Z Skrypty dla studentów Ekonofizyki UPGOW

Liczba zespolona jest liczbą, która może być wyrażona w postaci

\[z = \alpha + \beta i\]

gdzie \(\alpha\) i \(\beta\) są liczbami rzeczywistymi, zaś \(i\) jest jednostką urojoną, która spełnia równanie \(i^2 = -1\). Liczbę \(\alpha\) nazywamy częścią rzeczywistą, a liczbę \(\beta\) częścią urojoną z liczny zespolonej.

\[\alpha = Re(z)\] \[\beta = Im(z)\]

Gdy \(\beta=0\), wtedy \(z=\alpha\) - liczba zespolona jest liczbą rzeczywistą. Możemy zatem powiedzieć, że zbiór liczb rzeczywistych zawiera się z zbiorze liczb zespolonych. Natomiast, jeżeli \(\alpha=0\) to wtedy \(z= \beta i\) i liczba urojona jest szczególnym przypadekiem liczby zespolonej.

Spis treści 1 Interpretacja geometryczna 2 Równość liczb zespolonych 3 Postać trygonometryczna liczby zespolonej 4 Postać wykładnicza liczby zespolonej 5 Liczby zespolone sprzężone 6 Podstawowe działania na liczbach zespolonych 6.1 Dodawanie i odejmowanie 6.2 Mnożenie 6.2.1 Mnożenie w postaci trygonometrycznej 6.3 Dzielenie 6.3.1 Dzielenie w postaci trygonometrycznej 6.4 Potęgowanie 6.5 Pierwiastkowanie 6.6 Logarytm naturalny liczby zespolonej 7 Funkcje zmiennej zespolonej 8 Zadania

Interpretacja geometryczna

Liczby zespolone przedstawia się w postaci punktów na płaszczyźnie zespolonej. Liczbę \(z = \alpha + \beta i\) przedstawia punkt o odciętej \(\alpha\) i rzędnej \(\beta\) Rys 1.

Równość liczb zespolonych

Dwie liczby zespolone są równe wtedy i tylko wtedy, gdy zarówno ich części rzeczywiste jak i części urojone są równe: \[z_{1} = z_{2} \, \, \Leftrightarrow \, \, ( \operatorname{Re}(z_{1}) = \operatorname{Re}(z_{2}) \, \land \, \operatorname{Im} (z_{1}) = \operatorname{Im} (z_{2}))\]

Postać trygonometryczna liczby zespolonej

Wyrażenie \[z=\alpha +\beta i\] nazywamy postacią algebraiczną liczby zespolonej. Jeżeli zamiast współrzędnych kartezjańskich punktu reprezentującego liczbę zespoloną wprowadzimy współrzędne biegunowe to otrzymamy postać trygonometryczną liczby zespolonej: \[z=\rho (\cos(\phi) +i \sin(\phi))\] gdzie długość promienia wodzącego \(\rho\) nazywa się modułem lub bezwzględna wartością liczby zespolonej i oznacza się symbolem \(|z|\), natomiast \(\phi\) to kat między osia biegunową, a promieniem wodzącym i oznacza się symbolem \(\phi=arg z\). Można wyprowadzić następujące związki między postaciami algebraiczną i trygonometryczną liczby zespolonej: \[\alpha = \rho \cos(\phi)\] \[\beta = \rho \sin(\phi)\]

\[\rho = \sqrt{\alpha^2+\beta^2}\] \[\cos(\phi)=\frac{\alpha}{\sqrt{\alpha^2+\beta^2}}\] \[\sin(\phi)=\frac{\beta}{\sqrt{\alpha^2+\beta^2}}\]

Postać wykładnicza liczby zespolonej

Korzystając z formuły Euler'a \[e^{ix} = \cos(\phi) + i\sin(\phi) \ \] możemy liczbę zespolona przedstawić w tzw. postać wykładniczej: \[z=\rho e^{i\phi}\]

Liczby zespolone sprzężone

Dwie liczby zespolone nazywamy sprzężonymi jeżeli mają części rzeczywiste równe, a części urojone różnią się tylko znakiem. Liczby takie oznaczmy: \( z \text{ } \bar{z} \) \[ z= \alpha + \beta i = \rho(\cos(\phi)+i\sin(\phi) = \rho e^{i\phi}\] \[ \bar{z}= \alpha - \beta i = \rho(\cos(\phi)-i\sin(\phi) = \rho e^{-i\phi}\] Ponadto zachodzi: \[\operatorname{Re}\,(z) = \tfrac{1}{2}(z+\bar{z}), \,\] \[\operatorname{Im}\,(z) = \tfrac{1}{2i}(z-\bar{z}). \,\] A także: \[\overline{z+w} = \bar{z} + \bar{w}, \,\] \[\overline{z-w} = \bar{z} - \bar{w}, \,\] \[\overline{z w} = \bar{z} \bar{w}, \,\] \[\overline{(z/w)} = \bar{z}/\bar{w}. \,\] \[\frac{1}{z}=\frac{\bar{z}}{z \bar{z}}=\frac{\bar{z}}{x^2+y^2}.\]

