Z Skrypty dla studentów Ekonofizyki UPGOW
Spis treści |
Pojęcie pola
Z pojęciem pola mamy do czynienia w fizyce wtedy, gdy na punktach \((x,y,z)\) pewnego obszaru trójwymiarowej przestrzeni została określona funkcja. Jeżeli będzie to funkcja skalarna \(f(x,y,z)\) to mamy do czynienia z polem skalarnym. Natomiast jeżeli przyporządkujemy wektor \(\mathbf F(x,y,z)=(F_x(x,y,z),F_y(x,y,z),F_z(x,y,z))\) to będzie to pole wektorowe. Przykładem pola skalarnego jest temperatura powietrza w różnych miejscach atmosfery (temperatura jest skalarem), a przykładem pola wektorowego jest pole siły grawitacyjnej (siła jest wektorem). Operatory różniczkowe mogą działać zarówno na funkcje jednej jak i wielu zmiennych, na funkcje skalarne bądź wektorowe. W tym rozdziale określimy cztery operacje różniczkowe na polach skalarnych i wektorowych: wyliczanie gradientu, dywergencji, rotacji i laplasjanu. Będziemy przy tym wymagać aby rozważane funkcje były różniczkowalne. Operator różniczkowy nabiera sensu dopiero wtedy gdy działa na funkcję skalarną bądź wektorową, przy czym funkcję (wektorową bądź skalarną) na która działa operator wstawiamy po prawej stronie operatora. W tej części kursu nie pojawią się rozwiązania zadań, a wiele przykładów zastosowania operatorów różniczkowych zostanie szczegółowo omówionych na kursie fizyki.
Operator nabla \(\nabla\)
Operator nabla \(\nabla\) we współrzędnych kartezjańskich jest definiowany następująco: \( \nabla\ =\ \mathbf{\widehat{x}} \frac{\partial }{\partial x} + \mathbf{\widehat{y}} \frac{\partial }{\partial y} + \mathbf{\widehat{z}} \frac{\partial }{\partial z}\ =\ \left(\frac{\partial }{\partial x},\,\frac{\partial }{\partial y},\,\frac{\partial }{\partial z}\right), \) gdzie \(\mathbf{\widehat{x}}, \mathbf{\widehat{y}}, \mathbf{\widehat{z}}\) oznaczają wersory wzdłuż trzech osi kartezjańskiego układu współrzędnych. Jak widać operator nabla jest wektorem o trzech składowych i stosują się do niego reguły działań na wektorach. Niektóre z nich wykorzystamy poniżej.
Gradient funkcji skalarnej
Jak wiemy w wyniku mnożenia wektora przez liczbę, czyli przez skalar, otrzymujemy wektor. Dlatego mnożąc wektor \(\nabla\) przez ciągłą, różniczkowalną funkcję \(f(x,y,z)\) współrzędnych \(x, y, z\) można w dowolnym punkcie przestrzeni utworzyć wektor, którego składowe są pochodnymi cząstkowymi w kierunku osi układu współrzędnych : \( \mathrm{grad}\ f\ =\ \nabla f\ =\ \left(\mathbf{\widehat{x}}\,\frac{\partial}{\partial x} + \mathbf{\widehat{y}}\,\frac{\partial}{\partial y} + \mathbf{\widehat{z}}\,\frac{\partial}{\partial z}\right)f\ = \\ =\ \mathbf{\widehat{x}}\,\frac{\partial f}{\partial x} + \mathbf{\widehat{y}}\,\frac{\partial f}{\partial y} + \mathbf{\widehat{z}}\,\frac{\partial f}{\partial z}\ = \\ =\ \left(\frac{\partial f}{\partial x},\ \frac{\partial f}{\partial y},\ \frac{\partial f}{\partial z}\right), \)
gdzie przez \(\mathrm{grad}\) oznaczyliśmy operator różniczkowy gradientu funkcji, czyli operator nabla\(:\) \( \mathrm{grad} = \nabla\). Jak widzimy w wyniku działania operatora nabla na funkcję skalarną \(f(x,y,z)\) otrzymujemy wektor.
Różniczkę funkcji \(f\) możemy zapisać jako: \( d f = \mathrm{grad} f \cdot d \mathrm{r} = \vert \mathrm{grad} f\vert \vert d \mathrm{r} \vert cos \theta, \)
gdzie różniczka funkcji \(f\) odpowiada przesunięciu w przestrzeni o \(d \mathrm{r}\), a kąt \(\theta\) jest kątem pomiędzy wektorem \(\mathrm{grad} f\) a wektorem przesunięcia \(d \mathrm{r}\).
