Z Skrypty dla studentów Ekonofizyki UPGOW
W tym wykładzie zajmiemy się szeregami liczbowymi nieskończonymi, czyli nieskończonymi sumami liczb. Nasze rozważania rozpoczniemy od szeregów o wyrazach tylko dodatnich, a potem uogólnimy to na przypadek szeregów o wyrazach dowolnych. Podamy trzy kryteria zbieżności szeregów o wyrazach nieujemnych oraz jedno dla szeregów naprzemiennych. A na zakończenie powiemy o rozwijaniu funkcji w szereg potęgowy Taylora lub MacLaurina. Takie rozwinięcia mają duże zastosowanie w rozwiązywaniu wielu zagadnień fizycznych, jak np. ruch wahadła czy ciężarka zamocowanego na sprężynie.
Szereg liczbowy nieskończony to nieskończona suma liczb, czyli wyrazów tego szeregu \(a_1, a_2, \ldots\)
\[\begin{aligned} a_1 + a_2 + a_3 + \ldots = \sum_{n=1}^{\infty} a_n \nonumber \end{aligned}\]
I podobnie jak dla ciągów \(a_n\) nazywamy wyrazem ogólnym szeregu. Szereg nieskończony możemy rozpatrywać jako ciąg sum częściowych. Oczywiście można utworzyć nieskończenie wiele sum częściowych \(s_m\), z których najprostsza to \(s_1 = a_1\), a suma częściowa \(s_m\) wyraża się następującym wzorem
\[\begin{aligned} s_m = a_1 + a_2 + a_3 + \ldots + a_m = \sum_{n=1}^{m} a_n \nonumber \end{aligned}\]
Ważną własnością szeregu jest jego zbieżność. Mówimy, że szereg \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n\) jest zbieżny jeżeli suma jego wyrazów jest skończona, tzn.
\[\begin{aligned} \sum_{n=1}^{m} a_n = s\nonumber \end{aligned}\]
Warunkiem koniecznym zbieżności szeregu jest to aby jego wyrazy \(a_n\) zmierzały do zera
\[\begin{aligned} \lim_{n \rightarrow \infty} a_n = 0 \nonumber \end{aligned}\]
Jest to warunek konieczny ale nie wystarczający. Np. szereg o wyrazie ogólnym \(a_n = \frac{1}{n}\) jest rozbieżny, a \(\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n}\) = 0.
Jeżeli ciąg sum częściwych \(s_m\)
\[\begin{aligned} \lim_{m \rightarrow \infty} s_m = s \nonumber \end{aligned}\]
jest zbieżny, tzn. granica \(s\) jest skończona to szereg nieskończony \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n\) nazywamy zbieżnym. Ciąg sum częściowych zmierza do granicy \(s\), która jest sumą zbieżnego szeregu liczbowego nieskończonego \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n\). Jeżeli granica ciągu sum częściowych nie istnieje to wtedy szereg jest szeregiem rozbieżnym. Określenie zbieżności szeregów ma fundamentalne znaczenie dla ich zastosowań praktycznych.
Trzy kryteria zbieżności szeregów
Istnieje wiele kryteriów (czyli sposobów) określania zbieżności szeregów liczbowych. Są one wygodniejsze do zastosowania niż podana powyżej definicja zbieżności szeregu jako granica ciągu jego sum częściowych. Podamy trzy, najczęściej stosowane, kryteria zbieżności szeregów.
Kryterium Cauchy’ego
Dla szeregu \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n\) tworzymy ciąg o wyrazie ogólnym \(c_n = \sqrt[n]{a_n}\) i obliczmy granicę ciągu \(c_n\):
- Jeżeli \(\lim_{n \rightarrow \infty} c_n < 1\), to szereg \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n\) jest zbieżny,
- Jeżeli \(\lim_{n \rightarrow \infty} c_n > 1\), to szereg \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n\) jest rozbieżny,
- Jeżeli \(\lim_{n \rightarrow \infty} c_n = 1\), to kryterium Cauchy’ego nie rozstrzyga o zbieżności szeregu \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n\) (szereg może być zbieżny lub rozbieżny).