Podstawowe działania na liczbach zespolonych

Dodawanie i odejmowanie

Liczby zespolone są dodawane/odejmowane przez dodanie/odjęcie rzeczywistych i urojonych części. \[(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i.\ \] \[(a+bi) - (c+di) = (a-c) + (b-d)i.\ \] Zobacz graficzną prezentację dodawania tutaj

Mnożenie

Mnożenie dwóch liczb jest zdefiniowane za pomocą następującego wzoru: \[(a+bi) (c+di) = (ac-bd) + (bc+ad)i.\ \] Należy pamiętać, że: \[i^2 = i \times i = -1.\ \] Stąd wzór na mnożenie nie dwóch liczb zespolonych da się przedstawić w następujący sposób: \[(a+bi) (c+di) = ac + bci + adi + bidi \ \]

\[ = ac + bidi + bci + adi \ \]

\[ = ac + bdi^2 + (bc+ad)i \ \]

\[ = (ac-bd) + (bc + ad)i \ \]

Mnożenie w postaci trygonometrycznej

Opierając się na poniższych wzorach: \[ \cos(a)\cos(b) - \sin(a)\sin(b) = \cos(a + b)\] \[ \cos(a)\sin(b) + \cos(b)\sin(a) = \sin(a + b)\] Możenie dwóch liczb zespolonych z₁ = r₁(cos φ₁ + i sin φ₁) i z₂ =r₂(cos φ₂ + i sin φ₂) możemy zapisać w następujący sposób: \[z_1 z_2 = r_1 r_2 (\cos(\varphi_1 + \varphi_2) + i \sin(\varphi_1 + \varphi_2)).\,\] Zobacz graficzną prezentację tutaj

Dzielenie

Dzielenie liczb zespolonych wykonujemy mnożąc licznik i mianownik przez liczbę zespoloną sprzężoną do liczby zepolonej w mianowniku. Otrzymamy wtedy w mianowniku liczbę rzeczywistą. Należy jednak pamiętać o tym, że liczba zespolona w mianowniku musi być różna od zera. \[\,\frac{a + bi}{c + di} = \left({ac + bd \over c^2 + d^2}\right) + \left( {bc - ad \over c^2 + d^2} \right)i. \]

Dzielenie w postaci trygonometrycznej

Dzielenie dwóch liczb zespolonych przedstawionych w postaci trygonometrycznej z₁ = r₁(cos φ₁ + i sin φ₁) i z₂ =r₂(cos φ₂ + i sin φ₂) wykonujemy w następujący sposób: \[\frac{z_1}{ z_2} = \frac{r_1}{ r_2} \left(\cos(\varphi_1 - \varphi_2) + i \sin(\varphi_1 - \varphi_2)\right).\]

Potęgowanie

Podnoszenie liczby zespolonej do potęgi wykonuje się według wzoru de Moivre'a \[ z^n=[\rho(\cos(\phi)+i\sin(\phi))]^n=\rho^n(\cos(n\phi)+i\sin(n\phi))\] Zobacz graficzną prezentację tutaj

Pierwiastkowanie

Wyciągnięcie pierwiastka z liczby zespolonej wykonuje się za pomocą następującego wzoru: \[\sqrt[n]{z} = \sqrt[n]\rho \left( \cos \left(\frac{\phi+2k\pi}{n}\right) + i \sin \left(\frac{\phi+2k\pi}{n}\right)\right), \qquad k=0,1,...,n-1\] Jak widzimy stosując powyższy wzór otrzymamy \(n\) pierwiastków \(n-tego\) stopnia liczby zespolonej \(z\). Ponadto zachodzi: \[\sqrt[n]{z^n} = z\] Zobacz graficzną prezentację tutaj

Logarytm naturalny liczby zespolonej

W oparciu o postać trygonometryczną liczby zespolonej \(z=\rho (\cos(\phi) +i \sin(\phi))\) można obliczyć logarytm naturalny liczby zepolonej \[\ln(z) = \left\{ \ln(r) + (\varphi + 2\pi k)i \;|\; k \in \mathbb{Z}\right\}\]