Przypominamy, że pochodna cząstkowa funkcji jest miarą szybkości zmiany funkcji względem zmiennej dla której jest liczona, np. \(\frac{\partial f}{\partial x}\) określa szybkość zmiany funkcji wzdłuż osi \(x\). Zilustrujemy to na przykładzie funkcji dwóch zmiennych. Wykresem funkcji skalarnej dwóch zmiennych \(f(x,y)\) jest powierzchnia w przestrzeni trójwymiarowej, a dobrze znanym przykładem takiej funkcji jest np. ukształtowanie terenu górzystego. Stojąc w takim terenie z łatwością możemy stwierdzić w którym kierunku teren podnosi się maksymalnie, bądź maksymalnie opada. Gradient funkcji, która opisuje ukształtowanie terenu wskazuje kierunek maksymalnego wzrostu, czyli robiąc krok w tym właśnie kierunku znajdziemy się najwyżej.
Dywergencja
Jak pamiętamy iloczyn skalarny dwóch wektorów jest skalarem, czyli liczbą. Zajmiemy się teraz operatorem dywergencji, przy czym ograniczymy się do rozpatrywania działania tego operatora na funkcję wektorową \(\mathbf F\) będącą funkcją trzech współrzędnych kartezjańskich \(x,y,z\). Funkcja wektorowa \(\mathbf F\) ma trzy składowe, które mogą być funkcjami skalarnymi trzech współrzędnych \(F_x(x,y,z)\), \(F_y(x,y,z)\), \(F_z(x,y,z)\). Jeżeli funkcje te są różniczkowalne to możemy skonstruować następujący operator dywergencji \(\mathrm{div}\)
\[ \mathrm{div}\; \mathbf F = \frac{\partial F_x(x,y,z)}{\partial x} + \frac{\partial F_y(x,y,z)}{\partial y} + \frac{\partial F_z(x,y,z)}{\partial z} = \nabla \cdot \mathbf F, \]
dla ktorego wynik działania na funkcję wektorową dany jest przez iloczyn skalarny operatora nabla i tej funkcji. W zwięzłym zapisie symbolicznym \( \mathrm{div}= \nabla \cdot\). W wyniku działania operatora dywergencji na funkcję wektorową otrzymujemy skalar. Dywergencja w danym punkcie przedstawia strumień (wypływ) wektora pola przez powierzchnię otaczająca jednostkową objętość. Stąd pola o zerowej dywergencji nazywa sie polami bezźródłowymi. Przykłady, z których najbardziej typowym jest dywergencja wektora natężenia pola elektrycznego, zostaną omówione na kursie fizyki.
Rotacja
Przypominamy, że iloczyn wektorowy dwóch wektorów jest wektorem. Dla różniczkowalnej funkcji wektorowej \(\mathbf F(x,y,z)\) można utworzyć następujący operator rotacji \[ \mathrm{rot}\; \mathbf F\ =\ \left(\frac{\partial F_z}{\partial y} - \frac{\partial F_y}{\partial z}\right) \mathbf{\widehat{x}} + \left( \frac{\partial F_x}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial x}\right) \mathbf{\widehat{y}} + \left(\frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partial y}\right) \mathbf{\widehat{z}}\ = \\ =\ \left(\frac{\partial F_z}{\partial y} - \frac{\partial F_y}{\partial z},\ \ \frac{\partial F_x}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial x},\ \ \frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partial y}\right)\ = \\ =\ \nabla \times \mathbf F \]
dla którego wynik działania na funkcję wektorową dany jest przez ilocznym wektorowy operatora nabla i tej funkcji. Symbolicznie \(\mathrm{rot} = \nabla \times\). Niezerowa wartość rotacji jest ilustracją tego, że w przestrzeni (w fizyce będzie to np. pole w którym działają siły) opisywanej funkcją wektorową \(\mathbf F(x,y,z)\) występują wiry. Pola o zerowej rotacji nazywane są polami bezwirowymi.
Laplasjan
Operator nabla \(\nabla\) jest wektorem, więc możemy utworzyć iloczyn skalarny \(\nabla \cdot \nabla = \nabla^2\) otrzymując operator Laplace'a, czyli laplasjan \(\Delta\). We wspórzędnych kartezjańskich ma on następującą postać \[ \Delta = \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2} = \nabla \cdot \nabla = \nabla^2 \] Operator ten działając na funkcję skalarną daje skalar.