Zastosujemy teraz kryterium Cauchy'ego do badania zbiezności szeregu \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^2}{2^n}\). Znajdujemy, że
\[\begin{aligned} \lim_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{a_n} = \lim_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{\frac{n^2}{2^n}} = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{\sqrt[n]{n^2}}{\sqrt[n]{2^n}} = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{(\sqrt[n]{n})^2}{2} = \frac{1}{2} < 1, \end{aligned}\]
co oznacza, że szereg jest zbieżny. W obliczeniach skorzystaliśmy z bardzo ważnej granicy: \(\lim_{n \rightarrow \infty}\sqrt[n]{n}=1\).
Kryterium d’Alamberta
Dla szeregu \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n\) tworzymy ciąg o wyrazie ogólnym \(d_n = \frac{a_{n+1}}{a_n}\) i obliczmy granicę ciągu \(d_n\):
- Jeżeli \(\lim_{n \rightarrow \infty} d_n < 1\), to szereg \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n\) jest zbieżny,
- Jeżeli \(\lim_{n \rightarrow \infty} d_n > 1\), to szereg \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n\) jest rozbieżny,
- Jeżeli \(\lim_{n \rightarrow \infty} d_n = 1\), to kryterium Cauchy’ego nie rozstrzyga o zbieżności szeregu \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n\) (szereg może być zbieżny lub rozbieżny).
Warto zauważyć, że kryterium d’Alamberta jest słabsze od kryterium Cauchy’ego, tzn. jeżeli na podstawie kryterium d’Alamberta stwierdzimy, że szereg jest zbieżny to taką samą odpowiedź otrzymamy stosując kryterium Cauchy’ego, ale wnioskowanie odwrotne nie jest prawdziwe.
A teraz zbadamy zabieżność szeregu \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^2}{2^n}\) korzystając z kryterium d'Alamberta:
\[\begin{aligned} \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{(n+1)^2}{2^{n+1}} \frac{2^n}{n^2} = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{(n^2+2n+1)2^n}{n^22^n2} = \frac{1}{2} \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n^2+2n+1}{n^2} = \frac{1}{2} < 1, \end{aligned}\]
ponieważ
\[\begin{aligned} \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n^2+2n+1}{n^2} = 1, \end{aligned}\]
jak pokazaliśmy, znajdując podobną granicę, w rozdziale o granicy ciągu. Rozważany szereg jest zbieżny - taki sam wynik dostalismy z kryterium Cauchy'ego.
Kryterium porównawcze zbieżności szeregów
W tym kryterium korzystamy ze znajomości zbieżności (lub rozbieżności) jednego szeregu i porównujemy jego wyrazy z wyrazami szeregu o nieznanej zbieżności. I tak jeżeli dla \(n > N\) (skończona liczba początkowych wyrazów szeregu nie ma wpływu na jego zbieżność)
\[\begin{aligned} \frac{a_{n+1}}{a_n} \leq \frac{b_{n+1}}{b_n}, (a_n \neq 0, b_n \neq 0)\end{aligned}\]
to
- ze zbieżności szeregu \(b_n\), wynika zbieżność szeregu \(a_n\),
- a z rozbieżności szeregu \(a_n\), wynika rozbieżność szeregu \(b_n\).
W praktyce skorzystanie z tego kryterium polega na znalezieniu odpowiedniego szeregu o znanej zbieżności (lub rozbieżności).
Zbieżność szeregów o wyrazach dowolnych
Zauważmy, że początkowa, skończona ilość wyrazów szeregu nie wpływa na jego zbieżność. I dlatego:
- jeżeli wyrazy szeregu \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n\) są dodatnie dla \(n > N\) to odrzucamy skończoną ilość początkowych wyrazów dla \(n \leq N\) i rozpatrujemy szereg nieskończony o wyrazach dodatnich,
- jeżeli wyrazy szeregu \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n\) są ujemne dla \(n > N\) to przez zmianę znaku dla \(n > N\) znowu rozpatrujemy szereg nieskończony o wyrazach dodatnich.
Zatem widzimy, że nowym przypadkiem jest szereg który zawiera nieskończenie wiele wyrazów dodatnich i nieskończenie wiele wyrazów ujemnych. Najczęściej spotykanym takim szeregiem jest szereg naprzemienny, w którym na przemian mamy wyraz dodatni i ujemny. I właśnie do szeregów naprzemiennych ograniczymy nasze badania zbieżności szeregów o wyrazach dowolnych.