Funkcje zmiennej zespolonej

Podobnie do funkcji rzeczywistych zmiennej rzeczywistej możemy rozpatrywać funkcje zespolone zmiennej zespolonej. Jeżeli każdemu punktowi \(z \in D\), gdzie \(D\) jest dziedziną funkcji będącą podzbiorem liczb zespolonych, przyporządkujemy liczbę zespoloną \(t\) taką, że

\[t=f(z)\]

to wtedy w dziedzinie funkcji \(D\) określamy funkcję zespoloną \(f(z)\) zmiennej zespolonej \(z\). W tym wykładzie ograniczymy się do przedstawienia trzech przykładów funkcji zespolonych \(e^z, sinz\) oraz \(cosz\), które są często używane w fizyce. Funkcje te zachowują większość (chociaż nie wszystkie) własności odpowiadającym im funkcjom zmiennej rzeczywistej.

Funkcje \(e^z, sinz, cosz\) są określone w całym zbiorze liczb zespolonych. Zachodzą między nimi następujące bardzo ważne związki

\[e^{iz}=cosz+isinz, \qquad e^{-iz}=cosz-isinz,\]

a po prostym przekształceniu (dodanie i odjęcie stronami powyższych wzorów) otrzymujemy wzory Eulera

\[cosz = \frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}, \qquad sinz = \frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}.\]

Rozważane przez nas trzy funkcje zespolone są okresowe. Okresem funkcji \(sinz\) i \(cosz\) jest \(2k\pi\), a funkcji \(e^z\) \(2k\pi i\), gdzie \(k=0,\pm 1,\pm 2,\ldots\). Należy zwrócić uwagę na to, że wartości funkcji zespolonych \(sinz\) i \(cosz\) nie są ograniczone do zbioru \([-1,1]\). I tak np. dla \(z=i\) zachodzi

\[\cos i = \tfrac{1}{2}(e^{-1}+e) \approx 1,543;\qquad\] \[\sin i = \tfrac{1}{2i}(e^{-1}-e)\approx 1,175i,\]

ale dla \(z=i\), tak jak dla wszystkich wartości argumentu zespolonego \(z\) zachodzi tożsamość znana jako jedynka trygonometryczna

\[sin^{2}z+cos^{2}z=1,\]

co można łatwo sprawdzić wykorzystując wzory Eulera.

Zadania

1. Oblicz, a rozwiązanie napisz w postaci \(a + bi\)
   1. \((5 - 6i) + (3 + 2i)\)
   2. \((4 - 12 i) - (9 + 52i)\)
   3. \((2 + 5i)(4 - i)\)
   4. \((1 - 2i)(8 - 3i)\)
   5. \(i^3\)
   6. \(i^{100}\)
2. Oblicz:
   1. \((7 + 2i) + (11 - 6i)\)
   2. \((8 - 3i) - (6i)\)
   3. \((9 + 4i)(3 - 16i)\)
   4. \(3i \times 9i\)
   5. \(\frac{i}{2+i}\)
   6. \(\frac{11 + 3i}{\sqrt{3} - 4i}\)
   7. \({(x + yi)}^{-1}\)
   8. \(\overline{12+7i}\)
   9. \(\overline{2i(\frac{1}{2}i-i)}\)
   10. \(\frac{1+4i}{3+2i}\)
3. Dane są dwie liczby zespolone \( \begin{matrix} x &=& 3 - 2i \\ y &=& 3 + 2i \end{matrix} \)

   Oblicz

   1. x + y
   2. x - y
   3. x²
   4. y²
   5. xy
   6. (x + y)(x - y)
4. Oblicz
   1. (3 + 3i)^1/2
   2. (1 + 1i)^1/2
   3. i^1/3
5. Znajdź dwie odrębne liczby zespolone \(z_1\) i \(z_2\) takie, że \(z_j^2=-1\) dla j=1 i j=2.
6. Zapisz wynik działania \((\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i)( \frac{1}{2} +\frac{\sqrt{3}}{2}i)\) w postaci \(a + bi\)
7. Znajdź odwrotność każdej z następujących liczb:
   1. \(-1-i\)
   2. \(3-2i\)
   3. \(i\)
   4. \(-i\)
   5. \(-\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i\)
8. Opierając się na rys 3 narysuj liczby

   

   

   Rys. 3 LIczby z, w, v w płaszczyźnie zespolonej

   1. \(z+\bar{z}\), \(w+\bar{w}\), \(v+\bar{v}\)
   2. \(2w + \bar{z} + v\)
   3. \(v - z - w\)