mathbf f) - \nabla^2 \mathbf f$,