Kryterium Leibniza zbieżności szeregów
Jeżeli w szeregu naprzemiennym \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n\)
\[\begin{aligned} \bigvee_{N > 0} \quad \bigwedge_{n > N} \mid a_{n+1} \mid < \mid a_n \mid \qquad i \qquad \lim_{n \rightarrow \infty} a_n = 0 \nonumber \end{aligned}\]
to szereg \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n\) jest zbieżny. Czyli, jeżeli od pewnego \(N\) wartości bezwzględne wyrazów szeregu \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n\) dążą do granicy równej 0 to szereg jest zbieżny.
Zbadamy teraz zabieżność szeregu \(\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1}\frac{1}{n}\) korzystając z kryterium Leibnitza. Jest to szereg naprzemienny anharmoniczny i zgodnie z kryterium stwierdzamy , że wartości bezwzględne wyrazów szeregu (\(1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3},\ldots\)) monotonicznie maleją, a ponadto
\[\begin{aligned} \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} = 0 \nonumber \end{aligned}\]
co jest równoznaczne ze stwierdzeniem, że szereg jest zbieżny. Zauważmy, że szereg harmoniczny \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}\), który jest szeregiem o wyrazach tylko dodatnich, jest szeregiem rozbieżnym.
Szereg potęgowy
Ważnym, ze względu na szerokie zastosowanie jest szereg potęgowy
\[\begin{aligned} a_0 + a_1x + a_2x^2 + a_3x^3 + \ldots + a_nx^n + \ldots = \sum_{n=1}^{m} a_nx^n \nonumber \end{aligned}\]
Widzimy, że jest to znany nam wielomian, przy czym jest to wielomian \(nieskończony\). Jak każdy szereg także szereg potęgowy może być zbieżny lub rozbieżny, przy czym jego zbieżność zależy zarówno od współczynników \(a_n\) tego szeregu jak i od wartości zmiennej \(x\). Dla szeregów potęgowych definiuje się promień zbieżności \(R \geq 0\). I tak szereg potęgowy jest:
- zbieżny dla \(\mid x \mid < R\),
- rozbieżny dla \(\mid x \mid >R\),
- natomiast dla \(x = -R\) i dla \(x = R\) nie możemy wnioskować o zbieżności bądź rozbieżności szeregu potęgowego.
Do znalezienia promienia zbieżności \(R\) szeregu potęgowego można skorzystać z następujących twierdzeń wynikających ze znanych nam już kryteriów d’Alamberta i Cauche’ego. I tak jeżeli dla szeregu potęgowego:
\(\begin{aligned} \lim_{n \rightarrow \infty} \mid \frac{a_{n+1}}{a_n} \mid = g \mathbf \quad lub \quad \lim_{n \rightarrow \infty} \mid \sqrt[n]{\mid a_n \mid} = g \nonumber \end{aligned}\)
to wtedy
- \(R = \frac{1}{g}\) \(\quad\) gdy \(\quad\) \(g \neq 0\) \(\quad \) i \(\quad\) \(g \neq +\infty\),
- \(R = 0\) \(\quad\) gdy \(\quad\) \(g = +\infty\),
- \(R = +\infty\) \(\quad\) gdy \(\quad\) \(g = 0\).
Rozwinięcie funkcji w szereg Taylora
Najpierw podamy wzór Taylora, który pozwala na przedstawienie funkcji w postaci wielomianu z pewną resztą. Jeżeli funkcja \(f(x)\) posiada pochodną \(n\), \(f^{(n)}(x)\), dla \(x \in [x_1,x_2]\) to wtedy każdego punktu \(x \in (x_1,x_2)\) zachodzi następujący wzór Taylora (\(a \in [x_1,x_2]\))
\[\begin{aligned} f(x) = f(a) + \frac{f'(a)}{1!}(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \ldots + \frac{f^{n-1}(a)}{(n-1)!}(x-a)^{n-1} + R_n, \nonumber\end{aligned}\]
gdzie \(R_n\) jest resztą we wzorze Taylora
\[\begin{aligned} R_n = \frac{f^{n}(c)}{n!}(x-a)^{n}, c \in (x_1,x_2). \nonumber\end{aligned}\]
Wzór Taylora jest rozwinięciem skończonym i dlatego nie rozpatruje się jego zbieżności. Pojawia się pytanie jak duża jest reszta \(R_n\)? Nie można jej bezpośrednio obliczyć, ponieważ jest wyrażona przez \(n\)-tą pochodną funkcji \(f(x)\), którą należy obliczyć w nieznanym punkcie \(c\). Zauważmy jednak, że reszta we wzorze Taylora będzie coraz mniejsza gdy będziemy zwiększać stopień wielomianu. Dzieje się tak z dwóch powodów: (1) w mianowniku jest szybko rosnąca silnia, oraz (2) zazwyczaj stosujemy wzór Taylora dla \(x\) w pobliżu punktu \(a\) co powoduje, że kolejne potęgi wyrażenia \((x-a)\) występujące w liczniku wzoru Taylora są coraz mniejsze. Problem z resztą we wzorze Taylora znika gdy \(\lim_{n \rightarrow \infty} R_n = 0\) oraz jeżeli funkcja \(f(x)\), którą rozwijamy w szereg ma pochodne dowolnego rzędu. Wtedy wielomian dany wzorem Taylora staje się szeregiem potęgowym nieskończonym
\[\begin{aligned} f(x) = f(a) + \frac{f'(a)}{1!}(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \ldots + \frac{f^{n}(a)}{n!}(x-a)^{n} + \ldots \nonumber \\ = f(a) + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n, \nonumber\end{aligned}\]
dla którego wyznacza się promień zbieżności.
Funkcję \(f(x)\) można rozwijać w pobliżu dowolnego punktu \(a\). Dla \(a = 0\) szereg Taylora staje się szeregiem Maclaurina:
\[\begin{aligned} f(x) = f(0) + \frac{f'(0)}{1!}x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \ldots + \frac{f^{n}(0)}{n!}x^{n} + \ldots \nonumber \\ = f(0) + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n. \nonumber\end{aligned}\]
Wiele funkcji można rozwinąć w szeregi potęgowe, czyli w pewnym przedziale argumentów \(x\) niejako zastąpić funkcję \(f(x)\) wielomianem. I jak już wspomnieliśmy na wstępie tego wykładu takie rozwinięcie funkcji jest bardzo przydatne w wielu zastosowaniach.
Rozwinięcie funkcji w szereg funkcji \(f(x) = sinx\), dla \(a = 0\)
Obliczmy pochodne kolejnych rzędów funkcji \(f(x) = sinx\):
\(\begin{aligned} f'(x) = (sinx)' = cosx, \quad f'(0) = 1 \nonumber \\ f''(x) = (cosx)' = -sinx, \quad f''(0) = 0 \nonumber \\ f'''(x) = (-sinx)' = -cosx, \quad f'''(0) = -1 \nonumber \\ f^{(4)}(x) = (-cosx)' = sinx, \quad f^{(4)} = 0 \nonumber \\ f^{(5)}(x) = (sinx)' = cosx = f'(x), \quad f^{(5)} = 1 \nonumber \end{aligned}\)
gdzie podaliśmy wartość kolejnych pochodnych w punkcie \(a = 0\) (jest to zatem rowinięcie w szereg Maclaurina) wokół którego dokonujemy rozwinięcia. Jak widzimy pochodna rzędu piątego jest równa pochodnej rzędu pierwszego, a wartości pochodnych kolejnych rzędów funkcji \(f(x) = sinx\) powtarzają się co cztery. Wstawmy teraz obliczone pochodne do wzoru Maclaurina
\(\begin{aligned} sinx = f(0) + \frac{f'(0)}{1!}x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \ldots \nonumber \\ = 0 + \frac{1}{1!}x + \frac{0}{2!}x^2 + \frac{-1}{3!}x^3 + \frac{0}{4!}x^4 + \frac{1}{5!}x^5 \ldots \nonumber \\ = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + \ldots = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \frac{x^{2n-1}}{(2n-1)!}. \nonumber\end{aligned}\)
Jak widać w rozwinięciu wystepują jedynie potęgi nieparzyste zmiennej \(x\) (\(sinx\) jest funkcją nieparzystą). Jest to szereg naprzemienny co we wzorze na wyraz ogólny zostało wyrażone przez \((-1)^{n+1}\). A nieparzyste wykładniki potęg i wartości silni dla \(n\) nieparzystego zostały zapisane jako \((2n-1)\). Oczywiście \(2n\) pozwala zapisać wykładniki parzyste co zobaczymy w rozwinięciu funkcji \(f(x) = cosx\). Promień zbieżności otrzymanego szeregu wynosi \(R = +\infty\).
Rozwinięcie funkcji w szereg funkcji \(f(x) = cosx\), dla \(a = 0\)
Pochodne kolejnych rzędów funkcji \(f(x) = cosx\) są równe:
\(\begin{aligned} f'(x) = (cosx)' = -sinx, \quad f'(0) = 0 \nonumber \\ f''(x) = (-sinx)' = -cosx, \quad f''(0) = -1 \nonumber \\ f'''(x) = (-cosx)' = sinx, \quad f'''(0) = 0 \nonumber \\ f^{(4)}(x) = (sinx)' = cosx, \quad f^{(4)} = 1 \nonumber \\ f^{(5)}(x) = (cosx)' = -sinx = f'(x), \quad f^{(5)} = 0 \nonumber \end{aligned}\)
Jak widzimy także dla funkcji \(f(x) = cosx\) pochodna rzędu piątego jest równa pochodnej rzędu pierwszego, a wartości pochodnych kolejnych rzędów powtarzają się co cztery. Wstawmy teraz obliczone pochodne do wzoru Maclaurina
\(\begin{aligned} cosx = f(0) + \frac{f'(0)}{1!}x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \ldots \nonumber \\ = 1 + \frac{0}{1!}x + \frac{-1}{2!}x^2 + \frac{0}{3!}x^3 + \frac{1}{4!}x^4 + \frac{0}{5!}x^5 \ldots \nonumber \\ = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + \ldots = 1 + \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n} \frac{x^{2n}}{(2n)!}. \nonumber\end{aligned}\)
W rozwinięciu wystepują jedynie potęgi nieparzyste zmiennej \(x\) (\(cosx\) jest funkcją parzystą). Jest to szereg naprzemienny co we wzorze na wyraz ogólny zostało wyrażone przez \((-1)^{n}\), a parzyste wykładniki potęg i wartości silni dla \(n\) parzystego zostały zapisane jako \((2n)\). Promień zbieżności otrzymanego szeregu wynosi \(R = +\infty\).
Rozwinięcie funkcji w szereg funkcji \(f(x) = e^x\), dla \(a = 0\)
Pochodne kolejnych rzędów funkcji \(f(x) = e^x\) są równe \(e^x\):
\(\begin{aligned} f'(x) = (e^x)' = e^x, \quad f'(0) = 1 \nonumber \\ f''(x) = (e^x)' = e^x, \quad f''(0) = 1 \nonumber \\ \vdots \nonumber\end{aligned}\)
A wstawiając je do wzoru Maclaurina otrzymujemy
\(\begin{aligned} e^x = f(0) + \frac{f'(0)}{1!}x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \ldots \nonumber \\ = 1 + \frac{1}{1!}x + \frac{1}{2!}x^2 + \frac{1}{3!}x^3 + \frac{1}{4!}x^4 + \ldots \nonumber \\ = 1 + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n!}. \nonumber\end{aligned}\)
W rozwinięciu wystepują zarówno parzyste jak i nieparzyste potęgi zmiennej \(x\), a promień zbieżności otrzymanego szeregu wynosi \(R = +\infty\).
Zadania
- Zbadać zbieżność następujących szeregów liczbowych \(\sum_{n=1}^{\infty}n^3\), \(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^3}\), \(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^n5^n}\),
- Znaleźć promień zbieżności następujących szeregów potęgowych \(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{2n}}{(2n)!}\), \(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{3^n}{n^n}x^n\), \(\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(n!)^2}{(2n)!}x^n\),
- Rozwinąć w szereg Maclaurena następujące funkcje oraz znaleźć promień zbieżności otrzymanych szeregów potęgowych \(f(x) = (3x+2)^5\), \(f(x) = sinx\), \(f(x) = cosx\), \(f(x) = e^x\), \(f(x) = e^{-x^{2}}\), \(f(x) = cos^{2}x\), \(f(x) = sin^{2}x\), \(f(x) = \frac{1}{1+x^2}\), \(f(x) = \frac{1}{(1-x)^2}\), \(f(x) = ln(1+x)\), \(f(x) = arctgx\)